精品解析：天津市静海区实验中学2024-2025学年八年级上学期第三次阶段评估数学试卷

实验中学2024-2025学年第一学期第三次阶段评估八年级数学 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点的坐标为（ ） A. (2，2) B. (-2，2) C. (-2，-2) D. (2，-2) 6. 一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，把一张长方形纸片，沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 11. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算的结果为______． 14. 计算的结果是___________． 15. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______． 16. 如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于_____． 17. 若，则______． 18. 如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，． （Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的__________侧.（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数.__________． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 分解因式： （1）； （2）． 20. （1）先化简，再求值：其中； （2）计算：． 21. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，2），（1，﹣3），（4，﹣2），△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′． （1）请在图中作出△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标； （2）若点M（m+2，n﹣2）是△ABC的边上一点，其关于y轴的对称点为M′（﹣n，2m），求m，n的值． 23. 如图，在中，于点E． （1）求的度数； （2）若平分交于点D，平分交于点G．求证：． 24. （1）【问题解决】 如图①，在中，是中线，若，，求的取值范围. 图① 思路点拨：延长至点，使，则，连接，完成填空： ①__________； ②在中，根据三角形三边关系，可得的取值范围是___________. （2）【变式应用】 如图②，在中，，是的中线，联想（1）中【问题解决】的方法，求证：. 图② 25. 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． （1）如图1，若为的中点，求证：． （2）如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学2024-2025学年第一学期第三次阶段评估八年级数学 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 【详解】解：A．，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确； 故选B． 2. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折,对折后的两部分是完全重合的,那么就称这样的图形为轴对称图形是解题的关键． 【详解】解：A.不是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选C． 3. 若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出a的取值范围即可得解． 【详解】根据三角形的三边关系得，即，则选项中4符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握相关不等关系是解决本题的关键． 4. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4， ∴EB＝EA＝4， ∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 5. 在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点的坐标为（ ） A. (2，2) B. (-2，2) C. (-2，-2) D. (2，-2) 【答案】C 【解析】 【分析】根据点的平移规律左减右加可得点B的坐标，然后再根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案． 【详解】解：点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B(2，-2)， 点B关于y轴对称点的坐标为（-2，-2）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点的平移和关于y轴的对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 6. 一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得两底角相等，进而根据三角形内角和定理求解即可 【详解】解：一个顶角为的等腰三角形，它的底角的度数为 故选C． 7. 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】利用角平分线和平行可以证明△BME和△CNE是等腰三角形，而可得BM+CN=MN即可解答． 【详解】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E， ∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB， ∵MNBC， ∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB， ∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN， ∴BM=ME，EN=CN， ∴MN=ME+EN， 即MN=BM+CN． ∵BM+CN=9 ∴MN=9， 故选D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行可以证明等腰三角形是解题的关键． 8. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用，熟练掌握积的乘方是解题的关键；由题意得，进而求解即可． 【详解】解： ． 故选：A． 9. 如图，把一张长方形纸片，沿对角线折叠，点的对应点为，与相交于点，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠CAB′，AD=BC=B'C，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得∠ECA=∠EAC，AE=CE，由“HL”可证Rt△ADE≌Rt△CB'E，可得ED=EB'，即可求解． 【详解】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′， ∴∠BAC=∠CAB′，AD=BC=B'C， ∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ACD， ∴∠ACD=∠CAB′，即∠ECA=∠EAC， ∴AE=CE， 故选项A，C不符合题意， ∵AE=CE，AD=BC=B'C， ∴Rt△ADE≌Rt△CB'E（HL） ∴ED=EB'， 故选项B不符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，证明AE=EC是本题的关键． 10. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 11. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：B． 12. 如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，于是可证得，进而可得，故结论正确，，，然后利用可证得，于是可得，，故结论正确，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，于是可得，故结论正确，利用三角形外角的性质可得，故结论正确，然后可推出，因而，即，故结论不正确．综上所述，正确的结论有，共个，据此即可得出答案． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， 即：， ， ，故结论正确， ， ， 即：， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，故结论正确， 又， 是等边三角形， ， ， ，故结论正确， ， ，故结论正确， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故结论不正确， 综上，正确的结论有，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），内错角相等两直线平行，三角形外角的性质，等角对等边等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 计算的结果是___________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：． 15. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的关系，设这个多边形的边数为，则，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵多边形的外角和为， ∴这个多边形的内角和为， 设这个多边形的边数为， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥OB于点D，PD=4，则PC等于_____． 【答案】8 【解析】 【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质定理可得PE=PD=4，再由PC∥OB，可得∠ECP=∠AOB=30°，然后根据直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：作PE⊥OA于E， ∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，PE⊥OA， ∴PE=PD=4， ∵OP平分∠AOB，∠AOP=15°， ∴∠AOB=30°， ∵PC∥OB， ∴∠ECP=∠AOB=30°， ∴PC=2PE=8． 故答案为8 【点睛】 本题考查的是角平分线的性质、直角三角形的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 17. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，． （Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的__________侧.（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数.__________． 【答案】 ①. 左 ②. ##15度 【解析】 【分析】本题考查了求将军饮马问题，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质等知识． （Ⅰ）作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，即可得到点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时，根据轴对称的性质得到，进而得到，再证明，得到，即可得到． 【详解】解：（Ⅰ）如图，作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，此时点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时， ∵点B和点D关于直线对称， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：左，． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查用提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键． （1）先提公因式，再运用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再运用完全平方公式分解因式即可． 【19题详解】 解：原式； 【20题详解】 解：原式． 20. （1）先化简，再求值：其中； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解答本题的关键． （1）根据单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将的值代入化简后的式子，计算即可； （2）根据完全平方公式和多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【20题详解】 解：原式， ， 当时，原式； 【21题详解】 解：原式， ， ． 21. 如图，，，．，与交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】 （1）证明：∵，， ∴∠ACB=∠ECD=90° ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE 即∠ACE=∠BCD 又． ∴△ACE≌△BCD ∴ （2）90° 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ACE≌△BCD即可求解； （2）根据三角形的内角和及全等三角形的性质即可得到的度数． 【详解】（1）略 （2）∵△ACE≌△BCD ∴∠A=∠B 设AE与BC交于O点, ∴∠AOC=∠BOF ∴∠A+∠AOC+∠ACO=∠B+∠BOF+∠BFO=180° ∴∠BFO=∠ACO=90° 故=180°-∠BFO=90°． 【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（2，2），（1，﹣3），（4，﹣2），△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′． （1）请在图中作出△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标； （2）若点M（m+2，n﹣2）是△ABC的边上一点，其关于y轴的对称点为M′（﹣n，2m），求m，n的值． 【答案】（1）如图：△A′B′C′即为所求；点A′（-2，2），B′（-1，-3），C′（-4，-2）； （2），n=3 【解析】 【分析】(1)根据轴对称的性质确定点，顺次连线即可； (2)根据关于y轴对称的性质得到，解方程组即可． 【详解】（1）略 （2）由题意得： ， 解得， ∴，n=3． 【点睛】此题考查轴对称作图，轴对称的性质，解二元一次方程组，正确理解轴对称的性质是解题的关键． 23. 如图，在中，于点E． （1）求的度数； （2）若平分交于点D，平分交于点G．求证：． 【答案】（1） （2） 证明：平分， ， ． 平分， ． ， ． ． 【解析】 【分析】此题考查的是平行线的判定和三角形内角和定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由垂直的定义及作角性质可得答案； （2）由角平分线的定义和三角形内角和定理可得．再根据平行线的判定方法可得结论． 【小问1详解】 解：， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 24. （1）【问题解决】 如图①，在中，是中线，若，，求的取值范围. 图① 思路点拨：延长至点，使，则，连接，完成填空： ①__________； ②在中，根据三角形三边关系，可得的取值范围是___________. （2）【变式应用】 如图②，在中，，是的中线，联想（1）中【问题解决】的方法，求证：. 图② 【答案】（1）①； ②； （2）如图所示，延长到F使得，则，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形三边的关系等等，通过倍长中线构造全等三角形是解题的关键. （1）①利用即可证明；②根据全等三角形的性质得到，再由三角形三边的关系得到，据此可得答案； （2）如图所示，延长到F使得，则，连接，证明，得到，，再由，得到，进而证明，得到，即可证明． 【详解】解：（1）①延长至点，使，则，连接， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； ②∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 25. 如图，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，连接，． （1）如图1，若为的中点，求证：． （2）如图2，若不是的中点，过点作，交于点． ①求证：是等边三角形； ②判断与是否相等，并说明理由． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，． 为的中点， ，． ， ， ． ， ， ， ． （2） 证明：，是等边三角形， ，，， 是等边三角形． ②解：相等． 理由：，是等边三角形， ，，． ，， ，，， ，． ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是利用等边三角形性质构造全等三角形，通过全等关系推导边或角的等量关系． （1）利用等边三角形的性质，得到，．由为中点，结合等边三角形三线合一，推出，．因为，等量代换得，进而得出．通过，利用等角对等边证明． （2）①依据和是等边三角形，根据平行线的性质，得出，，再结合，根据等边三角形判定，证得是等边三角形．②先由和是等边三角形，得到边和角的等量关系，推出，．结合及是等边三角形得．利用证明，由全等三角形对应边相等，得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $