精品解析：福建省泉州市鲤城区 泉州第五中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

泉州五中2022级初三上数学阶段性练习（三） 一．选择题（共9小题） 1. 自行车车轮要做成圆形，主要是根据圆的以下哪个特征(　　) A. 圆是轴对称图形 B. 圆是中心对称图形 C. 圆上各点到圆心的距离相等 D. 直径是圆中最长的弦 2. 如图，点A，B，C是 上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知 的半径为3，圆心 到直线的距离为2，则 与直线的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相离 4. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为（ ） A. 80° B. 60° C. 50° D. 40° 5. 的半径为r，点P到圆心的距离为8，若点P在 外，则（ ） A. B. C. D. 6. 三角形的内心是三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 7. 如图， 是 的直径，，点C是的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形内接于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，边长为1的小正方形网格中， 的圆心在格点上，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，⊙O是 的内切圆，点D、E分别为边上的点，且为⊙O的切线，若 的周长为，的长是 ，则的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 二．填空题 11. 一个圆内最长的弦长是，则此圆的半径是 __cm． 12. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度 为 __m． 13. 在 中，∠O是，点O是 的外心，则的度数为_____， 14. 已知三角形的内切圆半径为 ，三角形的周长为，则该三角形的面积为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D， 为的切线， 为切点， 是的直径，则的度数为______． 16. 如图，在 中， ，， ，点D，E分别为 ， 的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为 ______． 三、解答题 17. 如图已知点A、O在格点上，请仅用无刻度直尺按要求画图： （1）画 直径 ； （2）画圆心角，使得点C在 上方且 （3）画圆周角，使得； （4）画弦及它的弦心距． 18. 如图，在 中， ，边 与相切于点D，边 ， 与分别交于点M，N．求证：． 19. 如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，求弦CD的长． 20. 如图， 是半 的直径，点C为的中点．若，求的度数． 21. （1）尺规作图，作出 的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （2）若，则 外接圆的面积为 ．（结果保留） 22. 如图，、 分别与 相切于点A、B，的延长线交 于点C，连接 ， ． （1）若，则 ． （2）若，，求的值． 23. 综合与实践，根据以下素材，探索完成任务 “泉小伍”数学兴趣小组三成员：伍城东、伍桂南、伍桂北一起探索：设计大棚苗木种植方案 【素材1】兴趣小组了解到大棚建设要求：苗木种植大棚下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条曲线，大棚顶部的最高点距离地面需． 【素材 2】种植苗木时，预测每棵苗木最高长到．为了保证生长空间，相邻两苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．(即苗木的数目为偶数个) 【解决问题】任务一：伍桂南同学设计大棚上半部分形状是抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图①建立适当的平面直角坐标系如图②，通过素材1提供的信息，求其解析式并写出抛物线的顶点的坐标； 任务二：伍桂北同学设计大棚上半部分形状是圆弧，请根据图②通过素材1提供的信息求出圆弧的半径； 任务三：桂南、桂北俩同学为谁的方案好争论不休，组长城东同学建议：根据俩同学拟定的设计方案计算，每排符合所有种植条件的苗木数量多者取胜，请根据素材帮忙计算，判定比赛结果． 24. 在锐角内部取一点A，过点A分别作于点B，作于点C，以 为直径作， 的延长线与交于点D． （1）如图1，若，求：的度数 （2）如图2，若，点D在的延长线上，求证：是的切线； （3）如图3，当时，连接 ，若于点F，求的值． 25. 已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）经过A、B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点P的坐标； （3）点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线上方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点G（点G在对称轴的右侧），判断直线 与抛物线公共点个数，并说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2022级初三上数学阶段性练习（三） 一．选择题（共9小题） 1. 自行车车轮要做成圆形，主要是根据圆的以下哪个特征(　　) A. 圆是轴对称图形 B. 圆是中心对称图形 C. 圆上各点到圆心的距离相等 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】C 【解析】 【分析】利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断． 【详解】因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，所以自行车车轮要做成圆形． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 2. 如图，点A，B，C是上的点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理．据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出的度数． 【详解】解：∵，且根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半， ∴， 故选：B． 3. 已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相交或相离 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线 的距离为 ．①直线 和相交，②直线 和相切，③直线 和相离．圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切． 【详解】解：圆心到直线的距离圆的半径3， 直线与圆的位置关系为相交． 故选：B 4. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A＝40°，则∠B的度数为（ ） A. 80° B. 60° C. 50° D. 40° 【答案】C 【解析】 【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠C=90°，又由直角三角形中两锐角互余，即可求得答案． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠C=90°， ∵∠A=40°， ∴∠B=90°-∠A=50°． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意直径所对的圆周角是直角定理的应用． 5. 的半径为r，点P到圆心的距离为8，若点P在外，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设圆半径为r，点与圆心的距离为d，当时，点在圆内；当时，点在圆上；当时，点在圆外．根据点与圆的位置关系判断求解即可． 【详解】解：由题意，； 故选D． 6. 三角形的内心是三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内心的概念进行判断即可． 【详解】根据定义得：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 故选： ． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角是解题的关键． 7. 如图，是的直径，，点C是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据平角求角度数是解题的关键．利用圆心角、弧、弦的关系，结合直径所对圆心角为平角的性质来求解的度数． 【详解】解：， 是的直径， ， ， 点C是的中点， ， ，且， ， ． 故选：B． 8. 如图，已知四边形内接于，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质的应用，关键是熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质． 根据圆内接四边形的性质得出，再根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】∵四边形 内接于， ∴，而， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，边长为1的小正方形网格中，的圆心在格点上，则的正切值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求一个角的正切值，圆周角定理，连接 ，根据为直径，得出，根据勾股定理求出，根据等积法求出，根据勾股定理求出，根据同弧所对的圆周角相等得出，最后根据三角函数定义求出结果即可． 【详解】解：连接 ，如图所示： ∵为直径， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴根据勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 10. 如图，⊙O是 的内切圆，点D、E分别为边上的点，且为⊙O的切线，若 的周长为，的长是，则的周长是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟记定理内容是解题关键．根据切线长定理，可得，则 ，据此即可求解． 【详解】解：设切点为，如图所示： ∵都和⊙O相切， ∴． ∴， ∴ 故选：A． 二．填空题 11. 一个圆内最长的弦长是，则此圆的半径是 __cm． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，根据圆内最长的弦是直径即可求解． 【详解】解：因为直径是圆中最长的弦，而圆的最长弦长为， 所以直径是，半径是． 故答案为：6． 12. 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知，半径，高度 为 __m． 【答案】4 【解析】 【分析】弦，半径，根据题意得是直角三角形，可求出 的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，，半径， ∴，，， ∴， 故答案是： ． 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 13. 在 中，∠O是，点O是 的外心，则的度数为_____， 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆，圆周角定理，根据点O是 的外心，得到三点在上，根据圆周角定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点O是 的外心， ∴三点在上， ∴； 故答案为：． 14. 已知三角形的内切圆半径为 ，三角形的周长为，则该三角形的面积为__________． 【答案】27 【解析】 【分析】根据内切圆、周长与面积的公式即可求解． 【详解】依题意可得该三角形的面积为 故答案为：27． 【点睛】此题主要考查三角形内切圆的性质，解题的关键是熟知内切圆的定义及三角形面积求解方法． 15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过原点O，且与x轴交于另一点D，为的切线， 为切点， 是的直径，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点 ， 的坐标得，进而得的半径为1，然后再在中利用锐角三角函数求出，进而得，最后再证为等边三角形即可求出的度数． 【详解】解：点 ，， ， 过原点， 为的半径， 为的切线， ，， 在中，，，， ， ， ， 又， 三角形为等边三角形， ， 即的度数为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，切线的性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质等，熟练掌握切线的性质，锐角三角函数的定义和等边三角形的判定和性质是解答此题的关键． 16. 如图，在 中，，， ，点D，E分别为 ，的中点，将绕着点B顺时针旋转，得到，当C，，在同一直线上时，则的长为 ______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当，在上方时，由线段中点的定义可得，由三角形的中位线定理可得，，由两直线平行同位角相等可得，由旋转的性质可得，，，由于点 ，，在同一直线上，根据勾股定理可得，然后由线段之间的和差关系可得，由此即可求出的长；②当，在下方时，同理可求得的长；综上，即可得出答案． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当，在上方时， 如图， 点D，E分别为 ，的中点，， ， ，，， ， 由旋转的性质可得： ，，， 点 ，，在同一直线上， ， ； ②当，在下方时， 如图， 点D，E分别为 ，的中点，， ， ，，， ， 由旋转的性质可得： ，，， 点 ，，在同一直线上， ， ， ； 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，旋转的性质，勾股定理，两直线平行同位角相等，线段中点的有关计算，线段的和与差，利用邻补角互补求角度等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题 17. 如图已知点A、O在格点上，请仅用无刻度直尺按要求画图： （1）画直径 ； （2）画圆心角，使得点C在上方且 （3）画圆周角，使得； （4）画弦及它的弦心距． 【答案】（1）图见详解； （2）图见详解； （3）图见详解； （4）图见详解． 【解析】 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，圆周角定理，弧，弦与圆周角之间的关系等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）连接交于点 ，点 即为所求； （2）在过点O且与垂直的格线上方的上，取格点C即为所求； （3）在优弧 取点 ，则即为所求； （4）连接 ，取格点 ，连接并延长交 于 ，则即为所求． 【小问1详解】 解∶连接交于点 ，点 即为所求； ； 【小问2详解】 解：在过点O且与垂直的格线上方的上，取格点C 由网格的特点可知， ，则即为所求； ； 【小问3详解】 解：如图所示，即为所求； ； 【小问4详解】 解：连接 ，取格点 ，连接并延长交 于 ， ， ， 即为所求； ． 18. 如图，在 中， ，边 与相切于点D，边， 与分别交于点M，N．求证：． 【答案】 连接 ，如图所示， ∵ 与相切于点D， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆的切线的性质，圆心角、弦、弧的关系，等腰三角形的性质，正确作辅助组是解题的关键． 连接 ，根据切线的性质证，根据等腰三角形的性质证，根据圆心角、弦、弧的关系即可得出结论． 【详解】略 19. 如图，在⊙O中，直径AB=10，弦CD⊥AB，垂足为E，BE=2，求弦CD的长． 【答案】CD=8. 【解析】 【详解】试题分析：连接OC，先根据直径AB=10，求出OC的长，再根据勾股定理求出CE的长，由垂径定理即可得出结论. 试题解析：连接OC， ∵直径AB=10，BE=2，∴OE=5﹣2=3，OC=5； ∵弦CD⊥AB，∴CE=DE；由勾股定理得：CE= =4，∴CD=2CE=8． 20. 如图， 是半的直径，点C为的中点．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧，弦，角之间的关系，连接 ，易得，进而求出，根据等弧对等弦，得到，等边对等角求出的度数，圆内接四边形的对角互补，求出的度数，即可． 【详解】解：连接 ， ∵ 是半的直径， ∴， ∴， ∵点C为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形 为的内接四边形， ∴． 21. （1）尺规作图，作出 的外接圆（不写作图过程，但保留作图痕迹）； （2）若，则 外接圆的面积为 ．（结果保留） 【答案】（1）图见解析（2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，作圆，三角形的外接圆，圆周角定理： （1）根据三角形的外接圆的圆心为三边中垂线的交点，作的中垂线，交点即为圆心，再以 为半径画圆即可； （2）连接，圆周角定理得到，进而得到为等边三角形，得到，再利用圆的面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求； （2）连接，则： ， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的面积为：． 故答案为： 22. 如图，、 分别与相切于点A、B，的延长线交于点C，连接 ， ． （1）若，则 ． （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，得出，根据即可得出． （2）过B作于E，根据等积法得出，求出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵、 分别与相切于点A、B， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过B作于E， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， 在中，． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，三角形面积的计算，全等三角形的判定和性质，求角的正切值，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定． 23. 综合与实践，根据以下素材，探索完成任务 “泉小伍”数学兴趣小组三成员：伍城东、伍桂南、伍桂北一起探索：设计大棚苗木种植方案 【素材1】兴趣小组了解到大棚建设要求：苗木种植大棚下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条曲线，大棚顶部的最高点距离地面需． 【素材 2】种植苗木时，预测每棵苗木最高长到．为了保证生长空间，相邻两苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．(即苗木的数目为偶数个) 【解决问题】任务一：伍桂南同学设计大棚上半部分形状是抛物线，设大棚的高度为y，种植点的横坐标为x．根据图①建立适当的平面直角坐标系如图②，通过素材1提供的信息，求其解析式并写出抛物线的顶点的坐标； 任务二：伍桂北同学设计大棚上半部分形状是圆弧，请根据图②通过素材1提供的信息求出圆弧的半径； 任务三：桂南、桂北俩同学为谁的方案好争论不休，组长城东同学建议：根据俩同学拟定的设计方案计算，每排符合所有种植条件的苗木数量多者取胜，请根据素材帮忙计算，判定比赛结果． 【答案】任务1∶抛物线的函数关系式为：；抛物线的顶点的坐标为 任务2：圆弧的半径为； 任务3：两人设计的方案每排符合所有种植条件的苗木数量一样多． 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，解题关键∶根据图中给出的坐标系求出解析式． 任务1∶根据坐标系和题中条件可得出顶点坐标，即可设出抛物线的顶点式，然后把点代入即可得解析式； 任务2∶设圆弧所在圆的圆心为 ，拱顶为 ，连接，，设交于 ，利用勾股定理即可求出； 任务3∶分别计算桂南、桂北俩同学的方案各能种植的苗木数量即可得出结果． 【详解】解∶任务1∶根据图中的坐标系以及题意可得，点A的坐标为，点B的坐标为 抛物线的顶点坐标为点， 可设抛物线的解析式为∶， 把点代入可得∶， 解得∶； 抛物线的函数关系式为∶； 任务2∶ 设圆弧所在圆的圆心为 ，拱顶为 ，连接，，设交于 ， 如图： 由 为拱顶和圆的对称性质可知，，， 设半径范围为， ， ， 解得， 圆弧所在圆的半径长为； 任务3∶ 桂南的方案：种植苗木时，每棵苗木最高长到， 当时， 解得∶． 种植后苗木成轴对称分布， 种植点的横坐标的取值范围为∶，， 根据题中所知，种植后苗木成轴对称分布，且相邻两棵苗木种植点之间间隔，在距离y轴的两则开始种植，可种植∶ (棵)， 桂北的方案：如图所示： ， 交于G，作于，连接， ， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ，可种植∶ (棵)， 因此两个人的方案可种植的苗木数量一样． 24. 在锐角内部取一点A，过点A分别作于点B，作于点C，以为直径作， 的延长线与交于点D． （1）如图1，若，求：的度数 （2）如图2，若，点D在的延长线上，求证：是的切线； （3）如图3，当时，连接 ，若于点F，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径得，由可得，进而由，即可得出结果； （2）连接 ，证明平分即可；过 作于E，由角平分线性质可，即可得出结论； （3）过点 作于点 ，过点 作于点 ，可得四边形是矩形；设，，由，得出，再证明，得，即，解得，在利用勾股定理求出，，由面积法可得，由此求出比值即可． 【小问1详解】 证明：是的直径， ，即； ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过 作于E ， ， ， ； 由（1）， 平分； ， ， 是的切线； 【小问3详解】 解：过点 作于点 ，过点 作于点 ， 则，， 设，， 由（1）得，， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、勾股定理的应用、角平分线的判定、相似三角形的性质和判定、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、灵活运用相似三角形 转化线段关系是解题的关键． 25. 已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标； （2）经过A、B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点P的坐标； （3）点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线上方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点G（点G在对称轴的右侧），判断直线 与抛物线公共点个数，并说明理由 【答案】（1） （2）或 （3） 与抛物线只有一个交点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）分别令 ， ，求出三个点的坐标即可； （2）易得点 在抛物线的对称轴上，，推出为等腰直角三角形，设出 点坐标，分两种情况，过点 作对称轴，证明，求出 点坐标，代入函数解析式进行求解即可； （3）过点作于点 ，连接，设，进而得到，在中，利用勾股定理求出 和 的关系式，进而求出 的解析式，令，利用根与系数的关系进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当 时，，当 时，，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴对称轴为直线：， ∵经过点 ， ∴点 在的中垂线上，即点 在抛物线的对称轴上，设对称轴与 轴交于点 ，则：， ∵交抛物线于点D（点D在对称轴右侧）， ∴， ∴当时，为等腰直角三角形， 设点， 当点 在 轴下方时：过点 作，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴； 当点 在 轴上方时： 同理可得：， ∴， 解得：（舍去）； ∴； 综上：或． 【小问3详解】 与抛物线只有一个交点，理由如下： 如图，由题意，得：，过点 作于点，连接，设， 则：， ∴，，， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线 的解析式为：，则：， 解得：， ∴， 令， 整理，得：， ∴， ∴直线 与抛物线只有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数与圆的综合应用，涉及等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆的确定，勾股定理，根的判别式等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $