福建省长乐第一中学2023-2024学年高三上学期阶段一考试数学试题

2023—2024学年第一学期长乐一中阶段一考试 高中 三 年级 数学 科试卷 审核教师： 高三数学集备组 考试日期： 10月7日 完卷时间： 120 分钟 满分： 150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为全集的是（ ） A． B． C． D． 2．若复数，则（ ） A．0 B． C．1 D．2 3．已知数列是正项等比数列，数列满足．若，（ ） A．24 B．32 C．36 D．40 4．柯西不等式（Cauchy—Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用，现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时即时等号成立．由柯西不等式可以得知函数的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（ ） A． B． C． D． 6．四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的取值不可能是（ ） A. B. C. D. 7．已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 8．在中，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．以下说法正确的有（ ） A．“”是‘“”的必要不充分条件 B．命题“，”的否定是“，” C．“”是“”的充分不必要条件 D．设，，则“”是“”的必要不充分条件 10．已知，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知数列{an}的前n项和为Sn，若则下列说法正确的是（　　） A．{an}是递减数列 B．数列{Sn}中的最小项为S10 C．数列是等差数列 D．设，则当或时数列的前项和取最大值 12．已知实数，b满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若向量，满足，，且，则与的夹角为________． 14．若“使”为假命题，则实数的取值范围为________． 15．若函数是上的增函数，则实数的最大值为________． 16．设矩形的周长为12，把沿向折叠，折后交于点，则的面积最大值为________． 四、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足 （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A、B，将集合A∪B中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前50项和S50． 18．（12分） 已知函数 （1）若其图象在点处的切线方程为，求，的值; （2）若1是函数的一个极值点，且函数在上单调递增，求实数的取值范围． 19．（12分） 已知向量，，设，且的图象关于点对称． （1）若，求的值; （2）若函数的图象与函数的图象关于直线对称，且在区间上的值域 为，求实数的取值范围． 20．（12分） 设的内角所对的边分别为，且． （1）求角； （2）若，且的内切圆半径，求的面积． 21．（12分） 已知数列{an}满足a1＝1，，其中n∈N*． （1）设，求证：数列{bn}是等差数列． （2）在（1）的条件下，求数列的前n项和Sn． （3）在（1）的条件下，若，是否存在实数λ，使得对任意的n∈N*，都有 cn+1＞cn，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 22．（12分） 已知函数． （1）讨论函数的极值点个数； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 参考答案及评分标准 选择题 DACA ACDD CD ABC ACD AD 填空题 13． 14． 15. 16． 17．（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 由，可得q＝2，d＝4，∴an＝4n+1，bn＝2n； ………5分 （2）当{cn}的前50项中含有{bn}的前7项时，令4n+1＜27＝128，可得n＜，第32项为128， 当{cn}的前50项中含有{bn}的前8项时， 令4n+1＜28＝256，可得n＜，可得第50项为256． 则{cn}的前50项中含有{bn}的前7项且含有{an}的前43项， ∴S50＝（43×5+×4）+＝4081． ………10分 18．（1）点在切线上， ，① ，，② 联立①②解得，． ………5分 （2）依题意有，，， 且，． ． 则时，，即． 令，．，． 又，的取值范围为 …… ……12分 19．（1） 若的图象关于点对称，则， ，． ，． 若，则，同理可得． ……6分 （2）若函数的图象与的图象关于直线对称，则 ． ．在上的值域为，\ ．且．结合函数的图象知 的取值范围为 ……12分 20. （1）由正弦定理得： ，即， 即，即. 因，所以，所以.因为，所以. ……6分 （2）面积，代入，和， 整理得：①， 由余弦定理：，得： ，即②， ①②联立可得：，解得：或（舍去）， 所以. ……12分 21.证明：（1）， ，∴数列{bn}是首项为2，公差为2的等差数列； ……4分 （2）解：bn＝2+（n﹣1）×2＝2n，设， 则①，②， 1 ﹣②得 ∴； ……8分 （3）存在，理由如下： ， ， 则， 若对任意的n∈N*，都有cn+1＞cn，则等价于恒成立， 即恒成立，n∈N*， 当n为偶数时，，则； 当n为奇数时，时，则． 综上，存在，使得对任意的n∈N*，都有cn+1＞cn． ……12分 22．（1），，． 令 ①当即时，，单调递增，无极值点; ②当即时，函数有两个零点，， （i）当时．，，当时，递减， 当时，单调递增，有一个极小值点; （ii）当时，，当与时，递增， 当时，单调递减，有两个极值点． 综上:当时无极值点;当时有两个极值点; 当时有一个极小值点． ……6分 （2）不等式恒成立，即． 令，， ． 令，， 当时，，单调递增，又，时，不合题意，． 当时，单调递减，当时单调递增，． 而，． 令，，当时单调递增， 当时单调递减，，即． ． ． ……12分 9. 四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合等比数列的性质，分情况讨论，即可得到结果. 【详解】因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同， 当对应等比数列的第一项与第二项时，则第三，四项分别为，此时， 当对应等比数列的第一项与第四项时，此时， 当对应等比数列的第三项与第四项时，则第一，二项分别为，此时， 当对应等比数列的第三项与第二项时，此时， 当对应等比数列的第二项与第三项时，此时， 当对应等比数列的第二项与第一项时，则第三，四项分别为，此时， 当对应等比数列的第四项与第三项时，则第一，二项分别为，此时， 当对应等比数列的第四项与第一项时，此时， 故选：ABD 11. 已知实数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先由题意可知，由，得，构造函数，得，再对四个选项逐一分析即可. 【详解】由题意可得，则由，得. 对于A：设，， 则在区间上，，为增函数， 所以由题意可得，所以，故A正确； 对于B：由，得,故B错误； 对于C：由A可知在区间上为增函数， 且，则，即,则, 由,得,令,则, 所以在上单调递增,所以,所以,故C错误； 对于D：又,令,则, 所以在上单调递增,所以，所以, 又，且,令， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 所以，综上可得，故D正确； 故选:AD. 【点睛】关键点睛： 15. 若函数是上的增函数，则实数a的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】确定函数定义域，问题转化为在上恒成立，即，设，求得函数的最值，从而可得实数a的最值. 【详解】的定义域为，若在上单调递增， 则恒成立，即 设，则， 当时，，函数在上单调递减; 时，，函数在上单调递增， 故，所以， 故实数a的最大值为.故答案为：. 1．D 2．A 3．C 4．A 5．A 6．D 7．D 8．C 9．CD 10．ABC 11．ABD 12．BCD 13． 14． 15． 16． 17．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝5，b1＝2，a2＝2b2+1，a3＝b3+5． （1）求{an}和{bn}的通项公式； （2）数列{an}和{bn}中的所有项分别构成集合A、B，将集合A∪B中的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前50项和S50． 【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，再求出{bn}的通项公式； （2）推得{cn}的前50项中含有{bn}的前7项且含有{an}的前43项，结合等差数列和等比数列的求和公式，再求出S60． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 由，可得q＝2，d＝4，∴an＝4n+1，bn＝2n； （2）当{cn}的前50项中含有{bn}的前7项时，令4n+1＜27＝128，可得n＜，第32项为128， 当{cn}的前50项中含有{bn}的前8项时， 令4n+1＜28＝256，可得n＜，可得第50项为256． 则{cn}的前50项中含有{bn}的前7项且含有{an}的前43项， ∴S50＝（43×5+×4）+＝4081． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 10分 20．（1） 若的图象关于点对称，则， ，． ，． 若，则，同理可得． 6分 （2）若函数的图象与的图象关于直线对称，则 ． ．在上的值域为，\ ．且．结合函数的图象知 的取值范围为 12分 21． （多选）1．已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝﹣5，an+1＝an+2，则下列说法正确的是（　　） A．{an}是递增数列 B．数列{Sn}中的最小项为S6 C．数列是等差数列 D．Sm，S2m，S3m（m∈N*）成等差数列 【分析】利用等差数列的定义与性质可判断A；利用等差数列的前n项和公式，结合二次函数的性质可判断B；利用等差数列的定义可判断C；计算S2m﹣Sm，S3m﹣S2m可判断D． 【解答】解：∵an+1﹣an＝2，∴{an}是公差为2的等差数列，d＞0，所以是递增数列，故A正确； ∵a1＝﹣5，∴，∴n＝3时，Sn最小，故B错误； ∵，，∴是等差数列，故C正确； ，∵m∈N*，∴S2m﹣Sm≠S3m﹣S2m，故D错误． 故选：AC． 【点评】本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/25 23:01:31；用户：张国华；邮箱：clyz2085@xyh.com；学号：32237201 1．已知数列{an}满足a1＝1，，其中n∈N*． （1）设，求证：数列{bn}是等差数列． （2）在（1）的条件下，求数列的前n项和Sn． （3）在（1）的条件下，若，是否存在实数λ，使得对任意的n∈N*，都有cn+1＞cn，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案与试题解析 一．解答题（共1小题） 1．已知数列{an}满足a1＝1，，其中n∈N*． （1）设，求证：数列{bn}是等差数列． （2）在（1）的条件下，求数列的前n项和Sn． （3）在（1）的条件下，若，是否存在实数λ，使得对任意的n∈N*，都有cn+1＞cn，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由． 【分析】（1）结合递推关系，证明bn+1﹣bn为常数即可； （2）由错位相减法求和； （3）命题等价成恒成立，转为说明恒成立，对n分奇偶讨论，分别求恒成立问题即可． 第14页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$去在量二下o (户遍考号 2023-2024学年第一学期长乐一中阶段考试 解答题 高三数学答题卡 。 考场/座位号。 姓名: 班梁: 0 1 [] 1 [1 1 8回 5 1] 1: 1 。 。 & 7 1] 高 5 ) , , 。 正确填 考际记 ^] 。 7 ,r 7 , , 11 10 客题0-8为法题:0-12为多选题 1知D1 0[pc1n} ]t0 15 1i认]ei] nc]] 1[Bc n] 一 ] [p 3]cD] ADD]c] ·&]rn 1][]C[p] 1]]C( 填空题 3 14 好答是 17 817 □□■ □□■ 好养是 师答页 20 解答题 0 □■□ □■□