三快乐农场——运算律

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 三 快乐农场——运算律 整数加法结合律 整数加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律。 用字母表示：（a＋b）＋c＝a＋(b＋c) 例如：（69＋176）＋28＝273 69＋（176＋28）＝273 （一）整数加法结合律 （二）整数加法交换律 （三）整数减法的性质 （四）整数乘法交换律 （五）整数乘法结合律 （六）整数除法的性质 （七）整数乘法分配律 （八）用字母表示运算定律及计算公式 一、基础知识讲解 先加前两个数 先加后两个数 和相等 模块导航 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 二、考法技法提炼 考法：运用加法结合律和加法交换律进行简算 例题：计算。 （1）35＋67＋65 （2）1＋3＋5＋7＋…＋95＋97＋99 【解析】（1）35＋67＋65 ＝（35＋65）＋67 ＝100＋67 ＝167 （2）1＋3＋5＋7＋…＋95＋97＋99 ＝（1＋99）＋（3＋97）＋（5＋95） …＋（47＋53）＋（49＋51） ＝100＋100＋100＋…＋100＋100 ＝100×25 ＝2500 【点睛】计算一组数据的和时，先观察算式中加数的特点，先将其凑整或者凑成相同加数后利用乘法进行 简便计算。 易错点：运用加法结合律计算时漏掉括号 易错诠释：简算时借助加法结合律，要改变运算顺序，需要借助小括号改变运算顺序。 例题：判断：计算 162＋126＋74 ＝162＋200 ＝362 （ ） 三、易错提示 结合，凑整 一共有 25 组 观察给出的算式的加数特点 找出可以凑整的加数， 利用加法结合律、加法交换律 凑整 计算 交换 67 和 65 的位置 35 和 65 结合，凑整 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 【分析】 162＋126＋74 ＝162＋200 ＝362 【详解】判断：计算 162＋126＋74 改正：162＋126＋74 ＝162＋200 ＝162＋（126＋74） ＝362 （ × ） ＝162＋200 ＝362 【点睛】运用加法结合律计算时，需要借助小括号改变运算顺序时，不要忽略小括号。 未借助小括号改变运算顺序，直接进行计算，是错误的。 不加小括号，同级计算须从左往右依次计算。 126 和 74 可以凑整，可以运用加法结合律凑整， 但要改变运算顺序，需要借助小括号。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 二、考法技法提炼 整数加法交换律 整数加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 用字母表示：a＋b＝b＋a 例如： 11＋78＝89 78＋11＝89 拓展： 若干个数相加，任意交换加数的位置，和不变。 用字母表示为：a＋b＋c＝a＋b＋c 考法：运用加法交换律进行验算 例题：列竖式计算，并用加法交换律验算。 （1）579＋843＝ （2）130＋962＝ 验算： 验算： 【解析】在加法计算中，我们可以运用加法交换律来检验计算结果的正确性。 （1）579＋843＝1422 （2）130＋962＝1092 5 7 9 8 4 3 1 3 0 9 6 2 ＋ 8 4 3 ＋ 5 7 9 ＋ 9 6 2 ＋ 1 3 0 1 4 2 2 1 4 2 2 1 0 9 2 1 0 9 2 一、基础知识讲解 按照加法计算法则计算 验算：交换两个加数的位置，再次计算 11＋78＝78＋11 11 1 交换加数的位置，和不变。 1验算： 验算：1 1 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 易错点：未理解加法交换律，数字看错 易错诠释：加法交换律中变化的只有两个加数的位置，不变的是这两个加数本身及它们的和。 例题：判断：258＋134＝143＋258 符合加法交换律。（ ） 【分析】 258＋134＝143＋258 【详解】258＋134＝143＋258 符合加法交换律。（×） 【点睛】加法交换律只改变两个加数的位置，不改变加数的大小。 三、易错提示 134 数字发生了变化 不符合加法交换律的定义 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 二、考法技法提炼 整数减法的性质 减法的运算性质 性质 1：在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变。 a－b－c＝a－c－b 例如：234－66－34＝234－34－66 性质 2：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。【注意变号】 a－b－c＝a－（b＋c） 例如：325－28－42＝325－（28＋42） 性质 3：一个数减去两个数的和，等于连续减去这两个数。【注意变号】 a－（b＋c）＝ a－b－c 例如：1472－（472＋379）＝1472－472－379 注意：在加、减混合运算中，要想交换数的位置，一定要将数前面的运算符号一起交换。 385＋536－185＝385－185＋536 考法：运用减法的性质进行简算 例题：简算下面各题。 （1） 683－153－47 （2）763－246－54－63 （3）4167－（803＋167＋197） 【解析】 （1）683－153－47 （2）763－246－54－63 ＝683－（153＋47） ＝763－63－（246＋54） ＝683－200 ＝700－300 ＝483 ＝400 一、基础知识讲解 添括号凑整 添括号 交换位置凑整 凑整 添括号去凑整 交换位置去凑整 凑整 凑整 去括号去凑整 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 （3）4167－（803＋167＋197） ＝4167－803－167－197 ＝4167－167－（803＋197） ＝4000－1000 ＝3000 易错点：运用减法的运算性质时，运算符号容易出错 易错诠释：运用减法的性质，括号前面是减号，去掉括号时，括号里面的加号变减号，减号变加号。 例题：判断：计算 463－（163＋150） ＝463－163＋150 ＝300＋150 ＝450 （ ） 【分析】463－（163＋150） ＝463－163＋150 ＝300＋150 ＝450 【详解】判断：计算 463－（163＋150） 463－（163＋150） ＝463－163＋150 改正： ＝463－163－150 ＝300＋150 ＝300－150 ＝450 （ × ） ＝150 【点睛】一个数减去两个数的和等于这个数连续减去这两个数。 三、易错提示 观察给出的算式 是否能利用减法的性质计算 找出可以凑整的数 利用减法的性质 交换位置 添括号、去括号 去掉小括号，括号前面是减号 根据减法的性质，括号里面的符号：加号变减号，减号变加号。 去括号、交换位置、添括号凑整 计算 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 二、考法技法提炼 整数乘法交换律 1.整数乘法交换律 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变，这叫做乘法交换律。 用字母表示：a×b＝b×a 例如： 14×5＝70 5×14＝70 2.拓展 多个数相乘，任意交换因数的位置，积不变。 用字母表示：a×b×c×d＝a×c×d×b 考法：乘法交换律的应用 例题：根据运算律填一填。 28×26＝26×（ ） 25×29×4＝（ ）×（ ）×29 200×8×（ ）＝200×15×8 【解析】 28×26＝26×（ 28 ） 25×29×4＝（ 25 ）×（ 4 ）×29 200×8×（ 15 ）＝200×15×8 一、基础知识讲解 14×5＝5×14 交换因数的位置，积不变。 交换两个因数的位置，积不变 交换两个因数的位置，积不变 交换两个因数的位置，积不变 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【注意】乘法交换律同样适用于多个因数相乘，任意交换几个因数的位置，积不变。 易错点：未理解乘法交换律，只改变因数的位置，不会改变因数的大小 易错诠释：乘法交换律发生变化的是因数的位置，因数本身是没有变化的。 例题：判断：6×4＝3×8运用了乘法交换律。 （ ） 【分析】6×4＝3×8 【详解】判断：6×4＝3×8 运用了乘法交换律。 （ × ） 【点睛】乘法交换律和加法交换律一样，只改变位置，不改变大小。 三、易错提示 观察给出的算式 看前后因数的位置变化 根据因数的位置变化填空 等式是成立的，但并未运用乘法交换律，因数大小发生了变化。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 二、考法技法提炼 整数乘法结合律 整数乘法结合律： 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这叫做乘法结合律。 用字母表示：（a×b）×c＝a×（b×c） 例如：（25×5）×2＝250 25×（5×2）＝250 考法：运用乘法结合律简算 例题：简算下面各题。 （1）（25×16）×4 （2）125×（58×8） 【解析】 （1） （25×16）×4 ＝（25×4）×16 ＝100×16 ＝1600 （2）125×（58×8） ＝（125×8）×58 ＝1000×58 ＝58000 【点睛】乘法结合律和乘法交换律在应用过程中，注意 25 和 4,125 和 8 等这类特殊数字，它们相结合可以 使计算更加简便。 一、基础知识讲解 观察给出的算式 寻找特殊数字进行凑整 运用乘法交换律或乘法结合律，改变数字 的顺序，结合凑整，使计算简便 （25×5）×2＝25×（5×2） 25 和 4结合，凑整 运用乘法交换律和结合律 125 和 8 结合，凑整 运用乘法交换律和结合律 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 易错点：对乘法结合律和乘法交换律掌握不够熟练 易错诠释：在进行简便计算的过程中，可以同时应用多个运算律使计算简便，熟练每种运算律是准确应用 的基础。 例题：判断：25×89×4＝89×（25×4）只运用了乘法结合律。 （ ） 【分析】25×89×4＝89×（25×4） 【详解】判断：25×89×4＝89×（25×4）只运用了乘法结合律。（ × ） 【点睛】在简便计算的过程中，可以同时运用两个运算律来简便计算。 三、易错提示 25 和 4 相结合，运用了乘法结合律。 因数的位置发生了变化，运用了乘法交换律。 同时运用了乘法交换律和乘法结合律。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 二、考法技法提炼 整数除法的性质 1.整数除法的性质 一个数连续除以两个数，等于用这个数除以这两个数的积，这叫做除法运算的性质。 用字母表示：a÷b÷c＝a÷（b×c） 例如：330÷5÷2＝33 330÷（5×2）＝33 注意：运算符号的变化。 2.拓展 除法性质的逆运用：一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积里面的两个因数。 用字母表示：a÷（b×c）＝a÷b÷c 例如：6500÷（65×25）＝4 6500÷65÷25＝4 考法：运用除法的性质简算 例题：简算下面各题。 （1）4500÷25÷4 （2）2400÷（24×5） （3）450÷18 【解析】 （1） 4500÷25÷4 ＝4500÷（25×4） ＝4500÷100 ＝45 （2）2400÷（24×5） ＝2400÷24÷5 ＝100÷5 ＝20 一、基础知识讲解 330÷5÷2=330÷（5×2） 加括号后，注意变号 除法性质的逆运算：a÷（b×c）=a÷b÷c 去掉括号，注意变号，乘号变成除号 运用除法的性质进行简算 6500÷（65×25）＝6500÷65÷25 a ÷ b ÷ c = a ÷（b × c） 添加小括号 除号变乘号 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 （3）450÷18 ＝450÷（9×2） ＝450÷9÷2 ＝50÷2 ＝25 【点睛】计算时，先观察给出的算式，判断能否进行简算，再找到适合简算的运算律或性质进行简算。简 算过程中注意符号的变化。 易错点：运用除法的运算性质时，没有注意运算符号的变化 易错诠释：在使用除法的运算性质去掉括号时，括号里的乘号要变成除号，这里容易出错。一个数除以两 个数的积，等于这个数连续除以两个数。 例题：判断：2500÷（25×4） ＝2500÷25×4 ＝100×4 ＝400 （ ） 【分析】 2500÷（25×4） ＝2500÷25×4 ＝100×4 ＝400 （ × ） 三、易错提示 除法性质的逆运算： 去掉括号， 括号里面的乘变除。 可以考虑将 18 拆分成两个数相乘，方便与 450 进行计算，可以考虑 9×2 利用除法的逆运算，进行去括号变号计算 先观察算式，是否能运用除法性质计算 直接运用除法性质解决 a÷b÷c=a÷（b×c） 除法性质的逆运算 a÷（b×c）=a÷b÷c 需要拆分某个数字后， 再运用除法性质计算 2500÷（25×4） ＝25÷25÷4 ＝100÷4 ＝25 去括号，变号 没有变号 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 二、考法技法提炼 【点睛】熟练掌握除法的运算性质是解决这类问题的关键。一定要注意去括号时运算符号的变化。 整数乘法分配律 1.整数乘法分配律： 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加，这叫做乘法分配律。 用字母表示：（a＋b）×c＝a×c＋b×c 例如：（4＋2）×25＝150 4×25＋2×25＝150 2.拓展： （1）根据需要，乘法分配律可以逆运用，用字母表示：a×c＋b×c＝（a＋b）×c 例如：87×87＋13×87＝（87＋13）×87 （2）两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相乘，再相减。 用字母表示：（a－b）×c＝a×c－b×c 例如：（80－4）×25＝1900 80×25－4×25＝1900 考法：运用乘法分配律简算 例题：简算下面各题。 （1）（25＋100）×4 （2）32×75＋68×75 （3）808×125 【解析】 （2） （25＋100）×4 ＝25×4＋100×4 ＝100＋400 ＝500 （2）32×75＋68×75 ＝（32＋68）×75 一、基础知识讲解 （4＋2）×25＝4×25＋2×25 乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c 4 分别与括号内的 25 和 100 相乘 乘法分配律的逆运算 a×c＋b×c＝（a＋b）×c 找出两个相加的乘法算式中相同的数， 放在括号外面，其他两个数相加放在括号里 （80－4）×25＝80×25－4×25 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ＝100×75 ＝7500 （3） 808×125 ＝（800＋8）×125 ＝800×125＋8×125 ＝100000＋1000 ＝101000 易错点：混淆了乘法结合律与乘法分配律，导致计算错误 易错诠释：计算时，要分清乘法结合律和乘法分配律。三个数相乘时，一般用乘法结合律或乘法交换律， 乘法分配律一般是一个数乘两个数的和。 例题：判断：25×（8×3） ＝（25×8）＋（25×3） ＝200＋75 ＝275 （ ） 【分析】 25×（8×3） ＝（25×8）＋（25×3） ＝200＋75 ＝275 （ × ） 三、易错提示 注意看清括号里面是 8×3， 而不是 8＋3，所以不能用乘 法分配律进行计算。 看到 125 考虑和 8 相乘，可以把前面 808 拆成（800＋8） 利用乘法分配律进行计算 先观察算式，是否能运用 乘法分配律进行计算 直接运用乘法分配律解决 （a＋b）×c＝a×c＋b×c 乘法分配律的逆运算 a×c＋b×c ＝（a＋b）×c 需要拆分某个数字后， 再运用乘法分配律计算 25×（8×3） ＝25×8×3 ＝200×3 ＝600 利用乘法 结合律计算 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 用字母表示运算定律及计算公式 一、 基础知识讲解 1.用字母表示运算定律 运算定律 用字母表示 加法交换律 a+b=b+a 加法结合律 a+b+c=a+(b+c) 乘法交换律 ab=ba 乘法结合律 (ab)c=a(bc) 乘法分配律 （a+b）c=ac+bc 在含有字母的式子里，字母中间的乘号可以记作“·”，也可以省略不写。 用字母表示运算定律，简明易记、便于应用。 2. 用字母表示计算公式 图形 面积公式 周长公式 长方形 S=ab C=（a+b） 正方形 S=a 2 C=4a 注意：a 2 读作：a 的平方 表示：2个 a相乘 二、 考法技法提炼 考法：用字母表示计算公式的直接书写 解题方法：牢记用字母表示运算定律及计算公式方法，正确应用。 例题：一个正方形的边长是 a 米，那么它的周长是( )米，面积是( )平方米。 【答案】4a a 2 【分析】正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长。 用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“·”表示。字母 与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。2 个相同的字母相乘时，可以写成这个字母的平方。 橙 子 学 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 据此解答。 【详解】通过分析可得：一个正方形的边长是 a米，那么它的周长是 4a 米，面积是 a2平方米。 三、 易错提示 易错点：错误认为用字母表示计算公式时可以省略加号 易错诠释：用字母表示计算公式，注意字母与数相乘时要简写，即省略乘号，把数写在字母的前面；但是 不能省略加号或其它的运算符号。 例题：长方形的周长 c=（a+b）×2，省略乘号写作：c=2ab．（ ） 【答案】× 【详解】试题分析：字母与数相乘时可简写，即省略乘号，要把数字提到字母的前面；据此进行改写． 解：长方形的周长 c=（a+b）×2， 省略乘号写作：c=2（a+b）． 故判断为：×． 橙 子 学