二校园艺术节-分数的意义和性质

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 二 校园艺术节—分数的意义和性质 （一）分数的意义 （二）分数单位的认识与确定 （三）单位“1”的认识与确定 （四）真分数、假分数、带分数的认识 （五）根据真分数、假分数和带分数的特征组数 （六）分数与除法的关系 （七）求一个数占另一个数几分之几 （八）假分数与带分数或整数的互化 （九）分数的基本性质 （十）分数的基本性质的应用 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 分数的意义 一、基础知识讲解 1、分数的意义 把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份的数，可以用分数来表示。 注意：分成若干份是指分成除 0 以外的任意整数份，分时一定是平均分，只有平均分的结果 才可以用分数表示。 2.分数的表示形式 分数的形式可以用 n m （n 是不为 0 的自然数）表示。 3.分数的读法 读分数时，应先读分母，再读分子，如 1 4 ，读作：四分之一。 二、考法技法提炼 考法：运用分数的意义解决画图问题 解题方法：分数的分母表示平均分的总份数，分子表示有这样的几份。 例题：在下面的长方形中表示出 1 6 。 把一个长方形平均分成 4 份， 其中的一份是这个长方形 1 4 。 把一个圆形平均分成 4 份， 其中的一份是这个圆形的 1 4 。 1 4 表示把单位“1”平均分成 4 份，取其中的 1份。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【答案】（答案不唯一） 【分析】 在长方形中表示出 1 6 ，把长方形平均分成 6 份，取其中的 1 份就是 1 6 。 【详解】解法 1：将长平均分成 6份，取其中 1份。 解法 2：将长平均分成 3份，将宽平均分成 2 份，取其中 1 份。 …… 【点睛】此类题的解题关键在于将图形进行平均分。 三、易错提示 易错点：对分数的意义理解不准确 易错诠释：理解分数的意义时，一定要抓住“平均分”这个关键词。 例题：判断:右图中阴影部分用 1 2 表示。（ ） 【答案】× 【分析】分数的意义是将一个整体平均分成若干份，其中一份或几份的数，可以用分数来表 示。通过观察可以看出右图没有进行平均分，所以阴影部分不能用 1 2 来表示。 【详解】右图没有进行平均分，所以不能用分数 1 2 来表示。 【点睛】只有在平均分的情况下，才可以用分数来表示其中的一份或几份。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 分数单位的认识与确定 一、基础知识讲解 1、分数单位的意义 把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫作分数单位。 分数单位也就是单位“1”的若干份之一。 2.分数单位的定义 一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一。 提示：分数单位是由一个分数的分母决定的；分母不同的分数，它的分数单位也不同。 3.分数单位的个数 一个分数的分子是几，它就有几个这样的分数单位。 二、考法技法提炼 考法：以填空的形式考察对分数单位的理解 解题方法：一个分数的分数单位的分母与这个分数的分母相同，只是分子变为 1；一个分数 的分数单位的个数与原分数的分子相同。 例题：填空： � � 的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位，再添加（ ）个 这样的分数单位就变成单位“1”。 【答案】 1 4 3 1 【分析】一个分数它的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分数单位的个数看分子，分 子是几，就有几个这样的分数单位；再添加几个分数单位变成单位“1”，就看分子还差几 和分母相等。 【详解】 3 4 的分母是 4，所以它的分数单位是 1 4 ； 3 4 的分子是 3，所以它有 3 个这样的分数单位； 4-3=1，所以再添加 1 个这样的分数单位就变成单位“1”。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 【点睛】理解分数单位的意义是解题的关键，分数单位是由分数的分母决定的，分数单位个 数由分子决定。 三、易错提示 易错点：没有理解分数单位的意义 易错诠释：分数单位的特点：①一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；②一个 分数分子是多少，就表示有多少个这样的分数单位；③不同分母的分数，它们的分数单位不 同；相同分母的分数，它们的分数单位相同；④分数单位不像整数、小数那样固定，它是随 着单位“1”被平均分成的份数的变化而变化；⑤一个分数的分母越大，分数单位就越小； 分母越小，分数单位就越大。 例题：判断：不同的分数，分数单位一定不同。（ ） 【答案】× 【分析】理解分数单位的意义。例如： 3 5 的分数单位是 1 5 ， 2 5 的分数单位是 1 5 ，两个分数的分数 单位相同，可以看出分数单位是否相同，是由分母决定的，所以不同的分数，分数单位可能 相同，也可能不同。 【详解】不同的分数，如果分母相同，那么它们的分数单位就相同，故原题干说法错误。 【点睛】两个分数的分数单位是否相同，取决于它们的分母是否相同，与分子无关。只要分 母相同，分数单位就相同。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 单位“1”的认识与确定 一、基础知识讲解 1、单位“1”的含义 一个物体、一个计量单位或是一些物体都可以看作一个整体，这个整体可以用自然数 1 来表 示，通常把它叫做单位“1”，也叫做整体“1”。 注意：单位“1”指的是一个整体。 2、单位“1”不同，表示的意义也不同 把正方形看作单位“1”，将它平均分成 4 份，其中的一份是整体的 1 4 。 把长方形看作单位“1”，将它平均分成 4 份，其中的一份是整体的 1 4 。 把 圆形看作单位“1”，将它平均分成 4 份，其中的一份是整体的 1 4 。 总结：单位“1”不同，相同分数表示的意义也不同。 二、考法技法提炼 考法：看图写分数 解题方法：解答此类问题的关键是找出把单位“1”平均分成了多少份。可以运用画辅助线 来解决问题。 例题：用分数表示下图中的阴影部分。 （ ） （ ） 【答案】 2 8 4 16 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【分析】直观上看，无法直接用分数表示出阴影部分，这时我们可以借助添加辅助线的方法 来找出把单位“1”平均分成了多少份。 【详解】通过添加辅助线观察阴影部分和单位“1”的关系，如图示： 通过添加辅助线（虚线）可以看出，这个正方形被平均分成了 8 份，阴影部 分占 2 份，所以，阴影部分占整体的 2 8 。 通过添加辅助线 （虚线）可以看出，这个正方形被平均分成了 16 份，阴影部 分占 4份，所以， 阴影部分占整体的 4 16 。 【点睛】看图写分数解题关键在找准单位“1”，看单位“1”被平均分成多少份，如果不能 直观的看出单位“1”，可借助辅助线来解决问题。 三、易错提示 易错点：找不准单位“1”，不能正确理解单位“1”的含义。 易错诠释：在解决实际问题时，单位“1”不同，相同的分数对应的具体数量也不同。 例题：红红和丫丫为贫困地区的儿童捐献爱心，红红捐了自己零花钱的 1 3 ，丫丫捐了自己零 花钱的 1 2 。丫丫捐的钱一定比红红的多吗？ 【答案】丫丫捐的钱不一定比红红的多。 【分析】虽然 1 2 比 1 3 大，但是不能确定丫丫捐的钱是否比红红多。因为丫丫和红红的零花钱总 数不一定是相同的，即 1 2 和 1 3 的单位“1”不一定相同，所以无法进行比较。 【详解】先找出单位“1”，“红红捐了自己零花钱的 1 3 ”，单位“1”是红红的零花钱；“丫 丫捐了自己零花钱的 1 2 ”，单位“1”是丫丫的零花钱。因为无法得知丫丫和红红的零花钱数 量是否一样，不能直接进行计较，所以丫丫捐的钱不一定比红红的多。 【点睛】解答此类问题的关键是找准单位“1”，单位“1”可以是一个物体，也可以是一些 物体。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 真分数、假分数、带分数的认识 一、基础知识讲解 1、真分数、假分数、带分数的意义 真分数：像 1 3 、 3 4 、 6 7 ……这样分子比分母小的分数叫做真分数。 假分数：像 4 3 、 7 5 、 9 9 ……这样的分子比分母大或分子等于分母的分数叫做假分数。 带分数：像 1 1 3 、3 4 7 ……这样由一个整数（不包括 0）和一个真分数组成的数叫做带分数。 提示：带分数是假分数的一种特殊表现形式。 2.真分数、假分数、带分数的特征 真分数：分子比分母小，真分数＜1。 假分数：分子比分母大或者分子等于分母，假分数≥1 带分数：带分数由整数（不包含 0）和真分数两部分组成，带分数＞1 3.带分数的读法和写法 带分数的读法：先读整数部分，再读分数部分，中间加一个“又”字。 如：1 1 3 读作：一又三分之一 带分数的写法：“又”前面的数是整数部分，后面的数是分数部分，先写整数部分，再写分 数部分。如：四又六分之五 写作：4 5 6 二、考法技法提炼 考法 1：组数问题 解题方法：理解真分数、假分数、带分数的意义是解决此类问题的关键。 例题：用数 1、3、4、7 组成最大的带分数，最小的带分数、最大的真分数和最小的真分数。 （每个数字只能用一次） 【答案】74 1 3 1 3 74 37 41 1 743 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【分析】最大的带分数，整数部分的数要尽可能地大，分母尽可能地小；最小的带分数，整 数部分要最小，分母尽可能地大；最大的真分数，分子比分母小的情况下，分子和分母要尽 可能地接近；最小的真分数，分子比分母小的情况下，分子尽可能地小，分母尽可能地大。 【详解】最大的带分数：74 1 3 ；最小的带分数： 1 3 74 ； 最大的真分数： 37 41 ；最小的真分数： 1 743 。 【点睛】真分数的分子和分母的差最大时，这个分数最小；真分数的分子与分母的差最小时， 这个分数最大。 考法 2：根据真分数、假分数的特征判断取值 解题方法：熟知真分数、假分数的特征是解题的关键。真分数：分子比分母小，真分数＜1。 假分数：分子比分母大或者分子等于分母，假分数≥1。 例题：在 � 3 （�≠0）中， （1）当�（ ）时，� 3 是假分数；（2）当�（ ）时，� 3 是真分数。 【答案】 ≥3 ＜3 【分析】（1）根据假分数的特征：分子≥分母，分母是 3，即分子≥3即为假分数； （2）根据真分数的特征：分子＜分母，分母是 3，即分子＜3即为真分数。 【详解】（1）当�≥3时，� 3 是假分数；（2）当�＜3 时，� 3 是真分数。 【点睛】根据分子与分母的大小关系判定真假分数，从而确定未知数的取值。 三、易错提示 易错点：对假分数的判定，遗漏了假分数等于 1 的情况 易错诠释：假分数的意义：分子比分母大或分子等于分母的分数叫做假分数。假分数≥1。 例题：判断：假分数的分子一定大于分母，且假分数都大于 1。 （ ） 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 【答案】× 【分析】假分数的特征是分子≥分母，假分数≥1。据此解答。 【详解】根据假分数的意义和特征判断，原题干遗漏了分子等于分母，假分数等于 1 这一情 况，故原题干说法错误。 【点睛】熟知真分数、假分数的意义和特征，是区分判断真假分数的解题关键。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 根据真分数、假分数和带分数的特征组数 一、基础知识讲解 1.真分数、假分数和带分数的特征 类别 意义及特征 真分数 真分数是指分子小于分母的分数。最简分数是指分子和分母互质的分数， 真分数小于 1 。 假分数 分子比分母大或者分子和分母相等的分数。假分数大于 1 或者等于 1。 带分数 整数和真分数合成的数通常叫做带分数，形式为：整数＋真分数。 2.根据真分数、假分数和带分数的特征组数 真分数：分子小于分母 组数 假分数：分子比分母大 带分数：整数＋真分数 二、考法技法提炼 考法：写出要求的分数 解题方法：分子比分母大或者分子和分母相等的分数。假分数大于 1 或者等于 1。 例题：写出分子是 7 的所有假分数。 【答案】 7 1 、 7 2 、 7 3 、 7 4 、 7 5 、 7 6 、 7 7 【分析】分子大于或等于分母的分数叫作假分数，假分数大于或等于 1。 【详解】据分析，分子是 7 的假分数有： 7 1 、 7 2 、 7 3 、 7 4 、 7 5 、 7 6 、 7 7 。 三、易错提示 易错点：错误认为带分数的分数部分分子可以大于或等于分母。 易错诠释：整数和真分数合成的数通常叫做带分数，形式为：整数＋真分数。 例题：5 b a 是一个带分数，a 可以小于或等于 b。（ ） 【答案】× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 【分析】带分数是由整数和真分数合成的分数，因为带分数的分数部分是真分数，所以分母 大于分子。据此解答。 【详解】根据分析可知， b5 a 是一个带分数，a 一定大于 b。 原题说法错误。 故答案为：× 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 分数与除法的关系 一、基础知识讲解 1.分数与除法的关系 两个数相除，商可以用分数来表示，即被除数÷除数= 被除数 除数 （除数不为 0） 用字母表示为 a÷b= a b （b≠0） 被除数 3 ÷ 5 = 3 5 除号 除数 注意：因为除法算式中，除数不能是 0，所以在分数中分母也不能是 0。 2.分数与除法的区别 虽然分数与除法之间有着密切的联系，但分数不等同于除法。 两者之间的区别：除法是一种运算，分数是一种数。 二、考法技法提炼 考法：用分数表示算式的商 解题方法：此类问题的解题关键在于熟知分数与除法之间的关系：被除数÷除数= 被除数 除数 （除 数不为 0），注意在用分数表示商时，分子分母的位置不要颠倒。 例题：在括号里填上合适的数。 43 15 = ÷ ÷ 27 = 6 23÷49= （ ） （ ） 【答案】 43 15 = 43 ÷ 15 6 ÷ 27 = 6 27 23÷49= （ 23 ） （ 49 ） 【分析】用分数表示商，被除数作分子，除数作分母，位置不要颠倒；把分数转化成除法算 式表示，分母作被除数，分子作除数，分数线化作除号。 【详解】见【答案】 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 【点睛】一定要注意，用分数表示除法的商时，被除数作分子，除数作分母。 三、易错提示 易错点：没有掌握分数与除法的关系 易错诠释：两个数 a，b（b≠0）相除，即 a÷b，可以用分数 a b 表示它的商，即 a÷b= a b （b ≠0） 例题：计算 6÷4= 【答案】 6 4 【分析】用分数表示除法的商时，被除数作分子，除数作分母，分数线相当于除号，不能颠 倒位置。 【详解】根据被除数÷除数= 被除数 除数 （除数≠0）解答，6÷4=6 4 。 【点睛】用分数表示商时，不要颠倒分子与分母的位置。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 求一个数占另一个数几分之几 一、基础知识讲解 1、求一个数是另一个数的几分之几 求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。商是分数，表示的是两个数之间的倍比关系， 后面不写单位。 2.求一个数是另一个（0 除外）的几分之几的问题的方法 一个数÷另一个数= 一个数 另一个数 ，即比较量÷标准量= 比较量 标准量 二、考法技法提炼 考法：运用求一个数是另一个数的几分之几解决生活中的实际问题 解题方法：求一个数是另一个数的几分之几用除法计算 例题：把 3 米长的绳子平均分成 7 段，每段长是全长的几分之几？每段长多少米？ 【答案】 1 7 3 7 米 【分析】 每段长是全长的几分之几，即将 3 米看成一个整体即单位“1”；求每段长多少米， 用总长度除以份数即可。 【详解】1÷7= 1 7 3÷7= 3 7 （米） 【点睛】结合对单位“1”的意义，理解求一个数是另一个数的几分之几的含义，并能找出 标准量，是解决此类问题的关键。 三、易错提示 易错点：混淆“求部分和整体的关系”与“求具体的数量”两个概念 易错诠释：“求部分与整体的关系”，即求一份占整体的几分之几，就是把整体看作单位“1”， 平均分成几份，每一份就占几分之一；“求具体的数量”即求其中一份是多少，用总数÷份 数=每份数。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 例题：把 24 颗糖平均分给 4 个小朋友，每个小朋友分得多少颗？每个小朋友分得的糖占总 数的几分之几？ 【答案】6 1 4 【分析】求“每个小朋友分得多少颗？”就是求每份数是多少，用总数量÷份数求解；求“每 个小朋友分得的糖占总数的几分之几”，把糖果的总数看作单位“1”，把单位“1”平均分 成了 4份，每份占总数的 1 4 。 【详解】24÷4=6（颗） 1÷4= 1 4 【点睛】分数不但可以表示部分与整体的关系，也可以表示具体的数量。当表示部分与整体 的关系时，没有单位名称，当表示具体的数量时要加上单位名称。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 假分数与带分数或整数的互化 一、基础知识讲解 1、将假分数化成整数 根据分数与除法的关系转化：用分子除以分母，得到的商就是整数。 如： 3 3 = 3 ÷ 3 = 1 8 4 = 8 ÷ 4 = 2 提示：能化成整数的假分数，分子都是分母的倍数。 2.将假分数化成带分数 根据分数与除法的关系转化：用分子除以分母，商是带分数的整数部分，余数是带分数的分 数部分的分子，分母不变。 如： 7 3 = 7 ÷ 3 = 2 1 3 6 5 = 6 ÷ 5 = 1 1 5 拓展：带分数化成假分数：假分数的分子=带分数的分母×带分数的整数部分+带分数的分子； 分母不变。 二、考法技法提炼 考法：把假分数化成带分数或整数 解题方法：假分数化成整数或带分数的方法： 没有余数---整数 分子÷分母 商---整数部分 有余数---带分数 余数---带分数的分子 分母不变 例题：把下面的假分数化成带分数或整数。 15 2 8 5 21 7 50 9 【答案】7 1 2 1 3 5 3 5 5 9 【分析】根据分数与除法的关系，用分子除以分母，进行求解。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 【详解】 15 2 = 15 ÷ 2 = 7 1 2 8 5 = 8 ÷ 5 = 1 3 5 21 7 = 21 ÷ 7 = 3 50 9 = 50 ÷ 9 = 5 5 9 【点睛】掌握假分数和带分数的互化方法是解题关键。 三、易错提示 易错点：误认为所有的假分数都可以化为带分数。 易错诠释：只有分子不是分母的整数倍的假分数才能化成带分数。 例题：判断：所有的假分数都能化成带分数。（ ） 【答案】× 【分析】只有分数的分子与分母的商有余数时，才可以化为带分数。 【详解】分子和分母相同的假分数能化成整数，不能化成带分数，原题干错误。 【点睛】不要忽略假分数可以化成整数这种情况。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 分数的基本性质 一、基础知识讲解 分数的基本性质： 分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。根据分数与除法的 联系可知，除数不能为 0 ，所以分母也不能为 0。 注意：分子和分母同时加或减同一个数，分数的大小会发生改变。 二、考法技法提炼 考法：利用涂色和比较考察分数的基本性质 解题方法：根据分数涂色，通过比较涂色部分的大小来判断分数的大小关系。 例题：先涂色，再比较分数的大小。 1 2 ⚪ 3 6 1 4 ⚪ 2 8 【答案】= =（涂色略） 【分析】根据分数，在图形上进行涂色，根据涂色部分来解决问题。 【详解】 1 2 = 3 6 1 4 = 2 8 【点睛】观察涂色部分的大小，是解题关键。 三、易错提示 易错点：忽略了 0 不能做分母这一条件 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 易错诠释：分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0 除外），分数的 大小不变。根据分数与除法的联系可知，除数不能为 0 ，所以分母也不能为 0。 例题：判断：分数的分子和分母同时乘或除以同一个数，分数的大小不变。（ ） 【答案】× 【分析】忽略了 0 不能做分母这一条件。 【详解】原题干没有点明分母不为 0 这一条件，故原题干的说法是错误的。 【点睛】分母不为 0作为重要的条件，不能遗漏。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 分数的基本性质的应用 一、基础知识讲解 分数的基本性质的应用 运用分数的基本性质，可以把一个分数化成指定分母的分数，也可以把分母不同的分数化成 分母相同的分数。 二、考法技法提炼 考法：运用分数的基本性质解决还原分数的问题 解题方法：此类题目，需要抓住分数值不变的已知条件，根据分数的基本性质进行分析和转 化。 例题：一个分数，它的分子和分母同时除以同一个数得 5 7 ，原来分子和分母的和是 60。原来 的分数是多少？ 【答案】 25 35 【分析】根据题意可知，该分数的分子和分母同时除以一个相同的数得 5 7 ，即分数值是 5 7 。原 来分子和分母的和是 60，现在分子和分母的和是 5+7=12，由 60 到 12，需要除以 5，也就是 说原分数分子分母同时除以 5得到了 5 7 ，据此求出原分数。 【详解】60÷（5+7）=5 5 7 = 5×5 7×5 = 25 35 【点睛】抓住分数值不变这个条件是解题的关键。 三、易错提示 易错点：对分数的基本性质掌握不准确，误认为分数的分子和分母同时加或减相同的数，分 数的大小不变。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 易错诠释：分数的基本性质与除法中商不变的规律类似，分数的分子和分母同时乘或除以形 同的数（0 除外），分数的大小不变。根据分数的基本性质，可以把一个分数化成分母不同 而大小不变的分数，也可以把一个分数化成指定分母的分数。 例题：把 4 7 化成分母是 21 而大小不变的分数。 【答案】 12 21 【分析】分母由 7 变成 21，分母要乘 3，要使分数的大小不变，分子也要乘 3。 【详解】 4 7 = 4×3 7×3 = 12 21 【点睛】分母变大，分子应同时乘同一个数；分母变小，分子应同时除以同一个数。 橙 子 学