专题4.1 一元一次方程的定义与解法-【学霸满分】2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提优训练（苏科版2024）

专题4.1 一元一次方程的定义与解法 目录 【典型例题】 1 【考点一 判断是否是一元一次方程】 1 【考点二 根据一元一次方程的定义求参数的值】 2 【考点三 已知一元一次方程的解求参数的值】 3 【考点四 等式的基本性质】 4 【考点五 解一元一次方程】 6 【考点六 解一元一次方程中错解复原问题】 10 【考点七 新定义型一元一次方程】 13 【过关检测】 15 【典型例题】 【考点一 判断是否是一元一次方程】 例题：（23-24七年级上·广东湛江·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：A、是一元一次方程，故本选项符合题意； B、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； C、不是一元一次方程，故本选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元一次方程，故本选项不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）下列式子属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是方程，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）下列式子中，是一元一次方程的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解；A、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； B、未知数的次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； C、是一元一次方程，符合题意； D、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：C． 【考点二 根据一元一次方程的定义求参数的值】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【答案】1 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【考点三 已知一元一次方程的解求参数的值】 例题：（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）若是方程的解，则 ． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．将代入原方程进行解答即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏常州·期末）是方程的解，则的值是 ． 【答案】 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【详解】把代入方程得，， 解得：， 故答案为：． 2.（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】方程的解 【详解】把代入方程中得，，即， ∴． 【考点四 等式的基本性质】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意； B、若，则，原变形正确，符合题意； C、若，则，原变形错误，不符合题意； D、若，则，原变形错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键． 根据等式的基本性质，逐项判断，即得． 【详解】解：A、， 等号两边都减y加3， 得， 故本选项正确， 符合题意； B、， 当时，， 故本选项错误， 不符合题意； C、， 当时， ， 故本选项错误， 不符合题意； D、， 两边都乘以2， 得， 故本选项错误， 不符合题意． 故选：A． 2.（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当时，，可得， ∴或， ∴错误，符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得， ∴正确，不符合题意； 故选：． 【考点五 解一元一次方程】 例题：（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出答案； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，即可求出答案． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·贵州遵义·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； 【详解】（1）解： 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 2.（22-23七年级上·北京西城·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1即可得出答案． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 3.（23-24七年级上·四川达州·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的方法步骤有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键． （1）根据一元一次方程的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案； （2）根据一元一次方程的解法，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得到答案． 【详解】（1）解：， ，则， 解得； （2）解：， ，则， ， 解得． 4.（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 【考点六 解一元一次方程中错解复原问题】 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期末）下面是小颖解方程的过程： 解：________，得 （第一步） 去括号，得  （第二步） 移项，得   （第三步）   合并同类项，得      （第四步） 方程两边同除以，得   （第五步） 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是______； (2)以上求解步骤中，第_____步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 【答案】(1)去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式 (2)三 (3)，过程见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据等式的基本性质解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，这一步的依据是等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式 故答案为：去分母；等式两边同时乘同一个数，所得结果仍是等式； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误； 故答案为：三； （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 【答案】(1)去分母 (2)三 (3)见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （2）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可． 【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母， 故答案为：去分母； （2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号， 故答案为：三； （3）解： 两边同乘6得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边同除以2，得． 2.（23-24七年级上·贵州黔南·期末）下面是小红解一元一次方程的主要过程，请仔细阅读小红的解题过程， 解决下列问题． 解：去分母，得：．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ (1)小红在以上解方程过程中，从第_______步开始出现错误，出现的错误是_______． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)①；漏乘常数项 (2)见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了去分母解一元一次方程 （1）根据解方程的基本步骤，观察解答即可． （2）利用去分母法解方程即可． 【详解】（1）根据解题步骤，得到第①步错误；主要错误是漏乘常数项， 故答案为：①；漏乘常数项． （2） 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 【考点七 新定义型一元一次方程】 例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】已知等式利用题中新定义化简，整理即可求出x的值． 本题考查新定义运算及解一元一次方程算，解题关键是弄清题中的新定义． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）定义新运算“※"，规定：.例如：.当时，的值是 . 【答案】1 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，已知等式利用题中的新定义列出方程，解方程即可求出x值． 【详解】解： ∴可变形为：， ， ， ， 解得，， 故答案为：1． 2．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】倒数、一元一次方程解的综合应用 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键在于理解新定义． （1）根据新定义进行计算，一个变负数，一个变倒数计算即可， （2）首先根据新定义分别表示出等号两边的，然后在求出m即可； 【详解】（1） （2），， ， ． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）下列方程的解与的解相同的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、方程的解等知识点，正确求得各方程的解答成为解题的关键． 先求出方程解，然后分别代入各选项进行判定即可． 【详解】解：解方程可得， A．将代入得，不符合题意； B．将代入得，不符合题意； C．将代入得，不符合题意； D．将代入得，符合题意． 故选D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）下列运用等式的性质的变形中，不一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【知识点】等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质，如果，则；如果，则；如果，，进行解答，即可． 【详解】解：A、如果，那么，正确，不符合题意； B、如果，那么，当时，等式无意义，不一定正确，符合题意； C、如果，那么，正确，不符合题意； D、如果，那么，正确，不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，根据等式的性质，进行化简即可． 【详解】解：， 方程的两边同时乘以，得：； ∴； 故选B． 4．（2024七年级上·北京·专题练习）如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是．如果输入的x是正整数，输出结果是，那么满足条件的x的值最多有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、程序流程图与代数式求值 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用．根据题中的程序图列方程解方程即可进行求解． 【详解】解：由题意知，， 解得， 若，解得， 若，解得， ∴满足条件的的值最多有2个． 故选：D． 5．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，对进行化简，得，根据该方程无解，即可求出的值． 【详解】解：， 去分母，得， 去小括号，得， 移项，合并同类项，得， 约分，得， ∵该方程无解， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）将方程变形为用含y的式子表示x： ． 【答案】 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程移项和等式基本性质是解题的关键； 先将方程中的常数项移项，然后在根据等式的基本性质两边同时除以2，即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·期末）已知是方程的解，则k的值为 ． 【答案】0 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入原方程即可求解，熟练掌握方程的解的意义是解题的关键． 【详解】解：将代入方程得：，即 解得：， 故答案为：． 8．（24-25七年级上·全国·期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程、绝对值方程 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程是解题关键．根据一元一次方程的定义得出，，求解即可． 【详解】解：因为关于的方程是一元一次方程， 所以，， 所以． 故答案为：． 9．（23-24七年级上·重庆·期末）已知关于x的方程与有相同的解，则 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、方程的解 【分析】本题考查同解方程，先求出的解，再将解代入，进行求解即可． 【详解】解：， 解得：， 把代入，得：， 解得：； 故答案为：． 10．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的综合应用 【分析】已知等式利用题中新定义化简，整理即可求出x的值． 本题考查新定义运算及解一元一次方程算，解题关键是弄清题中的新定义． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，掌握去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法是解题的关键． （1）根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 12．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； 本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程． （2）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程． 【详解】（1）解：， 方程整理，得， 即， 移项，得， 合并同类项，得． （2）解：， 方程化简，得， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 15．（23-24七年级上·河南许昌·期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：，（第一步） ，（第二步）  ，（第三步） ，（第四步）  ．（第五步） (1)任务一：填空．①以上求解步骤中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：请写出该方程正确的解题过程． (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】(1)①等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立（或“等式的性质二”）； ②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号 (2)，正确的解题过程见解析 (3)解一元一次方程时，移项时注意变号（答案不唯一） 【知识点】等式的性质、去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】（1）根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程； （3）解一元一次方程时，移项时注意变号 【详解】（1）本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． 解：①第一步的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立（或“等式的性质二”）； ②第二步开始出现错误；原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：； （3）解：解一元一次方程时，移项时注意变号．（答案不唯一） 16．（2024七年级上·全国·专题练习）在解方程时，可将都看成整体进行移项、合并同类项，得，继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程∶ ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，注意用了整体代入思想，即把和分别当作一个整体来合并．移项、合并同类项、去分母、移项、合并同类项、系数化成1即可． 【详解】解∶将都看成整体进行移项、合并同类项，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 17．（23-24七年级上·四川达州·期末）阅读下列材料：等式在一般情形下不成立，但有些特殊数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称为成立的“特异数对”． 请完成下列问题： (1)若是成立的“特异数对”，则 ； (2)写出一对成立的“特异数对”，其中，； (3)若是成立的“特异数对”，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)；（答案不唯一） (3)． 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、整式的加减中的化简求值 【分析】（）根据“特异数对”的定义计算即可求解； （）令，再根据“特异数对”的定义计算即可求解； （）由“特异数对”的定义可得，再化简代数式，把代入到化简后的结果中计算即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，整式的加减化简求值，理解“特异数对”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， 故答案为：； （2）解：令， ∴， ∴， ∴是一对“特异数对”； （3）解：∵是成立的“特异数对”， ∴， ∴原式 ， ， ， ， ． 18．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足（m为正数），则称方程与方程是“差m方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“差2方程”． (1)请判断方程与方程是不是“差3方程”，并说明理由； (2)若无论k取任何有理数，关于x的方程，（a，b为常数）与关于y的方程都是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)是“差3方程”，理由见解析 (2)的值为2或 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求一个数的绝对值 【分析】本题考查新定义，解一元一次方程，求绝对值． （1）分别求出两个方程的解，计算，即可作出判断； （2）求出方程的解为，根据两个方程是“差1方程”得到或，分别代入关于x的方程中，得到关于k的方程，根据无论k取任何有理数都成立进行求解即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“差3方程”，理由： 解方程得：， 解方程得：． ∵， ∴方程与方程是“差3方程”； （2）解：解得， ∵方程与方程是“差1方程”， ∴， ∴或， ①当时，， ∴， ∵无论k取任何有理数都成立， ∴，， ∴，， ∴； ②当时，， ∴， ∵无论k取任何有理数都成立， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述：的值为2或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.1 一元一次方程的定义与解法 目录 【典型例题】 1 【考点一 判断是否是一元一次方程】 1 【考点二 根据一元一次方程的定义求参数的值】 2 【考点三 已知一元一次方程的解求参数的值】 3 【考点四 等式的基本性质】 4 【考点五 解一元一次方程】 6 【考点六 解一元一次方程中错解复原问题】 10 【考点七 新定义型一元一次方程】 13 【过关检测】 15 【典型例题】 【考点一 判断是否是一元一次方程】 例题：（23-24七年级上·广东湛江·期末）下列方程中，是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）下列式子属于一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·山东滨州·期末）下列式子中，是一元一次方程的有（    ） A． B． C． D． 【考点二 根据一元一次方程的定义求参数的值】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是关于的一元一次方程，那么 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·湖南长沙·期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【考点三 已知一元一次方程的解求参数的值】 例题：（23-24七年级下·四川泸州·开学考试）若是方程的解，则 ． 【变式训练】 1.（23-24七年级上·江苏常州·期末）是方程的解，则的值是 ． 2.（24-25九年级上·全国·课后作业）已知关于x的一元一次方程的解是，则的值为 ． 【考点四 等式的基本性质】 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】 1.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2.（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点五 解一元一次方程】 例题：（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2) 【变式训练】 1.（23-24七年级上·贵州遵义·期末）解下列方程： (1)； (2)． 2.（22-23七年级上·北京西城·期末）解方程： (1)； (2)． 3.（23-24七年级上·四川达州·期末）解下列方程： (1) (2) 4.（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【考点六 解一元一次方程中错解复原问题】 例题：（23-24七年级上·河南郑州·期末）下面是小颖解方程的过程： 解：________，得 （第一步） 去括号，得  （第二步） 移项，得   （第三步）   合并同类项，得      （第四步） 方程两边同除以，得   （第五步） 请认真阅读上面的过程，解答下列问题： (1)以上求解步骤中，第一步进行的是_______，这一步的依据是______； (2)以上求解步骤中，第_____步开始出现错误； (3)请写出正确的解方程过程． 【变式训练】 1.（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程： 解：______，得    第一步 去括号，得    第二步 移项，得    第三步 合并同类项，得    第四步 方程两边同除以2，得    第五步 (1)以上求解步骤中，第一步进行的是______； (2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误； (3)请写出正确解方程的过程． 2.（23-24七年级上·贵州黔南·期末）下面是小红解一元一次方程的主要过程，请仔细阅读小红的解题过程， 解决下列问题． 解：去分母，得：．① 去括号，得．② 移项，得．③ 合并同类项，得．④ (1)小红在以上解方程过程中，从第_______步开始出现错误，出现的错误是_______． (2)请写出正确的解答过程． 【考点七 新定义型一元一次方程】 例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·黑龙江大庆·期末）定义新运算“※"，规定：.例如：.当时，的值是 . 2．（23-24七年级上·贵州毕节·期末）对于任意有理数a，b，定义一种新运算：，等式右边是通常的加法、减法运算，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【过关检测】 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）下列方程的解与的解相同的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·期末）下列运用等式的性质的变形中，不一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 3．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在解方程时，在方程的两边同时乘以，去分母正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（2024七年级上·北京·专题练习）如图是一个运算程序，当输入时，输出结果是；当输入时，输出结果是．如果输入的x是正整数，输出结果是，那么满足条件的x的值最多有（ ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）阅读：关于x的方程在不同的条件下解的情况如下：（1）当时，有唯一解；（2）当，时有无数个解；（3）当，时无解．请你根据以上知识作答：已知关于的方程无解，则的值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24六年级下·上海嘉定·期末）将方程变形为用含y的式子表示x： ． 7．（24-25七年级上·全国·期末）已知是方程的解，则k的值为 ． 8．（24-25七年级上·全国·期末）若关于的方程是一元一次方程，则的值为 ． 9．（23-24七年级上·重庆·期末）已知关于x的方程与有相同的解，则 ． 10．（23-24七年级上·宁夏银川·期末）定义一种新运算“”的含义为：．例如：，若，则x的值为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 12．（23-24七年级上·湖北宜昌·期末）解方程： (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·全国·期末）解方程： (1)； (2)． 14．（2024七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 15．（23-24七年级上·河南许昌·期末）下面是小彬同学进行解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． ． 解：，（第一步） ，（第二步）  ，（第三步） ，（第四步）  ．（第五步） (1)任务一：填空．①以上求解步骤中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：请写出该方程正确的解题过程． (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 16．（2024七年级上·全国·专题练习）在解方程时，可将都看成整体进行移项、合并同类项，得，继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程∶ ． 17．（23-24七年级上·四川达州·期末）阅读下列材料：等式在一般情形下不成立，但有些特殊数可以使它成立，例如：，时，成立，我们称为成立的“特异数对”． 请完成下列问题： (1)若是成立的“特异数对”，则 ； (2)写出一对成立的“特异数对”，其中，； (3)若是成立的“特异数对”，求代数式的值． 18．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）若关于x的方程的解与关于y的方程的解满足（m为正数），则称方程与方程是“差m方程”． 例如：方程的解是，方程的解是， ∵， ∴方程与方程是“差2方程”． (1)请判断方程与方程是不是“差3方程”，并说明理由； (2)若无论k取任何有理数，关于x的方程，（a，b为常数）与关于y的方程都是“差1方程”，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$