第五章 一元一次方程 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（华东师大版2024）

第五章 一元一次方程 单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列方程中属于一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式的性质的运用中，错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，这是某超市电子表的价格标签，一导购员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮助算一算，该电子表的原价是（   ） 　 A．15.36元 B．19.6元 C．20元 D．24元 6．如果比的值多1，那么的值为（   ）． A．3 B． C． D． 7．对于非零的两个实数a、b，规定，若，则x的值为（   ）． A．0 B．1 C． D． 8．足球比赛的记分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队打了14场比赛，负了5场，共得23分，那么这个足球队胜了（   ） A．4场 B．5场 C．6场 D．7场 9．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 10．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2024次相遇在边（   ）上． A． B． C． D． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为 ． 12．已知方程，处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么处的数字是 ． 13．若关于的方程的解为，则的值为 ． 14．如果关于的方程和方程的解相同，则的值为 15．若关于的多项式中，当取值和时，代数式的值不变，则 ． 16．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，即在正方形网格中填上个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则 17．关于的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的和是 ． 18．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．解方程 (1) (2) (3) (4) 20．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 21．对于整数a、b、c、d，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求x的值． 22．一件工作，甲单独完成需3小时，乙单独完成需6小时，先由甲、乙两人合作1小时，再由乙单独完成剩余任务，则完成此任务共需多少小时？ 23．中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动．“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分．甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道？乙队必答题得了多少分？ (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 24．水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过10千克的部分 9元/千克 超过10千克但不超过20千克的部分 8元/千克 超过20千克的部分 6元/千克 (1)若陈阿姨第一次购买丰水梨5千克，需要付费______元； 第二次购买丰水梨15千克，需要付费______元； 第三次购买丰水梨千克（超过20千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． (2)若陈阿姨购买丰水梨花了200元，求她买了多少千克的丰水梨？ (3)若陈阿姨分两次共购买50千克的丰水梨，一共支付了395元，且第一次购买的数量为千克，请问她这两次购买丰水梨分别是多少千克？ 25．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 一元一次方程 单元测试卷 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列方程中属于一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据只含有一个未知数，且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程逐项分析即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、是一元一次方程，故此选项符合题意； C、是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、是二元一次方程，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．已知是关于x的方程的一个解，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，掌握方程的解即为使方程成立的未知数的值是解题关键．将代入中，求解a即可． 【详解】解：将代入，得：， 解得：． 故选C． 3．下列等式的性质的运用中，错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质： （1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立． 根据等式的性质对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解∶A、c等于零时，除以c无意义，原变形错误，故这个选项符合题意； B、两边都乘以，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意； C、两边都加上2，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意； D、两边都除以，结果仍得等式，原变形正确，故这个选项不符合题意； 故选∶A． 4．方程去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，方程去括号得到结果，即可做出判断． 【详解】解：， 去括号，得． 故选：D． 5．如图，这是某超市电子表的价格标签，一导购员不小心将墨水滴在标签上，使得原价看不清楚，请你帮助算一算，该电子表的原价是（   ） 　 A．15.36元 B．19.6元 C．20元 D．24元 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．设该电子表的原价为x元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设该电子表的原价为x元， 依题意，得： ， 解得：． 故选：D． 6．如果比的值多1，那么的值为（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程步骤是解题的关键．根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，最后代入计算即可． 【详解】解：由题意可知 故选：A． 7．对于非零的两个实数a、b，规定，若，则x的值为（   ）． A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了定义新运算，解一元一次方程，读懂题中的运算法则列出一元一次方程并熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．先根据得出关于的一元一次方程，再解方程求出的值即可． 【详解】解：， 解得： 故选：A． 8．足球比赛的记分规则：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队打了14场比赛，负了5场，共得23分，那么这个足球队胜了（   ） A．4场 B．5场 C．6场 D．7场 【答案】D 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要掌握胜的场数平的场数负的场数总得分． 设共胜了场，根据等量关系：胜的场数平的场数负的场数总得分，解方程即可得出答案． 【详解】解：设共胜了场，则平了场， 由题意得：， 解得：， 这个队胜了7场． 故选：D． 9．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 方程的解，即为的解， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 10．如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始移动，甲点按顺时针方向环行，乙点按逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2024次相遇在边（   ）上． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了路程问题的一元一次方程应用；设甲的速度为x，正方形的边长为a，需要t秒第2024次相遇，根据路程=速度时间，即可得到关于t的一元一次方程，解得t的值，可得的值，即甲移动的路程，由此即可求得相遇所在的边． 【详解】解：设甲的速度为x，则乙的速度为，设正方形的边长为a，需要t秒第2024次相遇， 第一次相遇，甲乙的路程和为，其余次相遇，每次相遇的路程和为， 由题意：， 解得：， 即， 而， 表明甲还差才能移动圈，因甲是顺时针移动，则此时甲移动到了边上； 故选：B． 二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分． 11．已知方程是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确把握相关定义是解题关键．由题意可知且，计算求解即可． 【详解】解∶根据一元一次方程的定义可知，且， 解得且． ． 故答案为：． 12．已知方程，处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么处的数字是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程，可列出关于的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：把代入方程，得， ， 故答案为：2． 13．若关于的方程的解为，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解方程的解，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．根据题意，把代入，得到，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，把代入得，， 整理得，， 解得，， 故答案为：4 ． 14．如果关于的方程和方程的解相同，则的值为 【答案】 【分析】此题主要考查方程解的意义及同解方程、解一元一次方程．先解方程求出x的值，然后代入方程求出k的值是解题的关键． 【详解】解：解方程得：， 把代入和方程得：， 解得：， 故答案为：． 15．若关于的多项式中，当取值和时，代数式的值不变，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查代数式的求值及解一元一次方程，解题的关键是根据题意得到关于的方程．将和代入，根据代数式的值不变得出，解之可得答案． 【详解】解：由题意知，， 整理，得：， 解得， 故答案为：． 16．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中，即在正方形网格中填上个整数，使每行、每列及对角线上的数字之和都相等．图中给出了幻方的部分数字，则 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设第一行第三列的方格中的数字为，由每行及对角线上的数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，由每行、每列上的数字之和都相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设第一行第三列的方格中的数字为，如图所示， ∵每行及对角线上的数字之和都相等， ∴， 解得：， ∵每行、每列上的数字之和都相等， ∴， 解得：． 故答案为：． 17．关于的方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键； 利用解一元一次方程的一般步骤解出方程，根据题意求出的值，计算即可． 【详解】解： ， 为正整数， 或， 解得：或， 所有满足条件的整数的和是； 故答案为： 18．如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查平行线的判定，分三种情况： ①与在的两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解； ②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； ③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解； 读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论． 【详解】解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∵， ∴此情况不存在； 综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行． 故答案为：秒或秒． 三、解答题：本题共7小题，共78分． 19．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，即可作答． （2）先整理，再去分母、去括号、移项，再合并同类项，最后系数化1，即可作答． （3）先去括号、移项，再合并同类项，最后系数化1，即可作答． （4）先去分母、去括号、移项，再合并同类项，最后系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴移项得， ∴合并同类项得； （2）解：∵， ∴， ∴去分母得， ∴去括号得， ∴移项得， ∴合并同类项得； ∴系数化1，得． （3）解：∵， ∴去括号得， ∴移项得， ∴合并同类项得； ∴系数化1，得． （4）解：∵， ∴去分母得， ∴去括号得， ∴移项得， ∴合并同类项得； ∴系数化1，得． 20．已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)若该方程的解与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解答本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义即可求出的值；（2）根据两个方程同解可得的值． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：当时，关于的方程为：， 解得， 因为两个方程解相同， 所以将代入， 得， 解方程，得． 21．对于整数a、b、c、d，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1)26 (2) 【分析】本题主要考查新定义下的有理数混合运算，一元一次方程的知识； （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：原式= （2）原式     整理： 22．一件工作，甲单独完成需3小时，乙单独完成需6小时，先由甲、乙两人合作1小时，再由乙单独完成剩余任务，则完成此任务共需多少小时？ 【答案】4小时 【分析】本题考查一元一次方程的应用，读懂题意，设由甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需小时完成，根据等量关系列方程求解即可得到答案，读懂题意列出一元一次方程是解决问题的关键． 【详解】解：设由甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需小时完成， 根据题意得， 解得， （小时）， 答：共需4小时完成任务． 23．中山市纪中三鑫双语学校积极开展各项活动．“学习强国知识竞赛”有20道必答题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分；3道抢答题，每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分．甲乙两队决赛，甲队必答题得了170分，乙队必答题只答错了1题． (1)甲队必答题答对了多少道？乙队必答题得了多少分？ (2)抢答赛中，乙队抢答对了第1题，又抢到了第2题，但还没作答时，甲队啦啦队队员小黄说：“我们甲队输了!”小汪说：“小黄的话不一定对!”请你举一例说明“小黄的话”有何不对． 【答案】(1)甲队必答题答对18道，乙队必答题的得分为185分 (2)见解析 【分析】（1）设甲队必答题答对了x道，则答错了道，根据甲队得分170列方程求解即可； （2）“小黄的话”不一定对，理由为：根据规则：每一题抢答对得10分，抢答错扣20分，抢答不到不得分也不扣分,分析解答即可． 此题考查一元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解答本题的关键． 【详解】（1）解：设甲队必答题答对了x道，则答错了道， 根据题意，得， 解得：， 故甲队必答题答对18道， 乙队必答题只答错了1道， 乙队必答题的得分为： （分）， 答：甲队必答题答对18道，乙队得分为185分． （2）解：甲队目前的得分为170分，乙队得分为（分）， ①若乙队第2题抢答题答错，则乙得分为（分），若第3题甲队抢答正确，则甲队得分为（分），甲队获胜； ②若乙队第2题抢答题答错，则乙队得分为（分），若第3题乙队抢答错误，则乙队得分为（分），甲队的得分为170（分），甲队获胜； 故“小黄的话”不一定对． 24．水果批发市场批发丰水梨的价格如表： 购买丰水梨（千克） 单价 不超过10千克的部分 9元/千克 超过10千克但不超过20千克的部分 8元/千克 超过20千克的部分 6元/千克 (1)若陈阿姨第一次购买丰水梨5千克，需要付费______元； 第二次购买丰水梨15千克，需要付费______元； 第三次购买丰水梨千克（超过20千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）． (2)若陈阿姨购买丰水梨花了200元，求她买了多少千克的丰水梨？ (3)若陈阿姨分两次共购买50千克的丰水梨，一共支付了395元，且第一次购买的数量为千克，请问她这两次购买丰水梨分别是多少千克？ 【答案】(1)45；130； (2)25千克 (3)17.5千克和32.5千克 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据总费用单价数量，第一次购买5千克按9元/千克收费，第二次购买15千克中10按9元/千克收费，5千克的部分按8元/千克收费，第三次购买千克（超过20千克）中10千克按9元/千克收费，10千克按8元/千克收费，千克的部分按6元/千克收费； （2）由陈阿姨购买丰水梨花了200元，可知买梨的千克数超过了20千克，设陈阿姨买了千克的丰水梨，则由（1）可得，解方程即可； （3）根据题意分情况讨论，当，时，可得；当，，可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：5千克在“不超过10千克的部分”按9元/千克收费， （元）； 15千克中“不超过10千克的部分”按9元/千克收费，超过10千克但不超过20千克的部分按8元/千克收费， （元） 千克（超过20千克）中“不超过10千克的部分”按9元/千克收费，超过10千克但不超过20千克的部分按8元/千克收费，超过20千克的部分按6元/千克收费， 故答案为：45；130；． （2）解：由陈阿姨购买丰水梨花了200元，可知买梨的千克数超过了20千克， 设陈阿姨买了千克的丰水梨，则 由（1）可知， 解得：（千克） 答：陈阿姨买了25千克的丰水梨． （3）解：两次共购买50千克，且第一次购买的数量为千克， 第二次购买千克， 当，时，根据题意可得， ， 解得：， ， 不符合题意， 当，，根据题意可得， ， 解得： 答：陈阿姨这两次购买丰水梨分别是17.5千克和32.5千克． 25．已知数轴上有A、B、C三个点，分别表示有理数、9、20，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．设移动时间为t秒，如图1，若用分别表示点P与点A、点B、点C之间的距离，试回答以下问题： (1)当点P运动5秒时，______，______，______． (2)当点P运动了t秒时，请用含t的代数式表示点P与点A、点B、点C之间的距离： ______，______，______． (3)经过几秒后，点P到点A、点C的距离相等？此时点P表示的数是多少？ (4)如图2，当动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点Q从点C出发，以1个单位/秒速度向左运动．O、B两点之间为“变速区”，规则为从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速．是否存在符合条件的t，使P、Q两点到点B的距离相等？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，11，22 (2) (3)经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4 (4)12或25 【分析】（1）可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可求得的长度； （2）当点P运动了t秒时，可立即求得的长度、点P表示的有理数，则可的长度； （3）设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等，由（2）知，得到关于t的方程，解方程即可； （4）先求出P、Q两点在不同段的运动时间，根据不同时间段，通过讨论P、 Q点的不同位置，利用距离相等关系，列出关于t的方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P运动了10个单位长度， 则，点P表示的有理数为， ； 故答案为：，11，22； （2）解：当点P运动了t秒时，，点P表示的有理数为， ∴； 故答案为：； （3）解：设经过t秒后，点P到点A、点C的距离相等， 则得：， 解得：， 此时点P表示的有理数为； 即经过8秒后，点P到点A、点C的距离相等，点P表示的数是4； （4）解：点P在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动的时间为（秒）；点Q在运动时间为（秒），在运动时间为（秒），在运动时间为（秒）； ①当时，如图，则P在线段上，表示的数为；Q在线段上，表示的数为， 由题意得：， 解得：， 不合题意，此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ②当时，如图，P都在线段上，P表示的数为，Q在线段上，表示的数为， 则，方程无解， 此时不存在P、Q两点到点B的距离相等； ③当时，如图，P、Q都在线段上， 两点重合，P、Q两点到点B的距离相等； 此时P表示的数为，Q表示的数为， 所以， 得； 符合题意，即不存在P、Q两点到点B的距离相等； ④当时，如图，P仍在线段上，点Q在线段上， 此时点Q在点O的左侧，点P在点O的右侧，同在点B的左侧，且，所以P、Q两点到点B的距离不可能相等； ⑤当时，如图，P在射线上，Q在射线上，P表示的数为，Q表示的数是， 所以，解得； 综上所述，P、Q两点到点B的距离相等，运动时间为12秒或25秒， 故答案为：12或25． 【点睛】本题主要是考查了数轴上两点间的距离，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，熟练地通过动点在不同时间段的运动，进行分类讨论，找到等量关系，列出关于时间的方程，并进行求解，这是解决这类问题的主要思路． 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$