课时1 等边三角形-【勤径学升】2024-2025学年八年级上册数学同步练测（人教版）

八年级数学（上册） 13.3.2 等边三角形 课时1 等边三角形 《基础巩固练： [答案26] 知限盒①等边三角形的性质 D.有一个外角等于120的等腰三角形 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC,E为AD 6在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点D在边 上一点，∠CED=50°，则∠ABE等于( AB上，连接CD.给出下列四种说法： A.10°B.15° C.20° D.25 ①当DC=DB时，△BCD一定为等边三角形： ②当AD=CD时，△BCD一定为等边三角形： ③当△ACD是等腰三角形时，△BCD一定为等 边三角形： ④当△BCD是等腰三角形时，△ACD一定为等 腰三角形. 1题图 2题图 3题图 其中正确的说法是 ·(填序号) 2(山东威海六校联考)已知直线1∥12，将等边三1 7(泉州期末)如图，在△ABC中，AB=AC,D为AC 角形按如图所示的方式放置，若∠a=40°，则 的中点，DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为E,F,且 ∠B等于 DE=DF.求证：△ABC是等边三角形. A.20° B.30° C.40 D.50 3如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC于点D,AE =AD,则∠ADE= ④（云南保山期中）如图，△ABC是等边三角形， BD是AC边上的高，延长BC至E,使DB=DE. 7题图 (I)求∠BDE的度数： (2)求证：△CED为等腰三角形 知限赢国等边三角形的性质与判定的综合_ 4题图 8(教材P83TI2变式)如图，△ABC和△ADE都是 等边三角形，且点B,A,E在同一直线上，连接 BD交AC于点M,连接CE交AD于点N,连接 MN. 求证： (1)BD=CE; (2)BM=CN; (3)MN∥BE. 知点②等边三角形的判定 ⑤（辐州期中）下列三角形中，不一定是等边三角 8题图 形的是 A.三个角都相等的三角形 B.有两个角等于60°的三角形 C.一边上的高也是该边上的中线的三角形 48 见此图标服抖音/疑信扫码氯取配套资源稳步提升成绩 第十三章轴对称 《能力提升练 [鉴案27] (湖南益阳中考)如图，AB∥CD,△ACE为等边 [类比探究] 三角形，∠DCE=40°，则∠EAB等于( 如图②，若点D在边BC的延长线上，请探究线 A.40°B.30° C.20° D.15o 段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系，并 说明理由. 池塘。 1题图 2题图 3题图 2(江苏常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直 5题图① 5题图2 平分线分别交BC,AB于点E,F.若△AFC是等 边三角形，则∠B=°. 3(湖北宜昌中考)如图，在一个池塘两旁有一条 笔直小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为 小树位置).测得的相关数据为∠ABC=60°， ∠ACB=60°，BC=48米，则AC=米. 4(四川护县期末)等边△ABC中，点P在△ABC 内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ,BP= CQ,问△APQ是什么形状的三角形？试说明你 的结论. ○题型变式 讲本26答案28 ①（题型3变式）如图，已知在△ABC中，AB=AC, D为BC边上的中点，过点D作DE⊥AB,DF⊥ AC,垂足分别为E,F B4 4题图 (1)求证：DE=DF: (2)若∠A=60°，BE=2,求△ABC的长 1题图 ⑤（烟台中考）如图，在等边三角形ABC中，点E 是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以 DE为一边作等边三角形DEF,连接CF [问题解决 如图①，若点D在边BC上，求证：CE+CF= CD. 见此图标服抖音/微信扫码领取配套资源稳步提升成绩 a49八年级数学（上册） 6.10[解析]如答图，根据折叠可知∠1=∠2，易知 (2)解：△BCF是等腰三角形，理由如下： ∠1=∠3，∴∠2=∠3，.ED=EB,BE=5, :∠A=45°，CG⊥AB,∴.∠ACG=45 DE=5重叠部分的面积=0E·B=方×5 :∠ACB=∠ACG+∠BCG,∠BFC=∠A+∠ABF, ∴.∠ACB=45°+∠BCG,∠BFC=45°+∠ABF. ×4=10. :∠BCG=∠DCG=∠ABF, ∠BCF=∠BFC,.BC=BF. ∴.△BCF是等腰三角形. 5.解：(1)AD=CE且AD⊥CE 理由：：△ABC和△DBE均为等腰直角三角形， B ∴，AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°， 6题答图 在△ABD和△CBE中， 7.(1)解：.AB=AC,AD⊥BC, AB CB, ∴.∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°， ∠ABD=∠CBE,∴.△ABD≌△CBE(SAS). 又∠C=42°，∴.∠BAD=∠CMD=90°-42°=48° BD BE. (2)证明：，AB=AC,AD⊥BC. ∴AD=CE,∠BAD=∠BCE. ∴.∠BAD=∠CAD, 延长AD交CE于F,如答图①. EF∥AC.∴.∠F=∠CAD. ∠BCE+∠BEC=90°，.∠BAD+∠BEC=90°， ∠BAD=∠F,.AE=FE. ∴.∠AFE=180°-90°=90°，∴.AD⊥CE. 【能力提升练】 (2)AD=CE且AD⊥CE. 1.D[解析](1)作∠B的平分线即可：(2)不能被一 理由：，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形， 条直线分成两个小等腰三角形：(3)过点A作BC的 ∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°， 垂线即可；(4)在△ABC内部作∠BAE=72°，直线 ∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD, AE可以把△ABC分成两个小等腰三角形.结合选 即∠ABD=∠CBE,在△ABD和△CBE中， 项知选D. rAB=CB, 2.D[解析]∠B=∠C,∠ADE=∠AED,∴：△ABC ∠ABD=∠CBE,·△ABD≌△CBE(SAS), 和△ADE是等腰三角形.，∠B=36°，∠ADE=72°， BD BE. .∠BAD=36,∴，AD=BD,.△ABD是等腰三角 ∴.AD=CE,∠BAD=∠BCE 形.同理△AEC是等腰三角形.：∠ADE=∠AED= 设AD与CE的交点为F,如答图②. 72°，∴，∠DAE=36°，，∠CAD=360+36°=72° 则∠ACF+∠CAF=∠ACB+∠CAB=90°， ∴.∠CAD=∠CDM=72°，∴△ADC是等腰三角形. ,∠AFC=180°-90°=90°，AD⊥CE. 同理可得△ABE是等腰三角形.综上所述，等腰三 角形有6个. 3.105°[解析]：AC的垂直平分线交BC于点D, ∴AD=CD,.∠C=∠CAD,AB=AC,∠B= ∠C,在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴130°+2∠C=180°，解得∠C=25°，.∴∠ADB= 5题答图① 5题答图2 ∠CAD+∠C=25°+25°=50°，∴.∠B4D=180°- 题型变式 ∠B-∠ADB=105°，故答案为105 4.(1)证明：如答图，过点C作CG⊥AB于点G 1.证明：DF⊥AC,∴，∠AFD=∠CFE=90°， ∴∠DCG+∠CDC=90°. .∠A+∠BDE=90°，∠C+∠CEF=90°. BE=BD,∠BDE=∠BED. CB=CD∠BCG=∠DCG= 2∠BCD ∠CEF=∠BED,.∠A=∠C,∴.AB=BC. BF⊥CD于点E,∴.∠ABF+∠CDG=90°， 13.3.2等边三角形 &LABF=LDcG=∠BCn 课时1等边三角形 【基础巩固练】 1.C[解析]：△ABC为等边三角形，AD⊥BC,∴AD 所在直线是BC的垂直平分线，∠ABC=60°，，E是 AD上一点，∴，EB=EC,,∠EBD=∠ECD, ∠CED=50°，∴.∠ECD=40°，.∠EBD=40°， ∴.∠ABE=∠ABC-∠EBC=60°-40°=20°，故 4题答图 选C. ·26· 参考答案及解析 2.A[解析]过点A作AD∥L1,如答图，则∠BAD= .△ABD≌△ACE(SAS).BD=CE. ∠B.l,∥l2,∴.AD∥l2,∴∠DAC=∠a=40 (2)由(1)可知△ABD≌△ACE, △ABC是等边三角形，.∠BAC=60°，∠B= ∴.∠ABM=∠ACN. ∠BAD=∠BAC-∠DAC=60°-40°=20°.故进A 又.：∠BAM=∠DAE=60°. .∠CAN=180°-60°-60°=60°=∠BAM. r∠MBA=∠NCA. 在△ABM和△ACN中，{AB=AC. L∠BAM=∠CAN, .△ABM≌△ACN(ASA)..∴.BM=CN. 2题答图 (3)由(2)知△ABM≌△ACN,∠CAN=60°， 3.75°【解析]：△ABC为等边三角形，AD⊥BC, ∴.AM=AN.∴.△AMN是等边三角形 LDAC=BAC =30AD =AE.L4DE= .∠ANM=60°=∠DAE..MNBE 【能力提升练】 (180-∠D1E)=2(180-30)=750 1.C[解析].AB∥CD,∠DCA+∠CMB=180°，即 ∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=I8O°，：△ACE 4.(1)解：：DB=DE,∴.∠E=∠DBE, 为等边三角形，.∠ECA=∠EAC=60°，∠EAB= ,'△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高， 180°-40°-60°-60°=20°.故选C. ∴，∠DBC=30°，∴.∠E=∠DBE=30° 2.30[解析]：EF垂直平分BC,∴.BF=CF,∴：∠B ..∠BDE=180°-30°-30°=120° =∠BCF,△ACF为等边三角形，∴.∠AFC=60°， (2)证明：△ABC是等边三角形.∴.∠ACB=60°， ∴.∠B=∠BCF=30°， ,∠E=30°，∴.∠CDE=∠ACB-∠E=30°， 3.48[解析]·∠ABC=60°，∠ACB=60°，.∠BAC .∠CDE=∠E,.CD=CE =60°，∴.△ABC是等边三角形，∴.AC=BC=48米 .△CED是等腰三角形 4.解：△APQ为等边三角形.理由： 5.C[解析]易知三个角都相等的三角形、有两个角 △ABC为等边三角形，∴，AB=AC 等于60°的三角形一定是等边三角形，故A,B项不 AB=AC. 特合题意：C项，等腰三角形底边上的高与中线重 在△ABP和△ACQ中，{∠ABP=∠ACQ, 合，所以一边上的高也是该边上的中线的三角形不 [BP =CQ, 一定是等边三角形，故C项符合题意：D项，有一个 .△ABP≌△ACQ(SAS), 外角等于120°的等腰三角形，即有一个内角等于 .AP=AQ,∠BAP=∠CAQ 60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，故D项 :△ABC为等边三角形， 不符合题意. ∴.∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°， 6.①24[解析]：∠ACB=90°，∠A=30,.∠B ∴.∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°， =60°，①当DC=DB时，由“有一个角是60°的等腰 ∴.△APQ是等边三角形. 三角形是等边三角形”可判定△BCD为等边三角 5.【问题解决】 形：②当AD=CD时，∠ACD=∠A=30°，∴.∠BCD 证明：在CD上截取CH=CE,连接EH,如答图①. =∠B=LBDC=60°，∴△BCD为等边三角形： :△ABC是等边三角形. ③当△ACD是等腰三角形，且∠A为顶角时，△BCD .∠ECH=60..△CEH是等边三角形. 不是等边三角形：④当△BCD是等腰三角形时， ∴.EH=EC,∠CEH=6O° ∠B=60°，∴.△BCD为等边三角形，∴.∠BCD= △DEF是等边三角形， 60°，∴，∠ACD=30°，∴，△ACD为等腰三角形.综上， .DE=FE,∠DEF=60 正确的说法是①②④. ∴.∠DEH+∠HEF=∠FEC+∠HEF=6O. 7.证明：AB=AC,.∠B=∠C. ∴∠DEH=∠FEC.,△DEH≌△FEC(SAS) D为AC的中点，DE⊥AB,DF⊥BC, ∴DH=FC.∴.CD=CH+DH=CE+FC, .AD=CD,∠AED=∠CFD=90. 即CE+CF=CD. 在Rt△AED和RL△CFD中，AD=CD,DE=DF, .Rt△AED≌R△CFD,∴.∠A=∠C, .∠A=∠B=∠C,.△ABC是等边三角形. 8.证明：(1)，△ABC和△ADE都是等边三角形， .'AB=AC,AD=AE,Z BAC DAE. B D ∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD, 即∠BAD=∠CAE. 5题答图① 5题答图2 AB =AC. 【类比探究】 在△ABD和△ACE中，{∠BAD=∠CAE, 解：CF=CD+CE. LAD=AE. 理由：：△ABC是等边三角形， ·27 八年级数学（上册） .∠A=∠B=60. 过点D作DG∥AB,交AC的延长线于点G D=4C=7×10=5故选C 如答图②..DG∥AB, D ,∴.∠GDC=∠B=60°，∠DGC=∠A=60°. ∠GDC=∠DGC=∠GCD=60° B ∴.△GCD为等边三角形.∴.DG=CD=CG. 6题答图 △EDF为等边三角形， 7.60海里[解析]由题意得∠CAB=30°，∠CBD= ,ED=FD,∠EDF=∠GDC=60 60°，∠ACB=30°，六BC=BA=2×20=40. ∴∠EDG=∠FDC :∠CDB=90°，∠CBD=60°，.∠BCD=30°，.BD ∴.△EGD≌△FCD.,EG=FC =BC=20A0=D+AB=20+40=60,即轮0 EG=CG+CE CD+CE, 航程AD的距离是60海里.故答案为60海里 CF CD +CE. 8.(1)证明：△ABC是等边三角形， 题型变式 ,.AB=CA,∠BAE=∠C=60 1.(1)证明：DE⊥AB,DF⊥AC, 又AE=CD,△ABE≌△CAD..BE=AD. ∴·∠BED=∠CFD=90. (2)解：由(1)知△ABE≌△CAD. AB=AC,∴.∠B=∠C ∴.∠CAD=∠ABE. D是BC的中点，∴，BD=CD. .∠BFD=∠PAB+∠ABE=∠PAB+∠CAD= r∠BED=∠CFD ∠BAC=60°， 在△BED和△CFD中，' ∠B=∠C. 又∵BO LAD,.∠PBQ=90°-∠BPD=90°-60°=30P BD CD, ∴.BP=2PQ=6.∴.BE=BP+PE=6+1=7. ∴△BED≌△CFD(AAS),∴，DE=DF ∴.AD=BE=7. (2)解：.AB=AC,∠A=60°， 9.解：(1)△4BC为等边三角形， ,△ABC为等边三角形，，∠B=60 ∴.AB=AC=BC=8,∠B=∠C=60°. AD =2,..BD =AB-AD =8-2=6. ∠BED=90LBDE=30BE=D 在R△BDE中，∠BDE=90°-∠B=90°-60°=30°. .BE =2,..BD=4,..BC=2BD =8, 能=0=寸×6=3CE=BC-E=8-3=5 .△ABC的周长为24. 在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=90°-60°=30°， 课时2含有30°角的直角三角形 【基础巩圆练】 1.C2.D 3.D[解析]因为∠A=60°，∠C=90°，所以∠B= AF=Ac-c=8-吾-号 180°-60°-90°=30°，在R1△ABC中，因为AC= (2)在△BDE和∠CEF中， 2km,所以AB=2AC=4km. r∠BED=∠CFE=90°， 4.C[解析]AB=AC,∠BAC=120°，∴∠B=∠C ∠B=∠C. DE=EF. =30e:DE⊥AB,DF⊥AC,DE=2BD,DF= ∴.△BDE≌∠CEF(AAS)..BE=CF DG.DE+DF-D(D+DC) ∠CEF=30BE=CF=EC =2BG=5m. B服=C=号BD=2BE= 5.A[解析]在△ABC中，∠：∠B:∠BCA=1:2:3, 六AD=AB-BD=号当AD=g时，DE=ER .∠ACB=90°，∠A=30°，∠B=60°.：AB=12, 【能力提升练】 .BC=6.,CD⊥AB,∠BDC=90°，.∠BCD= 1.D2.A 30°，.DB=3. 3.3[解析]AD=CD,∴.∠DAC=∠C=40 6.C[解析]如答图，过C作CD⊥BA,交BA的延长 ∠BAC=70°，∴.∠BAE=70°-40°=30 线于D,则∠D=90°，AB=AC,∠B=15°， ∠ACB=∠B=15°，.∠DAC=∠B+∠ACB=30°， BEADER3. ·28·