精品解析：甘肃省酒泉市敦煌市青海油田第一中学2025届高三上学期12月月考数学试题

青海油田第一中学2024~2025学年高三12月月考 数学试题 一､单项选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分别求出集合A、B，再结合交集的概念即可得答案. 【详解】由，可得或或， 所以集合， 由，可得，所以集合， 所以， 故选：D. 2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】对A，是偶函数，当，， 所以在上单调递减，故A错误； 对B，，所以为非偶函数，故B错误； 对C，，所以为偶函数，当， 为减函数，其在上单调递增，故C正确； 对D，，所以为奇函数，故D错误. 故选：C 3. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若不等式的解集为，则必有 D. 命题“，使得.”的否定为“，使得.” 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分、必要条件分析判断A；若，满足，但不满足，可得结论判断B；根据分类讨论的符号，结合一元二次不等式分析判断；根据存在量词命题的否定是全称量词命题可判断D. 【详解】对于选项A：例如，则， 即，满足题意，但不成立，即充分性不成立； 例如，则， 即，满足题意，但不成立，即必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确； 对于选项B：若，满足，但不满足， 故“”是“”的必要不充分条件，故B不正确； 对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意； 若，则的解集不可能为两数之间，不合题意； 综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确； 对于选项D：命题“，使得.”的否定为“，使得.”，故D不正确. 故选：C. 4. 函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数与三角函数的性质研究函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则， 当时，，可得，则单调递增； 当时，，可得，则单调递减； 由，，，则的最小值为. 故选：A. 5. 设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则问题等价于时，只有一个零点，结合函数的单调性得到，解出即可； 【详解】令，得，即， 设，则问题等价于时，只有一个零点， 由函数的单调性可得在时单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用得到，求出，又，故，联立求出，利用余弦差角公式进行求解. 【详解】因为， ，所以， 所以，①， 又因为，所以②， ①②联立解得  ， 所以. 故选：B 7. 曲线，的所有切线中，斜率最小的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，再求导函数的最小值即为切线斜率的最小值，最后根据点斜式得切线方程. 【详解】由，， 则， 由，则， 当，即时，， 又，即在点处切线的斜率最小为， 则此时的切线方程为：，即， 故选：D. 8. 已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的单调性，作出函数图象，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 令，则其图象为开口向下，对称轴为的抛物线； 由关于x的不等式， 可知，当时，，即有； 当时，，即有； 作出函数图象如图： 要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个， 显然不能满足题意，故需满足，即， 解得，即的取值范围为， 故选：A 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于作出函数图象，从而列出相应不等式组，求得答案. 二､多项选择题 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义，结合诱导公式逐项计算即得. 【详解】由角的终边经过点，得点到原点的距离， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量与向量的夹角的余弦值为 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示判断A；利用向量垂直的坐标表示判断B；求出向量夹角的余弦判断C；求出投影向量判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，若，则，又，则，C正确； 对于D，若，则，又，于是， 则向量在向量上的投影向量为，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 若时，恒成立，则实数m的取值范围为 D. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，再求最小正周期可判断A，代入检验法可判断B，利用三角函数的性质可判断C，利用三角函数的图象变换和性质可判断D. 【详解】因为， 所以的最小正周期为，故A正确； 又由，故B错误； 当时，可得， 当，即时，取得最小值， 因为，恒成立，所以， 即实数的取值范围为，故C正确； 由题意得函数，因为， 所以，又因为函数有且仅有5个零点， 则满足，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，求的值________. 【答案】 【解析】 【分析】注意到，从而直接代入求解即可. 【详解】. 故答案为：. 13. 在中，三内角所对的边分别为，若，则的面积为_____ 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求出，再由面积公式求解即可； 【详解】由余弦定理可得，即，解得或（舍去）， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数，则函数的零点个数是______________. 【答案】112 【解析】 【分析】作出的图象，换元后，先考虑方程根的个数及根所在范围，再由数形结合求原函数零点的个数. 【详解】作出的图象，如图， 令，考虑方程的根，由图象可知有16个根， 分别设为，由图象知， ， 再考虑，分别作出直线， 可知原函数共有零点个. 故答案为：112 【点睛】关键点点睛：本题的关键点一个是作出函数的图象，再一个就是通过换元结合图象先求出方程的根的个数及范围，最后再由数形结合确定原函数零点个数. 三､解答题 15. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 表一： 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 （1）请用相关系数说明该组数据中变量与变量之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）； （2）求关于的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （3）基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关. 表二： 没有进步 有进步 合计 参与周六在校自主学习 35 130 165 未参与周六在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 （参考数据：的方差为的方差为230.8，） 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），r值非常接近于1，故变量与变量之间的关系可以用线性回归模型拟合. （2）分. （3）有关 【解析】 【分析】（1）依据公式计算即可求得相关系数； （2）利用最小二乘法求得回归方程，再令即可得解； （3）根据公式求得，再对照临界值表即可得解. 【小问1详解】 ， 又的方差为的方差为230.8， 则 r值非常接近于1，故变量与变量之间的关系可以用线性回归模型拟合. 【小问2详解】 ， ， 故，当时，， 故预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩为分. 【小问3详解】 , 因为，所以依据的独立性检验， 可以认为“周六在校自主学习与成绩进步”有关. 16. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间； （2）由伸缩变换与平移变换得解析式，得，根据整体角范围求余弦值，再由角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得. 【小问1详解】 . 由， 解得 即时，函数单调递减， 所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）， 则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象， 所以. 若，则， . 由，得，又， 所以，则， 故 . 故的值为. 17. 如图，已知的内角所对的边分别是，，且的外接圆面积为. （1）求边； （2）若，延长至，使得，求. 【答案】（1）7 （2）5 【解析】 【分析】（1）先求出的外接圆半径，利用题设和正弦定理，化角为边，由余弦定理求得，代入计算即得； （2）先由余弦定理求得，得，结合，利用和角公式求得，最后利用正弦定理即可求得. 【小问1详解】 设的外接圆半径为， 由题意，解得. 由和正弦定理，可得：， 又由余弦定理，可得， 因为，故 由正弦定理，； 【小问2详解】 由（1）已得， 则， 化简得：，解得，（舍去）. 由余弦定理，可得， 所以. 由，可得. 故 ， 在中，由正弦定理，, 即得. 18. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用正弦定理及和角公式可得，再结合的范围，即可得到； （2）由正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得，根据角的范围可得的范围，进而得到答案． 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，即； 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以， 则 ， 由于为锐角三角形，故，所以， 从而，则，所以， 因此的取值范围是． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，令，则； 当时，，，即， 在上单调递增，又，， 在上有唯一零点，即在上有且仅有一个零点. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）令，求导后可知，由此确定在上单调递增，结合零点存在定理可得结论； （3），将问题转化为恒成立；求导后，分析可知当时，单调递增；当时，利用零点存在定理可说明在上单调递减，由此可得，知不合题意；当时，可得，知单调递增，满足题意；当时，采用放缩法得，结合时的结论可知其满足题意；综合三种情况可得结果. 【小问1详解】 当时，，则， ，又， 在点处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令， 则对任意，恒成立；又， 令，则； 当时，若，则，，， 在上恒成立，则在上单调递增； ①当时，，， ，使得，且当时，， 在上单调递减，此时，不合题意； ②当时，； 当时，，则在上单调递增， 恒成立，满足题意； ③当时，， 由②知：对任意，，满足题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求解切线方程、函数零点个数问题、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为含参数函数单调性的讨论问题，进而由单调性和函数最值确定满足题意的参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青海油田第一中学2024~2025学年高三12月月考 数学试题 一､单项选择题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若不等式的解集为，则必有 D. 命题“，使得.”的否定为“，使得.” 4. 函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，当时，曲线与只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 曲线，的所有切线中，斜率最小的切线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的不等式的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题 9. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则向量与向量的夹角的余弦值为 D. 若，则向量在向量上的投影向量为 11. 已知函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 直线是函数的图象的一条对称轴 C. 若时，恒成立，则实数m的取值范围为 D. 将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为． 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，求的值________. 13. 在中，三内角所对的边分别为，若，则的面积为_____ 14. 已知函数，则函数的零点个数是______________. 三､解答题 15. 为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）. 表一： 编号 1 2 3 4 5 学习时间 30 40 50 60 70 数学成绩 65 78 85 99 108 （1）请用相关系数说明该组数据中变量与变量之间的关系可以用线性回归模型拟合（结果精确到0.001）； （2）求关于的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩； （3）基于上述调查，某校提倡学生周六在校自主学习.经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生.按照是否参与周六在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周六在校自主学习与成绩进步”是否有关. 表二： 没有进步 有进步 合计 参与周六在校自主学习 35 130 165 未参与周六在校自主学习 25 30 55 合计 60 160 220 （参考数据：的方差为的方差为230.8，） 附：，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值． 17. 如图，已知的内角所对的边分别是，，且的外接圆面积为. （1）求边； （2）若，延长至，使得，求. 18. 记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点； （3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $