精品解析：江苏省扬州市八校2024-2025学年高一上学期12月学情检测数学试题

高一12月学情检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角，那么的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “”是“”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 10. 下列正确的是（ ） A. 为锐角， B. 为锐角， C. 若，则 D. 若，且，则 11. 下列说法正确的是（     ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C. 函数在区间单调递增 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知角终边经过点，且，则的值为_____. 13. 幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________． 14. 已知函数，曲线关于直线对称，则______________ 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求下列各式的值 （1）； （2）. 16. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）求方程的解集. 17. 已知函数，. （1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）若对任意，存在，使得，求的取值范围. 18. 已知函数； （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 19. 已知是偶函数，是奇函数． （1）求，的值； （2）用定义证明的在上单调递增； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一12月学情检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式得到，从而求出交集. 【详解】， 故. 故选：B 2. 已知角，那么的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用终边相同角的概念求解判断． 【详解】因为，又， 所以角是第三象限角. 故选：C. 3. “”是“”的（ ）． A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可。 【详解】可得或 所以“”是“”的必要而不充分条件。 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题。 4. 已知一个面积为的扇形所对的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形面积和弧长公式求得正确答案. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，解得. 故选：B 5. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断，然后根据弧度得到，最后比较大小即可. 【详解】因为，， 而 ，所以，所以. 故选：D 6. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解. 【详解】设，则有， 是奇函数，排除D； ，排除B； 当时，，排除C； 故选：A. 7. 已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由为偶函数求得函数对称轴，再结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】∵函数为偶函数，∴，即， ∴函数的图象关于直线对称， 又∵函数定义域为，在区间上单调递减， ∴函数在区间上单调递增， ∴由得，，解得. 故选：D. 8. 已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解. 【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为， 可得，且， 所以在上单调递增，所以 因为存在，满足， 则， 所以 解得：， 故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设正实数a，b满足，则（ ） A. 有最小值4 B. 有最小值 C. 有最大值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；B选项，使用基本不等式求出最大值为；C选项，平方后结合B选项求出答案；D选项，代入，从而得到. 【详解】A选项，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时，等号成立，故A正确； B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 故，即最大值为，B错误； C选项，， 由B选项得，，故， 故，当且仅当时，等号成立， 有最大值，C正确； D选项，因为，所以，其中， 故 ， 当时，等号成立，故，D正确. 故选：ACD 10. 下列正确的是（ ） A. 为锐角， B. 为锐角， C. 若，则 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合角的象限可判断AB，应用指对幂的运算公式可判断CD. 【详解】对A，为锐角，则在第一象限，则，A正确； 对B，若，则在第一象限，则，B正确； 对C，，C错误； 对D，，则，同理， 则，解得，D正确. 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（     ） A. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C. 函数在区间单调递增 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，解指数不等式得到定义域；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，先求出定义域，再根据复合函数单调性满足同增异减进行求解；D选项，转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】A选项，令，解得，故函数的定义域为，A正确； B选项，当时，恒成立，满足要求， 当时，需满足，解得， 综上，的取值范围是，B错误； C选项，令，解得， 由于在上单调递减， 故的单调递减区间即为所求， 其中对称轴为，开口向下， 故在区间上单调递增，C错误； D选项，若函数的值域为，则能够取到所有正数， 当时，能够取到所有正数，满足要求， 当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是，D正确. 故选：AD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知角终边经过点，且，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义列式计算即可. 【详解】因为角终边经过点， 所以，所以， 解得. 故答案为： 13. 幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可. 【详解】取，则定义域为R，且， ，，满足. 故答案为：. 14. 已知函数，曲线关于直线对称，则______________ 【答案】 【解析】 【分析】关于直线对称，可从定义域出发判断对称轴的位置，进一步结合函数的对称性利用特殊值法即可得到实数的值，检验后，即可的值. 【详解】因为函数，的定义域为 则 则的定义域为，即函数的定义域为， 又因为曲线关于直线对称，则定义域也关于对称， 即， 由对称的性质可知则 令可得 代入函数得，则, 所以，则. 当时， 验证是否关于对称： 成立； 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：函数关于直线对称，即函数图象关于直线对称，定义域也关于直线对称，也可通过特殊值的代入进行求解. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求下列各式的值 （1）； （2）. 【答案】（1）2；（2）10. 【解析】 【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可； （2）按照对数的运算法则进行对数的运算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 【点睛】本题主要考查了分数指数幂和对数的运算，考查了对数的换底公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16. 已知函数为定义在上的偶函数，当时，. （1）求的解析式； （2）求方程的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可； （2）根据题意先求时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可. 【小问1详解】 因为函数为定义在上的偶函数，当时，， 所以任取，则，此时， 所以 【小问2详解】 当时，令， 即， 令，则，解得或， 当时，， 当时，， 根据偶函数对称性可知，当时，符合题意的解为，， 综上，原方程的解集为 17. 已知函数，. （1）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； （2）若对任意，存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的性质进行求解即可； （2）根据任意性和存在性的性质，结合二次函数和一次函数在闭区间上的值域进行求解即可. 【小问1详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以即对任意恒成立， 则，解得， 故的取值范围为； 【小问2详解】 设函数在区间的值域为A，在区间上的值域为B， 因为对任意，存在，使得，所以， 当时，，即函数在区间的值域为， 函数的对称轴为， ，则在上单调递增，故， 而不是的子集，不符合； 当时，则在上单调递减，故， 要使，则，解得， 综上，的取值范围是. 18. 已知函数； （1）判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数；（2）单调增区间为，；（3）或 【解析】 【分析】 （1）求出，比较与的关系即可得出奇偶性； （2），则，利用复合函数的单调性判断； （3）利用函数单调性解不等式即可． 【详解】解：（1）由得，或， 又， 故函数是奇函数； （2）令，其在上单调递增， 又在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知在上单调递增， 又根据（1）其为奇函数可得在上单调递增， 所以函数的单调增区间为，； （3），且函数在上单调递增得， 解得或． 19. 已知是偶函数，是奇函数． （1）求，的值； （2）用定义证明的在上单调递增； （3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 设任意的且， 则 ， 因为，所以，所以，则， 所以， 即的在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值； （2）利用定义法，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可； （3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围． 【小问1详解】 解：因为是偶函数， 所以，即， 则，即， 所以，即，解得． 若是奇函数， 又定义域为，则，即，解得； 此时，则，符合题意； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知单调递增， 则不等式在上恒成立， 等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 则， 设，，因为、、在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， ∴， 则， 所以实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $