专题10 平行线的性质与判定的三种综合运用（三种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

专题10平行线的性质与判定的三种综合运用（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01与平行线的性质与判定有关的说理 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级·浙江·阶段练习）如图，在中，，直线于点平分交延长线于点，交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行进行判断即可； （2）设，则，根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，，即，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，则． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【例1-2】（20-21七年级·广东河源·期中）如图，已知直线，点A、B分别在与上．直线和直线、交于点C和D，在直线上有一点P． (1)如果P点在C、D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索之间的关系又是如何？ 【答案】(1)，见解析 (2)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，由，可得，则，； （2）由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解；①当点在点上方，如图2，作， 过程同（1）；②当点在点下方，如图3，作，过程同①． 【详解】（1）解：，理由如下； 如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解； ①当点在点上方，如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方，如图3，作， 同理①，∴，， ∴，即； 综上所述，或． 【例1-3】（23-24七年级·山西运城·期中）如图，已知，．    (1)尝试判断与平行吗？请说明理由； (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线，解答的关键是对平行线的判定与性质的掌握与应用． （1）由可得，再结合可得，可得； （2）由，可得，再结合平分，，可求得，则可求的度数． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， 有（1）可得 ∴． 【变式演练】 【变式1-1】如图，已知，，可推得，请说明理由． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先证明，得到，即可证明． 【详解】证明：如图， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（21-22七年级上·浙江温州·期中）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC． (1)DE与BC平行吗？请说明理由． (2)若∠1与∠2互补，求∠BFH的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)90° 【分析】（1）根据平行线的判定“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可证得DEBC； （2）根据平行线的性质得到∠1＝∠DCB，根据平行线的判定定理得到FHDC，求得∠HFB＝∠CDB，根据垂直的定义即可得到结论． 【详解】（1）DEBC．理由如下： ∵AC⊥BC，DE⊥AC， ∴∠AED＝∠ACB=90°， ∴DEBC； （2）∵DEBC， ∴∠1＝∠DCB， ∵∠1与∠2互补， ∴∠1+∠2＝180°， ∴∠DCB+∠2＝180°， ∴FHDC， ∴∠HFB＝∠CDB， ∵CD⊥AB， ∴∠HFB＝∠CDB＝90°． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【变式1-3】（22-23七年级上·吉林长春·期末）已知 ，点B在直线之间，． (1)如图1，请直接写出和之间的数量关系：_________． (2)如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由． (3)如图3，平分，平分，与交于点G，则的度数为_________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论； （2）过点B作，利用平行线的性质即可求得结论； （3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论． 【详解】（1）解：过点B作，如图， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：和满足：．理由： 过点B作，如图， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴； （3）解：设与交于点F，如图， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 由（2）知：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 题型02与平行线的性质与判定有关的角的计算 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级·浙江湖州·期末）如图，在三角形中，E，F是边上的点，连结，过点A作交于D，点G在边上，且满足． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义，关键是掌握平行线的性质． （1）由平行线的性质推出，而，由补角的性质推出． （2）由邻补角的性质求出，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【例2-2】（20-21七年级·重庆江津·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （1）由对顶角相等得出，可得到，根据平行线的性质，可得； （2）根据平行线的性质可得出，由可得出，即可得到的度数． 【详解】（1）证明：，， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， 【例2-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如图，，，．    (1)求证：． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，垂直的定义，熟记平行线的判定方法与性质是解本题的关键； （1）先证明，可得，结合，可得，证明，从而可得答案； （2）先利用，结合，可得，从而可得答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23七年级·全国·期末）如图，在中，点，在边上，点在边上，，且．      (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，根据已知得出，即可得出，根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义可得进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， 由（1）知， ． 【变式2-2】（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）已知，如图，， ，，求的度数. 【答案】40度 【分析】本题考查了平行线的性质及判定，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键． 由可得，再由，通过角之间的转化，即可求出的度数． 【详解】解： 又 又 【变式2-3】（23-24七年级·全国·假期作业）如图，，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧，且在直线AB和CD之间，连接PE，PG． (1)试说明：； (2)连接EG，若EG平分∠PEG，，，求∠AEP的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】解：（1）如图，过G点作，则． ，， ， ． （2）如图，过点G作， ，． ， ， ． 平分∠PEF， ， ， ． 又， ，即， ， ， ， ． 题型03与平行线的性质与判定有关的综合应用 【典例分析】 【例3-1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；（直接写出答案） (2)【探究】如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在线段上； ②点P在射线上． 【答案】(1)110 (2)，见解析 (3)选①，，见解析选，②，，见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补求出，即可得到答案； （2）利用两直线平行内错角相等得到，，由即可得到结论； （3）①过点P作，则．再证得到．由即可得到结论． ②过点P作，．则．由即可得到． 【详解】（1）解：过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为： （2），理由如下： 如图1，过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）①如图2，，理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ②如图3，，理由如下： 过点P作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质，添加合适的辅助线是解题的关键． 【例3-2】（23-24七年级·福建宁德·期中）阅读下列材料，回答问题． 学校购进一批篮球架，篮球架安装要求如下：支架平行地面；支架． 任务：通过测量验证篮球架安装是否合格． 工具：一把梯子（足够长）、量角器． 素材1：如图1是篮球架的示意图，小敏借助梯子以及量角器测量验证篮球架安装是合格的，其测量数据及验证过程如下： 测量数据：，，． 验证过程：如图2，过点作． 根据“两直线平行，同旁错角互补”， 所以 ① ． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以（ ② ）． 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以 ③ ④ ． 因为． 所以． 所以篮球架安装是合格的．    素材2：如图1，小明测得：，，． (1)补全小敏求解过程中①②③④所缺的内容； (2)根据素材2，请写出当满足什么关系时，篮球架安装合格？并说明理由． 【答案】(1)①；②等式性质；③④， (2)，理由见解析. 【分析】本题考查了平行线的性质和判定．过拐点作平行线是解题关键． （1）根据平行线性质推理即可； （2）同理（1）的思路，由题意可知，进而可得，在根据平行线性质解答即可． 【详解】（1）如图2，过点作． 根据“两直线平行，同旁错角互补”， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以（ 等式性质 ）． 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以． 因为． 所以． 故答案为：①；②等式性质；③④， （2）满足时，篮球架安装合格. 如图2，过点作．由题意可知， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以．即 【例3-3】（23-24七年级·广东深圳·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，当光线经过镜面反射时，入射光线与镜面的夹角、反射光线与镜面的夹角对应相等（如图1，），小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体（如图2），镜子与之间的角度为，他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． (1)小明发现当，入射光线与反射光线的是平行的，请说明理由； (2)小明继续改变，的大小，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角，大小； (3)小明拿来了一块新的镜子和前面两块镜子和组成一个新的镜子组合体（如图4），其中，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小颖发现当入射光线和镜面的夹角和镜子和形成的角，满足一定数量关系时，入射光线和反射光线始终平行（即），设，请你直接写出此时x和y之间满足的关系式． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质，注意分类讨论思想的利用． （1）在中，可得，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，进而可证； （2）在中，得出，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得，，在中，即可求解； （3）根据根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等可得从而表示出，，，作证出即可求解； 【详解】（1）， 理由如下：在中，．． ， ， ． （2）在中， ， 在中， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， 作 ． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级·河北石家庄·期中）如图．平分，平分，判断，是否平行，并说明理由．    (1)条件和结论互换，改成了：“如图，平分，平分，，则．" 小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗？请说明理由． (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图1，，平分，，是与的夹角，是与的夹角， ①若，求的度数； ②试说明：． (3)如图2．若，，平分，请直接写出与的等量关系______． 【答案】(1)，证明见解析；赞同，理由见解析； (2)①，②证明见解析； (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟知两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． （1）根据角平分线的定义得到的，结合，可得，由此证明；若条件和结论互换，根据两直线平行，同旁内角互补可得，根据角平分线的定义得到的，即可证明； （2）① 先求出，再由两直线平行，同旁内角互补，求出，再根据角平分线的定义求出的度数即可；② 由，得到，再根据平分得到，结合，即可得证； （3）由，得到，再根据平分得到，结合，即可得证； 【详解】（1） 平分，平分，， ， ． 赞同他的说法，理由如下： ， ， 平分，平分， ， （2）①　， ， ，， ， ， ， ， 平分， ． ②　， ， 平分， ， ， ， ， ． （3）， ， 平分， ， ， ， ． 【变式3-2】（23-24七年级·河南安阳·期中）已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补 (2)①，证明见解析；②或（写出一种即可）； (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质， （1）根据平行线的性质进行填空即可； （2）①过D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可；②在拖动点至的上方或的下方两种情况下，分别过点D作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可； （3）过点B作，进而根据平行线的性质进行角度的计算即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵ ∴（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． （2）① 证明：如下图，过D作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②当拖动点至的上方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 当拖动点至的下方时，如下图，过点D作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或（写出一种即可）． （3） 过点B作 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3-3】已知直线，且与分别交于，两点，与相交于，两点，点在直线上． （1）【探究1】如图1，当点在两点间滑动时，之间存在怎样的数量关系？请你猜想结论并说明理由； （2）【应用】如图2，点在处北偏东方向，点在处的北偏西方向，应用探究1的结论可得的度数为 ． （3）【探究2】如果点在两点外侧运动时，上述（1）的结论是否成立？若不成立，请直接写出之间的数量关系，不必写理由． 【答案】（1）猜想：∠2＝∠1+∠3，理由见解析；（2）88°；（3）不成立，． 【分析】（1）过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l1∥l2结合平行线的性质可得∠1＝∠CPQ，∠3＝∠DPQ，再通过角的和差即可得出结论； （2）分别在B点和A点处画方位图，结合（1）的结论即可算出结果； （3）分点P的位置不同来考虑：①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，由PQ∥l1∥l2结合平行线的性质得出∠QPC＝∠ACP，∠QPD＝∠BDP，再通过角的计算即可得出结论；②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，然后仿①的方法解答即可，综合①②即可得出结论． 【详解】解：（1）当点P在A、B两点间滑动时，猜想：∠2＝∠1+∠3． 理由：过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图3所示． ∵PQ∥AC，∴∠1＝∠CPQ， ∵PQ∥AC，BD∥AC，∴PQ∥BD，∴∠3＝∠DPQ， ∴∠1+∠3＝∠CPQ+∠DPQ， 即∠1+∠3＝∠2； （2）分别在B点和A点处画方位图，如图4所示． 由（1）知：∠2＝∠1+∠3，∵∠1=32°，∠3=56°，∴∠BAC＝∠2＝32°+56°＝88°； 故答案为：88°； （3）（1）题的结论不成立． ①当点P在A点上方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图5所示． ∵PQ∥AC，∴∠QPC＝∠ACP． ∵PQ∥AC，BD∥AC，∴PQ∥BD， ∴∠QPD＝∠BDP． 又∵∠CPD＝∠QPD﹣∠QPC， ∴∠CPD＝∠BDP﹣∠ACP； ②当点P在B点下方时，过点P作PQ∥AC，交CD于点Q，如图6所示． ∵PQ∥AC，∴∠QPC＝∠ACP． ∵PQ∥AC，BD∥AC，∴PQ∥BD， ∴∠QPD＝∠BDP． 又∵∠CPD＝∠QPC﹣∠QPD， ∴∠CPD＝∠ACP﹣∠BDP． 综上：． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据平行线的性质得出∠1＝∠CPQ，∠3＝∠DPQ；（2）利用（1）的结论套入数据直接计算；（3）分情况讨论．解决该型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． 一、解答题 1．（23-24七年级上·江西九江·期中）已知：如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．先根据，利用同位角相等，两直线平行，证明，根据两直线平行，同旁内角互补，证明，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（22-23七年级·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，点是上一点，平分，且，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． （1）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （2）先根据平行线的性质得出，求出，根据角平分线定义求出． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ． 3．（21-22七年级·河北石家庄·期末）如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】本题考查了垂直的定义、平行线的判定和性质以及三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是关键． （1）根据平行线的性质和判定解答即可； （2）先求出的度数，即为，根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即得答案． 【详解】（1）解：；理由是： ∵是高，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 5．（23-24七年级·湖北武汉·期末）【猜想】（1）如图1，，点E在直线之间，连，若，则的大小为 度．（直接写出结果） 【探究】（2）如图2，，交于点E，探究 （均为小于的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图3，，的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F，且，直接写出的大小为 ． 【答案】（1）65（2），理由见解析（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，解题的关键是过拐点，构造平行线： （1）过点作，进而根据平行公理推论即可得到，再根据平行线的性质得到，，进而结合题意进行角的运算即可求解； （2）过点作，先根据平行公理推论得到，进而根据平行线的性质得到，，再结合题意进行角的运算即可求解； （3）过点作，过点作，则：，根据平行线的性质，角平分线的定义推出，再结合，进行求解即可． 【详解】解：（1）过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：65； （2），理由如下： 过点作，如图所示：   ，， ， ，， ， ， 即． （3）过点作，过点作，则：， 同（2）可得：， ∵， ∴， ∵的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F， ∴，， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（23-24七年级·河南商丘·期末）已知∶ 平分 (1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图②，当时，求的度数； (3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据推出，进而得出，再根据角的和差关系、角平分线的定义推出，可证； （2）仿照（1）求出，再根据，推出，根据即可求解； （3）根据推出，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，，理由如下： ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 当时，， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的综合问题，掌握平行线的性质以及判定定理、角平分线的定义、角的和差关系是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10平行线的性质与判定的三种综合运用（三种技巧精讲精练+过关检测） 题型01与平行线的性质与判定有关的说理 【典例分析】 【例1-1】（23-24七年级·浙江·阶段练习）如图，在中，，直线于点平分交延长线于点，交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【例1-2】（20-21七年级·广东河源·期中）如图，已知直线，点A、B分别在与上．直线和直线、交于点C和D，在直线上有一点P． (1)如果P点在C、D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索之间的关系又是如何？ 【例1-3】（23-24七年级·山西运城·期中）如图，已知，．    (1)尝试判断与平行吗？请说明理由； (2)若平分，于点，，求的度数． 【变式演练】 【变式1-1】如图，已知，，可推得，请说明理由． 【变式1-2】（21-22七年级上·浙江温州·期中）如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥AC． (1)DE与BC平行吗？请说明理由． (2)若∠1与∠2互补，求∠BFH的度数． 【变式1-3】（22-23七年级上·吉林长春·期末）已知 ，点B在直线之间，． (1)如图1，请直接写出和之间的数量关系：_________． (2)如图2，和满足怎样的数量关系？请说明理由． (3)如图3，平分，平分，与交于点G，则的度数为_________． 题型02与平行线的性质与判定有关的角的计算 【典例分析】 【例2-1】（22-23七年级·浙江湖州·期末）如图，在三角形中，E，F是边上的点，连结，过点A作交于D，点G在边上，且满足． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【例2-2】（20-21七年级·重庆江津·期末）如图，已知点、在直线上，点在线段上，与交于点，，． (1)求证：； (2)若于点，，求的度数． 【例2-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如图，，，．    (1)求证：． (2)若，且，求的度数． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23七年级·全国·期末）如图，在中，点，在边上，点在边上，，且．      (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【变式2-2】（23-24七年级上·四川巴中·阶段练习）已知，如图，， ，，求的度数. 【变式2-3】（23-24七年级·全国·假期作业）如图，，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧，且在直线AB和CD之间，连接PE，PG． (1)试说明：； (2)连接EG，若EG平分∠PEG，，，求∠AEP的度数． 题型03与平行线的性质与判定有关的综合应用 【典例分析】 【例3-1】（22-23七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得∠APC的度数为 度；（直接写出答案） (2)【探究】如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)【迁移】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），试着探究与、之间的数量关系是否会发生变化，请从下面①和②中挑选一种情形，画出图形，写出结论，并说明理由． ①点P在线段上； ②点P在射线上． 【例3-2】（23-24七年级·福建宁德·期中）阅读下列材料，回答问题． 学校购进一批篮球架，篮球架安装要求如下：支架平行地面；支架． 任务：通过测量验证篮球架安装是否合格． 工具：一把梯子（足够长）、量角器． 素材1：如图1是篮球架的示意图，小敏借助梯子以及量角器测量验证篮球架安装是合格的，其测量数据及验证过程如下： 测量数据：，，． 验证过程：如图2，过点作． 根据“两直线平行，同旁错角互补”， 所以 ① ． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以（ ② ）． 根据“内错角相等，两直线平行”， 所以 ③ ④ ． 因为． 所以． 所以篮球架安装是合格的．    素材2：如图1，小明测得：，，． (1)补全小敏求解过程中①②③④所缺的内容； (2)根据素材2，请写出当满足什么关系时，篮球架安装合格？并说明理由． 【例3-3】（23-24七年级·广东深圳·阶段练习）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，当光线经过镜面反射时，入射光线与镜面的夹角、反射光线与镜面的夹角对应相等（如图1，），小明同学用了两块镜子和形成一个镜子组合体（如图2），镜子与之间的角度为，他发现改变的大小，入射光线和反射光线位置关系会发生改变． (1)小明发现当，入射光线与反射光线的是平行的，请说明理由； (2)小明继续改变，的大小，当，求此时入射光线与反射光线形成的夹角，大小； (3)小明拿来了一块新的镜子和前面两块镜子和组成一个新的镜子组合体（如图4），其中，入射光线从镜面开始反射，经过3次反射后，反射光线为，小颖发现当入射光线和镜面的夹角和镜子和形成的角，满足一定数量关系时，入射光线和反射光线始终平行（即），设，请你直接写出此时x和y之间满足的关系式． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24七年级·河北石家庄·期中）如图．平分，平分，判断，是否平行，并说明理由．    (1)条件和结论互换，改成了：“如图，平分，平分，，则．" 小明认为这个结论正确，你赞同他的想法吗？请说明理由． (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图1，，平分，，是与的夹角，是与的夹角， ①若，求的度数； ②试说明：． (3)如图2．若，，平分，请直接写出与的等量关系______． 【变式3-2】（23-24七年级·河南安阳·期中）已知：如图1，．求证：． 老师要求学生在完成这道题目证明后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小颖首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小颖用到的平行线性质可能是 ； (2)接下来，小颖用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图，，，小颖发现图正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图和图中的，与之间也可能存在着某种数量关系．于是她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小颖操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想图中，与之间的数量关系并加以证明； ②利用图③探究，在拖动点至上方或的下方时，，与之间还存在其他数量关系，请直接写出、与之间的数量关系 （写出一种即可）； (3)一个小区大门栏杆的平面示意图如图所示，垂直地面于点．平行于地面，若，则的度数为 ． 【变式3-3】已知直线，且与分别交于，两点，与相交于，两点，点在直线上． （1）【探究1】如图1，当点在两点间滑动时，之间存在怎样的数量关系？请你猜想结论并说明理由； （2）【应用】如图2，点在处北偏东方向，点在处的北偏西方向，应用探究1的结论可得的度数为 ． （3）【探究2】如果点在两点外侧运动时，上述（1）的结论是否成立？若不成立，请直接写出之间的数量关系，不必写理由． 一、解答题 1．（23-24七年级上·江西九江·期中）已知：如图，．求证：． 2．（22-23七年级·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，点是上一点，平分，且，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 3．（21-22七年级·河北石家庄·期末）如图，在中，是高，点，，分别在，，上，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，平分，求的度数． 4．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 5．（23-24七年级·湖北武汉·期末）【猜想】（1）如图1，，点E在直线之间，连，若，则的大小为 度．（直接写出结果） 【探究】（2）如图2，，交于点E，探究 （均为小于的角）之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】（3）如图3，，的平分线与的角平分线的反向延长线交于点F，且，直接写出的大小为 ． 6．（23-24七年级·河南商丘·期末）已知∶ 平分 (1)如图①，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图②，当时，求的度数； (3)如图②，请你直接写出之间满足什么关系时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$