精品解析：陕西省渭南市大荔县大荔中学2024-2025学年高一上学期第三次质量检测数学试题

使用前★绝秘 大荔中学2024——2025学年第三次质量检测试题 高一数学 考试时间：120分钟 试题总分：150分 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 3. 设则的大小顺序是 A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A B. C. D. 7. 已知一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、方差分别为（ ） A. 3， B. 3，1 C. 7， D. 7， 8. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分对的得3分，有选错的得0分） 9. 某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为小时），得到了剩余电量（单位:百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（ ） A. 测试结束时，该手机剩余电量为 B. 该手机在前内电量始终在匀速下降 C. 该手机在内电量下降速度比内下降的速度更快 D. 该手机在进行了充电操作 10. 下列命题中，正确有（ ） A. 的最小值是4 B. “”是的充分不必要条件 C. 若，则 D. 若是正数，且，则的最小值为9 11. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若幂函数的图象经过点，则解析式为 C. 函数与函数互为反函数 D. 若，，，则xy的最小值为1 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某学校共有教职员工800人，其中不超过45岁的有x人，超过45岁的有320人.为了调查他们的健康状况，用分层抽样的方法从全体教职员工中抽取一个容量为50的样本，应抽取超过45岁的教职员工20人，抽取的不超过45岁的救职员工y人，则______人. 13. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围为______. 14. ，，若，，使得，则实数的最大值是______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式： （1）； （2）. 16 已知：，求证：． 17. 已知函数为偶函数，且有一个零点为2. （1）求实数a，b的值. （2）若在上的最小值为－5，求实数k的值. 18. 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． (1)求直方图中x的值； (2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； (3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值． 19. .已知函数是上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上单调递减； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 使用前★绝秘 大荔中学2024——2025学年第三次质量检测试题 高一数学 考试时间：120分钟 试题总分：150分 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和不等式运算化简集合，进而可求交集. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：B. 2. 幂函数在上单调递减，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义列出关于实数m的方程，求解并验证单调性即可得m值. 【详解】因为是幂函数， 故，解得或， 又因为幂函数在上单调递减，所以， 则 故选：A. 3. 设则的大小顺序是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数的性质推导出a＜b＜0，利用指数函数的性质推导出c＞1，由此能求出结果． 【详解】∵＜＜log1.11=0， c=1.10.9＞1.10=1，∴a＜b＜c．故选A． 【点睛】本题考查三个数的大小的比较，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的性质的合理运用，是基础题． 4. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】因为是上的连续增函数，所以函数是上的连续增函数， 又因为，可得， 所以函数的唯一零点所在的区间是. 故选：D. 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析的定义域、奇偶性，以及的值依次排除DCB，从而得解. 【详解】对于，，得，又， 函数的定义域为，排除D； 又，则为偶函数，排除C； 而，排除B； 故选：A. 6. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抽象函数的定义域求法，结合分母不为0列式即可得解. 【详解】因为的定义域为， 对于，则有，解得且， 故的定义域是. 故选：B. 7. 已知一组数据，，，，的平均数为3，方差为，则另一组数据，，，，的平均数、方差分别为（ ） A. 3， B. 3，1 C. 7， D. 7， 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：利用平均数与方差的性质即可得解；方法二：根据题意，利用平均数、方差的定义计算即可得解. 【详解】方法一： 因为一组数据，，，，的平均数为3，方差为， 所以另一组数据，，，，的平均数为， 方差为. 方法二： 由数据的平均数为3，方差为，得， 所以数据的平均数为， 方差为. 故选：D. 8. 已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式画出草图，将问题化为的图象与直线，共有5个交点，数形结合有的图象与直线有1个交点，从而得解. 【详解】作出函数的图象如图所示， 函数，且有5个零点， 等价于有5个解，即或共有5个解， 等价于的图象与直线，共有5个交点， 由图得的图象与直线在4个交点， 所以的图象与直线有1个交点，则直线应位于直线下方， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分对的得3分，有选错的得0分） 9. 某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为小时），得到了剩余电量（单位:百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（ ） A. 测试结束时，该手机剩余电量为 B. 该手机在前内电量始终在匀速下降 C. 该手机在内电量下降的速度比内下降的速度更快 D. 该手机在进行了充电操作 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数图象逐一判断即可； 【详解】对于A，由图象可得，当时，，所以测试结束时，该手机剩余电量为，故A正确； 对于B，由图象可得该手机在前内电量下降不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误； 对于C，由图象可得，在内电量下降的速度为，在内下降的速度为，由，故C正确； 对于D，由图象可得该手机在电量上升了，所以进行了充电操作，故D正确； 故选：ACD. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 的最小值是4 B. “”是的充分不必要条件 C. 若，则 D. 若是正数，且，则的最小值为9 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例可判断A，利用充分必要条件的判定方法可判断B，举反例即可判断C，根据基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，当时，， 所以4不可能是的最小值，故A错误； 对于B，当时，有，即充分性成立； 当时，取，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 所以“”是的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，满足，但，故C错误； 对于D，因为是正数，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 故选：BD 11. 给出下列结论，其中正确的结论是（ ） A. 函数的最大值为 B. 若幂函数的图象经过点，则解析式为 C. 函数与函数互为反函数 D. 若，，，则xy的最小值为1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数函数，幂函数和对数函数的性质即可判断选项；利用基本不等式即可判断选项. 【详解】对于选项A：因为，当且仅当时等号成立， 由指数函数的单调性可知：， 所以函数取最小值，故错误； 对于选项B：设幂函数为， 因为幂函数的图象经过点，则，则， 所以函数解析式为，故正确； 对于选项C：根据指数函数与对数函数的关系可知：函数与函数互为反函数，故正确； 对于选项D：因为， 则，当且仅当时取等， 则，解得：， 则，所以有最大值，故错误， 故选：BC. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 某学校共有教职员工800人，其中不超过45岁的有x人，超过45岁的有320人.为了调查他们的健康状况，用分层抽样的方法从全体教职员工中抽取一个容量为50的样本，应抽取超过45岁的教职员工20人，抽取的不超过45岁的救职员工y人，则______人. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据条件列方程求解. 【详解】根据条件学校共有教职员工800人，抽取一个容量为50的样本， ，解得， . 故答案为：. 13. 若函数在上是减函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数与对数函数的单调性，结合分段函数的单调性得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为函数在上是减函数， 则，解得，即， 故答案为：. 14. ，，若，，使得，则实数的最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据恒成立和能成立的思想可知，根据指数函数、对数型复合函数单调性可分别求得，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由，，使得，可知； 因为在上单调递减，则； 又因为的定义域为， 且在上单调递增，位增函数， 所以在上单调递增，则； 可得，解得：， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 计算下列各式： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得解； （2）利用对数的运算法则，结合换底公式即可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 已知：，求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明. 【详解】设，显然， 则，可得， 所以. 17. 已知函数为偶函数，且有一个零点为2. （1）求实数a，b的值. （2）若在上的最小值为－5，求实数k的值. 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数性质求a，再根据零点求b，（2）根据二次函数对称轴与定义区间位置关系分类讨论函数最小值取法，再根据最小值求k的值. 【详解】（1）因为函数为偶函数，所以，即因此，又因为零点为2，所以 （2）, 当<0时，在上的最小值为,舍去， 当>3时，在上的最小值为,舍去， 当03时，在上的最小值为,因为3，所以， 综上. 点睛】研究二次函数最值，一般通过研究对称轴与定义区间位置关系得函数单调性，再根据单调性确定函数最值取法. 18. 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，． (1)求直方图中x的值； (2)如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； (3)由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值． 【答案】(1) (2) 72名(3) 336分钟. 【解析】 【分析】（1）利用概率和为列方程即可得解． （2）计算出新生上学时间不少于1小时的频率为，问题得解． （3）直接利用均值计算公式求解即可． 【详解】解：（1）由直方图可得：，解得. （2）新生上学时间不少于1小时的频率为， 因为，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿. （3）由题可知 分钟. 故该校新生上学所需时间的平均值为33.6分钟. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图知识，考查了概率的应用，还考查了平均值的计算公式，属于中档题． 19. .已知函数是上的奇函数. （1）求的值； （2）用定义证明在上单调递减； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数求的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】 （1）由奇函数在上有定义知，即可求的值； （2）利用单调性的定义：且，证明即可； （3）利用是奇函数、单调减可得，即不等式在恒成立即可求的取值范围. 【详解】（1）由函数是上的奇函数知其图像必经过原点， 即必有，即，解得，即， 经检验，时，函数是奇函数，所以. （2）由（1）知，任取且，则 因为，所以，又且，故，所以，即， ∴上单调递减 （3）不等式可化为， 因为是奇函数，故，所以不等式又可化为， 由（2）知在上单调递减，故必有，即， 由题设条件：对任意的，不等式恒成立， 设，则易知当时， ∴当时，不等式对任意的恒成立. 【点睛】本题考查了函数的性质，由函数奇偶性求参数，利用定义法证明函数的单调性，最后综合应用函数的奇偶性、单调性，结合不等式恒成立求参数范围，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$