精品解析：山东省百师联考2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

山东省百师联考2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则的真子集个数为（ ） A. 5 B. 30 C. 31 D. 32 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则的值为（ ） A. 或0 B. 1 C. D. 1或0 6. 下列说法中正确说法的个数为（ ） ①若函数的定义域为，则实数的取值范围是；②已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是；③已知函数的值域为，则实数的取值范围是． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知幂函数在上单调递增，函数，，总存在，使得，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数有3个零点 D. 当时， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，则 B. 命题，的否定为， C. 的一个必要条件是 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 已知正数a，b满足，下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 11. 对于函数下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 当时，存在最小值 C. 当时，在上单调递增 D. 的零点个数为，则函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数是上的增函数，且的图象经过点和，则不等式的解集为______. 13. 建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米150元，池底的造价为每平方米200元，则建造水池的最低总造价为______元． 14. 若函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）求集合A，B及； （2）若，且满足，求实数的取值范围． 16. 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： （1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； （2）据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：） 17. 设函数 （，且）. （1）若，求证：在内存在零点； （2）若不等式的解集是，且时，恒成立，求a的取值范围. 18. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值. 19. 定义在上的函数是单调函数，，且． （1）求，并判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省百师联考2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，则的真子集个数为（ ） A. 5 B. 30 C. 31 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，然后求出，最后利用真子集个数结论求解即可. 【详解】由，可得， 故，可知中含5个元素，故的真子集个数为. 故选：C 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特例法判断AB，根据不等式性质判断CD. 【详解】对于A，当时，，选项A错误； 对于B，若，则，选项B错误； 对于C，，因为，所以， 若，则，即，选项C错误； 对于D，由，得，则，选项D正确． 故选：D 3. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】对于的定义域为，且，的定义域为， 所以定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，，显然两函数不同，故B错误； 对于中，不能取0，而，两函数定义域不同，不是同一个函数，故C错误； 对于，所以两函数的对应关系一样，且定义域都是， 所以是同一个函数，故D正确． 故选：D 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据换底公式和对数运算性质得，利用对数函数单调性得，把b平方后利用中间值法即可比较. 【详解】， 所以，所以，所以． 故选：D 5. 已知，，，则的值为（ ） A. 或0 B. 1 C. D. 1或0 【答案】A 【解析】 【分析】由题设等式，利用对数运算性质化简得或，再利用对数的换底公式化简所求，分别代入求值即可得解. 【详解】因为 ， 所以由， 得，化简得， 即，解得或. 又， 故当时，； 当时，； 综上，的值为或0. 故选：A. 6. 下列说法中正确说法的个数为（ ） ①若函数的定义域为，则实数的取值范围是；②已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是；③已知函数的值域为，则实数的取值范围是． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，将问题化为对恒成立，根据和分类讨论求解判断；对于②，结合指数函数的单调性和复合函数单调性法得在区间上单调递减，分析时符合题意判断；对于③，根据复合函数值域，得函数的值域满足，利用判别式法求解即可判断. 【详解】对于①，因为函数的定义域为， 所以对恒成立． 当时，不等式为，显然恒成立； 当时，由对恒成立，得解得． 综上所述：实数的取值范围是，故①错误． 对于②，因为是减函数，函数在区间上单调递增， 则在区间上单调递减，显然当时符合题意，故②错误． 对于③，因为的值域为， 所以函数的值域满足， 所以，解得，故③正确． 故选：B． 7. 已知幂函数在上单调递增，函数，，总存在，使得，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义及性质求出，进而可知当时，当时，由题意可知是的子集，列不等式求解即可. 【详解】由题意知，得或. 当时，，当时，. 又在上单调递增，， 当时，. 当时，. 由，总存在，使得， 可知是的子集， ，，即. 故选：B. 8. 已知是定义在上的偶函数，且对任意，有，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数有3个零点 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数对称性和奇偶性，可得的周期可判断A；根据解析式及周期，代入数据可判断B；分别作出和的图象可判断C；根据函数周期及奇偶性，化简整理，可判断D. 【详解】对于A，因为，且为偶函数， 所以 ， 即4是的一个周期，故A错误； 对于B，由4是的一个周期，知，， 所以，故B错误； 对于C，令，可得， 作函数和的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有3个交点，故C正确； 对于D，当时，， 则，故D错误． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，则 B. 命题，的否定为， C. 的一个必要条件是 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由补集的概念判断A；根据存在量词命题的否定判断B；根据充分、必要条件的定义判断C；根据抽象函数的定义域求解判断D. 【详解】对于A，当时，或，故A错误； 对于B，命题，的否定为，，故B错误； 对于C，因为是的真子集， 所以的一个充分不必要条件是，故C错误； 对于D，由，得， 所以的定义域为，故D正确. 故选：ABC. 10. 已知正数a，b满足，下列说法正确的是（ ） A. ab的最大值为1 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件利用基本不等式逐项求解即可. 【详解】正数a，b满足， 对于，解得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，， 当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于，且，所以， 当且仅当时取等号，D正确． 故选：BCD 11. 对于函数下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为0 B. 当时，存在最小值 C. 当时，在上单调递增 D. 的零点个数为，则函数的值域为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据指数函数和二次函数的性质求解最值判断A，举反例判断B，根据分段函数单调性法则判断C，根据指数函数和二次函数的性质，按照和、分类讨论研究的零点个数判断D. 【详解】对于A，当时，， 当时，，当时，， 综上，当时，取得最小值，最小值为0，A正确； 对于B，不妨设，此时， 当时，， 当时，， 故，此时函数不存在最小值，B错误； 对于C，在上单调递增，且， 当时，在上单调递增， 且，当时，， 故当时，在上不单调递增，C错误； 对于在上单调递增， 当时，设，显然单调递增，又， 故存在，使得， 当时，， 即在时无零点，此时在时有两个零点0和， 故此时， 当时，，即在时有1个零点， 此时在时有两个零点0和，故此时； 当时，，由A知，此时有1个零点，即； 当时，在时无零点，在时也无零点， 此时，则函数的值域为，D正确． 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数是上的增函数，且的图象经过点和，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由函数的单调性和经过点和得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】因为的图象经过点和，所以， 又，所以，即. 因为函数是上的增函数，所以，解得. 故答案为：. 13. 建造一个容积为8立方米，深为2米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米150元，池底的造价为每平方米200元，则建造水池的最低总造价为______元． 【答案】3200 【解析】 【分析】设池底长为米，宽为米，由题意求出总造价，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】设池底长为米，宽为米，则蓄水池的体积为，所以， 所以池壁造价为， 又池底造价为，所以总造价． 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以建造水池的最低总造价为(元)． 故答案为：3200 14. 若函数，且关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】换元，令，将方程的根问题转化方程有两个不等实根，数形结合，根据一元二次方程根的分布列不等式求解. 【详解】令，则，且函数的图象大致如图： 方程化为，即， 即． 因为方程有三个不同的实数解，由函数的图象可知： 方程有两个不等实根， 不妨设，则． 令， 则或，解得， 所以，实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）求集合A，B及； （2）若，且满足，求实数的取值范围． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）对于集合，根据指数函数单调性求解的范围. 对于集合，根据对数函数的性质，求解的范围. 对于，求两个集合的交集，即求既属于又属于的元素组成的集合. （2）对于，根据集合的包含关系，再根据集合的定义求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，指数函数是单调递增函数. 所以. 解为，即.   因为，对数函数是单调递增函数. 所以，解得，即.   则. 【小问2详解】 对于集合，可得，即. 因为，所以. 则有. 解第一个不等式，得. 解第二个不等式，得. 所以的取值范围是. 16. 某医学研究所研发一种药物.据监测，如果成人在0.5小时内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每升血液中的药物含量（毫克）与开始注射后的时间（小时）之间近似满足如图所示的曲线，与的函数关系为且.根据图中提供的信息： （1）写出开始注射该药后每升血液中药物含量（毫克）关于时间（小时）的函数关系式； （2）据测定：每升血液中药物含量不少于0.08毫克时该药有效，那么该药的药效时间有多长？（结果保留小数点后两位）.（参考值：） 【答案】（1） （2）2.81小时 【解析】 【分析】（1）分、两种情况讨论，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式，分段解不等式，求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 当时，设，将代入得， 解得，此时； 当时，设且，将､代入，得， 解得，此时. 综上可得. 【小问2详解】 当时，令，解得； 当时，令，即 而，故 药效时间， 所以药效时间约为小时. 17. 设函数 （，且）. （1）若，求证：在内存在零点； （2）若不等式的解集是，且时，恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，得到，从而，，分和讨论求解； （2）根据题意得到，且是方程的两根，从而，，再根据时，恒成立，转化为恒成立求解. 【小问1详解】 由题意，即， 所以，所以 因为，， 当时，，由函数零点存在定理知在内存在零点； 当时，则，是零点，此时在内存在零点. 综上，在内存在零点 【小问2详解】 依题意得，且，是方程的两根， 由一元二次方程根与系数的关系得，， 即，， 所以， 依题意，得在时恒成立. 因为，，所以只需在时恒成立， 即，， 令， 令，则，，且在时单调递增， 所以当时，， 所以，即，所以. 所以a的取值范围是. 18. 已知函数. （1）当时，求该函数的值域； （2）求不等式的解集； （3）若对于恒成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法，将函数转化为关于的二次函数，从而得解； （2）利用换元法，将不等式转化为关于的二次不等式，解后再利用对数函数的单调性即可得解； （3）利用换元法与参数分离法得到的恒成立问题，再利用函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 因为， 令，由，可知， 函数转化为． 因为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值，为． 由，可知当时，取到最大值， 故当时，函数的值域为． 【小问2详解】 由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或. 【小问3详解】 由于对于恒成立， 令，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值，为， 故当时，对于恒成立． 所以的最小值为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 19. 定义在上的函数是单调函数，，且． （1）求，并判断函数的奇偶性； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），函数为奇函数 （2）函数为上的减函数，证明： 任取，且，则，所以． 因为， 所以， 所以，函数为上的减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）合理赋值，利用函数奇偶性的判定即可； （2）取值、作差判定符号即可得到其单调性； （3）判断的单调性，得到其值域，再利用整体换元法即可. 【小问1详解】 在等式中， 令，可得，解得． 因为函数的定义域为， 令，可得，所以， 因此，函数为奇函数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由存在，使得， 可得． 因为函数在上单调递减，所以． 令，其中，则，即函数为偶函数； 任取且， 则 ， 因为，则，则， 所以，则， 所以，函数在[0，1]上单调递增，则当时，， 即， 所以，当时，． 令，则，则， 所以，可得． 令，其中，由题意可得． 因为函数在上单调递减，所以， 则，因此，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是证明的单调性，从而得到，再利用换元法转化为二次函数求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $