专题03 直线综合归类（15大巩固提升练+能力提升练+高考真题练）-【寒假分层作业】2025年高二数学寒假培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题03 直线综合归类 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：各类直线倾斜角 题型二：直线含参型倾斜角范围最值 题型三：斜率与倾斜角互化关系 题型四：直线与线段有交点求斜率范围型 题型五：直线含参过定点型 题型六：斜率公式集合意义应用 题型七：斜率公式：函数型 题型八：双直线含参型 题型九：直线截距型：截距基础应用 题型十：直线截距型：最值型 题型十一：围成面积最值范围 题型十二：夹角、角平分线型 题型十三：“光学”与对称 题型十四：颠倒直线距离公式应用 题型十五：直线围成四边形面积最值 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01各类直线倾斜角 ⭐技巧积累与运用 斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 1．若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据直线的方程即可求解. 【详解】因为， 为一常数，故直线的倾斜角为， 故选：C 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以直线的倾斜角为146°. 故选：D 3．直线的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由直线倾斜角的定义求出即可. 【详解】由题意得， 因为所以该直线的倾斜角为． 故选：B 题型02直线含参型倾斜角范围最值 ⭐技巧积累与运用 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)运用点斜式、斜截式方程时：要注意讨论斜率存在性； (2)运用截距式方程时：要注意讨论是否经过原点(过原点的直线x，y轴截距均为0)． 注意：截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零． 1．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围. 【详解】设直线的倾斜角为， 则由直线可得， 所以， 故选：D 2．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可. 【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， 当时，由直线方程可得斜率，且， ，即，又，， 综上所述，倾斜角的范围是. 故选：C. 3．已知，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的倾斜角为，根据题意求得，得到，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 由直线，可得斜率为，即， 解得，即直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 题型03斜率与倾斜角互化关系 ⭐技巧积累与运用 直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 1．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】因为直线恒过点， 直线与坐标轴的交点分别为， 直线的斜率，此时倾斜角为； 直线的斜率不存在，此时倾斜角为； 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选：B. 2．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围. 【详解】函数在上单调递增， 又，， 故的取值范围是. 故选：C 3．若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】作出正切函数在的图象，根据斜率的范围结合图象确定出的范围. 【详解】作出正切函数在的图象如下图，    如图所示，当，即， 解得或， 即或， 故选：D. 题型04直线与线段有交点求斜率范围型 ⭐技巧积累与运用 已知线段的两端点及线段外一点，求过点且与线段有交点的直线斜率的取值范围. 若直线的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接； ②由，求出和； ③结合图形写出满足条件的直线斜率的取值范围. 1．已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解. 【详解】由，得， 所以直线l的方程恒过定点，斜率为. 因为，， 所以，. 由题意可知，作出图形如图所示， 由图象可知，或， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 2．已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方程确定直线所过的定点，利用斜率公式求得直线和的斜率，根据过定点的直线与线段总有交点分析运算即可得解. 【详解】解： 如上图，由题意，直线方程可化为： ，由解得：， ∴直线过定点. 又∵，∴，， ∴由直线与线段总有公共点知直线的斜率满足或， 当时，直线的斜率， ∴直线的倾斜角满足或， 即直线的倾斜角范围为. 故选：C. 3．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出坐标系，连接，结合斜率变化可知，，联立斜率与倾斜角关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， ， 因为直线l与连接点，的线段总有公共点， 所以，即， 所以. 故选：A.    题型05直线含参过定点型 ⭐技巧积累与运用 一般情况下，过定点 直线系： 过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 1．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】根据题意，得到直线过定点，若使得到直线的距离最大，则，求得，得到，进而得到直线方程. 【详解】由直线， 可得化为， 联立方程组，解得，即直线过定点， 若要到直线的距离最大，只需， 此时点到直线的最大距离，即为线段的长度，可得， 又由直线的斜率为， 因为，可得，可得， 故此时直线的方程为，即， 经检验，此时，上述直线的方程能够成立. 故选：C. 2．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【分析】求出直线所过的定点，再确定最大值条件即可求解. 【详解】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：A    3．当点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先得直线恒过点，注意到当时，点到直线的距离最大，然后根据题意列出方程即可求解. 【详解】将直线方程整理为：， 由得：， 直线恒过点， 当时，点到直线的距离最大， 显然，否则不垂直， 从而. 故选：C. 题型06斜率公式几何意义应用 ⭐技巧积累与运用 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 1．已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数的图象在直线下方的部分有3个整点，然后数形结合可解. 【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 2．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 3．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为点与连线的斜率，数形结合后由直线与圆的位置关系求解. 【详解】记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，得k最小， 此时设，故，解得或（舍去）， 即． 故选：C. 题型07 斜率公式：函数型 ⭐技巧积累与运用 斜率公式函数型： 1.分式型含参，可以构造转化为斜率形式 2. 要注意函数型对应自变量的“定义域” 1．已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a范围 【详解】令作出的图象如图所示： 等价于，表示点与点所在直线的斜率， 可得曲线上只有一个整数点与所在的直线斜率小于0，而点在直线上运动，由 可知当时，只有点满足，当时，只有点满足， 当时，至少有，满足，不满足唯一整数点，故舍去， 当时，至少有满足，不满足唯一整数点，故舍去， 因为为整数，故可取 故选：B 2．过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示以圆心为原点，半径为2的半圆，画出图形，考虑直线与半圆相切、分别经过点，，可得所求取值范围． 【详解】设过且有斜率的直线位， 曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆， 由直线与圆相切可得，解得或， 当直线经过点时，， 当直线经过点时，， 由图象可得，或． 故选：C．    3．已知函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简，函数上一点与连线斜率的倍，求出的范围，即可得出答案. 【详解】因为，图象如下图，，   ， 表示函数上一点与连线斜率的倍， ，， 由图可知：或， 所以或， 则的取值范围为. 故选：D. 题型08 双直线含参型 ⭐技巧积累与运用 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 1. 每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 2. 两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 3. 如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 4. 如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算 1．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线过定点，直线过定点，且，得到的轨迹是以的中点为圆心，半径的圆，结合圆的圆心，半径，得到的最大值是，得到答案. 【详解】因为直线，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点为圆心， 半径的圆， 因为圆的圆心，半径， 所以的最大值是． 故选：C 2．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】先确定两直线所过的定点、的坐标，然后根据两直线的位置关系可判断它们垂直，结合基本不等式求解即可. 【详解】依题意，直线过定点，直线可整理为，故直线过定点， 又因为直线和直线始终垂直，为两直线交点， 所以， 则， 由基本不等式可得， 当且仅当时取等号，所以的最大值是. 故选：A. 3．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 题型09 直线截距型：截距基础应用 ⭐技巧积累与运用 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且， 示意图 方程形式 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 1．已知点到直线的距离为5，且直线在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有（   ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据直线经过原点和不经过原点，设出直线的方程，即可根据点到直线的距离求解. 【详解】当直线经过原点时，则直线方程为， 此时到直线的距离为，化简得，解得， 当直线不经过原点时，设直线方程，即， 此时到直线的距离为，解得， 故符合条件的直线有3条， 故选：C 2．过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】设直线的方程为，将点代入直线的方程，然后由判别式判断即可. 【详解】设直线的方程为， 将点代入，可得， 即， 由于， 所以方程有两个根， 故满足题意的直线的条数为2． 故选：B. 3．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设直线在轴上的截距为，分别在，条件下利用待定系数法求直线方程即可. 【详解】设直线在轴上的截距为， 当时，所求直线的方程可设为， 因为直线过点， 所以，故，即直线方程为， 当时，可设直线方程为， 由直线过点可得，， 所以，故直线方程为. 所以经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数 的直线方程是或. 故选：C. 题型10 直线截距型：最值型 ⭐技巧积累与运用 使用截距式判断两直线的截距关系时，要注意直线是否过原点，过原点也存在截距，截距是0。 1．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果. 【详解】因为直线经过点，则， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为， 此时，则. 故选：D 2．已知经过第一､二､四象限的直线经过点，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D．9 【答案】D 【分析】直线过点及象限得，，结合基本不等式“1”的妙用求最小值即可 【详解】经过一､二､四象限，，又经过点，代入得，，当且仅当，即时等式成立 故选：D 3．若直线过点，则当取最小值时．直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，根据基本不等式“”的代换可得的最小值，即取最小值时与的值，进而得解. 【详解】由直线过点， 则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以直线方程为，即， 故选：C. 题型11围成面积最值范围型 1．已知直线，若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出直线在坐标轴上的截距，结合题意求出的范围，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由题意，解得， 直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积， 当时，， 此时直线l的方程是. 故选：C. 2．已知直线过点（1，3），若与轴，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用直线的截距式，结合基本不等式可得解. 【详解】由题意知直线在轴上的截距存在且大于， 设直线的方程为， 直线过点，可得， 所以，当且仅当，即取等号，故， 所以. 故选：D. 3．在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线的截距式，再根据面积公式结合基本不等式求解最小值即可 【详解】易得直线不经过原点，故设直线的方程为，因为直线过定点， 故，所以，故.当时等号成立 故 故选：C 题型12 夹角、角平分线型 ⭐技巧积累与运用 1.求角平分线方程可根据角平分线上的点到两边的距离相等求解 2.求角平分线，可以利用夹角公式，或者到角公式求解 1．直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意画出图形，再由两条直线夹角的角平分线的斜率为，得到中的三线合一，即可求得的取值范围. 【详解】由于平移不影响斜率，不妨设两条直线都过原点， 设分别交于，，角平分线交于点， 所以， 又因为直线和直线夹角的角平分线的斜率为， 所以直线的斜率， 所以，即， 所以为中点. 由三线合一可得为以为底边的等腰三角形，且，所以， 因为不垂直，所以不是直角. 当为锐角时，则夹角为，所以； 当为钝角时，则夹角为的补角，夹角的角平分线为轴，斜率不存在，故不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为： 2．已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先求得直线的倾斜角，进而判断出两条直线的夹角在内变动时的倾斜角的取值范围，进而即可求得的取值范围． 【详解】直线的倾斜角为，令直线的倾斜角为，则有 过原点的直线，的夹角在内变动时，可得直线的倾斜角的范围是，，． 的斜率的取值范围是，，，即，，， 故答案为：． 3．已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，写出与该角平分线相邻两边中，其中一边所在直线的斜率为 ． 【答案】或3．（注：写出一个或两个正确值均可得满分） 【分析】由题意利用一条直线到另一条直线的夹角公式，求得与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率. 【详解】解：某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为， 设这个正三角形中与该角平分线相邻的两条边所在直线的斜率分别为，且， 则， 解得. 故答案为：或3．（注：写出一个或两个正确值均可得满分） 题型13“光学”与对称 ⭐技巧积累与运用 关于轴对称问题： （1）点关于直线的对称点，则有； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 1．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点关于线对称求出C点标,结合反射光线的性质应用两点间距离公式求出距离的最小值即可. 【详解】 一束光线从出发，经直线反射,与交于点P, 由题意可得，点关于直线的对称点在反射光线上， 设,则,, 故光线从A到B所经过的最短路程是. 故选：C. 2．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，,所在直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光线的对称关系找到点关于，的对称点，，则即为的长. 【详解】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为： . 故选：A. 3．在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意建立直角坐标系，根据点关于线对称画出光路图，利用表示各点坐标，求出满足使反射后回到线段之间角范围. 【详解】   建立直角坐标系如图所示，，，，则直线 由题光线从点出发，沿光线路径依次为其中分别为光线与对应边交点， 设，点关于直线对称点为，设点关于直线对称点为，根据对称则有， 因为光线与所成角为的方向发射，即，令，k即为直线斜率， 则直线方程为，则与联立， 由光线反射的性质与光路可逆性知四点共线， 则直线方程为， 令得， 所以的取值范围为. 故选：D 题型14点到直线距离公式应用 ⭐技巧积累与运用 几种距离公式 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：|P1P2|＝. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝. (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离：d＝. 1．已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】去绝对值分别列出每个象限解析式，数形结合利用距离求解范围. 【详解】当，表示椭圆第一象限部分； 当，表示双曲线第四象限部分； 当，表示双曲线第二象限部分； 当，不表示任何图形； 以及两点， 作出大致图象如图： 曲线上的点到的距离为， 根据双曲线方程可得第二四象限双曲线渐近线方程都是， 直线与距离为， 曲线二四象限上的点到的距离为小于且无限接近1， 联立，消得， ，且， 所以直线与椭圆第一象限部分由两个交点， 考虑曲线第一象限的点到距离得最小值为， 所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题问题的关键是确定方程表示的图形，以及通过曲线上的点到直线的距离为的取值范围，间接求解的取值范围. 2．已知圆上两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由发现，又的几何意义是两点到直线的距离之和的倍，进而利用数形结合即可求解. 【详解】由得，即，则. 因为， 所以，由点到直线的距离公式可知表示两点到直线的距离之和的倍，如图所示：    设的中点分别为，易知，由梯形的中位线可得， 则，即点到直线的距离之和的4倍， 因为是直角三角形，所以， 则点在圆上运动， 显然，最小值为原点到直线距离与圆半径之差的4倍， 原点到直线距离，半径， 所以的最小值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，将转化为两点到直线的距离之和的倍，从而得解. 3．已知实数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】根据题意，设直线：，设点 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. ⭐技巧积累与运用 题型15直线围成四边形面积最值 1．已知， 直线和直线与两坐标轴围成一个四边形.则使这个四边形面积最小的值为. A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】易知 ， 直线和都过定点. 在中， 令，得； 在中， 令，得. 联结. 则 . 所以， 当时，四边形的面积最小 . 故答案为D 2．已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】求出四边形四个顶点的坐标，表示出四边形面积，借助函数思想求最小值. 【详解】过定点，也过定点，如图所示， 在的方程中，令，则， 在的方程中，令，则， 则点，， ． 由二次函数性质可得，当时，S取得最小值． 故选：C. 3．已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为 . 【答案】 【分析】 确定两直线经过的定点，求出直线与y轴的交点的坐标和直线与x轴的交点的坐标，进而表示出围成的四边形面积，结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为， 所以由， 因此直线恒过点，且该直线的斜率 所以由， 因此直线也恒过点，且该直线的， 设直线与纵轴的交点为，直线与横轴的交点为， 点为点， 所以，与两坐标轴围成的四边形为四边形， 如图所示：    ， 当时，有最小值， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是判断两直线所过的定点. 能力培优 1． 曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出曲线的图形，得出各射线所在直线的倾斜角，观察直线在绕着原点旋转时，直线与曲线没有交点时，直线的倾斜角的变化，由此得出的取值范围. 【详解】当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为； 当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为； 当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为； 当，时，由得，该射线所在直线的倾斜角为. 作出曲线的图象如下图所示： 由图象可知，要使得过原点的直线与曲线没有交点， 则直线的倾斜角的取值范围是，故选A. 【点睛】本题考查直线倾斜角的取值范围，考查数形结合思想，解题的关键就是作出图形，利用数形结合思想进行求解，属于中等题. 2． 已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出点坐标，可得，分、、讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】由，解得，可得， 所以，即， 当时，，则无意义； 当时， ，当且仅当即等号成立； 当时， ，当且仅当即等号成立； 综上，，或. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出点坐标，代入利用基本不等式求最值. 3． 已知实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】问题转化为两平行线间距离的平方，利用平行线间距离公式可得结果. 【详解】由题意得，点在直线上，点在直线上， 所以的最小值为两平行线间距离的平方， 即. 故选：D. 4． 已知点，，点为直线上动点，当最大值，点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为直径作圆，由圆心到直线的距离可知直线与圆相离，则结合两直线夹角公式可得，进而可得最值. 【详解】以为直径作圆，方程为，半径， 则圆心到直线的距离， 则直线与圆相离，即， 由点在直线上，设， 则，， 所以直线与的夹角满足， 当时，， 当时，， 当时，，此时， 当且仅当，即时等号成立； 当时，，此时， 当且仅当，即时等号成立； 综上所述，当时，取最大值，即取最大值， 故选：A. 5． 已知函数，若对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得函数的图象恒在函数的图象的上方，讨论，作函数图象，结合图象确定的范围. 【详解】因为对任意实数x恒成立， 所以对任意实数x恒成立， 所以对任意实数x恒成立， 所以函数的图象恒在函数的图象的上方， 当时，函数的图象在函数的上方，满足条件， 设的零点从左至右依次为，则，， 当时，如图，记过点，的直线为，设直线的斜率为， 由图象得， 因为，所以，所以，所以， 所以， 当时，如图，记过点，的直线为， 设的斜率为，则，由图象得， 因为，所以，所以，所以， 所以， 所以实数a的取值范围为， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为函数的图象恒在函数的图象的上方，作函数图象，并通过观察图象列不等关系确定的范围. 6． 已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断与的位置关系，可知两直线交点轨迹为圆，然后挖去点，转化为圆心到直线的距离求解即可. 【详解】由两直线垂直的判断条件，可知， 所以直线与始终垂直， 又由条件可得直线恒过定点，直线恒过定点， 所以两直线的交点是在以线段为直径的圆上， 所以该圆的圆心坐标为，半径为， 圆上点是过定点且斜率不存在的直线与过定点且斜率为0的直线的交点，故挖去点. 圆心到直线的距离， 所以，与的交点到直线的距离的最大值和最小值分别为和， 又到直线的距离为，应舍去， 所以取值集合是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用直线垂直的性质与过定点的知识，判断得两直线的交点是在以线段为直径的圆上，从而得解. 7． 已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．n的取值范围为 C．的最大值为7 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解. 【详解】由曲线，得，则（）， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：与：， 由， 得表示点到直线和的距离和的倍， 对于AB，若的值与无关， 则该曲线在两平行直线：与：之间， 当与该曲线相切时，，解得， 则的取值范围为， 当经过点时，，解得， 则的取值范围为，故A正确，B错误； 对于C，由图知，当点的坐标为时， 点到直线的距离最大，为， 所以的最大值为7，故C正确； 对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时， 点到直线和的距离和最小， 此时， 则点到直线和的距离和最小值为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：将转化为点到直线和的距离和的倍，是解决本题的关键. 8．（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】考察直线上的动点到直线两侧两定点距离之和的最小值，由为定值，求的最小值，要先求的最小值，转化求的最小值， 利用“三角形两边之和大于第三边”这一几何结论可得. 【详解】如图：    由平行线间的距离公式得，过点A作垂直于l1的直线，并截取，设点，则 因此，点，则，连接，，则四边形是平行四边形， 则有，当三点共线时等号成立， ∴， ∴的最小值为. 9．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设，点、分别是直线与上的任意动点，若时，皆有，则的最小值为 ． 【答案】/0.2 【分析】根据题设有，，进而有恒成立，则求得，代入目标式求最小值. 【详解】由题设，，且恒成立， 所以在上恒成立， 则，整理得，故， 所以， 当，时，最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：问题化为在上恒成立为关键. 10． 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. 易知，， ，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是去绝对值符号得到点的轨迹，再由的几何意义求解即可. 高考真题 1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，，代入直线方程得 ，即，令得， 故直线恒过，设，圆化为标准方程得：， 设圆心为，画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，此时.    故选：C 2．（ ·全国·高考真题）两条直线垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论直线的斜率存在性，根据两线垂直推得相关系数的数量关系，结合充要性定义即可得答案. 【详解】当斜率不存在时、，则垂直的直线的斜率为0，即、，故； 所以斜率不存在，同理有； 当两垂直的直线斜率都存在时，此时，故； 综上，题设两线垂直的充要条件是. 故选：A 3．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果. 【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为， 则其关于点对称的点的坐标为， 因为点在直线上， 所以即. 故选：D. 4．（ 上海·高考真题）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，由题意可得，根据三角形的面积公式及基本不等式即可求解. 【详解】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 则直线的方程为， 直线过点，， ， ， ，即， 当且仅当， 即 时取等号， 面积最小值为. 故答案为：. 5．（ ·全国·高考真题）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)． 【答案】①⑤ 【分析】先求两平行线间的距离为，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为得到直线m与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解． 【详解】因为，所以直线，间的距离． 设直线m与直线，分别相交于点B，A， 则， 过点A作直线l垂直于直线，垂足为C， 则， 则在中，， 所以， 又直线的倾斜角为45°， 所以直线m的倾斜角为或． 故答案为：①⑤． 6．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 直线综合归类 内容早知道 ☛第一层 巩固提升练 题型一：各类直线倾斜角 题型二：直线含参型倾斜角范围最值 题型三：斜率与倾斜角互化关系 题型四：直线与线段有交点求斜率范围型 题型五：直线含参过定点型 题型六：斜率公式集合意义应用 题型七：斜率公式：函数型 题型八：双直线含参型 题型九：直线截距型：截距基础应用 题型十：直线截距型：最值型 题型十一：围成面积最值范围 题型十二：夹角、角平分线型 题型十三：“光学”与对称 题型十四：颠倒直线距离公式应用 题型十五：直线围成四边形面积最值 ☛第二层 能力提升练 ☛第三层 高考真题练 巩固提升练 题型01各类直线倾斜角 ⭐技巧积累与运用 斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α. (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝. 1．若直线的倾斜角为，则（    ）． A．0 B． C． D．不存在 2．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．直线的倾斜角为（    ）． A． B． C． D． 题型02直线含参型倾斜角范围最值 ⭐技巧积累与运用 与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)运用点斜式、斜截式方程时：要注意讨论斜率存在性； (2)运用截距式方程时：要注意讨论是否经过原点(过原点的直线x，y轴截距均为0)． 注意：截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零． 1．设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型03斜率与倾斜角互化关系 ⭐技巧积累与运用 直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围． 1．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若直线的斜率的变化范围是，则它的倾斜角的变化范围是(　 ) A． B． C． D．或 题型04直线与线段有交点求斜率范围型 ⭐技巧积累与运用 已知线段的两端点及线段外一点，求过点且与线段有交点的直线斜率的取值范围. 若直线的斜率都存在，解题步骤如下： ①连接； ②由，求出和； ③结合图形写出满足条件的直线斜率的取值范围. 1．已知点，若直线与线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线：，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 3．经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型05直线含参过定点型 ⭐技巧积累与运用 一般情况下，过定点 直线系： 过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 1．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A．； B．； C．； D．； 2．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 3．当点到直线（为任意实数）的距离取最大值时，则（    ） A． B． C． D． 题型06斜率公式几何意义应用 ⭐技巧积累与运用 1．直线的斜率 把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 3．过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 1．已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型07 斜率公式：函数型 ⭐技巧积累与运用 斜率公式函数型： 1.分式型含参，可以构造转化为斜率形式 2. 要注意函数型对应自变量的“定义域” 1．已知函数若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型08 双直线含参型 ⭐技巧积累与运用 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 1. 每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 2. 两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 3. 如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 4. 如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算 1．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是（     ） A． B．2 C．3 D．5 3．设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 题型09 直线截距型：截距基础应用 ⭐技巧积累与运用 名称 截距式方程 已知条件 直线l在x，y轴上的截距分别为a，b且， 示意图 方程形式 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 1．已知点到直线的距离为5，且直线在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有（   ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 2．过点作直线，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 题型10 直线截距型：最值型 ⭐技巧积累与运用 使用截距式判断两直线的截距关系时，要注意直线是否过原点，过原点也存在截距，截距是0。 1．若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（    ） A．2 B． C． D． 2．已知经过第一､二､四象限的直线经过点，则的最小值为（    ） A．4 B． C．8 D．9 3．若直线过点，则当取最小值时．直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型11围成面积最值范围型 1．已知直线，若直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大，则直线l的方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知直线过点（1，3），若与轴，轴的正半轴围成的三角形的面积为，则的值可能是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．在平面中，过定点作一直线交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型12 夹角、角平分线型 ⭐技巧积累与运用 1.求角平分线方程可根据角平分线上的点到两边的距离相等求解 2.求角平分线，可以利用夹角公式，或者到角公式求解 1．直线的斜率为，直线的斜率为，直线不与直线垂直，且直线和直线夹角的角平分线的斜率为，则的取值范围是 . 2．已知两条直线、，其中，当这两条直线的夹角在内变化时，a的取值范围为 ． 3．已知某正三角形的一条内角平分线所在直线的斜率为，写出与该角平分线相邻两边中，其中一边所在直线的斜率为 ． 题型13“光学”与对称 ⭐技巧积累与运用 关于轴对称问题： （1）点关于直线的对称点，则有； （2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 1．如图，一束光线从出发，经直线反射后又经过点，则光线从A到B走过的路程为（    ） A． B． C． D． 2．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 3．在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型14点到直线距离公式应用 ⭐技巧积累与运用 几种距离公式 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离：|P1P2|＝. (2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离：d＝. (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离：d＝. 1．已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知圆上两点满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知实数，则的取值范围是 . 题型15直线围成四边形面积最值 1．已知， 直线和直线与两坐标轴围成一个四边形.则使这个四边形面积最小的值为. A．2 B． C． D． 2．已知，直线和直线与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为（    ） A． B． C． D．1 3．已知，直线的方程为，直线的方程为，记，与两坐标轴围成的四边形的面积为S，则S的最小值为 . 能力培优 1． 曲线与过原点的直线没有交点，则的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D． 2． 3． 已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4． 已知实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 5． 已知点，，点为直线上动点，当最大值，点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 6． 已知函数，若对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7． 已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值集合是（    ） A． B． C． D． 8． 已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．n的取值范围为 C．的最大值为7 D．的最小值为 8．（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知点，分别在直线：与直线：上，且，点，，则的最小值为 ． 9．（24-25高一上·上海嘉定·期中）设，点、分别是直线与上的任意动点，若时，皆有，则的最小值为 ． 10． 在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 高考真题 1．（2024·全国·高考真题）已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（ ·全国·高考真题）两条直线垂直的充要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2020·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 4．（ 上海·高考真题）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为 ． 5．（ ·全国·高考真题）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)． 6．（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$