2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（13）空间几何体的表面积和体积（新高考地区专用）

2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（13） 空间几何体的表面积和体积 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．已知圆锥的底面周长为，其侧面积与半径为的球的表面积相等，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】 【解析】设该圆锥的底面半径为，母线长为，则，解得． 因为半径为的球的表面积为，即，解得， 则圆锥的高． 所以该圆锥的体积． 故选：A 2．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过，由正四棱台的性质可知：是该正四棱台的高， 因为四边形是等腰梯形， 所以， 由勾股定理可知：， 所以该四棱台的体积为， 故选：C 3．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知：圆锥的母线长为， 所以这个陀螺的表面积是. 故选：C 4．已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为、， 如下图所示： 在梯形内，，，，则， 故四边形为矩形，所以，，， 在、中，，，， 所以，，所以，， 所以，， 因此，该圆台的体积为. 故选：D. 5．已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为2，则该正三棱台的体积为（ ） A. 52 B. C. D. 【答案】C 【解析】将正三棱台补成正三棱锥， 则与平面所成角即为与平面所成角， 设点在平面上的射影为，在平面上的射影为， 则为的中心，为的中心，即为棱与底面所成的角，所以， 由于， 故， 所以棱台的高，又上、下底面的面积分别为和， 所以棱台的体积． 故选：C. 6．一圆柱放置于底面直径和高都是2的圆锥内，其底面放在圆锥底面上，则圆柱体积最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图，作出其轴截面，设圆柱的底面半径为，高为， 由，则，所以， 因为，令，则， 易知时，单调递增，时，单调递减， 所以. 故选：C. 7．若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】如图： 取与的交点为，取中点，连接，交于点， 则三棱锥即为四面体与四面体的公共部分. 因为. 又，所以，所以. 过作于点， 因为平面，平面，所以. 因为，平面，所以平面. 所以为到平面的距离，其值为， 点为的中点，所以点到平面的距离为：. 所以. 故选：C 8．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设，三棱锥外接球的半径为R，则，解得， 设的外心为，该点是棱AC的中点，设等边的外心为， 过点作平面APC的垂线，过点作平面ABC的垂线，两垂线交于点O， 即为三棱锥外接球的球心． 因为二面角的大小为，所以， 于是，， ， 因为，即， 解得，即， 因为，所以当时，点P到平面ABC的距离最大， 其最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值等于. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 球的体积是圆锥体积的两倍 【答案】ACD 【解析】对于A，圆柱的底面直径和高都等于， 圆柱的侧面积故 A正确； 对于B，圆锥的底面直径和高等于， 圆锥的侧面积为，故B错误； 对于C，圆柱的侧面积为， 球的表面积，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； 对于D，球的体积为，圆锥的体积为， 即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确． 故选：ACD． 10．如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥与三棱锥公共部分的体积为 【答案】ABD 【解析】对于A，因为是等边中边上的高，所以， 因为，，分别是，的中点， 所以，显然，故A项错误； 对于B，因为三角形是边长为的等边三角形，三角形为等腰三角形， 是的中点，所以， 而，所以，这表明与不垂直，故B项错误； 对于C，因为，分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C项正确； 对于D，连接，交于点，连接并延长， 则由对称性可知必定交于点， 则三棱锥与三棱锥公共部分即为三棱锥， 因为，分别是，的中点， 所以为的重心，所以， 由上易知，圆锥的轴截面为边长为2的正三角形，所以圆锥的高为， 所以， 所以三棱锥与三棱锥公共部分的体积为，故D项错误. 故选：ABD. 11．如图 在正四棱柱中， 底面正方形 边长为， ，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 已知直线为平面和平面ABCD 的交线， 则平面内存在直线与平行 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角最大时， D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】选项 A，因为 平面 ，且 平面 ，所以平面 和平面 的交线 ， 而 与平面 相交，则平面 内不存在直线与 平行，即不存在直线与直线 平行，故 错误； 选项 平面 ，所以点 到平面 的距离为定值，而三角形 的面积为定值，故三棱锥 的体积为定值，故 正确; 选项 C，记 到平面 到距离为 ，由选项 B 可知， 为定值，记直线 与平面 所成角为 ， 则 ，又正弦函数在 上单调递增，则 最大时, 最大，从而即为 最小时，此时 ， 在中，,所以 可得 ，故正确; 选项 ，作平面 与平面 的展开图如图 所示， 则 的最小值即为展开图中线段 的长， 中， ， 所以 ， 从而 中，由余弦定理可知， ， 从而 的最小值为 ，故错误， 故选: . 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为_________cm 【答案】15 【解析】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积. 设玻璃球的半径为，即圆柱形玻璃杯的底面半径为 则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为 若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为 所以，解得 故答案为：15 13.与圆台上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为__________． 【答案】## 【解析】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长， ，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为. 故答案为： 14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为______． 【答案】## 【解析】 如图，圆锥顶点为P，底面圆心为C，底面圆周与顶点均在球心为O的球面上， ，记 则圆锥侧面积为， 若相同时，较大才能取得最大值，由截面圆的对称性知，圆锥侧面积最大时两点位于球心两侧， 此时， ，而,又， 故 令， ， 当时，单调递增； 当时，单调递减， 故当时，最大，圆锥侧面积最大，此时， 此时圆锥体积， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三数学“8+3+3”小题期末专项练（13） 空间几何体的表面积和体积 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.不选、多选、错选均不得分. 1．已知圆锥的底面周长为，其侧面积与半径为的球的表面积相等，则该圆锥的体积为（ ） A． B． C． D． 2．四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，四条侧棱的长均为，则该四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 3．陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺立体结构图．已知，底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积(单位：)是（ ）    A． B． C． D． 4．已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 5．已知正三棱台的上底面边长，下底面边长，侧棱与底面所成角的正切值为2，则该正三棱台的体积为（ ） A. 52 B. C. D. 6．一圆柱放置于底面直径和高都是2的圆锥内，其底面放在圆锥底面上，则圆柱体积最大为（ ） A. B. C. D. 7．若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（ ） A. B. C. D. 1 8．三棱锥的底面是等边三角形，，二面角的大小为，若三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值等于（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 球的体积是圆锥体积的两倍 10．如图所示，，，是圆锥底面圆周上的三个点，若是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点，为线段的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 三棱锥与三棱锥公共部分的体积为 11．如图 在正四棱柱中， 底面正方形 边长为， ，为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（ ） A. 已知直线为平面和平面ABCD 的交线， 则平面内存在直线与平行 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角最大时， D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为_________cm 13.与圆台上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为__________． 14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为______． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$