精品解析：山东省临沂市五校2024-2025学年九年级上学期12月自测数学试卷　

九年级数学检测题 一、单选题 1. 已知是反比例函数，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义的形式，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故选：B． 2. 如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的几何意义． 根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是矩形， ∴矩形的面积为3． 故选：C． 3. 已知反比例函数的图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（　　） A. （1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （﹣2，1） D. （﹣1，﹣2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象和性质即可解答．先判断出反比例函数图象的一分支所在象限，即可得到另一分支所在象限． 【详解】解：由于点（1，2）在第一象限，则反比例函数的一支在第一象限，另一支必过第三象限． 第三象限内点的坐标符号为（﹣，﹣） 故选：D． 【点睛】此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数图像的对称性． 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况讨论：当时，可排除B；当时，排除C、D． 【详解】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，故A正确，排除B； 当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D； 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数、一次函数综合问题，掌握数形结合的思想是关键． 5. 已知：如图，，它们依次交直线于点A、E、B和点C、F、D，下列结果中不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由平行线分线段成比例可得，，，即可求解． 【详解】解：∵， ，，， 故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 6. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意， C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意， D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似． 7. 如图，的顶点E在的边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，能判定，故A不符合要求； ∵，， ∴，能判定，故B不符合要求； ∵，， ∴，能判定，故C不符合要求； ，，不能判定，故D符合要求； 故选：D． 8. 如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米． A. 9.6 B. 10 C. 7.2 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即塔高为米， 故选：D． 9. 如图，是斜边上的高，，，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 根据题意，可得，，可证，得到，则有，由此即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， 故选：D ． 10. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种， ∴， 故选B． 11. 若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y2＞y1 C. y1＞y3＞y2 D. y2＞y3＞y1 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性解答． 【详解】解：∵k为常数， ∴k2+1＞0， ∴反比例函数的图象在一，三象限，在每一象限内y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上， ∴点A（﹣1，y1）在第三象限，点B（1，y2），C（2，y3）在第一象限， ∴y2＞y3＞y1． 故选：D． 【点睛】此题考查反比例函数的增减性：当k>0时，图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；掌握相关知识是解题的关键． 12. 如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义，连接，易得，再利用分割法以及值的几何意义进行求解即可． 【详解】解：连接，设直线与轴交于点， ∵直线与轴平行， ∴， ∵直线与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点， ∴， ∴； 故选B． 13. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据 可得到和，再根据相似三角形的性质即可得出，再根据同高三角形的面积比等于底之比即可求出． 【详解】 ， 故选：B． 14. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行投影性质和相似三角形面积比，熟练掌握平行投影下图形的相似性质、相似三角形的相似比及其与面积比的关系，是解决本题的关键． 根据中心投影性质得与是相似，求出相似比，再根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是， ， 与相似比是， ， 的面积为， ， 故选：C． 二、填空题 15. 在一个不透明的布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出1个球，那么摸到红球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．用红球个数除以总数即可． 【详解】解：从布袋里随机摸出1个球，是红球的概率为 故答案为：． 16. 已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 17. 如图，，分别是的边、上的点，且．如果，，，那么的长等于______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证得是解答本题的关键．先求出的长，然后再说明，最后运用相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，负值舍去， 经检验是原方程的解， ∴的长为4． 故答案为：4． 18. 已知：如图， ，若，那么_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据，得出，则，然后把代入，进行计算，即可作答． 详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 19. 如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是___________m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． 在中，根据正切定义求出，再在中根据求出，即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 在中， ，且 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 20. 如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为），画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点、的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）点的坐标是，的坐标是． 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用位似变换性质得出对应点的位置即可； （2）直接利用（1）中的图形得出对应点的坐标即可． 【小问1详解】 解：延长到，使得，延长到，使得，再连接，如图： ∴就是所求的三角形． 【小问2详解】 解：∴点的对应点的坐标是， 点的对应点的坐标是． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． （2）从－4，－2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，求选取的数字能令方程有实数根的概率． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，即判别式大于0且二次项系数不为0，求解即可； （2）方程有实数根，即判别式大于等于0且二次项系数不为0，求解即可． 【小问1详解】 ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 【小问2详解】 若要方程有实数根，则，且； 即且， ∴给定的5个数字中，－4，－2，0能令方程有实数根， 故选取的数字能令方程有实数根的概率为． 【点睛】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，熟练掌握两者间的判定条件即可，注意不要遗漏二次项系数不为0这个要素． 22. 如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明∠BEF=∠CFG，结合∠B=∠C=可证得△BEF∽△CFG； （2）由△BEF∽△CFG，可得，代入数据可得CG． 【详解】解：(1)∵ABCD是正方形，于F ∴∠B=∠C=∠EFG= ∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠CFG= ∴∠BEF=∠CFG ∴△BEF∽△CFG (2)解: ∵△BEF∽△CFG ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了在正方形中进行一线三角形相似的证明，并利用相似进行线段长度的计算，熟知以上模型是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量的取值范围； （3）连接、，求的面积； 【答案】（1）； （2）或； （3）4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式； （2）根据函数图象即可得解； （3）先求出得到，再根据计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵轴，垂足为M，，， ∴， 把代入反比例函数，可得， 解得：， ∴反比例函数解析式为； 令，则， ∴， 把，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为或； 【小问3详解】 解：在中，令，则，即， ∴， ∴． 24. 综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． （1）左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； （2）由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 【答案】（1），． （2）空矿泉水瓶的重量为． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）根据天平的杠杆原理，可以列出可以列出与之间的关系式：．即可得到反比例函数的解析式，再根据的取值范围求出的取值范围； （2）根据题意列出方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：根据链接中给的杠杆原理，可以列出与之间的关系式：． 将其化为关于的函数表达式：， 由于． ，即为． 的取值范围为． 【小问2详解】 解：根据素材2，设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为． 第一次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程：． 第二次称量时，，， 根据杠杆原理列出方程： ． 可得方程组， 解得， 因此可得，空矿泉水瓶的重量为． 25. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． （1）问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 【答案】（1），45； （2）和β的大小无变化； （3）△BCE面积为 或． 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，线段的中点的定义即可判断． （2）结论：和β的大小无变化．如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．证明△DAB∽△EAC，即可解决问题． （3）分两种情形：①当点E在线段AB上时，②当点E在线段BA的延长线上时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图1中， ∵∠B＝90°，BA＝BC， ∴∠A＝45°，AC＝ =AB， ∵点D、E分别是边AB、AC的中点， ∴BD＝AB，EC＝AC， ∴＝，β＝45°； 故答案为，45． 【小问2详解】 解：结论：和β的大小无变化．理由如下： 如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K． 由（1）得：AE＝AD，AC＝AB，∠DAE＝∠BAC， ∴＝，∠DAB＝∠EAC， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴＝＝，∠OBK＝∠OCA， ∵∠BOK＝∠COA， ∴∠BKO＝∠CAO＝45°，即β＝45°， ∴和β的大小无变化． 【小问3详解】 解：∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴， ∵点E分别是边AC的中点， ∴， 当点E在线段AB上时，， ∴S△BCE＝ =， 当点E在线段BA的延长线上时，， ∴S△BCE＝ =． 综上所述，△BCE的面积为 或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学检测题 一、单选题 1. 已知是反比例函数，则m的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 或1 2. 如图，点在反比例函数的图象上，过分别向轴，轴作垂线，垂足分别为A，，则矩形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知反比例函数图象经过点（1，2），则它的图象也一定经过（　　） A. （1，﹣2） B. （﹣1，2） C. （﹣2，1） D. （﹣1，﹣2） 4. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：如图，，它们依次交直线于点A、E、B和点C、F、D，下列结果中不一定正确的是（ ） A B. C. D. 6. 如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，顶点E在的边上，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（ ）米． A. 9.6 B. 10 C. 7.2 D. 8 9. 如图，是斜边上的高，，，则的长为（ ） A. 13 B. 14 C. 16 D. 18 10. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 11. 若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y3＞y2＞y1 C. y1＞y3＞y2 D. y2＞y3＞y1 12. 如图，直线与轴平行且与反比例函数（）与（）的图象分别交于点和点，点是轴上一个动点，则的面积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 13. 如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 14. 如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 15. 在一个不透明布袋中有2个红球和1个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出1个球，那么摸到红球的概率为______． 16. 已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为______． 17. 如图，，分别是的边、上的点，且．如果，，，那么的长等于______． 18. 已知：如图， ，若，那么_______． 19. 如图，李老师用自制直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中，测得眼睛D离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是___________m． 三、解答题 20. 如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为． （1）以O点为位似中心在y轴的左侧将放大为原来的两倍（即新三角形与原三角形的位似比为），画出图形； （2）分别写出B、C两点的对应点、的坐标． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． （2）从－4，－2，0，2，4中任选一个数字作为k代入原方程，求选取的数字能令方程有实数根的概率． 22. 如图，在正方形ABCD中，点E、F、G 分别在AB、BC、CD上，且于F． （1）求证：△BEF∽△CFG； （2）若AB=12，AE=3，CF=4，求CG的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，点B的纵坐标为． （1）求反比例函数表达式和一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量的取值范围； （3）连接、，求的面积； 24. 综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 器材：如图1所示的一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量（不计托盘与横梁重量）． （1）左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置物体，设右侧托盘放置物体的重量为，长．当天平平衡时，求关于的函数表达式，并求的取值范围； （2）由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘放置矿泉水瓶，如图2．滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的重量． 25. 如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β． （1）问题发现当α＝0°时，＝_____；β＝_____°． （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $