精品解析：山东省济宁市泗水县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

山东省济宁市泗水县2024-2025学年九年级上学期 期中数学试题(附答案) 一、选择题(3×10=30) 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可． 【详解】解： ∴； 故选A． 3. 如图，定点B，C，D在上，连接， 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形和圆周角定理．熟练掌握圆内接四边形对角互补，圆周角定理，是解题的关键． 在外的上取点A，连接，，根据圆内接四边形性质得到，根据圆周角定理可得可得． 【详解】在外的上取点A，连接，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数的平移法则：左加右减，上加下减即可得解，熟练掌握平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是，即， 故选：B． 5. 如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 即且， 解得：且， 故选：． 6. 如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（　　） A. 35° B. 65° C. 55° D. 25° 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，则∠A度数可求． 【详解】解：∵△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′ ∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90° ∴∠A′=55°， ∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′， ∴∠A=55°． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动．其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．解题的关键是正确确定对应角． 7. 新能源汽车节能，环保，越来越受消费者喜爱，2022年某款新能源汽车销售量为20万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为24万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均变化率的等量关系，增长为加，降低为减，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选A． 8. 如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，由正六边形ABCDEF内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵正六边形ABCDEF内接于， 是等边三角形， ∵的周长是， 故选： 【点睛】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 9. 同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可. 【详解】解：选项A：由的图象可得： 由的图象可得：则 故A不符合题意； 选项B：由的图象可得： 由的图象可得：则 而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意； 选项C：由的图象可得： 由的图象可得：则 故C不符合题意； 选项D：由的图象可得： 由的图象可得：则 而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键. 10. 如图，正方形的中心与坐标原点O重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点B逆时针旋转得点，再将绕点C逆时针旋转得点，再将绕点D逆时针旋转得点，再将绕点A逆时针旋转得点⋯依此类推，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转图形找到规律4个一循环再在同一条线上，且根据等腰直角三角形性质可得斜边长逐渐增加，即可得到点的坐标关系，即可得到答案 【详解】解：过点作轴于E，过点作轴于F，过点作轴于G，过点作轴于H，过点作轴于K， ∵四边形是正方形，，， ∴， ∵轴，轴，轴，轴，轴， ∴新得到的三角形都是等腰直角三角形， 可得，， ，，，， 故选B 【点睛】本题考查图形规律，正方形的性质，旋转的性质，直角等腰三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线找到规律． 二、填空题(3×6=18) 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，根据“两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 12. 已知是y关于x的二次函数，那么m的值为____________． 【答案】-2； 【解析】 【分析】根据二次函数的定义未知数的指数为2，系数不为0，列式计算即可. 【详解】∵原式是y关于x的二次函数， ∴ ∴ ∴ 故答案为-2. 【点睛】本题考查的是二次函数的定义，熟知二次函数解析式未知数系数不为0且指数为2是解题的关键. 13. 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理和推论，勾股定理，角平分线定义，弦弧的关系，是解题关键． 根据直径性质得，得，根据角平分线定义得，得，由等腰直角三角形性质得，即得． 【详解】∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根与系数的关系，根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2024． 15. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若点M是边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点，则线段长度的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、旋转的性质、垂线段最短，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得，从而可得当时，的长度最小，则长度的最小，然后利用三角形的面积公式求出的最小值，由此即可得． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， 由垂线段最短可知，当时，的长度最小，则长度的最小， ∴此时， ∴， 则线段长度的最小值是， 故答案为：． 16. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为____________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想．将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得，故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：6，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ，故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则，故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则，故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题(52分) 17. 解下列方程：用适当的方法解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的常见解法成为解题的关键． 直接运用因式分解法求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求； ； （2）如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了画中心对称图形，画旋转图形，写出点的坐标． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 19. 利用素材解决∶《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 图形 任务 （1）尺规作图∶已知，通过尺规作图作所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法） （2）所在圆的半径的值是_____米． （3）以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 【答案】 （1）如图，点即为所求； （2）20；（3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，垂径定理，勾股定理的应用，掌握建模的数学思想是解题关键． （1）连接，作的中垂线，交点即为圆心O； （2）连接，设半径为，利用垂径定理，勾股定理进行求解即可； （3）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：（1）略 （2）连接，由题意，得：米，米，则：米， 设圆的半径为米，则：米，米， 在中，， （米） 故答案为：20； （3）由题意，抛物线的顶点C坐标为， ∴设桥拱的函数解析式为，， 把代入得，． 函数解析式为． 20. 某汽车店销售，两种型号的轿车，具体信息如下表∶ 汽车型号 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） A 60 B 50 根据以上信息解答下列问题： （1）今年第三季度该店销售，两种型号轿车的利润恰好相等（利润不为0），求的值； （2）该店第四季度销售这两种轿车的总利润为万元，求的最大值． 【答案】（1）90 （2）675万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确列出一元二次方程以及关于的函数关系式是解题的关键． （1）根据“今年第三季度该店销售，两种型号轿车的利润恰好相等”列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）根据题意得出关于的函数关系式，再结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 整理得：， 解得，， ∵时，，两种型号轿车的利润 ∴． 答：的值为90． 【小问2详解】 解：由题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为675， 答：该店第四季度销售这两种轿车能获得的最大利润为675万元． 21. 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接 ∵是的切线， ∴， ∵，D为的中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明垂直平分，得出，证明，得出，即可得证； （2）结合（1）可得：，，，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴结合（1）可得：，，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的半径为． 22. 综合与实践 【发现问题】 如图，在和中，，，，连接，，延长交于点．可得，； 【类比探究】 （1）如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系为_________； 【实践应用】 （3）正方形中，，若平面内存在点满足，，请直接写出的面积． 【答案】 （1），，理由如下： ， ， 即：， 又，， ， ，， ，， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件及等式的性质可得，再结合已知条件，，利用可证得，于是可得，，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，然后利用三角形外角的性质可得，化简即可得出结论； （2）由已知条件和均为等腰直角三角形可得，，，由等式的性质可得，再结合已知条件，，利用可证得，于是可得，由三线合一可得是边上的中线，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，即，由线段的和与差可得，然后等量代换即可得出结论； （3）连接，以为直径作圆，由题意，取满足条件的点，，则可知，，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，，连接，过点作于点，在上截取，由同弧所对的圆周角相等可得，再结合已知条件，利用可证得，于是可得，，由等式的性质可得，由（2）可得，进而可得，由三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积；延长至点，使得，连接，，由邻补角互补可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由勾股定理可得，由于，，进而可得，由，可得，进而可证得，于是可得，则，过点作于点，由垂线的性质可得，设，则，在中，根据勾股定理可得，在中，根据勾股定理可得，于是可得，即，解方程即可求出，由勾股定理可得，由三角形的面积公式可得，据此即可求出的面积；综上，即可求出的面积． 【详解】解：（1）略 （2），理由如下： 和均为等腰直角三角形， ，，， ， 即：， ， ， ，， 是边上的中线， 又， ， 即：， ， ， 故答案为：； （3）如图，连接，以为直径作圆， 由题意，取满足条件的点，，则可知： ，， 四边形是正方形，， ，，， ， ， ， 连接，过点作于点，在上截取， ，， ， ，， ， ， 由（2）可得：， ， ； 如图，延长至点，使得，连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， 设，则， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， 即：， 解得：， 即：， ， ； 综上，的面积为：． 【点睛】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三线合一，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等式的性质，线段的和与差，度的圆周角所对的弦是直径，正方形的性质，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，三角形的面积公式，利用邻补角互补求角度，相似三角形的判定与性质，垂线的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 已知二次函数经过点，与x轴交于点，点，点D为抛物线的顶点． （1）求此二次函数解析式； （2）连接，求证：是直角三角形； （3）若点P是直线上方抛物线的一动点，当面积取最大值时，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）写出两点式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出，利用勾股定理逆定理进行证明即可； （3）求出直线的解析式，过点作轴，交于点，利用，列出二次函数解析式，求最值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数经过点，与x轴交于点，点， ∴，把代入，得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴，交于点，设，则：， ∴， ∴， ∴当时，面积最大， 此时：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济宁市泗水县2024-2025学年九年级上学期 期中数学试题(附答案) 一、选择题(3×10=30) 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，定点B，C，D在上，连接， 若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 如图，将三角形△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A的度数是（　　） A. 35° B. 65° C. 55° D. 25° 7. 新能源汽车节能，环保，越来越受消费者喜爱，2022年某款新能源汽车销售量为20万辆，销售量逐年增加，2024年预估销售量为24万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率，可设这款新能源汽车的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正六边形ABCDEF内接于，若的周长是，则正六边形的边长是（　　） A. B. 3 C. 6 D. 9. 同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的中心与坐标原点O重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点B逆时针旋转得点，再将绕点C逆时针旋转得点，再将绕点D逆时针旋转得点，再将绕点A逆时针旋转得点⋯依此类推，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(3×6=18) 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 已知是y关于x的二次函数，那么m的值为____________． 13. 如图，的直径为，弦为，的平分线交于点D，则的值是_________． 14. 若，是方程的两个实数根，则的值为_____． 15. 如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，若点M是边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点，则线段长度的最小值是_________． 16. 已知二次函数的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为____________． 三、解答题(52分) 17. 解下列方程：用适当的方法解方程：． 18. 如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均在格点上． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点A逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 19. 利用素材解决∶《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽，称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度米，拱高米． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 图形 任务 （1）尺规作图∶已知，通过尺规作图作所在圆的圆心O（保留作图痕迹，不写作法） （2）所在圆的半径的值是_____米． （3）以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求此桥拱的函数表达式． 20. 某汽车店销售，两种型号的轿车，具体信息如下表∶ 汽车型号 每辆进价（万元） 每辆售价（万元） 每季度销量（辆） A 60 B 50 根据以上信息解答下列问题： （1）今年第三季度该店销售，两种型号轿车的利润恰好相等（利润不为0），求的值； （2）该店第四季度销售这两种轿车的总利润为万元，求的最大值． 21. 如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 22. 综合与实践 【发现问题】 如图，在和中，，，，连接，，延长交于点．可得，； 【类比探究】 （1）如图，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系为_________； 【实践应用】 （3）正方形中，，若平面内存在点满足，，请直接写出的面积． 23. 已知二次函数经过点，与x轴交于点，点，点D为抛物线的顶点． （1）求此二次函数解析式； （2）连接，求证：是直角三角形； （3）若点P是直线上方抛物线的一动点，当面积取最大值时，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $