13.3.2等边三角形 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级上册

13.3.2等边三角形 课时作业2024—2025学年人教版八年级上册数学 一、单选题 1．如图，在中，过点作于，则的长是（  ）    A． B． C． D． 2．如图，在等边三角形中，平分，若，则的长为（） A． B． C． D． 3．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为 （   ） A． B． C． D． 4．如图，中，，于点D，若，则的长度为（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知在等边中，点分别是上的点，且，连接交于点P，过点B作于点，则的长为（    ） A． B． C．4 D． 7．如图，，是的角平分线上的一点，过作于点，交于点，若，则的长为（    ）    A．2 B． C．4 D． 8．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形、与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接． 以下六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥为等边三角形．正确的结论有（   ） A．①②③④⑤⑥ B．①②③④⑤ C．①②③④⑥ D．①②③⑤⑥ 二、填空题 9．如图①是一张Rt△ABC纸片，如果用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形，如图②，那么在Rt△ABC中，BC＝6，则AB＝ ．    10．如图，已知为等边三角形，，将边绕点顺时针旋转（）得到线段，连接，与交于点，的平分线交于点，点为上一点，且．则 ° 11．如图，已知Rt△ABE中∠A=90°，∠B=60°，BE=10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE=30°，则CD长度的取值范围是 ． 12．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①；②PQ//AE；③；④△CPQ为等边三角形；⑤；其中正确的有 （注：把你认为正确的答案序号都写上） 13．如图，在中，，，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点，则的长为 ．    三、解答题 14．（1）问题探究：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． ①求证：△CDA≌△CEB； ②求∠AEB的度数． （2）问题变式：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE． ①请求出∠AEB的度数 ②直接写出线段AE、CM、BE之间的数量关系，不必说明理由． 15．在中，，，作射线，点C关于直线的对称点为D，连接，直线，分别交于点E，F，连接． (1)如图1，射线在的外部，当时，求的度数； (2)如图2，射线的一部分落在内部，当时， ①直接写出的度数； ②求证：． (3)当时，若是等腰三角形，直接写出的度数． 16．（1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE； （2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形． 17．在探索三角形全等的条件时，老师给出了定长线段a，b，且长度为b的边所对的角为n°(0＜n＜90°)小明和小亮按照所给条件分别画出了图1中的三角形，他们把两个三角形重合在一起(如图2)，其中AB＝a，BD＝BC＝b，发现它们不全等，但他们对该图形产生了浓厚兴趣，并进行了进一步的探究： (1)当n＝45时(如图2)，小明测得∠ABC＝65°，请根据小明的测量结果，求∠ABD的大小； (2)当n≠45时，将△ABD沿AB翻折，得到△ABD′(如图3)，小明和小亮发现∠D′BC的大小与角度n有关，请找出它们的关系，并说明理由； (3)如图4，在(2)问的基础上，过点B作AD′的垂线，垂足为点E，延长AE到点F，使得EF＝(AD+AC)，连接BF，请判断△ABF的形状，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C B C A D 1．C 【分析】由余角性质可知∠BCD=∠A,根据BD=1可以得到CD的长度，进一步得到AD的长度． 【详解】由题意，∠BCD和∠A都与∠B互余，∴∠BCD=∠A= ∴BC=2BD=2,CD=BD=,AC=2CD=2,AD=CD=×=3． 故选C． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握角的对边、邻边与斜边的关系是解题关键． 2．B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质和直角三角形性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等边三角形边角之间的关系． 先根据等边三角形的性质得出，，再由平分，可得出，根据直角三角形性质即可得出结论． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴． 又∵平分， ， 故选：B． 3．A 【分析】过P作PF∥BC交AC于F，可得△ABC是等边三角形，然后证明△PFD≌△QCD，推出DE=AC，即可得出结果. 【详解】过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF， ∵PE⊥AC， ∴AE=EF， ∵AP=PF，AP=CQ， ∴PF=CQ． ∵在△PFD和△QCD中， ， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD， ∵AE=EF， ∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DE=AC， ∵AC=1， ∴DE=． 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，作辅助线构造等边三角形是关键. 4．C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键． 由含角的直角三角形的性质可分别求得和的长，进而求得的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴． 故选：C． 5．B 【分析】本题考垂线段最短，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图在的下方作等边，作射线．证明，推出，推出，推出点Q在射线上运动，当时，的值最小． 【详解】解：如图，在的下方作等边，作射线． ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点在射线上运动点是定点，是定值， 当时，的值最小，最小值， 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质．直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半．根据全等三角形的判定定理可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到，根据直角三角形的性质即可得到． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中， ，， ， ∴， ∴， ∵为外角， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．A 【分析】过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，再利用角平分线的性质可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，进而利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，   平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 8．D 【分析】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定、三角形的内角和定理以及外角的性质等知识点． 证明可判断①、⑤；证明可判断②、③、⑥；利用三角形边角关系判断④即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 故②、③、⑥正确； ∵，， ∴， 故⑤正确； ∵，， ∴， 又， ∴， 故④错误， 故正确的有①②③⑤⑥， 故选：D． 9．12 【分析】此题解答时可以根据正三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵Rt△ABC纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个正三角形， ∴AB＝2BC＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，关键是熟练掌握等边三角形的边长相等． 10．60 【分析】先根据旋转的性质和等边三角形得，，再结合等腰三角形的性质和角平分线的定义，即可得到的度数． 【详解】解：将边绕点顺时针旋转（）得到线段，为等边三角形， ，， ， 平分， ， ， ， 在中，， ， 故答案为：60． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理，综合性较强，能够识别图中有助于解题的角是解决本题的关键． 11．0＜CD≤5． 【分析】分点D与点E重合、点D与点A重合两种情况，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：（1）当点D与点E重合时，CD=0，此时∠CDE=30°不成立， (2)当点D与点A重合时， ∵∠A=90°，∠B=60°， ∴∠E=30°， ∴∠CDE=∠E，∠CDB=∠B， ∴CE=CD，CD=CB， ∴CD= BE=5， ∴0＜CD≤5， 故答案为：0＜CD≤5． 【点睛】本题考查的是等腰三角形、直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 12．①②④⑤ 【分析】首先证明，推出，说明①正确；证明，推出，又，可得△CPQ为等边三角形，故④正确；证明，推出，故结论②正确；通过，得出⑤正确；现有条件不足以证明，故③错误． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中，，，， ， ，结论①正确； ， ， 又， ， ， 在和中，，，， ， ，， 又， 是等边三角形，结论④正确； ， ，结论②正确； ， ， ， 故结论⑤正确； 现有条件不足以证明，故③错误； 综上，正确的结论有4个，分别是：①②④⑤， 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和应用、平行线的判定等，熟练掌握等边三角形的性质，从图中找出全等的三角形是解决问题的关键． 13．6 【分析】根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°，求出∠DAE=∠EAB=30°，根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，从而AD=DF，求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°， ∵AE是∠BAD的角平分线， ∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°， ∵DF//AB， ∴∠F=∠BAE=30°， ∴∠DAE=∠F=30°， ∴AD=DF， ∵∠B=90°-60°=30°， ∴AD=AB=×12=6， ∴DF=6， 故选：6． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质是解题的关键． 14．（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②AE= BE+2CM 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得到CA=CB=AB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°，利用SAS定理证明△CDA≌△CEB； ②根据全等三角形的性质得到∠CEB=∠ADC=120°，结合图形计算即可； （2）①根据等腰直角三角形的性质得到CA=CB，CD=CE，∠ACD=∠BCE，利用SAS定理证明△CDA≌△CEB，利用全等三角形的性质计算即可； ②根据全等三角形的性质得到BE=AD，根据直角三角形的性质得到DE=2CM，结合图形解答． 【详解】（1）①证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA=CB=AB，CD=CE=DE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD=∠BCE， 在△CDA和△CEB中， ， ∴△CDA≌△CEB； ②解：∵∠CDE=60°， ∴∠ADC=120°， ∵△CDA≌△CEB， ∴∠CEB=∠ADC=120°， ∴∠AEB=120°﹣60°=60°； （2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣DCB，即∠ACD=∠BCE， 在△CDA和△CEB中， ， ∴△CDA≌△CEB， ∴∠CEB=∠ADC=135°， ∴∠AEB=135°﹣45°=90°； ②解：∵△CDA≌△CEB， ∴BE=AD， ∵CD=CE，CM⊥DE， ∴DM=ME，又∠DCE=90°， ∴DE=2CM， ∴AE=AD+DE=BE+2CM． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 15．(1)； (2)①；②见解析 (3)的度数为或或或． 【分析】（1）根据轴对称的性质结合等腰三角形的判定和性质求得，计算即可求解； （2）①同（1）理，即可求解； ②在上取点，使，连接，得到是等边三角形，证明，得到，据此即可证明； （3）分四种情况讨论，画出图形，结合求解即可． 【详解】（1）解：∵点C与点D关于直线对称， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①同理求得； ②∵，， ∴， ∴， 在上取点，使，连接， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等边三角形， 当时，如图， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，如图， 此时是线段的垂直平分线， ∴； 当时，如图， 同理，求得是等边三角形， ∴； 当时，如图， 此时是线段的垂直平分线， ∴； 综上，的度数为或或或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质．作出图形是解本题的关键． 16．（1）见详解；（2）成立，理由见详解；（3）见详解 【分析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，然后根据“”可判断； （2）利用，则，得出，然后问题可求证； （3）由题意易得，由（1）（2）易证，则有，然后可得，进而可证，最后问题可得证． 【详解】 （1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； 解：（2）成立，理由如下： ， ， ， 在和中， ，； （3）证明：∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴， ∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC=120°， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（SAS）， ∴， ∴， ∴△DFE是等边三角形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键． 17．(1)25°；(2)∠D'BC=180°﹣2n°，证明见解析；(3)等腰三角形，证明见解析. 【分析】(1)先根据三角形的内角和得∠C＝70°，由等腰三角形的性质得∠BDC＝70°，从而得∠CBD的度数，可得结论；(2)设∠BDC＝∠C＝α，根据三角形的内角和与三角形外角的性质分别表示∠ABD和∠DBC，相加可得结论；(3)作垂线BT，根据角平分线的性质得：BE＝BT，证明Rt△ABE≌Rt△ABT(HL)，得AE＝AT，证明BE是AF的垂直平分线，可得结论. 【详解】解：(1)如图2，△ABC中，∠A＝n°＝45°，∠ABC＝65°， ∴∠C＝180°﹣45°﹣65°＝70°， ∵BD＝BC， ∴∠BDC＝∠C＝70°， ∴∠DBC＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠ABD＝65°﹣40°＝25°； (2)如图3，∠D'BC＝180°﹣2n°，理由是： 设∠BDC＝∠C＝α， ∴∠DBC＝180°﹣2α， △ADB中，∠BDC＝∠DAB+∠ABD， 即α＝n°+∠ABD， ∴∠ABD＝α﹣n°， 由翻折得：∠ABD'＝∠ABD＝α﹣n°， ∴∠D'BC＝∠D'BD+∠DBC＝2∠ABD+∠DBC＝2(α﹣n°)+(180°﹣2α)＝180°﹣2n°； (3)△ABF是等腰三角形，且BF＝AB，理由是： 如图4，过B作BT⊥AC于T， 由折叠得：∠D'BC＝∠DAB， ∵BE⊥AF， ∴BE＝BT， 在Rt△ABE和Rt△ABT中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ABT(HL)， ∴AE＝AT， ∵AD＝AD'， ∴DT＝D'E＝TC， ∴＝AT， ∵EF＝， ∴AT＝EF＝AE， ∵BE⊥AF，即BE是AF的垂直平分线， ∴BF＝AB， ∴△ABF是等腰三角形. 【点睛】此题考查了四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，等边三角形，等腰直角三角形，以及正方形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$