精品解析：江苏省宿迁市宿城区2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024-2025学年度第一学期期中调研测试 八年级数学 满分150分时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将各小题正确答案填写到对应的表格中） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，平分．证明的依据是(　　) A. B. C. D. 3. 如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若斜边的长为10，则的值为（ ） A. 8 B. 32 C. 64 D. 100 5. 下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. 1，， C. ，， D. 7，12，13 6. 在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： __________． 10. 如图，在中，，平分，，则点D到的距离是______． 11. 如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连结．若，则________． 12. 在中，，则边上的中线_____． 13. 如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，则的长是__________． 14. 如图，四边形中，，，作于，若，则四边形的面积是_____． 15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 16. 若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为______． 17. 如图，平分的外角，过点作的垂线，垂足为点，．若，，则的长为 ___________________． 18. 如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为______． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 已知，，，求证． 20. 如图，点为的外角平分线上的一点，．求证：是等腰三角形． 21. 如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 22. 如图，在中，是边的垂直平分线，，是的中点，，求的度数． 23. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 24. 如图，在中，，点是、平分线的交点． （1）连接，求证：平分； （2）若，，求点到边的距离． 25. 清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）当时，写出这一组勾股数______． （2）证明“罗士琳法则”的正确性． 26. 如图，在△ABC中,AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G, CD=AE. (1)求证: CG=EG. (2)已知BC=13, CD=5,连结ED,求△EDC 的面积. 27. 【问题1】在中，垂足为A，为内一点，连接，，延长到点，使得． （1）如图1，延长到点，使得，连接，，若．求证：； （2）如图2，连接，交的延长线于点，若，猜想，，的数量关系，并证明你的猜想； 【问题2】如图3，在中，，如果点为线段上一动点，点为线段上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值为______． 28. 如图1，在中，，，，点是射线上一动点，过点作的垂线，交射线于点，交射线于点，连结． （1）当时，求的长； （2）如图2，当时，求的长； （3）连结，在点的整个运动过程中，当是等腰三角形时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中调研测试 八年级数学 满分150分时间120分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将各小题正确答案填写到对应的表格中） 1. 现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 如图，，平分．证明的依据是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据角平分线的定义得出，进而根据证明两三角形全等，即可求解． 【详解】解：平分， ， 在与中， ， ， 故选：D． 3. 如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据全等三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质，即可求解． 【详解】解：， ， ，点，，，在同一条直线上， ， 故选：A． 4. 如图，以的两直角边为边向外作正方形，其面积分别为，，若斜边的长为10，则的值为（ ） A. 8 B. 32 C. 64 D. 100 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．设直角边，则，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设直角边， 则， ∵斜边的长为10， ∴， ∴， 故选：D． 5. 下列四组数据中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，， B. 1，， C. ，， D. 7，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意； B、，故是直角三角形，故本选项符合题意； C、，故是直角三角形，故本选项不符合题意； D、，故不是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由线段垂直平分线的性质可得，根据等边对等角得到，根据内角和定理求得，最后根据角度的和差关系即可得到答案． 【详解】由题意可得：是的垂直平分线， 则， 故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 7. 如图，是个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是，小正方形的面积是，若用表示直角三角形的两条直角边（），请观察图案，下列式子不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，由图可得，，即可判断；进而由完全平方公式可得，即可判断；正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图形可得，，，故正确； ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴，故错误； 故选：． 8. 如图，的顶点在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理求出，再根据割补法求出的面积，由三角形面积求出即可． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ∵， ∴的面积， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 9. 如图， D， E是边上的两点，， 现要直接用“”定理来证明， 请你再添加一个条件： __________． 【答案】 【解析】 【分析】在与中，已知，，即已知一角及角的一边对应相等，根据“”的判定方法，可以添加已知边的对角对应相等即可．本题考查了全等三角形的判定定理：：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 【详解】解：可添加一个条件：，使． 理由： 在与中， ， ． 故答案为 10. 如图，在中，，平分，，则点D到的距离是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等是解题的关键．过点D作于点E，根据角平分线的性质定理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点E，     ∵，平分，， ∴， 即点D到边的距离是5， 故答案为：5． 11. 如图，在中，，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点D，连结．若，则________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．根据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：50． 12. 在中，，则边上的中线_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，先利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行求解即可 【详解】解：在中，， ∴， ∴边上的中线， 故答案为：5． 13. 如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，则的长是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】作于H，如图，根据等腰三角形的性质得，在中由得到，则根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后计算即可． 【详解】作于H，如图， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 14. 如图，四边形中，，，作于，若，则四边形的面积是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，多边形内角和，过点作交延长线于点，证明，将四边形的面积转化为四边形的面积即可解答． 【详解】解：过点作交延长线于点， ， ． ，， ， ， 在和中， ， ，， ，即， ． 故答案为：． 15. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 【答案】20 【解析】 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 16. 若等腰三角形的两条高所在直线形成的角中有一个为，则其顶角的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的有关概念，三角形的内角和定理，分三种情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】分情况讨论： 如图，，， ∵，， ∴， ∴，即顶角为， 如图，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即顶角为， 如图， 同理可得， ∴，即顶角为， 综上可知：顶角度数为或或． 17. 如图，平分的外角，过点作的垂线，垂足为点，．若，，则的长为 ___________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了等角对等边，全等三角形的判定与性质，添加合适的辅助线构建全等三角形是解题的关键．延长交于点，根据等角对等边推出，易证，根据全等三角形的性质得出，，再根据线段的和差求出，即可求解． 【详解】解：如图，的延长线交于点， ， ， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理，熟练掌握与勾股定理有关图形面积计算是解题关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式由可得，由，即可求解． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 已知，，，求证． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 20. 如图，点为的外角平分线上的一点，．求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：， ， ， 为的外角平分线上的一点， ， ， ， 是等腰三角形． 【解析】 【分析】首先依据平行线的性质证明，，然后结合角平分线的定义可证明，故此可证明为等腰三角形． 【详解】略 【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键． 21. 如图，已知为的中点，，，、为垂足，且，，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵D是的中点， ， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴（等角对等边）． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，解答本题的关键是明确题意．先利用条件证明出，从而得到，利用等角对等边证出，再利用，证明出，从而得到答案即可． 【详解】略 22. 如图，在中，是边的垂直平分线，，是的中点，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，构建合适的辅助线是解本题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，推出，，根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， 是的中点， ，， ， 是的一个外角， ， ， ， ． 23. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 24. 如图，在中，，点是、平分线的交点． （1）连接，求证：平分； （2）若，，求点到边的距离． 【答案】（1） 证明：过作于，于，于， 点是、平分线的交点， ，， ， ，， 平分； （2）1． 【解析】 【分析】（1）过作于，于，于，根据角平分线的性质得到，，继而，再根据角平分线的判定即可证明； （2）先由勾股定理求出，再由的面积的面积的面积的面积，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， 的面积的面积的面积的面积， ， ， ， 点到边的距离是1． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及判定，勾股定理，点到直线的距离，熟练掌握知识点是解题的关键． 25. 清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”，其中有一个法则是“如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数”． （1）当时，写出这一组勾股数______． （2）证明“罗士琳法则”的正确性． 【答案】（1）14，48，50； （2）见解析． 【解析】 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）根据勾股定理计算证明即可． 【小问1详解】 解：当时， 根据题意得：， ∴这一组勾股数为14，48，50； 故答案为：14，48，50． 【小问2详解】 证明：∵ ． ， ∴当k大于2时，， ∴如果k是大于2的偶数，那么k，k的一半的平方减1，k的一半的平方加1是一组勾股数． 26. 如图，在△ABC中,AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G, CD=AE. (1)求证: CG=EG. (2)已知BC=13, CD=5,连结ED,求△EDC 的面积. 【答案】（1）证明：连接ED， ∵AD⊥BC ∴∠ADB=90° ∵CE是AB边上的中线 ∴E是AB的中点 ∴DE=AB 又∵AE=AB ∴AE=DE ∵AE=CD ∴DE=CD 即△DCE是等腰三角形， ∵DG⊥EC， ∴CG=EG； （2）7.5 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一的性质即可得证； （2）过点E作EF⊥BC于点F，首先求出BD，再根据等腰三角形三线合一得DF=4，利用勾股定理求出EF即可求出△EDC的面积. 【详解】（1）略 （2）如图，过点E作EF⊥BC于点F， ∵BC=13, CD=5 ∴BD=13-5=8，DE=CD=5 ∵DE=AB=BE， ∴△BDE为等腰三角形， 又∵FE⊥BD， ∴DF=BD=4 在Rt△DEF中， ∴S△EDC= 【点睛】本题考查直角三角形与等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形三线合一的性质是解决本题的关键. 27. 【问题1】在中，垂足为A，为内一点，连接，，延长到点，使得． （1）如图1，延长到点，使得，连接，，若．求证：； （2）如图2，连接，交的延长线于点，若，猜想，，的数量关系，并证明你的猜想； 【问题2】如图3，在中，，如果点为线段上一动点，点为线段上一动点，且，连接、，且，，请直接写出的最小值为______． 【答案】 （1）证明：在和中， ∴， ， ∴， ， ； （2），理由如下： 如图2，延长到，使，连接，， ，， 为的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ，， ∴． ， ， 由勾股定理可得：， ； （3）． 【解析】 【分析】（1）证明得出，从而推出，结合即可得解； （2）由“”可证得出，，从而推出，结合题意得出，最后由勾股定理即可得解； （3）作于，且，连接交于，证明，得出，从而得到，由两点之间，线段最短可得，此时的的值最小，由勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，作于，且，连接， 在和中， ， ∴， ， ，由两点之间，线段最短可得，此时的的值最小， 过点作直线于点， 四边形是矩形， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质与判定，添加恰当辅助线构造全等三角形是解此题的关键． 28. 如图1，在中，，，，点是射线上一动点，过点作的垂线，交射线于点，交射线于点，连结． （1）当时，求的长； （2）如图2，当时，求的长； （3）连结，在点的整个运动过程中，当是等腰三角形时，求的面积． 【答案】（1）2； （2）4； （3）或24． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，勾股定理，中垂线的性质 （1）根据可知，又因为，即可求得的长； （2）根据，，可知，故，即可求得； （3）分两种情况①当时，根据是的中垂线得到是的中垂线，在中，，可求出一种解②当时，在中，可以求出另一种解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴ ∵, ∴ ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【小问3详解】 解：由题意可知，分两种情况 ①当时 ∵ ∴是的中垂线 ∵是的中垂线 ∴， 设则， 在中，解得 ②当时， ∵，， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设，则 ∵ ∴ 在中，解得 综上所述，为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $