精品解析：天津市第四十七中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

天津市第四十七中学2024—2025第一学期高二年级 第二次阶段性检测 数学试卷 第Ⅰ卷（共二部分；满分75分） 一．选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本大题共9个小题，每题5分，共45分） 1. 直线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为， 因为直线的斜率，又，所以. 故选：. 2. 已知向量,且，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量平行的条件:坐标对应成比例，列式求得的值，进而得解. 【详解】∵向量,且， ∴,解得. ∴, 故选：. 3. 已知椭圆，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用点差法求直线斜率. 【详解】设弦的两个端点坐标分别为， 则， 又， 两式作差可求得直线的斜率， 故所求直线方程为， 即：， 故选：C. 4. 经过点A（5，0），且与直线2x + y - 1 = 0垂直的直线方程为（ ） A. x + 2y - 5 = 0 B. x - 2y - 5 = 0 C. x - 2y - 1 = 0 D. 2x + y - 10 = 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据点斜式求得正确答案. 【详解】直线斜率为， 所以所求直线的斜率为， 所以所求直线的方程为. 故选：B 5. 过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解. 【详解】当时，，所以，故点在双曲线上， 因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点， 设（且） 将其代入双曲线方程可得，化简得， 令，化简得， 解得， 故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 或者由得， 当时，，故，故处的切线斜率为， 故过点经过点的直线方程为，即， 联立与可得，解得， 因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点， 综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点， 故选：C 6. 已知向量，则向量在向量 上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影向量定义结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为向量， 所以向量在向量 上的投影向量为 ， 故选：B 7. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断两个圆的位置关系，从而判断出公切线的条数. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 圆心距，， 所以两圆相交，公切线有条. 故选：B 8. 已知数列的前n项和，则等于（ ） A 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据通项与前n项和的关系，分与两种情况求解通项，代入即可求解. 【详解】当时，；当时，，且当时也满足. 故，所以. 故选：A 9. 已知直线交抛物线于轴异侧两点，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹及原点围成的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设直线方程，代入抛物线消去，由和韦达定理，解得，所以直线经过定点，由可知在以为直径的圆上，可求轨迹方程. 【详解】设直线，将它与抛物线方程联立得：， 则设，则， 所以，解得或 当时，位于轴同侧，故舍去， 当时，所以直线经过定点， 由可知在以为直径的圆（原点除外）上， 所以圆的面积为：. 故答案为：D. 二．填空题（本大题共6小题．每题5分共30分） 10. 已知M为抛物线上一动点，F为这条抛物线的焦点，有一个定点，则的最小值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求取得最小，进而可推断出当D，M，A三点共线时满足题意，进而可得结果. 【详解】设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知， ∴要求取得最小值，即求取得最小， 当D，M，A三点共线时最小，为， 故答案为：4. 11. 已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，，求______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】利用等差数列的性质把和的比值转化为项的比值求解． 【详解】由题意，同理， 所以， 所以． 故答案为：． 12. 圆上的点到直线的最大距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆心和半径，利用圆心到直线的距离加上半径，可求解. 【详解】将圆化为标准方程可得， 所以圆的圆心为，半径， 根据点到直线距离公式可得圆心到直线的距离为， 所以可得最大距离为. 故答案为： 13. 数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围_____________ 【答案】 【解析】 【分析】数列是单调递增数列，可得，转化为最值问题，化简解出即可. 【详解】解：∵数列是单调递增数列， ∴， ，化为恒成立， 因为且，则， ，即， 故答案为：. 14. 双曲线上任一点到其两条的渐近线的距离乘积是______ 【答案】##0.75 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离计算化简即可求解. 【详解】设双曲线上一点为，则， 由题意双曲线的渐近线方程为， 可得点P到两条渐近线的距离之积为. 故答案为： 15. 双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，已知，直线的斜率为，则双曲线的离心率是_____________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意求直线的方程，进而可得点，根据斜率关系列式解得或，即可得结果. 【详解】由题意可知：渐近线的斜率，则其垂线的斜率为，且，则直线：， 联立方程 由直线的斜率可得 整理可得或，即或， 所以双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 第Ⅱ卷（共一部分；满分75分）解答题（本大题共5小题．共75分） 16. 在中，角所对的边分别为，c.已知. （1）求角； （2）若，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角，再结合两角和与差的三角函数公式即可求解. （2）用两角和的余弦公式把拆开，结合二倍角公式即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 【小问2详解】 17. 已知圆经过、两点，且圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. （3）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）设圆心为，由可求得值，可得出圆心的坐标和圆的半径，即可得出圆的方程； （2）分析可知切线的斜率存在，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于半径求出的值，即可得出所求切线的方程； （3）利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，综合可得出直线的方程. 【小问1详解】 解：设圆心为，由可得，解得， 故圆心为，圆的半径为， 因此，圆的方程为. 【小问2详解】 解：若切线与轴垂直，则切线方程为，圆心到轴的距离为，不合乎题意. 故切线的斜率存在，设所求切线的方程为，则，解得或， 故所求切线的方程为或. 【小问3详解】 解：由题意可知，圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，则直线的方程为， 此时，圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得， 此时，直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 18. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分别是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一个动点M，使得直线与平面所成角正弦值，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理证明即可. （2）取的中点O，连接，连接，利用面面垂直的性质定理得平面，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求解夹角余弦值. （3）设，则，然后利用线面角的向量公式列式计算求得或1，即可求解线段的长度. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面， 平面， 所以平面， 又E、F分别是的中点，则， 故平面； 【小问2详解】 取的中点O，连接，连接，则， 因为平面平面平面，平面平面， 所以平面， 故以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 所以， 设平面的法相向量为，则，即， 令，则，故， 又平面的法向量为，所以， 所以平面与平面所成二面角的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 设，因为， 故， 所以， 因为直线与平面所成角为正弦值，故， 化简可得，解得或1， 所以或. 19. 已知等差数列前n项和为M，正项等比数列前n项和为N，． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为d，公比为，利用等差数列通项公式和等比数列通项公式列方程组求出，即可求出通项公式. （2）结合等差数列前n项和公式及等比数列前n项和公式，利用分组求和法求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d，等比数列的公比为， 因为， 故，解得（舍去）或， 故； 【小问2详解】 由（1）得， 故 ． 20. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，点P为椭圆C上异于A，B的一动点，面积的最大值为． （1）求C的方程； （2）过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于D，E两点，记的面积为S，过线段的中点G作直线的垂线，垂足为N，设直线的斜率分别为． ①求S的取值范围； ②求证：为定值 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及面积的最大值，构造方程解方程可得的方程为； （2）①联立椭圆与直线方程得出的面积的表达式，利用对勾函数单调性即可求得的取值范围为； ②利用中点坐标公式求得，得出斜率表达式即可得，可得为定值.即可求证. 【小问1详解】 由题意知，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 ①易知， 设直线方程为，如下图所示： 联立，消去可得， 所以， 且， 可得， 令， 可得，由对勾函数性质可得在时单调递增； 所以可得； 即的取值范围为. ②易知， 可得； 所以 ； 因此为定值. 所以为定值3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市第四十七中学2024—2025第一学期高二年级 第二次阶段性检测 数学试卷 第Ⅰ卷（共二部分；满分75分） 一．选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的本大题共9个小题，每题5分，共45分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 2. 已知向量,且，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 3. 已知椭圆，以点为中点的弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 经过点A（5，0），且与直线2x + y - 1 = 0垂直的直线方程为（ ） A x + 2y - 5 = 0 B. x - 2y - 5 = 0 C. x - 2y - 1 = 0 D. 2x + y - 10 = 0 5. 过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 6. 已知向量，则向量在向量 上的投影向量为（　　） A. B. C. D. 7. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知数列的前n项和，则等于（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 9. 已知直线交抛物线于轴异侧两点，且，过向作垂线，垂足为，则点的轨迹及原点围成的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共6小题．每题5分共30分） 10. 已知M为抛物线上一动点，F为这条抛物线的焦点，有一个定点，则的最小值为_____． 11. 已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，，求______． 12. 圆上点到直线的最大距离是______． 13. 数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围_____________ 14. 双曲线上任一点到其两条的渐近线的距离乘积是______ 15. 双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，已知，直线的斜率为，则双曲线的离心率是_____________ 第Ⅱ卷（共一部分；满分75分）解答题（本大题共5小题．共75分） 16. 在中，角所对的边分别为，c.已知. （1）求角； （2）若，求的值； 17. 已知圆经过、两点，且圆心直线上. （1）求圆方程； （2）求过点且与圆相切的直线方程. （3）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 18. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面平面，E、F、G分别是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成二面角的夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一个动点M，使得直线与平面所成角正弦值，若存在，求线段的长度，若不存在，说明理由． 19. 已知等差数列前n项和为M，正项等比数列前n项和为N，． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求 20. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆C的左，右顶点和坐标原点，点P为椭圆C上异于A，B的一动点，面积的最大值为． （1）求C的方程； （2）过椭圆C的右焦点F的直线l与C交于D，E两点，记的面积为S，过线段的中点G作直线的垂线，垂足为N，设直线的斜率分别为． ①求S的取值范围； ②求证：为定值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $