专题06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析（18大题型）（练习）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

专题06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析 目录 01 模拟基础练 2 题型一：唯一零点求值问题 2 题型二：不动点与稳定点 2 题型三：运用反函数思想妙解压轴题 3 题型四：倍值函数 3 题型五：最值函数 3 题型六：嵌套函数 4 题型七：共零点问题 4 题型八：双参数比值型问题 4 题型九：指数函数与对数函数的交点 5 题型十：曼哈顿距离问题 5 题型十一：平口单峰函数 6 题型十二：三次函数 7 题型十三：指对同构 7 题型十四：切线放缩与夹逼 7 题型十五：整数解问题 8 题型十六：导数中的“最短距离”问题 8 题型十七：等高线问题 9 重难点突破：多变量问题 9 02 重难创新练 11 题型一：唯一零点求值问题 1．已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 2．已知函数有唯一零点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 题型二：不动点与稳定点 4．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是 . 5．已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为 . 6．（2024·河南·二模）已知函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是 ． 题型三：运用反函数思想妙解压轴题 7．若满足满足则等于 ． 8．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 9．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 . 题型四：倍值函数 10．已知是定义在实数集R上的奇函数，a为非正的常数，且当时，若存在实数，使得的定义域与值域都为，则实数a的取值范围是 11．（2024·高三·黑龙江大庆·开学考试）定义区间长度为，已知函数 的定义域与值域都是，则区间取最大长度时的值为 . 12．定义在区间长度为，已知函数（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是，则区间取最长长度时a的值是 ． 题型五：最值函数 13．设，对任意实数x，记，其中．若至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ． 14．设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 15．（2024·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . 题型六：嵌套函数 16．（2024·安徽安庆·三模）已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为 ． 17．已知函数 ，若函数有4个零点，，，，则 ；若关于的方程   有个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 18．若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是 ． 题型七：共零点问题 19．已知函数，，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数的取值范围是 ． 20．设函数，若恒成立，则的最小值为 . 21．设函数．若，则的最小值为 ． 题型八：双参数比值型问题 22．已知不等式对任意恒成立（其中e为自然对数的底数，a，）则的最小值为 . 23．已知，若关于x的不等式对一切正实数x恒成立，则当取最小值时，实数的值为 . 24．已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为 . 题型九：指数函数与对数函数的交点 25．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 26．设,分别是函数和的零点（其中）,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．数学家已经证明：指数函数与对数函数的图象当且仅当时有两个不同的公共点.若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是 .（注：是自然对数的底数） 题型十：曼哈顿距离问题 28．已知点是单位圆上的动点，点是直线上的动点，定义，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（2024·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为．给出下列命题： （1）若，，则的最大值为； （2）若是圆上的任意两点，则的最大值为； （3）若，点为直线上的动点，则的最小值为． 其中为真命题的是 A．（1）（2）（3） B．（2） C．（3） D．（2）（3） 30．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（　　） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是5 D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4 题型十一：平口单峰函数 31．已知函数，当，时，设的最大值为，则的最小值为 ． 32．已知函数，当，时，的最大值为，则的最小值等于 ． 33．已知函数定义域为，，记的最大值为，则的最小值为　　 A．4 B．3 C．2 D． 题型十二：三次函数 34．（2024·广东广州·一模）已知函数，则的值为（  ） A． B． C． D． 35．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十三：指对同构 36．（2024·高三·江西宜春·开学考试）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为 ． 37．（2024·湖北·模拟预测）对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是 . 38．（2024·高三·重庆·开学考试）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 题型十四：切线放缩与夹逼 39．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若存在实数，使得成立，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 40．（2024·浙江·一模）若是实数，是自然对数的底数，，则 ． 题型十五：整数解问题 41．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（2024·全国·模拟预测）当时，恒成立，则整数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 43．（2024·高三·江西·期末）若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十六：导数中的“最短距离”问题 44．若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45．设函数，若关于的不等式有解，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 46．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A． B．e C． D． 题型十七：等高线问题 47．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 重难点突破：多变量问题 50．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 51．已知函数，其中．若对于某个，有且仅有3个不同取值的，使得关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 52．对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 1．（2024·高三·江西·期中）已知函数有两个零点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·高三·云南·阶段练习）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 3．（2024·山东威海·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高三·湖南·期中）已知函数，若方程恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高三·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 8．（2024·高三·河南驻马店·期末）已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高三·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）（2024·高三·辽宁沈阳·期中）已知函数，则（    ） A． B．若，则的极大值点为 C．若至少有两个零点，则 D．在区间上单调递增 11．（多选题）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 12．（多选题）（2024·四川内江·一模）给定函数，．分别用、表示、中的最小者、最大者，记为,．下列说法正确的是（   ） A． B．当直线与曲线有三个不同交点时， C．当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点 D．函数的值域为 13．（2024·高三·天津·期中）已知，函数若关于的方程恰有2个相异的实数解，则的取值范围是 . 14．（2024·高三·江西·期中）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为 . 15．（2024·高三·上海·期中）已知，，且，则的取值范围是 . 16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 . 17．（2024·山东·模拟预测）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 12 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 函数与导数领域中的典型压轴小题全归纳与剖析 目录 01 模拟基础练 2 题型一：唯一零点求值问题 2 题型二：不动点与稳定点 3 题型三：运用反函数思想妙解压轴题 5 题型四：倍值函数 7 题型五：最值函数 9 题型六：嵌套函数 12 题型七：共零点问题 15 题型八：双参数比值型问题 16 题型九：指数函数与对数函数的交点 18 题型十：曼哈顿距离问题 21 题型十一：平口单峰函数 24 题型十二：三次函数 26 题型十三：指对同构 27 题型十四：切线放缩与夹逼 29 题型十五：整数解问题 30 题型十六：导数中的“最短距离”问题 33 题型十七：等高线问题 35 重难点突破：多变量问题 38 02 重难创新练 41 题型一：唯一零点求值问题 1．已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为，设，则 ，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C. 2．已知函数有唯一零点，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以 所以，故函数关于直线对称， 故由函数存在唯一零点得零点只在处取得即， 所以，解得. 故选：A. 3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知条件可知 由函数奇偶性易知 令，为偶函数. 当时，， 单调递增，当时，单调递减，仅有一个极小值点 图象右移一个单位，所以仅在处有极小值， 则函数只有一个零点，即， 解得， 故选：A 题型二：不动点与稳定点 4．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为在曲线上，，∴. 由于在定义域内是增函数， 所以若，则，与矛盾， 若，则，与矛盾，所以， 则问题转化为在内有解，即方程在内有解， 得方程在内有解，令， 则，∴时，， 即在上单调递增，所以. 故答案为： 5．已知函数，若曲线（为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】结合函数的解析式：可得：， 令y′=0，解得：x=0， 当x>0时，y′>0，当x<0，y′<0， 则x∈（-∞，0），函数单调递增，x∈（0，+∞）时，函数y单调递减， 则当x=0时，取最大值，最大值为e， ∴y0的取值范围（0，e]， 结合函数的解析式：可得：， x∈（0，e），， 则f（x）在（0，e）单调递增， 下面证明f（y0）=y0． 假设f（y0）=c>y0，则f（f（y0））=f（c）>f（y0）=c>y0，不满足f（f（y0））=y0． 同理假设f（y0）=c<y0，则不满足f（f（y0））=y0． 综上可得：f（y0）=y0． 令函数． 设，求导， 当x∈（0，e），g′（x）>0， g（x）在（0，e）单调递增， 当x=e时取最大值，最大值为， 当x→0时，a→-∞， ∴a的取值范围. 6．（2024·河南·二模）已知函数，若曲线上存在点使得，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】若曲线上存在点，故， 设，则，即都在图象上，不难发现该两点关于对称，故有解 有解， 令，，即在上单调递增，所以 故答案为： 题型三：运用反函数思想妙解压轴题 7．若满足满足则等于 ． 【答案】 【解析】由题意，故有 故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标. 根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故曲线和曲线的图象交点关于直线对称. 即点和点构成的线段的中点在直线上， 即，解得， 故答案为：. 8．已知函数，，的零点分别为a，b，c，则 ． 【答案】3 【解析】如图，在平面直角坐标系中，作函数，，的图象，它们的图象与函数的交点的横坐标就是. 因为，互为反函数，其图象关于直线对称，与垂直，所以. 又，所以. 所以. 故答案为：3 9．设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由，得：，. 所以与互为反函数． 则它们的图象关于对称． 要使的距离最小，则线段垂直直线. 点在曲线上，点Q在曲线上， 设，. 又P，Q的距离为P或Q中一个点到的最短距离的两倍． 以Q点为例，Q点到直线的最短距离 所以当，即时，d取得最小值， 则的最小值等于. 故答案为： 题型四：倍值函数 10．已知是定义在实数集R上的奇函数，a为非正的常数，且当时，若存在实数，使得的定义域与值域都为，则实数a的取值范围是 【答案】 【解析】， 当时，为减函数， 是定义在实数集R上的奇函数，所以的图象关于原点对称， 时，为减函数， 又由奇函数特性可知 所以 可由图像易知函数是实数集R上的减函数， 由题可得 当时，，所以无解； 当时，，所以无解； ， 的定义域与值域都为， 两式相加可知：舍或， ， ． 故答案为：． 11．（2024·高三·黑龙江大庆·开学考试）定义区间长度为，已知函数 的定义域与值域都是，则区间取最大长度时的值为 . 【答案】 【解析】因为，所以在和上都是单调递增函数，所以或 因为值域是，所以 即为方程两个不同的实根, 所以或 长度为 所以当时，长度取最大值， 故答案为：3 12．定义在区间长度为，已知函数（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是，则区间取最长长度时a的值是 ． 【答案】7 【解析】函数的定义域为，显然在上单调递增， 依题意，或，因此在上单调递增，则有， 于是得是方程的同号相异实根，即方程的同号相异实根， 则，解得或，且，此时同号， ， 当且仅当，即时取等号， 所以区间取最长长度时，a的值是7. 故答案为：7 题型五：最值函数 13．设，对任意实数x，记，其中．若至少有3个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，，由可得. 要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则， 解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．设表示a，b，c中最大的数．设.，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】令其中， 所以， 若，则，故， 令， 因此,故,则， 可知的最小值为， 故答案为： 15．（2024·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则 . 【答案】 【解析】由，得， 设，则， 由 ， 当且仅当时，取等号， 所以. 故答案为：. 题型六：嵌套函数 16．（2024·安徽安庆·三模）已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为 ． 【答案】 【解析】由，两边同时除以变形为， 有 设即，所以 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，当时，其大致图像如下． 要使关于x的方程有三个不相等的实数解，，，且． 结合图像可得关于t的方程一定有两个不等的实数根， 且，从而． ，，则，． 所以 . 故答案为： 17．已知函数 ，若函数有4个零点，，，，则 ；若关于的方程   有个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，函数， 根函数的图象变换，函数的图象关于对称， 根据二次函数的性质，可得函数的图象关于对称， 在坐标系中作出函数的图象，如图所示， 函数有4个零点，，，， 可得，所以； 令，则方程可化为， 因为有8个不等的实数根， 则方程必有4个实数根，所以， 所以在有2个不同的实数根， 令，可得其对称轴的方程为， 则满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：；. 18．若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是 ． 【答案】3 【解析】 因，故由题设可知有两解，因此方程有两个根．如图，由于，因此一定存在唯一的使得，故方程有三个实数根，故答案为． 题型七：共零点问题 19．已知函数，，若函数在上是增函数，且在定义域上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由于函数在上是增函数，所以恒成立，故，即，所以.故即在上恒成立，等价于①，或②. 由①得③，构造函数，，所以在上，递减，在上，递增，最小值为，所以③等价于，解得. 由②得④.由解得.根据和的单调性可知，当且仅当时，④成立. 综上所述，的取值范围是. 故答案为. 20．设函数，若恒成立，则的最小值为 . 【答案】/0.5 【解析】当时，；当时，， 当时，；当时，； 若恒成立，则必须，即， 所以， 所以当，时，取到最小值. 故答案为： 21．设函数．若，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 当时，，此时要使，还需恒成立，即还需， 综上所述，，即， 所以，所以的最小值为，等号成立当且仅当. 故答案为：. 题型八：双参数比值型问题 22．已知不等式对任意恒成立（其中e为自然对数的底数，a，）则的最小值为 . 【答案】 【解析】令，利用导数研究函数的单调性，求出其最小值，则最小值大于等于零，即可得到，则，所以，令，利用导数求出的最小值即可得解；令，则恒成立， 所以 当时，，不符合题意，舍去； 当时，由，得，当时，即在上单调递减，当时，即在上单调递增， 所以的最小值为，即， 则， 所以，令，，则， 所以当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，故， 故 故答案为： 23．已知，若关于x的不等式对一切正实数x恒成立，则当取最小值时，实数的值为 . 【答案】 【解析】不等式对一切正实数恒成立， 即直线恒在曲线的上方． 当最小，即直线与交点的纵坐标最小． 根据图象可知， 当时，, 所以当直线与曲线相切于点时，取最小值. 因为，所以，所以. 故答案为： 24．已知不等式（，且）对任意实数恒成立，则的最大值为 . 【答案】. 【解析】令f（x）＝x﹣3lnx+1﹣mlnx﹣n， 则f′（x）＝1﹣（x＞0）， 若m+3＜0，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，由当x→0时，f（x）→﹣∞，不合题意； ∴m+3＞0，由f′（x）＝0，得x＝m+3， 当x∈（0，m+3）时，f′（x）＜0，当x∈（m+3，+∞）时，f′（x）＞0， ∴当x＝m+3时，f（x）有最小值，则f（m+3）＝m+3﹣3ln（m+3）+1﹣mln（m+3）﹣n≥0， 即n﹣3≤m+1﹣（m+3）ln（m+3）， ≤， 令g（x）＝， 则g′（x）＝． 当x∈（﹣3，﹣1）时，g′（x）＞0，当x∈（﹣1，+∞）时，g′（x）＜0， ∴当x＝﹣1时，g（x）有最大值为﹣ln2． 即的最大值为﹣ln2 ． 故答案为：. 题型九：指数函数与对数函数的交点 25．函数的零点为，函数的零点为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，则，，即，即； ，，则，即. 设，则函数在上单调递增，， 故，即， ，当时，不成立，故， 等号不成立，故，ACD错误B正确. 故选：B 26．设,分别是函数和的零点（其中）,则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解法一:（图象法）根据题意可知分别为与和与交点的横坐标,,再根据同底数的指数对数函数互为反函数,有.代入,再根据区间上单调递增,所以. 解法二:（定义法）根据函数零点的定义可知、是方程和的根,又,所以函数在上单调递增,所以.代入在区间上单调递增,所以.解:解法一:（图象法） 根据函数零点的定义可知函数与的图象交点为, 同理可得函数与的图象交点为. 又因为函数与的图象关于直线对称, 函数的图象也关于直线对称, 所以点与点关于直线对称,所以. 由可知,所以在区间上单调递增, 所以. 故选:D 解法二:（定义法） 根据函数零点的定义可知是方程的根, 所以也是函数的零点. 同理可得是方程的根,即, 所以,所以也是函数的零点. 又,所以函数在上单调递增,所以. 由可知,所以在区间上单调递增, 所以. 故选:D 27．数学家已经证明：指数函数与对数函数的图象当且仅当时有两个不同的公共点.若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是 .（注：是自然对数的底数） 【答案】 【解析】由题意可得在的上方，由对数的性质和指数函数的单调性，可得的范围．“若对任意的，都有恒成立”等价于“函数恒在函数的上方”， 所以，即． 故答案为：，． 题型十：曼哈顿距离问题 28．已知点是单位圆上的动点，点是直线上的动点，定义，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】过作轴，轴的垂线，垂足及其他交点如图所示， 则，， 由于直线的斜率是， 当都在第一象限时， ① 取x1＝x2∈[0，1]时等号成立， 则y1＝，y2＝6﹣2x2＝6﹣2x1， 则|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|y1﹣y2|＝， 令x1＝cos（∈[0，]）， 则|y1﹣y2|＝6﹣2cos﹣sin＝6﹣（+）≥6﹣； ② 取y1＝y2∈[0，1] 时等号成立， 则x1＝，x2＝3﹣＝3﹣. 则|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|x1﹣x2|＝， 令y1＝sin（∈[0，]）， 则|x1﹣x2|＝3﹣﹣cos＝3﹣sin（+）≥3. 当中至少有一个点不在第一象限时，明显的取值会比都在第一象限时大， 综上可得：|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的最小值是3. 故选：A. 29．（2024·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，定义两点与之间的“直角距离”为．给出下列命题： （1）若，，则的最大值为； （2）若是圆上的任意两点，则的最大值为； （3）若，点为直线上的动点，则的最小值为． 其中为真命题的是 A．（1）（2）（3） B．（2） C．（3） D．（2）（3） 【答案】D 【解析】对于（1），， 的最大值为，故（1）不正确． 对于（2），要使最大，必有两点是圆上关于原点对称的两点，可设，则．故（2）正确； 对于（3），设，则，去掉绝对值后可知当 时，取得最小值，故（3）正确．故选D. 考点：信息题. 30．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼•闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（　　） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是5 D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4 【答案】D 【解析】A选项，，A错误； B选项，设，则， 当且仅当时，等号成立， 故在轴上不存在点，使得，B错误； C选项，点在直线上，设， 则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，C错误； D选项，设，此时， 故的值可能为4，D正确. 故选：D 题型十一：平口单峰函数 31．已知函数，当，时，设的最大值为，则的最小值为 ． 【解析】解：函数， 当，时，设的最大值为， 可得， ， ， 可得，，， ， 即， 即有，当且仅当，时取得等号， 则的最小值为， 故答案为：． 32．已知函数，当，时，的最大值为，则的最小值等于 ． 【解析】解：函数，， 即四分之一圆，，上的点到直线的最大距离为，此时圆上点记作， 如图所示， 只有过的中点且平行于直线的直线才能满足条件， 故当，时，的最小值为，，与的纵向距离， 即的最小值为． 故答案为：． 解法二： 解：函数， 当，时，的最大值为， 可得， ， ， 可得，，， ， 即， 即有， 则的最小值为， 故答案为：． 33．已知函数定义域为，，记的最大值为，则的最小值为　　 A．4 B．3 C．2 D． 【解析】解：函数定义域为，，记的最大值为， 可得， （1），（2）， 可得 ， 即为， 可得的最小值为2． 故选：． 题型十二：三次函数 34．（2024·广东广州·一模）已知函数，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以=， 故选：B. 35．已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先设过点的切线方程，切点，利用导数的几何意义列式，转化为有三个解，通过设函数，问题转化为与有三个交点，求的取值范围.设过点的直线为， ，设切点为， 则 ，得有三个解， 令，， 当，得或，，得， 所以在，单调递增，单调递减， 又，，有三个解， 得，即. 故选：D 题型十三：指对同构 36．（2024·高三·江西宜春·开学考试）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于b的方程可化为同构方程，则的值为 ． 【答案】 【解析】对两边取自然对数，得①， 对两边取自然对数，得，即②， 因为方程①②为两个同构方程，所以，解得， 设且，则， 所以在上单调递增，故的解只有一个， 所以，则． 故答案为： 37．（2024·湖北·模拟预测）对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】不等式恒成立等价于即， 即， 由于为增函数， 所以由，得，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减 易得， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 38．（2024·高三·重庆·开学考试）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意可得，所以， 令，则， 易得在上单调递增，所以， 即在恒成立， 令， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 题型十四：切线放缩与夹逼 39．已知函数，（其中e为自然对数的底数），若存在实数，使得成立，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 故在上是减函数，上是增函数， 故当时，的最小值为， 又由 当且仅当，即时，等号成立， 故，当且仅当两个不等式等号同时成立时，即等号成立， 得， 故选：B. 40．（2024·浙江·一模）若是实数，是自然对数的底数，，则 ． 【答案】 【解析】令，则 ．当时，单调递减；当时，单调递增． 故，所以，即（当且仅当时等号成立）． 令，则． 当时，，单调递增；当时，单调递减． 故，所以，即（当且仅当时等号成立）． 所以，又 ，所以，解得，所以． 故答案为: . 题型十五：整数解问题 41．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数，若不等式的解集中有且仅有一个整数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知函数的定义域为，且， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 即， 又当趋近于时，趋近于，当趋近于时，且趋近于； 作出函数的图象如下图所示： 易知恒过定点， 由不等式的解集中有且仅有一个整数可知只有一个整数解； 令，利用一次函数图象性质可知， 当时，在上恒成立，不合题意； 当时，若只有1个整数解，因此整数必为1； 所以可得，即，解得； 即实数的取值范围是. 故选：B 42．（2024·全国·模拟预测）当时，恒成立，则整数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】由题意得，在上恒成立， 设，，所以， 因为， 令，，则，所以在上单调递增， 因为，，所以在上仅有一个实数根，设为， 所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以. 因为，，所以， 将代入可得， 令，，则， 所以在上单调递增，又，， 所以， 当时，不成立， 又，则整数的最大值为. 故选：B. 43．（2024·高三·江西·期末）若集合中仅有2个整数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原不等式等价于，设，， 则，令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，时，， 因此与的图象如图， 当时，显然不满足题意； 当时，当且仅当，或. 由第一个不等式组，得，即， 由第二个不等式组，得，该不等式组无解. 综上所述，. 故选：A. 题型十六：导数中的“最短距离”问题 44．若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵在R上是增函数， ∴在R上恒成立， ∴，， 令y=t−lnt，，则， ∴(0,1)上，y′<0，(1,+∞)上，y′>0， ∴t=1时，ymin=1， ∴的最小值为 ， ∴. 故选：A. 45．设函数，若关于的不等式有解，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点，则， 令，， 可知的最小值即为上的点与上的点之间的距离平方的最小值， 若直线与函数的图象相切，设切点的横坐标为， 因为，可得，解得：， 则切点为，且切点在上，故， 点到直线的距离为，所以， 又因为有解，则， 此时点P在上，也在直线在点P处的垂线即直线上， 其中直线在点P处的垂线的斜率为， 所以直线在点P处的垂线方程为： 即点坐标满足，解得，即. 故选：C． 46．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（    ） A． B．e C． D． 【答案】D 【解析】设零点为t，则， 因此， 考虑函数，其导函数， 因此函数在上单调递减，从而的最小值为． 故选：D. 题型十七：等高线问题 47．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以，， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，，即，即. 故选：D. 48．已知函数，若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程，显然不为该方程的实数根， 设， 即方程有三个不同的实数根， 即有三个不同的实数根， 当时， ，则， 由，可得；，可得， 所以在 上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时， 从而作出的大致图像. 由图可知当时，直线与函数的图象有3个交点， 即方程有三个不同的实数根. 由，得， 由，得， 所以 所以． 故选：A． 49．已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】作出的图象如图： 若存在实数，且，使得 因为的图象关于直线对称， 所以, 所以， 由图可知，, 所以 设，， 所以， 易知在上单调递增， 又， 所以当时，， 所 以 在 上 单 调 递 增， 所以. 故选：A 重难点突破：多变量问题 50．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，当时，不等式恒成立 所以恒成立，即恒成立 设，则可得在上是增函数 则在上恒成立，即在上恒成立 令，则 易知当时，，单调递减，当时，，单调递增 所以，所以，得 故选：D 51．已知函数，其中．若对于某个，有且仅有3个不同取值的，使得关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】显然，否则，于是，即，这与不等式的解集为矛盾． 又易知时，不等式恒成立．于是仅需再分析的情形． 易知，由知或， 所以．所以原问题等价于关于的方程有两解， 设，则，时，，递减，时，，递增， 所以，时，，时，， 所以由关于的方程有两解，得，所以． 故选：C． 52．对任意的实数，都存在两个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 令，则 ，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； ，则的取值范围为 故答案选 1．（2024·高三·江西·期中）已知函数有两个零点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数有两个零点，， 所以与的两个交点横坐标分别为，， 结合图象知，，， ，则， 所以， 则， 令，则，， 又在区间上单调递减，所以， 所以. 故选：. 2．（2024·高三·云南·阶段练习）若，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【解析】因为，故， 而为上的增函数，故即，故， 设，则， 当时，，故在上为减函数， 当时，，故在上为增函数， 故， 故选：B. 3．（2024·山东威海·一模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 则是偶函数， 又，当时，恒成立， 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，且，即，所以，则，所以选项B正确， 当时，，所以选项A和D错误， 当时，，所以选项C错误， 故选：B. 4．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数是定义在R上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 函数仅有4个零点，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，， ∴， 令， ∴在上单调递增， ∴，即， ∴， 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ∴， ∴的最小值为， 故选：B. 6．（2024·高三·湖南·期中）已知函数，若方程恰有5个不同的解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 若时，由求导得，， 故当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得极小值，也是最小值，， 当时，；当时，； 若时，由求导得，， 因为，故恒有，即在上单调递增， 且当时，，当时，， 即当时，恒有. 作出函数的大致图象如图所示. 又由可得或， 由图知有两个根，此时方程有2个不同的解； 要使方程恰有5个不同的解， 需使有3个零点，由图知，需使， 即，解得. 综上所述，实数a的取值范围是. 故选：B. 7．（2024·高三·上海黄浦·期末）设，满足的x的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【解析】由可得， 即，其中， 所以原方程化为，即， 不妨令，因为，所以， 易知时，成立，即满足题意； 又的周期为，且， 所以在区间上还有一个根，如图所示， 故选：C 8．（2024·高三·河南驻马店·期末）已知函数，若关于x的方程有2个不同的实根，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】关于的方程有2个不同的实根直线与的图象有2个不同的交点，且交点横坐标异号； 在同一平面直角坐标系中画出与的图象，如图所示， 当经过时，且此时斜率为，由此逆时针旋转直线至靠近轴都可满足要求， 由图可知，即， 故选：C. 9．（2024·高三·四川成都·期中）已知，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，. 因为，所以在上单调递增. 当时，；当时，. 因为的图象开口向上，，所以方程有一正根一负根， 即函数在上有且仅有一个零点，且为异号零点. 由题意可得，，则当时，；当时，， 所以是方程的根，则，即，且， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：A. 10．（多选题）（2024·高三·辽宁沈阳·期中）已知函数，则（    ） A． B．若，则的极大值点为 C．若至少有两个零点，则 D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】A选项，， 故，A正确； B选项，，若，当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故为极小值点，B错误； C选项，，当时，，故在R上单调递增，不会有两个零点，舍去； 当时，由B选项知，在上单调递增， 在上单调递减， 在处取得极小值，在取得极大值， 且当趋向于时，趋向于，当趋向于时，趋向于， 其中，， 要想至少有两个零点，则， 解得，C正确； D选项，由C选项知，当时，在R上单调递增，满足在区间上单调递增， 当时，在上单调递增， 其中， 故，所以在区间上单调递增， 综上，在区间上单调递增，D正确 故选：ACD 11．（多选题）（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．6个零点之和是6 【答案】BD 【解析】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象， 再向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示， 则函数的图象关于直线对称，令， 因为函数最小的零点为，且， 故当时，方程有4个零点， 所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或， 由，可得或， 设的四个根从小到大依次为， 由函数的图象关于直线对称，可得， 所以的所有零点之和是6，故D正确； 关于的方程的两个实数根为和， 由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误. 故选：BD. 12．（多选题）（2024·四川内江·一模）给定函数，．分别用、表示、中的最小者、最大者，记为,．下列说法正确的是（   ） A． B．当直线与曲线有三个不同交点时， C．当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点 D．函数的值域为 【答案】ACD 【解析】函数、的定义域均为，且， 所以，， ， 对于A选项，当时，，则，此时，， 当时，，则，此时，，A对； 对于B选项，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，B错； 对于C选项，当时，，则， 因为，则， 所以，曲线在点处的切线方程为， 即， 当时，由， 整理可得，可得（舍去）， 当时，由可得， 解得或（舍去）， 综上所述，当时，曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个交点，C对； 对于D选项，当时，， 当时，. 综上所述，函数的值域为，D对. 故选：ACD. 13．（2024·高三·天津·期中）已知，函数若关于的方程恰有2个相异的实数解，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，由，得， 整理可得：， 因为不是方程的实数解，所以， 当时，由，得， 整理可得：， 因为不是方程的实数解，所以， 令， 其中， 由题意，关于的方程恰有2个相异的实数解 函数与函数有两个不同的交点； 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象， 同时绘制函数的图象，如图所示： 由，解得，由，解得， 由，，且，结合图象可知：实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（2024·高三·江西·期中）已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为 . 【答案】 【解析】根据题意作出函数的图象，如图所示， 令，解得或，令，解得或或， 由题意可知：与有三个交点，则， 此时，且， 所以， 令， 则恒成立， 所以在单增， 的最大值为， 即的最大值为. 15．（2024·高三·上海·期中）已知，，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知，， 则， 所以，可视为方程的两个解，且满足， 即，可视为函数的两个零点，且满足， 则， 解得，即， 则， 故答案为：. 16．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知过点可作三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，设点为曲线的切点， 则切线方程为，整理得， 将点代入可得. 令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 又，，当时，方程有3个不同的实数根， 即当时，有3个不同的满足方程， 即过点可作三条直线与曲线相切. 故答案为：. 17．（2024·山东·模拟预测）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，得，解得， 所以，因此． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 / 54 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $$