精品解析：山东省泰安第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

泰安一中新校区2025届高三上学期第四次教学质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域为，，是偶函数，且对于任意的，，都有成立，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和平面，则下列命题正确的是（ ） A. 平面内不一定存在和直线垂直的直线 B. 若，则 C. 若异面且，则 D. 若，则直线可能两两相交且不过同一点 5. 已知为等差数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 是的一条对称轴 C. 的值域为 D. 在上单调递减 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 B. 若，且，则双曲线的离心率为 C. 若，，则的取值范围是 D. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是_____________. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为________． 14. 在三棱锥中，平面平面， ，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若D是BC边上一点，且，，求的值． 16. 已知椭圆的离心率为，右焦点是，左、右顶点分别是和．直线与椭圆交于，两点，点在轴上方，且当时，． （1）求椭圆的方程； （2）若直线、的斜率分别是和，求的取值范围． 17. 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且，． （1）若为的中点，求证：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值． 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记集合，若中有3个元素，求的取值范围； （3）是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，写出通项并证明上式成立；若不存在，说明理由． 19. 偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数. （1）气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数. （2）求值：对的偏导数. （3）将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为. （i）求证：. （ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泰安一中新校区2025届高三上学期第四次教学质量检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用交集、补集的概念计算即可. 【详解】由题意可知，所以，则. 故选：A 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，得，则成立； 反之，成立，不一定成立，如满足，而不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知函数的定义域为，，是偶函数，且对于任意的，，都有成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇偶性可知关于对称，且在上单调递增，利用对称性以及单调性对选项逐一判断可得结论. 【详解】根据题意由是偶函数可得关于对称， 又任意的，，都有成立，可得在上单调递增； 由 所以可得，即，可得A错误； 又，即，即B错误； 同理，即，可得C错误； ，即，可得D正确. 故选：D 4. 已知直线和平面，则下列命题正确的是（ ） A. 平面内不一定存在和直线垂直的直线 B. 若，则 C. 若异面且，则 D. 若，则直线可能两两相交且不过同一点 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论所有情况判断A，举反例判断B，合理作出图形，利用面面平行的判定定理判断C，先假设直线交于一点，再作图并利用相交直线的性质求解即可判断D. 【详解】对于A，我们要讨论平面和直线的关系， 当时，平面内一定存在和直线垂直的直线， 当直线时，在平面内有无数条直线与直线是异面垂直直线； 当直线平面时，在平面内有无数条平行直线与直线相交且垂直； 当直线与平面相交但不垂直时，在平面内有无数条平行直线与直线垂直， 故平面内一定存在和直线垂直的直线，故A错误； 对于B，当时，一定有或相交，故B错误； 对于C，如图，因为，过直线，一定存在平面， 使得，，所以， 而，，故， 因为异面，所以一定相交，而，，故成立，故C正确； 对于D，如图， ，，，. ∵直线和不平行，相交. 设，则， . 又. 三条直线相交于同一点，故D错误， 故选：C 5. 已知为等差数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质得，从而，由此能求出的值. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 解得， ， ， 故选：. 6. 已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合椭圆与双曲线定义可得，然后由向量的运算求解即可. 【详解】如下图所示： 依题意由椭圆定义可得，所以； 即； 依题意由双曲线定义可得，所以； 即； 因此可得； 又易知，即可得； 因此，而， 即满足，所以； 又为的中点，因此. 故选：D 7. 已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由，两边同时除以得，再将用表示，再结合基本不等式求出的最大值及此时的值，再根据两角和的正切公式即可得解. 【详解】由， 两边同时除以得， 所以， 因为，均为锐角，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取得最大值时，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：将已知变形成是解决本题的关键. 8. 函数，不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据奇偶性定义判断为奇函数，再应用导数研究的单调性，进而将目标式转化为在R上恒成立，求参数范围. 【详解】因为， 所以， 令，则，得为奇函数， 又， ，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 所以，得在R上为增函数， 因为， 所以在R上恒成立，显然时满足； 当，需满足，解得， 综上，. 故选：D 【点睛】关键点点睛：注意构造，判断其奇偶性、单调性，最后将问题化为在R上恒成立为关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不共线的向量可以做基底判断即可. 【详解】A选项：，与共线，A错误； B选项：，与不共线，B正确； C选项：，与不共线，C正确； D选项：，与共线，D错误； 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 是的一个周期 B. 是的一条对称轴 C. 的值域为 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】先化简函数，再结合函数图像对各个选项逐一分析判断即可. 【详解】，图像如图所示： 由图像可得，函数的最小正周期为，故选项A错误，不符合题意； 是的一条对称轴，故选项B正确，符合题意； 的值域为，故选项C正确，符合题意； 在上单调递减，选项D正确，符合题意； 故选：BCD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ） A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 B. 若，且，则双曲线的离心率为 C. 若，，则的取值范围是 D. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据渐近线斜率与夹角的关系可判断A错误；根据双曲线定义以及勾股定理计算可判断B正确；由内切圆性质可得所在直线方程为，根据直线的倾斜角范围与渐近线关系可得，即C错误；利用三角形相似以及余弦定理计算可得D正确. 【详解】对于A，若双曲线渐近线的夹角为，则或， 故可得或，即A错误； 对于B，设，则由以及双曲线定义可得， 故，则 又，即可得， 因此，解得， 又，即， 可得，即， 故双曲线的离心率为，即B正确； 对于C，如下图所示： 令的内切圆切分别为， 则， 所以， 令点，而，因此，解得； 又，则点的横坐标为， 同理可得的横坐标也为，即所在直线方程为； 设直线的倾斜角为，则， 在中，， 在中，， 又，可得渐近线斜率为，且， 因为均在右支上，故，即， 因此，可知C错误； 对于D，由可得, 故，而，可得， 又直线的斜率为，所以， 由余弦定理可得，解得， 即则双曲线的离心率为，可得D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：在求解焦点三角形内切圆问题时，要利用双曲线定义以及切线长性质得出内切圆圆心的横坐标为双曲线的顶点坐标，再利用内心性质可求出半径. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“，”的否定是_____________. 【答案】， 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定求解. 【详解】命题“，”的否定是. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，将转化为，结合图形，得最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，即点、， 如图，为椭圆上任意一点，则， 又因为为圆上任意一点， . 当且仅当、、、共线且、在、之间时等号成立． 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，平面平面， ，，点为的中点，是上的一个动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由证得，；再以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，求得的坐标，由题意设，球心，得到，求得的最小值，进而得三棱锥的外接球面积的最小值. 【详解】因为平面平面，, 且平面平面，平面, 所以平面，平面, 所以. 在△中，因为， ， ∴，，所以 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，过且垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系. ∵点为的中点，是上的一个动点， ∴，， 设△的重心为，则， 三棱锥外接球的球心为，则， 则有，即 则， ∴，当且仅当，即时，等号成立. 设三棱锥外接球半径为，表面积为，则 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． （1）求A； （2）若D是BC边上一点，且，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理计算可得； （2）首先可得，记，设，，利用锐角三角函数及正弦定理得到，，再由余弦定理得到，即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理， 所以，又，所以； 【小问2详解】 因为，记，则， 因为，设，， 在中，，即， 在中，，所以，所以， 所以，即， 在中由余弦定理有，整理得，即， 所以，即. 16. 已知椭圆的离心率为，右焦点是，左、右顶点分别是和．直线与椭圆交于，两点，点在轴上方，且当时，． （1）求椭圆的方程； （2）若直线、的斜率分别是和，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知及椭圆对称性求参数a，根据离心率及椭圆参数关系即可求解； （2）联立椭圆C和直线方程，应用韦达定理直接计算即可. 【小问1详解】 由椭圆对称性知： ， 即，又，所以，， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 将代入得， 设，，则，， 由（1）得，， 所以 ， 将式代入上式得 ， 因为，，所以， 即的取值范围是； 综上，椭圆C的方程为，的取值范围是. 17. 如图，在圆锥中，为圆锥顶点，为圆锥底面的直径，为底面圆的圆心，为底面圆周上一点，四边形为矩形，且，． （1）若为的中点，求证：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）连接， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面平面，所以平面， 在矩形中，， 同理可得平面，又，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行和面面平行的判定定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点做交于点，连接 由题可知平面，且，所以平面 则，又，平面， 所以平面， ∴在平面内射影为， 则即为与平面所成的角，所以 在中，由可知 则，， 以为坐标原点，所在直线为轴， 过点垂直于平面为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 所以， 因为二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记集合，若中有3个元素，求的取值范围； （3）是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，写出通项并证明上式成立；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在满足题意，证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用的关系式证明是以首项为1，公比为2的等比数列，可得； （2）易知在时为单调递减，再根据中有3个元素可得的取值范围； （3）利用错位相减可求得存在满足题意. 【小问1详解】 当时，可得，即; 当时，由可得， 两式相减可得，即，所以， 因此是以首项为1，公比为2的等比数列， 可得. 【小问2详解】 由已知可得，即， 令， 可得， 又， 当时，， 即，因此时，单调递减； 因为中有3个元素，所以不等式的解有3个，所以， 即的取值范围为； 【小问3详解】 设存在等差数列使得条件成立， 则当时，有，所以； 当时，有，所以； 因此等差数列的公差为1，可得； 证明如下： 设 即， 所以， 两式相减可得， 所以存在等差数列，满足题意. 19. 偏导数在微积分领域中有重要意义.定义：设二元函数在点附近有定义，当固定在而在处有改变量时，相应的二元函数有改变量，如果存在，那么称此极限为二元函数在点处对的偏导数（计算时相当于将视为常数），记作，若在区域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数就是一个关于的偏导函数，它被称为二元函数对的偏导函数，记作.以上定义同样适用于三元函数. （1）气体状态方程描述的三个变量满足：（是非零常量）.求的值，并说明其为常数. （2）求值：对的偏导数. （3）将偏导数应用于包络线在金融领域可以发挥重要价值.在几何学中，某个平面内曲线族的包络线是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线，例如：曲线族的包络线为.不难发现：对于任何一个给定的的值，包络线与原曲线的切点的总是对应值在参数取遍后得到的极值.已知函数的包络线为. （i）求证：. （ⅱ）设的极值点构成曲线，求证：当时，与有且仅有一个公共点. 【答案】（1），说明：； ，； ，. ，为常数. （2） （3）（i）证明：令，则：. 由于在上，故：，① 由于取极值，故：，即：，② 由①②消去得：. 下试证：， 即证：. ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ，，故：. （ⅱ）证明：，令： ，令：， ，令： 当时，单调递增， 当时，单调递减，且的最大值与的最大值等价. ，当且仅当时，. 又，，令：或. 当时，单调递减， 当时，单调递增. . 当且仅当时等号成立. 与有唯一公共点. 【解析】 【分析】（1）根据“偏导函数”的定义求解即可； （2）求出，再将带入即可求值； （3）（i）先求出包络线，再构造函数，利用导数研究的单调性，进而可知的最值，进而可证明； （ii）对求导，令得到的极值点和极值，令，求出的极值点和单调性及最值，由题知的最大值与的最大值等价，进而求出的值；再利用导数研究的单调性和最值，进而可以证明与有且仅有一个公共点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 故：. 【小问3详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 【点睛】关键点点睛：1.理解偏导数的概念； 2.用导数研究函数的单调性是导数的一个重要应用，在导数解答题中，单调性问题是绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，再求导，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $