精品解析： 山东省菏泽市巨野县2024-2025学年九年级上学期期考试数学试题

九年级数学期中试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三内角度数比是1:2:3，可知三内角度数分别为30°，60°，90°； 根据三角形三个内角的度数找出最小的内角，然后结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】∵三角形三个内角度数的比为1:2:3，三角形内角和180°， ∴三个角度数分别为：180°×=30°， 180°××=60°， 180°×=90°， ∴最小的角的正切值为tan30°=.故选C. 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是求出三角形中最小的内角的度数. 2. 四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补的性质，利用互补即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题意作出直角，然后根据，设一条直角边为，斜边为，根据勾股定理求出另一条直角边的长度，然后根据三角函数的定义可求出． 【详解】解：如图， ， 设，， 则， 故． 故选：． 4. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，方程中最高次项的指数为，二次项系数不能为零， 由此即可求解． 【详解】解：方程中最高次项为，且次数为二次， ∴，即， 故选：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，理解和掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 5. 将方程化为后，的值是（ ） A. ，1， B. ，1， C. ，， D. ，1， 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，先去括号，然后移项合并同类项把原方程化为的形式即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选；C． 6. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2 【答案】B 【解析】 【分析】贴纸部分的面积等于大扇形的面积减去小扇形ADE的面积，由此即可解答． 【详解】∵AB=25，BD=15， ∴AD=10， ∴S贴纸= =175π×2=350cm2， 故选B． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式． 7. 如图的半径是的直径，的半径交于，设弧的长是，弧的长是，那么( ) A. ﹥ B. ﹤ C. D. 与的大小不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了弧长的公式，圆周角定理；由圆周角定理，得，由题意得，再代入弧长的公式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 故选：C． 8. 如图所示，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为α，AC⊥BM于C，下列式子：①i＝AC∶AB；②i＝(AC－DE)∶EC；③i＝tanα＝；④AC＝i·BC.其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据坡度的定义i=tanα==解答即可． 【详解】AC⊥BM于点C，DE⊥BC于E， ∴i=tanα=== ∴AC=iBC，DE=iBE， ∴AC−DE=iBC−iBE=CEi， ∴i= ∴②③④正确， 故选C. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度的定义是解题的关键. 9. 已知及外一点，过点作出的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具），以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①连接，作的垂直平分线，交于点； ②以点为圆心、为半径画弧、交于点； ③作直线，则直线即为所求（如图1）． 乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点； ②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在上，记这时直角顶点的位置为点M， ③作直线，则直线即为所求（如图2）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙都对 B. 甲、乙都错 C. 甲对，乙错 D. 甲错，乙对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了复杂的作图，重点是运用切线的判定来说明作法的正确性． （1）如图1：连接、，作的垂直平分线l可得，进而得到，，所以，即可说明其正确性；（2）直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在上，所以即可判定（2）． 【详解】解：（1）如图1，连接、， ∵作的垂直平分线l，交于点A， ∴． ∵以点A为圆心、为半径画弧、交于点M； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）如图2:∵直角三角板的一条直角边始终经过点P，它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在上， ∴， ∴是的切线． 故两位同学的作法都正确． 故选A． 10. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A. 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质，得出，再根据新定义运算法则，得出，然后分四种情况：当时，当时，当时和当时，根据新定义运算法则，结合直接开平方法解一元二次方程，计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，则， ∴，即， 解得：； ②当时，则， ∴，即， 解得：或（舍）； ③当时，则， ∴，即， 解得或（舍）； ④当时，，方程没有实数解； 综上所述：方程的解为或或， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 用配方法将变形为，则m=_________． 【答案】17 【解析】 【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】x2-8x-1=0， 移项得：x2-8x=1， 配方得：x2-8x+16=17，即（x-4）2=17． 所以m=17． 故答案为17． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤： （1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可． （2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是m，则的值为______． 【答案】-2011 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程的一个根是m，可得，再由求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是m， ∴， ∴， ∴． 故答案为：-2011． 【点睛】本题考查一元二次方程的解和代数式求值，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型． 13. 已知平面上点到的最大距离为，最小距离是，那么⊙O的半径为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，分类讨论，当点在圆外时，根据圆外一点到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径，当点在圆内时，根据圆内一点到圆上各点的最大距离加上最小距离等于圆的直径即可求解． 【详解】解：当点在圆外时， ∵外一点到上各点的最大距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 当点在圆内时， ∵内一点到上各点的最大距离为，最小距离为， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：或． 14. 如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为______. 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：根据题意画出平移后的图形，如图所示： 设平移后的△A′B′C′与相切于点D，连接OD，OA，AD， 过O作OE⊥AD，可得E为AD的中点， ∵平移前与AC相切于A点， ∴OA⊥A′C,即 ∵平移前与AC相切于A点,平移后与A′B′相切于D点， 即A′D与A′A为的两条切线， ∴A′D=A′A,又 ∴△A′AD为等边三角形， ∴ ∴ 在Rt△AOE中, ∴ ∴ ∴ 则该直角三角板平移的距离为 故答案为 15. 如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】作，使，，再延长BC到点，使，联结，即可得，设，然后用t表示出CD，最后根据余切的定义作答即可． 【详解】解：如图：作，使，，再延长CB到点，使，联结，即可得 设，则BC=t，AB=BD=t 所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t 所以． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°角的直角三角形成为解答本题的关键． 16. 在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测倾器测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10米．则河的宽度为________米(结果保留根号). 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形， 设CK=HB=x， ∵∠CKA=90°，∠CAK=45°， ∴∠CAK=∠ACK=45°， ∴AK=CK=x，BK=HC=AK﹣AB=x﹣30， ∴HD=x﹣30+10=x﹣20， 在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°， ∴，即 解得x=30+10． ∴河的宽度为（）米． 故答案为： 考点：解直角三角形的应用. 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解方程． （2）计算． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，特殊角的三角函数值的混合运算； （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． （2）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1） ∴ ∴ ∴ ∴或 解得： （2） 18. 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是BC的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，求AC的长． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC，根据圆心角与弧之间的关系可得，由于，根据等腰三角形的性质可得在直角三角形中，根据勾股定理可求出OB，进而求出OD长，再根据三角形中位线定理可得AC的长． 【详解】解：连接OC，如图所示． 点E是的中点， ， 设的半径为， 则 即 解得： ． 【点睛】考点：1、垂径定理；2、勾股定理；3、三角形中位线定理． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】 （1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0的解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 20. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵连接，则， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理及推论，圆切线的判定．含的直角三角形性质，是解决问题的关键． （1）连接，由，，推出，得到，由，得到，即得； （2）由直径性质可得，推出，根据含的直角三角形性质得到，根据，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21. 如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）． 【答案】． 【解析】 【分析】首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解． 【详解】过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．在Rt△APC中， ∵∠APC=90°，∠PAC=30°， ∴tan∠PAC=， ∴CP=AP•tan∠PAC=． 在Rt△APB中， ∵∠APB=90°，∠PAB=45°， ∴BP=AP=x． ∵PC+BP=BC=30×， ∴， 解得， ∴PB=， ∴航行时间：÷30=（小时）． 答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用． 22. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）找出图中所有与相等的线段，并证明； （3）若，，求的周长． 【答案】（1） （2）， 证明：连接， ∵点I为的内心， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）30 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，再根据三角形的内角和定理求，然后利用圆内接四边形的对角互补求解即可； （2）连接，由三角形的内心性质得到内心，，，然后利用圆周角定理得到，，利用三角形的外角性质证得，然后利用等角对等边可得结论； （3）过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P，根据内切圆的性质和和切线长定理得到，，，利用解直角三角形求得， ，进而可求解． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴，又， ∴， ∵四边形是内接四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过I分别作，，，垂足分别为Q、F、P， ∵点I为的内心，即为的内切圆的圆心． ∴Q、F、P分别为该内切圆与三边的切点， ∴，，， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为 ． 【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理、三角形的内心性质、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、切线长定理以及解直角三角形，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 【答案】（1）3， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而可求出，即或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 ∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 ∵实数s、t满足，， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学期中试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（　　） A. B. C. D. 2. 四边形内接于，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 将方程化为后，的值是（ ） A. ，1， B. ，1， C. ，， D. ，1， 6. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（ ） A. 175πcm2 B. 350πcm2 C. πcm2 D. 150πcm2 7. 如图的半径是的直径，的半径交于，设弧的长是，弧的长是，那么( ) A. ﹥ B. ﹤ C. D. 与的大小不能确定 8. 如图所示，AB为斜坡，D是斜坡AB上一点，斜坡AB的坡度为i，坡角为α，AC⊥BM于C，下列式子：①i＝AC∶AB；②i＝(AC－DE)∶EC；③i＝tanα＝；④AC＝i·BC.其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 已知及外一点，过点作出的一条切线（只有圆规和三角板这两种工具），以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①连接，作的垂直平分线，交于点； ②以点为圆心、为半径画弧、交于点； ③作直线，则直线即为所求（如图1）． 乙：①让直角三角板的一条直角边始终经过点； ②调整直角三角板的位置，让它的另一条直角边过圆心O，直角顶点落在上，记这时直角顶点的位置为点M， ③作直线，则直线即为所求（如图2）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙都对 B. 甲、乙都错 C. 甲对，乙错 D. 甲错，乙对 10. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A. 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或或2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 用配方法将变形为，则m=_________． 12. 若关于x的一元二次方程的一个根是m，则的值为______． 13. 已知平面上点到的最大距离为，最小距离是，那么⊙O的半径为_________． 14. 如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为______. 15. 如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，再延长到点，使，联结，即可得，如果设，则可得，那么，运用以上方法，可求得的值是______． 16. 在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测倾器测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD＝10米．则河的宽度为________米(结果保留根号). 三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （1）解方程． （2）计算． 18. 如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是BC的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1，求AC的长． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 20. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点D，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 21. 如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）． 22. 如图，是的直径，内接于，点I为的内心，连接并延长交O于点D，E是上任意一点，连接，，，． （1）若，求的度数； （2）找出图中所有与相等的线段，并证明； （3）若，，求的周长． 23. 阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n， ∴，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则___________，___________． （2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． （3）思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $