精品解析：陕西省渭南市韩城市2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024~2025学年度第一学期期中调研（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知方程有一个根为1，则（ ）． A. 1 B. C. 0 D. 2 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 的半径长为4，若点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 今年“国庆节”期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（ ） A. 10人 B. 9人 C. 8人 D. 11人 7. 如图，是的外接圆，是的直径，点是上的点，连接，若平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线经过点和点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为______ ．（只写一个） 10. 一元二次方程的两个根分别为，，则的值为______． 11. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则等于_____． 12. 二次函数（a、b、c为常数，）的部分图象如图所示，对称轴为，可知关于x的方程的一个根为，则方程的另一个根为________． 13. 如图，已知的半径为13，是的弦，，D为的中点，C是圆上的动点（不与A、B重合），连接，则的最小值为________． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 如图，是的直径，点C、D是上两点，连接，若，，求的度数． 16. 已知，，当m为何值时． 17. 如图，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的；（点、、的对应点分别为、、） （2）将绕着点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为、） 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一根为，求m的值． 21. 如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．求拱门最高点D到的距离． 22. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求此时二次函数的解析式及其顶点坐标； （2）若该抛物线的顶点到x轴的距离为2，求m的值． 23. 某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加 　　件，每件商品盈利 　　元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 24. 如图，四边形内接于，，，过点作，使得，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 25. 如图①，是某学校体育场的遮阳棚截面图，该校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳棚截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与地面AB相互垂直，且，，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）若为了使遮阳棚更加牢固，在遮阳棚内部设计了一个矩形框架DEFG（如图②所示），点G、F均在抛物线上，点D、E在AB上，且，求EF的长． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，顶点D的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接、、，求四边形的面积； （3）如图2，连接，若P是位于线段所在直线下方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第一学期期中调研（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知方程有一个根为1，则（ ）． A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，即方程的解的定义，深刻理解根的定义是解题关键． 将代入方程即可得到关系式的值． 【详解】解：∵方程有一个根为1， ∴， 故选：C． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，如果把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．是中心对称图形，符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 3. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴．根据二次函数一般式的对称轴公式：直线计算即可． 【详解】解：由题意，抛物线的对称轴为直线， 故选：A． 4. 的半径长为4，若点到圆心的距离为3，则点与的位置关系是（ ） A. 点在内 B. 点在上 C. 点在外 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系的判定，根据点到圆心的距离与半径的大小比较实施判定：当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外；熟记点与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：的半径长为4，点到圆心的距离为3， 由可知，点在的内部， 故选：A． 5. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新抛物线，则原抛物线解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据题意求将抛物线先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后所得抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位得到的解析式为， ∴向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到原抛物线， ∴原抛物线的函数解析式为． 故选：C． 6. 今年“国庆节”期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有（ ） A. 10人 B. 9人 C. 8人 D. 11人 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设该群有人则每人收到个红包，根据题意可列出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案． 【详解】解：设该群有人，则每人收到个红包， 根据题意列方程得，， 解得：， 故选：A． 7. 如图，是的外接圆，是的直径，点是上的点，连接，若平分，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义得到，由圆周角定理得到． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故选：B ． 8. 已知抛物线经过点和点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的对称性是解题的关键． 根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定，即可得到，由抛物线经过点和点得到，结合即可决定的最小值． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点和点， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴时，有最小值， ∴， 故选： C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 已知直线l与相交，圆心O到直线l的距离为，则的半径可能为______ ．（只写一个） 【答案】6（或其他值） 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆和直线相交即可求解，掌握直线和圆的位置与圆心距d与半径r之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线l与相交，圆心O到直线l的距离为， ∴的半径大于， 故答案为：6（或其他值）． 10. 一元二次方程的两个根分别为，，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，若、是一元二次方程的两个根，则，，据此即可求出答案． 【详解】一元二次方程的两个根分别为，， ， 故答案为：0． 11. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则等于_____． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的定义，得出是解题的关键．根据所给旋转方式可得出的度数，再结合即可解决问题． 【详解】解：因为将绕点A顺时针旋转得到， 所以． 又因为， 所以． 故答案为：40． 12. 二次函数（a、b、c为常数，）的部分图象如图所示，对称轴为，可知关于x的方程的一个根为，则方程的另一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图像确定相应方程根的情况，明确题意，运用二次函数的对称性是解题关键． 由关于x的方程的一个根为，可得抛物线与x轴的一个交点为，由二次函数对称轴为直线，可得抛物线与x轴的另一个交点为，从而可得出方程的另一个根． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根为， ∴抛物线与x轴的一个交点为， ∵对称轴是直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的另一个根为． 故答案为：． 13. 如图，已知的半径为13，是的弦，，D为的中点，C是圆上的动点（不与A、B重合），连接，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键． 连接、，根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，计算即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当点为劣弧的中点时，最小，此时， 连接、， ∵D为的中点， ∴，则D在上，， 在中，， ， 故答案为：8． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，把右边的项移到左边，把方程化成一般形式求出方程的根． 【详解】解：方程化为一般形式为， ， ∴ ， ∴，． 15. 如图，是的直径，点C、D是上两点，连接，若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，关键是熟练掌握圆周角定理和平行线的性质．由平行线的性质得到，然后由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得， ∴． 16. 已知，，当m为何值时． 【答案】时． 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程．根据得到关于x的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 则， ∴， ∴， 解得 17. 如图，已知△ABC，用直尺和圆规作△ABC的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】分别作BC和AC的垂直平分线a、b，a与b的交点为O，然后以O点为圆心，OA为半径作圆即可． 【详解】解：如图，⊙O为所作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外接圆． 18. 如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【答案】 证明：连接．假设和互相平分． 和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在中，点D、E分别在、上， 与不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，和不可能互相平分． 【解析】 【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确． 第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确． 【详解】略 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于原点对称的；（点、、的对应点分别为、、） （2）将绕着点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为、） 【答案】（1）见解析 （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了作图—中心对称，旋转变换，写出点的坐标； （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图，再写出的坐标即可． 【小问1详解】 解： 如图所示． 【小问2详解】 如图所示， 点的坐标为． 20. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一根为，求m的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． （1）计算，即可得出结论； （2）将代入方程得，求出m的值即可． 【小问1详解】 证明：， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 【小问2详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， 解得． 21. 如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为中点，D为拱门最高点，线段经过圆心O，已知拱门的半径为，拱门最下端．求拱门最高点D到的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用，勾股定理，能够准确作出辅助线是解决问题的关键．连接，由题意得，则，再由勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：连接，由题意得． ∵C为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴拱门最高点D到的距离为． 22. 在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求此时二次函数的解析式及其顶点坐标； （2）若该抛物线的顶点到x轴的距离为2，求m的值． 【答案】（1）； （2）或1 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的顶点式．了解一元二次方程的根的情况与二次函数和x轴的交点的关系，掌握二次函数的顶点式的应用是解答本题的关键． （1）根据次函数图象的顶点在x轴上，可知一元二次方程有且仅有一个实数根，利用跟的判别式即可求出m的值，然后化为顶点式即可求出． （2）先求出抛物线的顶点坐标为，然后根据该抛物线的顶点到x轴的距离为2列方程即可得出m的值． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴， ∴此时二次函数的解析式为， ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：由可得抛物线的顶点坐标为． ∵该抛物线的顶点到x轴的距离为2， ∴或， ∴或1． 23. 某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件，为了迎接“618购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件．设每件商品降价x元． （1）商场日销售量增加 　　件，每件商品盈利 　　元（用含x的代数式表示）； （2）要使商场每天销售这种商品的利润达3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）3x，（60﹣x） （2）每件商品应降价30元 【解析】 【分析】（1）根据每件商品降价1元，商场每天就可以多售出3件可得商场日销售量增加的件数，由售价减进价可得每件商品利润； （2）根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：商场日销售量增加3x件，每件商品盈利为280-x-220=（60-x）元， 故答案为：3x，（60-x）； 【小问2详解】 解：根据题意得：（30+3x）（60-x）=3600， 解得=20，=30， ∵要更有利于减少库存， ∴x=30． 答：每件商品应降价30元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 如图，四边形内接于，，，过点作，使得，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：如下图所示，连接， ， ，， ， ，． ， ， 在和中 ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】连接，根据在同圆或等圆中同弧或等弧所对的弦和圆周角相等，可得，，根据圆的内接四边形对角互补可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证结论成立； 连接，根据，可知是直径，由可得，根据勾股定理可求的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， ， 是的直径．， 由可得， ， ， 在中，， 的直径为． 【点睛】本题主要考查圆有关性质、圆内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和直角三角形的性质找到边和角之间的关系． 25. 如图①，是某学校体育场的遮阳棚截面图，该校数学兴趣小组学习二次函数后，受到该图启示设计了一个遮阳棚截面模型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在C处，对称轴OC与地面AB相互垂直，且，，建立如图②所示的平面直角坐标系． （1）求此抛物线的函数解析式； （2）若为了使遮阳棚更加牢固，在遮阳棚内部设计了一个矩形框架DEFG（如图②所示），点G、F均在抛物线上，点D、E在AB上，且，求EF的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由．，可得，，，进而可设抛物线的函数解析式为 ，结合在抛物线上，则，求出a后可以判断得解； （2）依据题意、由四边形是矩形，可得．即，又．故可设，，从而为，可得 ，最后计算可以得解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，，． 设抛物线的函数解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解:∵四边形是矩形， ∴，即． ∵， ∴设，， ∴点F的坐标为． 将点代入， 得， 解得（负值舍去）， ∴， 即EF的长为． 26. 如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点，顶点D的坐标为． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，连接、、，求四边形的面积； （3）如图2，连接，若P是位于线段所在直线下方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及此时点P的坐标． 【答案】（1） （2）9 （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和抛物线与轴的交点，求一次函数表达式及图形面积，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）根据题意，用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求出抛物线与轴的交点，再利用求出即可； （3）设点的坐标为，通过求直线表达式表示出点的坐标，进而求出及得到面积的最大值，进而求出点的坐标． 【小问1详解】 解：∵顶点D的坐标为， ∴设抛物线的函数解析式为． 将点代入上式，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：连接OD． ∵二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边）， ∴令，得， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，． ∴． 【小问3详解】 解：过点P作轴，交BC于点Q， 设点P的坐标为， 直线的解析式为， 由点和， 得， 解得， 直线的解析式为． ∴点Q的坐标为， ∴， ∴． 由题意知， ∴当时，的面积最大，最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $