精品解析：江苏省连云港市东海县八校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度第一学期初中段九组“PK”校学业质量第二次监测 九年级数学试题 （总分：150分 时间：100分钟） 一、选择题：（每题3分，共24分，下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请把正确结论的代号填涂到答题卡上） 1. 关于的一元二次方程，该方程的常数项是（ ） A. 2 B. －3 C. 1 D. －1 2. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为（ ） A -1 B. 1 C. -3 D. 3 3. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ） A. 130 B. 158 C. 160 D. 192 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 6. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（每题3分，共24分，请直接将结果填写在答题卡上） 9. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 10. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 12. 如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________ 13. 如图，在扇形中，，，则长为______． 14. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 15. 将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______． 16. 已知抛物线（是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 若关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 19. 如图，是的直径，点，在上．若，，求的度数． 20. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 21. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 22. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班概率． 23. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心恰好是的内心，若，求花窗的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留） 24. 今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了、两款月饼礼盒．已知礼盒售价为100元盒，礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售、两款礼盒共350盒，销售额为50000元． （1）该超市9月16日、款礼盒销量分别为多少盒？ （2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋·礼迎国庆”的促销活动，款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，则款礼盒的促销价应定为多少元？ 25. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）线段的长为　　　　　； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　． 26. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期初中段九组“PK”校学业质量第二次监测 九年级数学试题 （总分：150分 时间：100分钟） 一、选择题：（每题3分，共24分，下列各题都有代号为A、B、C、D的四个结论供选择，其中只有一个结论是正确的，请把正确结论的代号填涂到答题卡上） 1. 关于的一元二次方程，该方程的常数项是（ ） A. 2 B. －3 C. 1 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】按照一元二次方程的一般形式找出二次项系数，一次项系数，以及常数项，即可做出判断． 【详解】解：一元二次方程的常数项为-1， 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a，b，c是常数且a≠0)，其中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 若关于x一元二次方程有一个解为，则m的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】把x=-1代入方程x2-2x+m=0得1+2+m=0，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：根据题意，将x=-1代入x2-2x+m=0，得：1+2+m=0， 解得m=-3， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ） A. 130 B. 158 C. 160 D. 192 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可． 【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158， ∴中位数是158， 故选：B． 4. 下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键． 分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断． 【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意； B、，解得：，故本选项符合题意； C、，，解得，故本选项不符合题意； D、，，解得，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是（ ） A. 小星定点投篮1次，不一定能投中 B. 小星定点投篮1次，一定可以投中 C. 小星定点投篮10次，一定投中4次 D. 小星定点投篮4次，一定投中1次 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，据此求解即可． 【详解】解：小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，则由概率的意义可知，小星定点投篮1次，不一定能投中，故选项A正确，选项B错误； 小星定点投篮10次，不一定投中4次，故选项C错误； 小星定点投篮4次，不一定投中1次，故选项D错误 故选；A． 6. 若点都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 7. 如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案． 【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且， ， 又四边形是的内接四边形， ， 又， ， 故选：A． 8. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 二、填空题：（每题3分，共24分，请直接将结果填写在答题卡上） 9. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴甲种秧苗长势更整齐， 故答案为：甲． 10. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 11. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，是的直径，与相切，A为切点，连接．已知，则的度数为__________ 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：∵与相切， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在扇形中，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得的长为 ， 故答案为： 14. 已知m是方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 15. 将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移5个单位长度后得到， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：2 16. 已知抛物线（是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】根据顶点坐标判断、的正负性，由此判断①；根据开口方向和对称轴判断②；用表示、，再解方程判断③；根据平移法则判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的符号无法判断，故结论①错误； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故结论②正确； ∵，， ∴， ∵的一个根为， ∴， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到，故结论④错误； ∴一定正确的是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解的定义，用表示、的值是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）利用因式分解法求解即可； （）利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【小问1详解】 解：， ， 或， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 或， ∴，． 18. 若关于的方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，根据判别式的意义得到，然后解方程即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 19. 如图，是的直径，点，在上．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，圆周角定理等知识点．连接，根据在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等证明，最后根据圆周角定理进行解答即可． 【详解】解：如图，连接， ， ． 20. 已知关于一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由证明作答即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等实数根． 21. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 22. 某校一年级开设人数相同的A，B，C三个班级，甲、乙两位学生是该校一年级新生，开学初学校对所有一年级新生进行电脑随机分班． （1）“学生甲分到A班”的概率是______； （2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位新生分到同一个班的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 【解析】 【分析】本题考查的是求简单事件的概率和两步操作事件的概率，用表格或树状图表示出总结果数是解答此类问题的关键． （1）根据概率公式计算可得； （2）用画树状图列出所有的等可能结果，从中确定符合事件的结果，根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：有A，B，C三个班级，“学生甲分到A班”有一种情况， 则“学生甲分到A班”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如图： 共有9个等可能的结果，甲、乙两位新生分到同一个班的有3种情况， ∴甲、乙两位新生分到同一个班的概率为． 23. 铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素．如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在圆的圆心恰好是的内心，若，求花窗的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长．过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：． 24. 今年中秋节期间，节令商品销售非常火爆，某超市推出了、两款月饼礼盒．已知礼盒售价为100元盒，礼盒售价为200元/盒，该超市9月16日销售、两款礼盒共350盒，销售额为50000元． （1）该超市9月16日、款礼盒的销量分别为多少盒？ （2）9月17日正好是中秋佳节，超市为减少库存，开展了“情满中秋·礼迎国庆”的促销活动，款礼盒按原价打八折出售，销量在9月16日的基础上增加了，超市调研发现，款礼盒每降价1元，日销量就在9月16日的基础上增加1盒，若要使得9月17日超市的销售额达到54000元，则款礼盒的促销价应定为多少元？ 【答案】（1）A款礼盒销售了200盒，则B款礼盒销售了150盒 （2）B款礼盒的促销价应定为150元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解． （1）设A款礼盒销售了x盒，则B款礼盒销售了盒，根据“销售额为50000元”列出方程求解即可； （2）根据题意求出A款礼盒销售额为元，设B款礼盒降价y元，B款礼盒销售额：，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设A款礼盒销售了x盒，则B款礼盒销售了盒， 由题意得，， 解得：， ∴， 答：A款礼盒销售了200盒，则B款礼盒销售了150盒． 【小问2详解】 解：根据题意可得： A款礼盒销售额：元， 设B款礼盒降价y元， B款礼盒销售额：， ∴， 解得或， ∵要减少库存， ∴， ∴ 答：B款礼盒的促销价应定为150元． 25. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点，，均在格点上． （1）线段的长为　　　　　； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明）　　　　　． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）作点关于、的对称点、，连接、，分别与、相交于点、，的周长等于的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作图即可． 【小问1详解】 解：由勾股定理可知，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求． 26. 在平面直角坐标系中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”．抛物线（a为常数且）与y轴交于点A． （1）若，求抛物线的顶点坐标； （2）若线段（含端点）上的“完美点”个数大于3个且小于6个，求a的取值范围； （3）若抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征．数形结合解题是解题的关键． （1）把代入后再将抛物线化成顶点式为，即可求顶点坐标； （2）根据整点个数的范围确定点A纵坐标的范围； （3）结合图象确定有4个“完美点”时a的最大和最小值，进而确定a的范围． 【小问1详解】 解：当时，抛物线． ∴顶点坐标． 【小问2详解】 令，则， ∴， ∵线段上的“完美点”的个数大于3个且小于6个， ∴“完美点”的个数为4个或5个． ∵， ∴当“完美点”个数为4个时，分别为，，，； 当“完美点”个数为5个时，分别为，，，，． ∴． ∴a的取值范围是． 【小问3详解】 根据， 得抛物线的顶点坐标为，过点，，． ∵抛物线与直线交于M、N两点，线段与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“完美点”， 显然，“完美点”，，符合题意． 下面讨论抛物线经过，的两种情况： ①当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，共4个． ②当抛物线经过时，解得此时，，，． 如图所示，满足题意的“完美点”有，，，，，，共6个． ∴a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$