精品解析：江苏省连云港市灌南县教育联盟校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024—2025学年度第一学期阶段性学业质量检测 九年级数学试题 （满分分值：150分考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 一组数据：，，，，平均数是（ ） A B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A B. C. D. 3. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元的同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 5. 已知一元二次方程的一个根为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数为常数，中的与的部分对应值如表： 当时，给出下列四个结论：①；②当时，的值随值的增大而增大；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中正确结论的个数是（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 如果二次函数的图象经过原点，那么的值为____． 10. 如图是用相同正方形砖铺成的地面，一宝物藏在其中某一块砖的下面，则宝物在黑色区域的概率是______． 11. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是______． 12. 我校规定学生的英语成绩由三部分组成：听力成绩、语言表达成绩和笔试成绩．小明这三项的成绩依次为92分、90分、95分，若这三项成绩按确定学生的英语成绩，那么小明的英语成绩是_________分． 13. 如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么____（填“”、“”或“”）． 14. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____． 15. 如图，、是的弦，延长、相交于点P，已知，，则的度数是______． 16. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________． 17. 已知点、是二次函数图象上两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是______． 18. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为_________． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）： 小华：6，7，7，9，9，10； 小亮：5，8，7，8，10，10． 平均数（环） 中位数（环） 众数（环） 小华 a 8 c 小亮 8 b 8和10 （1）表格中___________，___________，c的值为___________； （2）经教练计算，小亮6次射击成绩的方差为3，请你计算小华6次射击成绩的方差，并说明谁的成绩更稳定． 21. 学校计划在八年级开设以下四门校本课程：无人机、创客、人工智能和D航模，为了解学生对这四门课程的选择情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为______名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中,“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是______ （3）若该校八年级一共有560名学生，估计选择“创客”课程的学生有多少名？ 22. 小明和小丽所在的学校包场观看革命历史题材舞台剧《红色觉醒年代》．剧场入口有、、、四个闸机，每个学生选择任意一个闸机检票进入剧场是等可能的． （1）小明从闸机入场的概率为_____； （2）求小明和小丽恰好从同一个闸机入场的概率．（用画树状图或列表等方法说明理由．） 23. 如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 菜农李伟种植某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金200元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由． 25. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式； （2）观察图象，当时，的取值范围为______； （3）若将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点，求的值． 26. 如图，是的直径， F 为上一点，平分交于点C． 过点C作交的延长线于点D． （1）求证：是的切线． （2）若，，求半径． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上的一动点，于点M，轴交于点N．求线段的最大值和此时点P的坐标； （3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期阶段性学业质量检测 九年级数学试题 （满分分值：150分考试时间：100分钟） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填写在答题卡相应位置上） 1. 一组数据：，，，，的平均数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数的定义，用所有数据的和除以数据的个数，即可求解． 【详解】解：数据：，，，，的平均数是， 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数顶点式求抛物线的顶点坐标，二次函数的顶点坐标为，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的平移规律，掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键．根据二次函数的平移规律求解即可． 【详解】解：抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为， 故选：C． 4. 五名同学捐款数分别是5，3，6，5，10（单位：元），捐10元同学后来又追加了10元．追加后的5个数据与之前的5个数据相比，集中趋势相同的是（ ） A. 只有平均数 B. 只有中位数 C. 只有众数 D. 中位数和众数 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算前后数据的平均数、中位数、众数，比较即可得出答案． 【详解】解：追加前的平均数为：(5+3+6+5+10)=5.8； 从小到大排列为3，5，5，6，10，则中位数为5； 5出现次数最多，众数为5； 追加后的平均数为：(5+3+6+5+20)=7.8； 从小到大排列为3，5，5，6，20，则中位数为5； 5出现次数最多，众数为5； 综上，中位数和众数都没有改变， 故选：D． 【点睛】本题为统计题，考查了平均数、众数与中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个． 5. 已知一元二次方程的一个根为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，解题的关键是熟记把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．把代入方程求出，然后利用整体代入求值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根为， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，，，是的切线，切点分别是，，．若，，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角． 首先根据切线长定理，可得，再由可求得的长，最后再次利用切线长定理，即可求得的长． 【详解】解：，是的切线， ， ， ， ，是的切线， ， 故选：． 7. 中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为步，则由题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用含x的代数式表示出长，长与宽的积为面积，由此列方程即可． 【详解】解：设宽为步，则长为步， 根据面积为864平方步，可得． 故选：C． 【点睛】本题考查列一元二次方程，找准等量关系是解题的关键． 8. 二次函数为常数，中的与的部分对应值如表： 当时，给出下列四个结论：①；②当时，的值随值的增大而增大；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中正确结论的个数是（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线经过，可得抛物线对称轴及c的值，从而可得a，b的关系，由可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定①②③．由可得时，，将整理为，进而判断方程的解． 【详解】解：∵抛物线经过， ∴抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵时，， ∴抛物线开口向上，即， ∴， ∴，①正确． ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，y随x增大而增大， ∴②正确． 当时，， ∴③正确． 整理为， 当，时，，成立， 时，，成立， ∴的解是． ∴④正确． 故正确的为：①②③④． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 如果二次函数的图象经过原点，那么的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将原点坐标代入函数解析式中求解即可． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 解得：， 故答案为：． 10. 如图是用相同正方形砖铺成的地面，一宝物藏在其中某一块砖的下面，则宝物在黑色区域的概率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查几何概率的求法统计出图中瓷砖的总块数，再统计出白色瓷砖的总块数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：图中地板砖共16块， 白色地板砖共8块， 则宝物藏在白色区域的概率； 故答案为：． 11. 在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识． 先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边求出即可． 【详解】解：在中，，，， ， 其外接圆的直径为10． 故答案为：10． 12. 我校规定学生的英语成绩由三部分组成：听力成绩、语言表达成绩和笔试成绩．小明这三项的成绩依次为92分、90分、95分，若这三项成绩按确定学生的英语成绩，那么小明的英语成绩是_________分． 【答案】92.6 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：小明的英语成绩是分； 故答案为：92.6． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟知加权平均数的计算公式是解题关键． 13. 如果二次函数（为常数）的图象上有两点和，那么____（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，由可知，，对称轴直线为，推出当时，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）中，，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 点和中，， ， 故答案为：． 14. 若二次函数的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与x轴有两个交点，可知判别式△﹥0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围． 【详解】∵二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴△=﹥0， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键． 15. 如图，、是的弦，延长、相交于点P，已知，，则的度数是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理和三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 故答案为：20． 16. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象中直线在抛物线上方的x的取值范围求解． 【详解】解∶ 当时，抛物线在直线上方， 的解集为，即的解集为， 故答案为∶． 【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是将不等式转化为图象问题． 17. 已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：点、是二次函数图象上的两个点， 对称轴为直线，开口向上， 时，y随x的增大而减小， 该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧， 解得：， 故答案为：． 18. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的顶点为D，点C为的中点，以C为圆心，长为半径在x轴的上方作一个半圆，点E为半圆上一动点，连接，取的中点，当点沿着半圆从点运动至点的过程中，线段的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，三角形中位线定理以及抛物线与轴的交点，熟练掌握二次函数的图象及性质，点与圆的位置关系，确定点的运动轨迹是解题的关键．由题意可知点在以为圆心，2为半径的半圆上，则点在以为圆心，1为半径的半圆上，的最小值为，求出即可求解． 【详解】解：如图，作直线，则为抛物线的对称轴，取的中点，连接，， 令，则， 解得或， ∴，， ∵为的中点，， ∴，， ∵， ∴顶点， ∴，， 由中位线的性质可得：， ∴点在以为圆心，1为半径的半圆上运动， 连接交于， ∴， 如图，当A、G、F三点共线时，即与重合，最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡上指定区域内作答．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。） 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法并灵活运用． （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ，． 20. 为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）： 小华：6，7，7，9，9，10； 小亮：5，8，7，8，10，10． 平均数（环） 中位数（环） 众数（环） 小华 a 8 c 小亮 8 b 8和10 （1）表格中___________，___________，c的值为___________； （2）经教练计算，小亮6次射击成绩的方差为3，请你计算小华6次射击成绩的方差，并说明谁的成绩更稳定． 【答案】（1），，和 （2）小华的成绩更稳定 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法分别计算即可； （2）通过平均数、方差的大小，得出结论； 【小问1详解】 解：， 把小亮的成绩从小到大排列为：5，7，8，8，10，10，居于中间的两个数为8，8，即， 小华6次成绩出现次数最多的为7和9，所以c的值为7和9， 故答案为：；；和 【小问2详解】 由（1）知小华6次射击成绩的平均数为8， ∴方差为． ∵小亮的方差是3，小华的方差是2，即， ∴小华的成绩更稳定． 【点睛】此题考查平均数、中位数、方差的意义和计算方法，明确各个统计量的意义及反应数据的特征是正确解答的关键． 21. 学校计划在八年级开设以下四门校本课程：无人机、创客、人工智能和D航模，为了解学生对这四门课程的选择情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解决下列问题： （1）本次抽样调查的学生人数为______名，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中,“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是______ （3）若该校八年级一共有560名学生，估计选择“创客”课程的学生有多少名？ 【答案】（1）40，补全条形统计图见解析； （2）144 （3）估计选择“创客”课程的学生有112名． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，熟知扇形统计图和条形统计图的特征是解题的关键． （1）用的人数除以所占的百分比即可求出总人数，用总人数减去其它人数求出的人数，补全条形统计图即可； （2）用乘以的人数所占的百分比，即可得出答案； （3）用560乘以的人数所占的百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的学生人数为（名， 所以的人数（名， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：40 【小问2详解】 解：在扇形统计图中，“人工智能”所对应的扇形圆心角度数是； 故答案为：144； 【小问3详解】 解：（名， 答：估计选择“创客”课程的学生有112名． 22. 小明和小丽所在的学校包场观看革命历史题材舞台剧《红色觉醒年代》．剧场入口有、、、四个闸机，每个学生选择任意一个闸机检票进入剧场是等可能的． （1）小明从闸机入场的概率为_____； （2）求小明和小丽恰好从同一个闸机入场的概率．（用画树状图或列表等方法说明理由．） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表求概率，关键是求出所有可能的结果数及某事件发生的可能结果数． （1）共有4种可能结果，小明从闸机入场的结果只有1种，由概率公式即可求解； （2）列表，求得所有可能结果有16种，其中小明和小丽恰好从同一个闸机入场的结果有4种，由概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：小明从闸机入场的概率； 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A AA AB AC AD B AB BB BC BD C AC BC CC CD D AD BD CD DD 所有可能结果有16种，其中小明和小丽恰好从同一个闸机入场的结果有4种， 所以小明和小丽恰好从同一个闸机入场的概率为． 23. 如图，中，，以为直径作，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，先由圆周角定理得，则，再由等腰三角形的性质得，即可得出结论； （2）连接，先由等腰三角形的性质得，再由三角形内角和定理求出，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：连接，如图1所示： 是的直径， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接，如图2所示： 是的直径， 是半径， ， ， ． 24. 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售． （1）求平均每次下调的百分率； （2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择： 方案一：打九折销售； 方案二：不打折，每吨优惠现金200元． 试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由． 【答案】（1）20%；（2）小华选择方案一购买更优惠． 【解析】 【分析】（1）设出平均每次下调的百分率，根据从5元下调到3.2列出一元二次方程求解即可； （2）根据优惠方案分别求得两种方案的费用后比较即可得到结果． 【详解】（1）设平均每次下调的百分率为x． 由题意，得5（1﹣x）2=3.2． 解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8（不符合题意）， 符合题目要求的是x1=0.2=20%． 答：平均每次下调的百分率是20%． （2）小华选择方案一购买更优惠． 理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）， 方案二所需费用为：3.2×5000﹣200×5=15000（元）． ∵14400＜15000， ∴小华选择方案一购买更优惠． 25. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的表达式； （2）观察图象，当时，的取值范围为______； （3）若将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好过点，求的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）根据顶点坐标设顶点式，用待定系数法求二次函数解析式； （）结合图象即可得到因变量的取值范围； （）根据二次函数的平移方法写成新的解析式，把点代入解析式，求出的值； 本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握用待定系数法求函数解析式的方法，函数图象平移的方法，根据自变量取值范围求函数值范围的方法． 【小问1详解】 解：根据图象可知，二次函数的顶点为， 设二次函数的表达式为，且图象过点， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为， 【小问2详解】 由（）得：二次函数的表达式为， ∴当时，有最小值， 当或时，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：， 【小问3详解】 由题意得：平移后的解析式为， ∵过点， ∴， 解得：． 26. 如图，是直径， F 为上一点，平分交于点C． 过点C作交的延长线于点D． （1）求证：是的切线． （2）若，，求半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，构造直角三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质以及切线的判定定理即可得到结论； （2）过点O作于E，，证明四边形为矩形，设半径为r，由勾股定理列出方程求解即可． 【小问1详解】 连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； 【小问2详解】 过点O作于E， ，， 四边形为矩形， ，， 设半径为r，则， ∴， 在中 ∵， ， 解得：， 的半径为5． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为直线下方抛物线上的一动点，于点M，轴交于点N．求线段的最大值和此时点P的坐标； （3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），P（，）；（3）（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0） 【解析】 【分析】（1）将A、B坐标代入，利用待定系数法求解； （2）证明∠PNM=45°，得到PM=PN，求出PN，利用二次函数性质得到PN的最大值即可得到结果； （3）画出图形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形，得到方程，解之可得点E坐标． 【详解】解：（1）将A，B代入中， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）令x=0，则y=-3， ∴C（0，-3）， ∵B（3，0）， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵PN∥y轴， ∴∠PNM=45°， ∵PM⊥BC， ∴PM=PN，则当PN最大时，PM最大， 设BC解析式为y=mx+n， 则，解得：， ∴BC的解析式为y=x-3， 设P（x，），N（x，x-3）， 则PN==， 当x=时，PN最大，则PM=PN==， 此时P（，）； （3）∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形， 设Q（x，）， 如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N， ∵∠CEQ=90°，即∠QEN+∠CEM=90°，∠QEN+∠EQN=90°， ∴∠CEM=∠EQN，又∠M=∠N=90°，EQ=EC， ∴△QNE≌△EMC（AAS）， ∴CM=EN=，NQ=EM=3， 则， 即， 解得：x=-2或x=3（舍）， ∴OE=CM=2+3=5，即E（-5，0）； 如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N， 同理可得，△QNE≌△EMC（AAS）， ∴CM=EN=，NQ=EM=3， ∴， 解得：x=或（舍）， ∴OE=CM=，即E（，0）； 如图，点E和点O重合，点Q和点B重合， 此时E（0，0）； 如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N， 同理可得，△QNE≌△EMC（AAS）， ∴CM=EN=，NQ=EM=3， ∴， 解得：x=（舍）或， 则OE=CM=，即E（，0）； 综上：点E的坐标为（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，理解坐标与图形性质，进行分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$