精品解析：河北省唐县第一中学2024-2025学年高一上学期第三次考试（12月）数学试题

唐县一中2024级高一年级上学期第三次考试 数学试题 一､单选题（本大题共8小题，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2） 3. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. B. 2或 C. D. 或0 4. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，．则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的最小值是，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有3个零点，，，则的取值范围是 A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，共18分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的值是． B. 若角的终边上一点的坐标为，则． C. 经过4小时时针转了． D. 若角与终边关于轴对称，则，． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数 D. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 三､填空题（本大题共3小题，15分） 12. 已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的值为__________. 13. （1）已知角的终边与角重合，则______． （2）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________． 14. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求值： （1）已知，求的值. （2）. 16. （1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积. （2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 17. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若存在使方程成立，求实数的取值范围. 18. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）判断函数能否作为公司奖励方案的函数模型，并说明理由； （2）已知函数能作为公司奖励方案的函数模型，求实数a的取值范围. 19. 已知函数是偶函数. （1）求的值; （2）设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐县一中2024级高一年级上学期第三次考试 数学试题 一､单选题（本大题共8小题，共40分.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数不等式确定，再由交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：C 2. 函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2） 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用． 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 3. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. B. 2或 C. D. 或0 【答案】A 【解析】 【分析】分和讨论即可. 【详解】当时，则有，解得（舍去）； 当时，则有，解得或（舍去）， 综上． 故选：A. 4. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 5. 人们把最能引起美感的比例称为黄金分割.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比.人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割定义可得，再由诱导公式计算可得结果. 【详解】如图，为最美三角形，，， 易知，取的中点为，如下图所示： 则在中，易知， 所以. 故选：A 6. 已知，，．则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可. 【详解】∵，∴， 又，∴， ∴． 故选：B． 7. 已知的最小值是，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为函数有最小值，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，再结合，即可解得结果. 【详解】因为函数的最小值是， 所以当时，函数单调递减，即，解得① 当时，函数单调递增，即② 又因最小值为，得，解得③，联立①②③可得. 故选：D 8. 已知函数，若函数有3个零点，，，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，由函数有3个零点，，，可得,,，,可得答案. 【详解】解：如图所示， 函数有3个零点，，，可得=0，如图可得， 可得，为函数：与y=a的交点横坐标， 易得，, = =， 故的取值范围为， 故选C. 【点睛】本题主要考查函数的性质及指数函数，注意数形结合思想的运用. 二､多选题（本大题共3小题，共18分.每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的值是． B. 若角的终边上一点的坐标为，则． C. 经过4小时时针转了． D. 若角与终边关于轴对称，则，． 【答案】AB 【解析】 【分析】根据诱导公式可得选项A正确；根据三角函数的定义可得选项B正确；根据负角的定义可得选项C错误；根据终边关于轴对称的角的关系可得选项D错误. 【详解】A. ，选项A正确. B.因为，所以，选项B正确. C. 经过4小时时针转了，选项C错误. D. 若角与终边关于轴对称，则，选项D错误. 故选：AB. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数（且）的图象恒过定点 B. 函数的单调递增区间为 C. 函数的值域为 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】AD 【解析】 【分析】指数型函数定点的求法、具体函数定义域的计算、根式型函数值域的求解方法和抽象函数定义域的求法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A， ，恒过定点，A正确； 对于B，由可得：，显然不在定义域内，错误； 对于C，令，则且，， 则当时，，的值域为，C错误； 对于D，令，解得：，的定义域为，D正确. 故选：AD 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数 D. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据对数函数的定义域以及单调性，可得答案；对于B，由对数函数的定义域建立不等式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的最值，分情况讨论，可得答案；对于D，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的单调性，分情况讨论建立不等式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 三､填空题（本大题共3小题，15分） 12. 已知，若幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质可得，结合函数的奇偶性可得结果. 【详解】∵幂函数在上单调递减，∴. 当时，，定义域为，，为奇函数，不合题意. 当时，，定义域为，，为偶函数，符合题意. 当时，，定义域为，，为奇函数，不合题意. 当时，，定义域为，不是偶函数，不合题意. 综上得，. 故答案为：. 13. （1）已知角的终边与角重合，则______． （2）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角的集合是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用相差角度的角的终边重合即可得出的值； （2）根据图象即可得出角. 【详解】（1）由题意，， ∴ （2）由题意及图可知， 故答案为：；. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据函数的奇偶性和单调性解不等式、，进而由由可得或，解之即可. 【详解】因为函数是定义域为R上的偶函数，且在上单调递增，， 所以，即，得，解得； ，即，得，解得或； 由，得或，即或， 解得或. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 求值： （1）已知，求的值. （2）. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，利用可得的值，进而得到结果. （2）利用对数的运算性质和指数运算可得结果. 【小问1详解】 ∵，∴，即， ∴， ∴， ∴原式. 【小问2详解】 . 16. （1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积. （2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）；； （2）当扇形的半径为，圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为. 【解析】 【分析】（1）先求出半径，再由扇形弧长与面积公式可得； （2）建立面积函数关系，求二次函数最值即可. 【详解】（1）因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角，所以半径， 所以这个圆心角所对的弧长； 扇形的面积. 故这个圆心角所对的弧长为；扇形的面积为. （2）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为， 则，所以， 所以， 所以当半径时，扇形的面积最大，这时rad. 故当扇形的半径为，圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为. 17. 已知为上的奇函数，为上的偶函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若存在使方程成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由奇偶性构造方程组求解即可； （2）由题意得到，通过换元，构造函数求其值域即可求解. 【小问1详解】 因为①，则， 又为上的奇函数，为上的偶函数，则有②， 由①+②得到，所以. 【小问2详解】 因为存在使方程成立， 等价于方程有解， 即方程有解.令，则， 则对称轴为时，函数的最大值为， 所以的取值范围是. 18. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~1600万元的投资收益，现准备制订一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）判断函数能否作为公司奖励方案的函数模型，并说明理由； （2）已知函数能作为公司奖励方案的函数模型，求实数a的取值范围. 【答案】（1）不能，理由：对于函数模型， 当时，是单调递增函数，则，显然恒成立， 若函数恒成立，则，解得. 不一定成立. 故函数模型不符合要求. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意验证、是否同时成立即可. （2）首先由恒成立，转换为最大值，由此可算出的一个范围，进一步在此基础上，由恒成立，通过转换即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，单调递增， 最大值，. 设恒成立， 则恒成立，即. ，当且仅当时取等号， . ，. 综上，a的取值范围为. 19. 已知函数是偶函数. （1）求的值; （2）设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质即可求解的值； （2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解. 【小问1详解】 因为是偶函数， 所以， 即， ， ， ， ， ， ， ， 所以，即. 【小问2详解】 ， 因为对任意的 ，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以， 因为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $