精品解析：山东省临沂市兰陵县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024−2025学年度上学期阶段质量调研 八年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．在所给的选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 在下列某地中考体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 坐位体前屈 B. 立定跳远 C. 仰卧起坐 D. 引体向上 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C的图标不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D的图标能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高， 故选：D． 3. 如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是（ ） A. 只有① B. ①和②可以 C. ①和③可以 D. ①②③都可以 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，根据三角形全等的判定方法进行解答即可． 【详解】解：①中有两个完整的角和一条完整的边，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形； ②中有两条完整的边和一个完整的角，因此根据可以画出和原来完全一样的三角形；③中只有一个完整的角，因此不能画出和原来完全一样的三角形； 综上分析可知，①和②可以画出和原来完全一样的三角形， 故选：B． 4. 在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件是解题的关键． 由题意可证，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴， 故选：B． 5. 一副三角板拼成如图所示的图形，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角板中的角度计算，找准题目中的角度准确计算，利用外角性质求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ． 故选：D． 6. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系．利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用度减去外角度数即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴每个外角为， ∴每个内角为， 故选：A． 7. 如图，，，点、在上，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：∵， ∴， A、若添加，则， ∴，故不符合题意； B、若添加， ∴，故不符合题意； C、若添加，则， ∴，故不符合题意； D、若添加，不符合全等三角形的判定方法，故符合题意； 故选：D． 8. 如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角的直角三角形的性质，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵立柱垂直平分横梁，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 9. 如图，在中，，，垂直平分，交于点，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题的应用．根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的值最小，即可得到周长最小． 【详解】解：∵垂直平分， ∴点B，C关于对称． ∴当点P和点D重合时，的值最小． 此时， ∵，， 周长的最小值是， 故选：C． 10. 如图，在中，，与的平分线交于点P，过点P作于点D，记的周长为，，给出下面三个结论：①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义即可求出；过点P作于点E，作于点F，连接，根据角平分线性质和判定可得，进而根据面积关系求得③正确． 【详解】解：在中，， ， 又、分别平分、 ， ，故①正确． 过点P作于点E，作于点F，连接， ∵， ∴四边形是矩形 ∵、分别是、的平分线，，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，故②正确． ∵， ∴ ∴， ∴，故③正确． 综上所述：正确的结论是①②③， 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握掌握角平分线性质得出，利用三角形面积和关系求出③正确． 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 在校运动会举办前夕，李老师想设计一款等腰三角形彩旗幡悬挂于赛场上，为同学们加油助威．已知每面彩旗的腰长，若其底边长度为整数，则底边长度的最大值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系可得，进而可求解，熟记：“三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ， 底边长度为整数， 底边长度的最大值为11， 故答案为：11． 12. 如图，已知的面积为，将沿某直线对称后得到（与对应，与对应），且、、三点共线，连接，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据中线求面积．熟练掌握轴对称的性质，根据中线求面积是解题的关键． 由题意知，为的中点，则是的中线，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，为的中点， ∴是的中线， ∴， 故答案为：． 13. 如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小等边三角形（阴影部分表示），请你只涂黑一个小等边三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形，满足题意的涂色方式有___种． 【答案】3 【解析】 【分析】对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可． 【详解】解：如图所示，满足题意的涂色方式有3种， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，等边三角形的性质，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 14. 如图，，在内有一点P，，垂直于M，垂直于N，且，，连接，，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】连接， 垂直平分，垂直平分，得到，再证明是等边三角形，即可． 【详解】解：连接， ∵垂直于M，垂直于N，且，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 15. 如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 如图，，平分于点D，交于点C，若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：过P作于E， ∵，平分 ∴， ∴， ∵交于点C， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等． 三、解答题（共7题，共72分） 17. 如图，B，C，E，F在同一条直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】首先利用平行线的性质得，再利用得出，根据全等三角形对应边相等得出． 【详解】证明：， ． 又， 在和中， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出和关于轴对称的； （2）如果要使以、、为顶点的三角形与全等，写出所有符合条件的点坐标（点除外）． 【答案】（1） 如图所示，和即为所求： （2）或或 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定、坐标与图形： （1）在平面直角坐标系内确定，，的位置，再依次连接即可得，点关于轴对称的点的坐标为：，同理可得：，，依次连接可得，进而可求解； （2）根据全等三角形的判定可画出图形，根据图形可直接写出符合条件的点D坐标． 熟练掌握轴对称图形的性质及数形结合解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系内分别标出，，，再依次连接， 点关于轴对称的点的坐标为：， 同理可得：，，依次连接， 【小问2详解】 如图所示： 当以、、为顶点的三角形与全等时， 点D的坐标为：或或． 19. 如图，在中，平分，，F是的中点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义结合平行线的性质得出，再由等角对等边得出，即可得证； （2）由平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴， ∴的度数为． 20. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ． ， ． ． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；同一个三角形中，等角对等边 【解析】 【分析】本题考查了作图——尺规作图、等腰三角形的判定、垂直平分线的性质： （1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论； 熟练掌握尺规作法作垂直平分线的方法及等腰三角形的判定的解题的关键． 【小问1详解】 解：作法：①以点为圆心，大于为半径画弧，以点为圆心，以相同长度为半径画弧，与前弧相交， ②连接两个交点得直线交于点， ③连接， 如图所示，即为所求． 【小问2详解】 直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等）， ． ， ．． ． ．（同一个三角形中，等角对等边）， 和都是等腰三角形． 故答案为：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等；；；同一个三角形中，等角对等边． 21. 已知在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，交的延长线于点，求证：． 【答案】 连接，， ∵平分，，， ∴，， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴． 【解析】 【详解】分析：连接，，由角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，就可以得出≌，由全等三角形的性质得证. 详解： 略 点睛：此题主要考查了角平分线的性质的运用，垂直平分线的性质，全等三角形的性质及判定，证明三角形全等是解题关键. 22. 小宇在研究“三线合一”这个结论时，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？他画出图形分析后，找到了两种解决问题的方法，请任选其中一种，帮助他完成证明． 已知：如图，在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一 证明：过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F． 方法二 证明：延长到点E，使，连接． 温馨提示：只选一种方法证明即可，如两种方法都选用的，只按方法一的证明给分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】作，根据三角形的角平分线性质，可得，根据“”定理，易证，即可证得． 【详解】证明：如图，作， ∵平分， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 23. 在十一作业中同学们参与了“自制角分仪”的活动，下图是一个同学的作品，他将四根木条顺次钉在一起，其中，，两根木条的连接处是可以转动的． （1）如图是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的．在下面的几种用法中，能作出的平分线的有_______________．（填写序号） ①是的平分线 ②是的平分线 ③是的平分线 （2）对于这个工具的其它用途，小泽发现可以用它作线段的垂直平分线． 请结合右图补全求证，并给出证明． 如图，已知：，． 求证：______________垂直平分_____________． 证明： （3）小瑞同学们在探究的过程中又计出了三等分角的仪器一一勾尺． 勾尺的直角顶点为，（“宽臂”的宽度），勾尺的另一边为，且满足，，三点共线（所以）． 小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将三等分： 第一步：如图1，画直线使，且这两条平行线的距离等于； 第二步：如图2，移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使边经过点，同时让点落在的边上； 第三步：如图3，标记此时点和点所在位置，作射线和射线． 然后小瑞利用图3，证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程： 证明：垂直平分线段， _____________________． ， ． （请继续完成后面的证明过程） 【答案】（1）①③ （2）；； 证明：， ∴点在的垂直平分线上， ， ∴点在的垂直平分线上， 垂直平分； （3）；； 证明：∵垂直平分线段， ． ∵， ∴， 如图3，过作于， ． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴射线和射线是的三等分线． 【解析】 【分析】（1）图①和图③中，，则，能作出的平分线，然后作答即可； （2）根据线段垂直平分线的判定定理即可得解； （3）由垂直平分线的性质可得．则，如图3，过作于，证明，则，进而结论得证． 【小问1详解】 解：由题意知，图①和图③中， ∵，，， ∴， ∴，能作出的平分线， 图②中无法证明，不能作出的平分线， 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：略． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年度上学期阶段质量调研 八年级数学 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．在所给的选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 在下列某地中考体测项目图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 坐位体前屈 B. 立定跳远 C. 仰卧起坐 D. 引体向上 2. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小明在一次智能大赛中，分别画了三个三角形，不料都被墨迹污染了，能画出和原来完全一样的三角形的是（ ） A. 只有① B. ①和②可以 C. ①和③可以 D. ①②③都可以 4. 在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，利用全等三角形的性质，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案中，判定和是全等三角形的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 一副三角板拼成如图所示的图形，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，点、在上，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，某温室屋顶结构外框为，其中，立柱，且与横梁垂直．冬季将至，为了增大向阳面面积，将立柱增高并改变位置，使屋顶结构外框变为（点在的延长线上），立柱，如图2所示．若此时立柱，则向阳面斜梁增加部分的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，垂直平分，交于点，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ） A. 12 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在中，，与的平分线交于点P，过点P作于点D，记的周长为，，给出下面三个结论：①；②；③ 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（共18分，每题3分） 11. 在校运动会举办前夕，李老师想设计一款等腰三角形彩旗幡悬挂于赛场上，为同学们加油助威．已知每面彩旗的腰长，若其底边长度为整数，则底边长度的最大值为________． 12. 如图，已知的面积为，将沿某直线对称后得到（与对应，与对应），且、、三点共线，连接，则的面积为________． 13. 如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小等边三角形（阴影部分表示），请你只涂黑一个小等边三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形，满足题意的涂色方式有___种． 14. 如图，，在内有一点P，，垂直于M，垂直于N，且，，连接，，则_________． 15. 如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 16. 如图，，平分于点D，交于点C，若，则的长为______． 三、解答题（共7题，共72分） 17. 如图，B，C，E，F在同一条直线上，，，． 求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）在图中作出和关于轴对称的； （2）如果要使以、、为顶点的三角形与全等，写出所有符合条件的点坐标（点除外）． 19. 如图，在中，平分，，F是的中点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，求的度数． 20. 小明发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 下面是小明设计的尺规作图的作法： ①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点； ②连接． 则线段为所求． （1）请你按照小明设计的作法，使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：直线是线段的垂直平分线，点在直线上， ．（ ）（填推理的依据） ． ， ． ． ． ．（ ）（填推理的依据） 和都是等腰三角形． 21. 已知在中，的平分线与的垂直平分线相交于点，于点，交的延长线于点，求证：． 22. 小宇在研究“三线合一”这个结论时，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？他画出图形分析后，找到了两种解决问题的方法，请任选其中一种，帮助他完成证明． 已知：如图，在中，平分，且点D是的中点．求证：． 方法一 证明：过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F． 方法二 证明：延长到点E，使，连接． 温馨提示：只选一种方法证明即可，如两种方法都选用的，只按方法一的证明给分． 23. 在十一作业中同学们参与了“自制角分仪”的活动，下图是一个同学的作品，他将四根木条顺次钉在一起，其中，，两根木条的连接处是可以转动的． （1）如图是一种用四根木条钉成的平分角的仪器，其中，，相邻两根木条的连接处是可以转动的．在下面的几种用法中，能作出的平分线的有_______________．（填写序号） ①是的平分线 ②是的平分线 ③是的平分线 （2）对于这个工具的其它用途，小泽发现可以用它作线段的垂直平分线． 请结合右图补全求证，并给出证明． 如图，已知：，． 求证：______________垂直平分_____________． 证明： （3）小瑞同学们在探究的过程中又计出了三等分角的仪器一一勾尺． 勾尺的直角顶点为，（“宽臂”的宽度），勾尺的另一边为，且满足，，三点共线（所以）． 小瑞利用手中的勾尺，通过下列步骤将三等分： 第一步：如图1，画直线使，且这两条平行线的距离等于； 第二步：如图2，移动勾尺到合适位置，使顶点落在上，使边经过点，同时让点落在的边上； 第三步：如图3，标记此时点和点所在位置，作射线和射线． 然后小瑞利用图3，证明射线和射线是的三等分线，请补全证明过程： 证明：垂直平分线段， _____________________． ， ． （请继续完成后面的证明过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $