精品解析：江西省南昌市校联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024−2025学年第一学期12月初三数学阶段性质量检测 注意事项： 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项逐个分析判断即可解答. 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，正确理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解答的关键. 2. 如图，A，B，C是上的三个点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 利用圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为( ) A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】将诶：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN， ∴BM=1， 过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处， ∴FB=AB=2， 则在Rt△BMF中，FM===， 故选B． 5. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P，连接CP．随着切点P的位置不同，则圆O的半径最小值为（　 　） A. 2.5 B. 2.4 C. 2.2 D. 1.2 【答案】D 【解析】 【分析】如图所示，连接OC，OP，设圆O的半径为r，则OC=OP，由，得到，则当P、O、C三点共线且CP⊥AB时，r有最小值，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接OC，OP，设圆O的半径为r ∴OC=OP， ∵， ∴， ∴当P、O、C三点共线且CP⊥AB时，r有最小值， ∵AC=3，BC=4，∠ACB=90°， ∴， ∵， ∴， ∴r的最小值为1.2， 故选D． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离垂线段最短，圆与三角形综合，正确得到当P、O、C三点共线且CP⊥AB时，r有最小值是解题的关键． 6. 如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为，与在直线上．开始时点与点重合；让向右平移；直到点与点重合时为止．设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与图形运动问题，根据题意应分两种情况讨论：当时，重合部分是边长为的等腰直角三角形，当时，重合部分是直角梯形，再分别根据相应图形的面积公式确定关系式，进而可得答案． 【详解】解：当时，重合部分是边长为的等腰直角三角形，阴影部分的面积为： ，它的图象是一条开口向上、对称轴为轴的抛物线的一部分； 当时，重合部分是直角梯形，面积为：，它的图象是一条开口向下、对称轴为直线的抛物线的一部分． 故只有A选项符合题意． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm． 【答案】6 【解析】 【分析】连接OA，如图，先利用垂径定理得到AC=BC=AB=8，然后根据勾股定理计算OC的长． 【详解】解：连接OA，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC=BC=AB=8， 在Rt△OAC中，OC==6（cm）． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 8. 一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，则“摸出的球至少有1个黑球”是______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 【答案】随机 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念作答． 【详解】解：一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，共有以下2种情况： 1、2个红球； 2、1个红球，1个黑球； 所以从中任意摸出2球，“摸出的球至少有1个黑球”是随机事件， 故答案为：随机． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 9. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为，然后根据个位数的平方等于他去世时的年龄列出方程即可． 【详解】解：设他去世时年龄的个位数为x，则设他去世时年龄的十位数为， 由题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 10. 已知m，n是方程x2﹣x﹣4＝0的两个根，则mn﹣m﹣n＝___． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键． 11. 烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是____________． 【答案】4s 【解析】 【分析】将二次函数化为顶点式，顶点横坐标即为所求． 【详解】解：∵h==， ∴当t=4时，h取得最大值， ∴从点火升空到引爆需要的时间为4s． 故答案为：4s． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标是关键． 12. 如图，O是等边三角形内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，当α为__________________度时，是等腰三角形． 【答案】110或140或125 【解析】 【分析】由旋转知是等边三角形，故可表示出，，然后分三类分别解方程即可． 【详解】解：∵将绕点C按顺时针方向旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上：或或． 故答案为：110、140或125． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质和三角形内角和定理等知识，表示出，，运用分类思想是解题的关键． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的性质，通过移项、直接开平方计算，即可得到答案； （2）通过配方法求解一元二次方程，即可得到答案． 【小问1详解】 ∴ 移项得： ∴； 【小问2详解】 【点睛】本题考查了一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 14. 如图，已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点． （1）求二次函数的表达式． （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）将点、代入，将点代入分别求解即可； （2）由图象可得，时，． 【详解】解：（1）将点代入， 则， ， 将点、代入， 得， 解得：，， ； （2）由图象可得， 当时，． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的图象及性质，利用数形结合思想求解． 15. 家庭成员尤其是父母对待日常生活和工作的态度和处事方法都会对孩子有潜移默化的影响，父母在教育孩子认识问题和解决问题方面对孩子采取怎样的指导、帮助、要求，都会形成孩子对待问题的方式．为此，某校举行了一次“智慧家长”系列讲座活动，活动过程中，甲、乙、丙、丁四位家长踊跃发言，积极互动．活动后校方准备从这四位家长中随机抽选一位作为家长代表做总结发言，并从剩下的三位家长中随机抽选一位做进一步访谈调查． （1）选择家长乙作为家长代表做总结发言的概率为________； （2）请用列表法或画树状图的方法求家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意画出树状图，可得共有12种等可能的结果，其中家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的情况只有1种，再由概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得： 选择家长乙作为家长代表做总结发言的概率为； 故答案为： 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下∶ 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的情况只有1种， 所以家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的概率为． 【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 16. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． （2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 【答案】（1）方程是“黄金方程”， 理由如下： ，，， ， 一元二次方程 是“黄金方程”； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，代入判断是否为0即可； （2）根据已知条件中的新定义，找出，，的值，求出，的关系式，然后把化成，代入方程，得到关于的方程，进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 是关于的“黄金方程”， ，，， ， ， ， 原方程可化为， 是此方程的一个根， ，即， 解得或． 【点睛】本题主要考查了新定义，一元二次方程的根，解一元二次方程，解题关键是理解题目中的新定义． 17. 如图，经过A，B，C三个格点，请仅用无刻度的直尺作图， （1）画出圆心P； （2）画弦，使平分． 【答案】（1） 点P即为所求； （2） 如图所示，即为所求；     【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，取格点，连接交于，则点P即为所求； （2）连接，的中点为E，连接并延长交于点D，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，连接，取格点，连接交于，则点P即为所求； ∵，，， ∴， ∴， ∴是圆的直径， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为圆心． 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 理由：连接，的中点为E， 连接并延长交于点D，连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴平分． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，圆周角定理的应用，网格作图，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）在中，令，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式； （3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得． 【小问1详解】 解：在中，令得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 即w与x之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为， 即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 19. 如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 【答案】（1）1：2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据弧EF的两种求法，可得结论． （2）根据求解即可． 【小问1详解】 由圆锥的底面圆周长相当于侧面展开后扇形的弧长得： ． ∴． ∴，ED与母线AD长之比为 【小问2详解】 ∵ ∴ 答：加工材料剩余部分的面积为 【点睛】本题考查圆锥的计算，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 20. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）用含的式子表示： ， ， ； （2）当的面积为时，求运动时间； （3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 【答案】（1）， ， （2）或 （3）不能，理由： 由（1）得，， 当四边形的面积等于，， ∴，（舍）， ∵， ∴四边形的面积不能等于时． 【解析】 【分析】（1）根据从点开始沿边向点以的速度移动，则，根据，则；根据动点从点开始沿边向点以的速度移动，则；再根据，得，，即可； （2）根据，求出，即可； （3）根据，求出；再根据，即可． 【小问1详解】 ∵从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∵动点从点开始沿边向点以的速度移动， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， ，； 【小问2详解】 由（1）得， ∴当的面积为时， ∴， ∴，， ∴当的面积为时，求运动时间为：或． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的知识，动点和几何的综合，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，动点的运动轨迹，三角形的性质． 五、解答题（每小题9分，共计18分） 21. 如图，是四边形外接圆O的直径，，延长到E使得，作射线交的延长线与F，交与G． （1）求证：与相切； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， ∴， 又是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）先证是等边三角形，可得，再由可求得，则可得，可得结论； （2）由等腰三角形的性质可得，可证△FGD是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 为直径， ， ，， ，，， 由勾股定理得：，， ∴，， ∴， 的周长． 【点睛】本题考查直径（半圆）所对的圆周角是直角，切线的判定，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 22. 如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O离水面的距离． （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式． ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】（1）6m；（2）①；②2m 【解析】 【分析】（1）设，由题意得，求出抛物线图像解析式，求当x=12或x=-12时y1的值即可； （2）①由题意得右边的抛物线顶点为，设，将点H代入求值即可； ②设彩带长度为h，则，代入求值即可． 【详解】解（1）设，由题意得， ， ， ， 当时，， 桥拱顶部离水面高度为6m． （2）①由题意得右边的抛物线顶点为， 设， ， ， ， ， (左边抛物线表达式：) ②设彩带长度为h， 则， 当时，， 答：彩带长度的最小值是2m ． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数最值得求解方法，结合题意根据数形结合的思想设出二次函数的顶点式方程是解题的关键． 六、解答题（每小题12分，共12分） 23. 【教材呈现】以下是人教版八年级下册数学教材第50页的部分内容，如图，直线，与的面积相等吗？为什么？ 【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值； 【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，求； 【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径． 【答案】 【教材呈现】与的面积相等，理由： ∵， ∴点A，D到的距离相等， ∴与中边上的高相等， 即：与是同底等高的三角形， 根据三角形的面积公式为：底高， ∴与的面积相等； 【基础巩固】 【尝试应用】 【拓展提高】6 【解析】 【分析】教材呈现：利用平行线的性质和同底等高的三角形的面积相等的性质解答即可； 基础巩固：连接，设圆的半径为r，利用教材呈现的结论得到，再利用扇形面积公式和圆的面积公式解答即可； 尝试应用：连接，过点O作于点E，利用全等三角形的判定与性质和圆周角定理以平行线的判定定理得到，利用教材呈现的结论得到：，利用垂径定理，勾股定理和三角形的面积公式解答即可得出结论； 拓展提高：连接，交于点G，设，则，利用垂径定理的推论得到：，利用全等三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，再利用三角形的面积公式求得a值，最后利用相似三角形的判定与性质即可得出结论． 【详解】解：教材呈现：略 基础巩固： 连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 由教材呈现可知：， ∴， ∴阴影面积． ∵圆的面积为， ∴阴影面积与圆面积的比值为； 尝试应用： 连接，过点O作于点E，则． 在和中，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴由教材呈现可知：， 在中， ， ∴； 拓展提高： 连接，交于点G， 设，则， ∵是的直径，于点P， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的半径为6． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，平行线的性质，三角形的面积，扇形的面积，圆的面积，圆周角定理，垂径定理及其推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，正确理解并熟练运用教材呈现的结论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024−2025学年第一学期12月初三数学阶段性质量检测 注意事项： 说明：1．本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，A，B，C是上的三个点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，则FM的长为( ) A. 2 B. C. D. 1 5. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，有一过点C的动圆O与斜边AB相切于动点P，连接CP．随着切点P的位置不同，则圆O的半径最小值为（　 　） A. 2.5 B. 2.4 C. 2.2 D. 1.2 6. 如图，在等腰中，，直角边长与正方形的边长均为，与在直线上．开始时点与点重合；让向右平移；直到点与点重合时为止．设与正方形重叠部分(图中阴影部分)的面积为，的长度为，则与之间的函数关系大致是(　　) A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 如图，在半径为10cm的⊙O中，AB＝16cm，弦OC⊥AB于点C，则OC等于______cm． 8. 一个不透明的袋中装有3个红球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出2球，则“摸出的球至少有1个黑球”是______事件．（填“必然”、“不可能”或“随机”） 9. 读一读下面的诗词：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿同．诗词大意是周瑜三十岁当上了东吴都督，去世时年龄是两位数，十位数比个位数小3，个位数的平方等于他去世时的年龄，若设他去世时年龄的个位数为x，则根据题意可列出方程______． 10. 已知m，n是方程x2﹣x﹣4＝0的两个根，则mn﹣m﹣n＝___． 11. 烟花厂为春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间是____________． 12. 如图，O是等边三角形内一点，，，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，当α为__________________度时，是等腰三角形． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1） （2） 14. 如图，已知一次函数y1＝﹣x+m与二次函数y2＝ax2+bx﹣3的图象交于A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点． （1）求二次函数的表达式． （2）当y1＞y2时，直接写出自变量x的取值范围． 15. 家庭成员尤其是父母对待日常生活和工作的态度和处事方法都会对孩子有潜移默化的影响，父母在教育孩子认识问题和解决问题方面对孩子采取怎样的指导、帮助、要求，都会形成孩子对待问题的方式．为此，某校举行了一次“智慧家长”系列讲座活动，活动过程中，甲、乙、丙、丁四位家长踊跃发言，积极互动．活动后校方准备从这四位家长中随机抽选一位作为家长代表做总结发言，并从剩下的三位家长中随机抽选一位做进一步访谈调查． （1）选择家长乙作为家长代表做总结发言的概率为________； （2）请用列表法或画树状图的方法求家长甲作为家长代表做总结发言，且家长丁被抽选做进一步访谈调查的概率． 16. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由． （2）已知是关于的“黄金方程”，若是此方程的一个根，则的值为多少？ 17. 如图，经过A，B，C三个格点，请仅用无刻度的直尺作图， （1）画出圆心P； （2）画弦，使平分． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 19. 如图1中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥（如图2），制作这种外包装需要用如图3所示的等腰三角形材料，其中，将扇形EAF围成圆锥时，AE、恰好重合，已知这种加工材料的顶角． （1）求图2中圆锥底面圆直径ED与母线AD长的比值； （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图3中阴影部分）的面积．（结果保留π） 20. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为． （1）用含的式子表示： ， ， ； （2）当的面积为时，求运动时间； （3）四边形的面积能否等于？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由． 五、解答题（每小题9分，共计18分） 21. 如图，是四边形外接圆O的直径，，延长到E使得，作射线交的延长线与F，交与G． （1）求证：与相切； （2）若，求的周长． 22. 如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系． （1）求桥拱顶部O离水面的距离． （2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式． ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值． 六、解答题（每小题12分，共12分） 23. 【教材呈现】以下是人教版八年级下册数学教材第50页的部分内容，如图，直线，与的面积相等吗？为什么？ 【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值； 【尝试应用】如图2，在半径为5的中，，求； 【拓展提高】如图3，是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $