精品解析： 广东省广州市荔湾区广东实验中学2024-2025学年九年级上学期数学12月月考试卷

12月初三年级数学学科综合训练 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列新能源汽车车标中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的两名同学的生日是同一天 D. 从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D 【解析】 【分析】一定不能发生的事件是不可能事件，据此判定即可． 【详解】A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，不符合题意； B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，不符合题意； C、班里的两名同学的生日是同一天是随机事件，不符合题意； D、从一个只装有白球袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了不可能事件即一定不能发生的事件，熟练掌握定义是解题的关键． 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据二次函数顶点式的顶点坐标为，即可得出结论． 【详解】解： 为二次函数的顶点式， 二次函数图象的顶点坐标为． 故选：A． 4. 用配方法解方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．对方程移项可得，方程两边同时加上16，再利用完全平方公式将等号左边的式子配成完全平方即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 5. 点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了原点对称，熟练掌握关于原点对称的规律是解题的关键．利用关于原点对称点的性质可得a、b的值，再计算的值即可解答． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 6. 如图，内接于，AD是的直径，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接CD，由AD是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得，又由圆周角定理，可得，再用三角形内角和定理求得答案． 【详解】解：连接CD， ∵AD是的直径， ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 7. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得：． 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键． 8. 一个扇形的弧长是，面积为，则其半径为（ ） A. 6 B. 36 C. 12 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】根据代入计算即可． 【详解】∵，弧长是，面积为， ∴， 解得， 故选C． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟练掌握扇形面积与弧长的关系是解题的关键． 9. 流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（传播问题），先设每轮传染中平均一人传染了x人，再根据“经过两轮传染后共有100人患病”，进行列式，即可作答． 【详解】解：∵设每轮传染中平均一人传染了x人，经过两轮传染后共有100人患病， ∴， 故选：A． 10. y＝x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（　　） A. a≤﹣5 B. a≥5 C. a＝3 D. a≥3 【答案】B 【解析】 【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分两种情况进行解答． 【详解】解：第一种情况： 当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值， x＝，即a≥7， 第二种情况： 当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x＝3的地方取得最大值，即： x＝，即a≥5（此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值） 综合上所述a≥5． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，难度较大． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分） 11. 一个布袋里放有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：摸到白球的概率， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求等可能时间的概率，解题的关键是掌握概率=所求情况数与总情况数之比． 12. 直径为10，弦的长为8，若为的中点，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】连接，根据垂径定理和勾股定理即可求解． 【详解】解：连接， ∵为的中点， ∴，， ∵的直径为10， ∴， 根据勾股定理可得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，解题的关键是正确会出图形，构造直角三角形，用勾股定理求解． 13. 如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】由旋转的性质可得S△AOE＝S△BOF，可得四边形BEOF面积＝S△AOB，即可求解． 【详解】解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合， ∴△AOE≌△BOF， ∴S△AOE＝S△BOF， ∴四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 14. 如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题关键．根据切线长定理，结合题意可知，以及，，再结合的周长为12，即可求出的长． 【详解】解：是的切线，切点分别为A，B， ， 又切于点E， ，， 的周长为12， ， ， ． 故答案为：6． 15. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n，，进行解答即可得． 【详解】解： 设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图圆心角，解题的关键是掌握扇形的弧长公式． 16. 如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论： ①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2．其中正确的结论有 _____（填写所有正确结论的序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据切线的性质，正方形的性质，通过三角形全等，证明HD=HM，∠HCM=∠HCD，GM=GB，∠GCB=∠GCM，可判断前两个结论；运用对角互补的四边形内接于圆，证明∠GHF+∠GEF=180°，取GH的中点P，连接PA，则PA+PC≥AC，当PC最大时，PA最小，根据直径是圆中最大的弦，故PC=1时，PA最小，计算即可． 【详解】∵GH是⊙O的切线，M为切点，且CM是⊙O的直径， ∴∠CMH=90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CMH=∠CDH=90°， ∵CM=CD，CH=CH， ∴△CMH≌△CDH， ∴HD=HM，∠HCM=∠HCD， 同理可证，∴GM=GB，∠GCB=∠GCM， ∴GB+DH=GH，无法确定HD＝2BG， 故①错误； ∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°， ∴2∠HCM+2∠GCM=90°， ∴∠HCM+∠GCM=45°， 即∠GCH＝45°， 故②正确； ∵△CMH≌△CDH，BD是正方形的对角线， ∴∠GHF=∠DHF，∠GCH=∠HDF=45°， ∴∠GHF+∠GEF=∠DHF +∠GCH+∠EFC =∠DHF +∠HDF+∠HFD =180°， 根据对角互补的四边形内接于圆， ∴H，F，E，G四点在同一个圆上， 故③正确； ∵正方形ABCD的边长为1， ∴ =1 =，∠GAH=90°，AC= 取GH的中点P，连接PA， ∴GH=2PA， ∴=， ∴当PA取最小值时，有最大值， 连接PC，AC， 则PA+PC≥AC， ∴PA≥AC- PC， ∴当PC最大时，PA最小， ∵直径是圆中最大的弦， ∴PC=1时，PA最小， ∴当A，P，C三点共线时，且PC最大时，PA最小， ∴PA=-1， ∴最大值为：1-（-1）=2-， ∴四边形CGAH面积的最大值为2， ∴④正确； 故答案为: ②③④． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径是最大的弦，三角形的全等，直角三角形斜边上的中线，四点共圆，正方形的性质，熟练掌握圆的性质，灵活运用直角三角形的性质，线段最短原理是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，先找出，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，． 18. 已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．代入到得到二元一次方程组，求解方程组得出b、c的值即可解答． 【详解】解：代入到，得， 解得：， 二次函数的表达式为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90∘后的对应点的位置，然后顺次连接即可． （2）在旋转过程中，C所经过的路程为下图中扇形的弧长，即利用扇形弧长公式计算即可． 【详解】（1）如图，连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形． （2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形的弧长； 所以 【点睛】 本题考查了旋转作图以及扇形的弧长公式的计算，作出正确的图形是解本题的关键． 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 21. 从一副普通的扑克牌中取出三张牌，它们的牌面数字分别为2，3，6．将这三张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记下数字．然后将抽取的牌背面朝上放回，洗匀，再从中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有3种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：树状图如图所示： 共有9种等可能的结果，其中抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的结果有3种，  ∴抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率为：． 【点睛】此题考查的是树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件． 22. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的判定定理证明即可； （2）由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=2，然后利用和扇形的面积公式求解． 【详解】（1）证明： ∵OD=OB， ∴∠1=∠ODB， ∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1， 而∠A=2∠1， ∴∠DOC=∠A， ∵∠ABC=90°， ∴∠A+∠C=90°， ∴∠DOC+∠C=90°， ∴OD⊥DC， ∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵∠A=60°， ∴∠C=30°，∠DOC=60°， 在Rt△DOC中，OD=2， ∴， ∴S阴影=S△COD-S扇形DOE， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，锐角三角函数，用割补法求不规则图形面积，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 23. 某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． （1）求y关于x的函数表达式； （2）当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点的日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售盈利问题，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒），列式，去括号合并同类项，即； （2）根据总利润等于单件利润乘上销量，列式，运用二次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：∵当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）， ∴， ． 【小问2详解】 解：设每盒售价定为x（元）时，超市销售该糕点的日均毛利润为W（元）， 则： 即， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为， 答：当每盒售价定为70元时，超市销售该糕点的最大日均毛利润为8000元． 24. 如图，为的外接圆，，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出即可． （2）连接，，证明，，可得结论． （3）如图中，连接，．证明，推出点的运动轨迹以为直径的，连接，．求出．，根据，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中， 是直径， ， ，， ， 的半径为． 【小问2详解】 解：如图中，连接，． ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 【小问3详解】 解：如图中，连接，． ， ， 点的运动轨迹以为直径的， 连接，． 是等边三角形，， ， ， ， 的最大值为． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹． 25. 已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线下方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点P的坐标； （3）点P在直线下方的抛物线上，连接交于点M，当最大时，求点P的横坐标及的最大值． 【答案】（1）抛物线为：； （2） （3）此时的横坐标为：3， 有最大值． 【解析】 【分析】（1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F，由， 可得，，设，则，再建立关于t的二次函数即可； 【小问1详解】 解：∵抛物线过、，． ，解得：， ∴抛物线为：； 【小问2详解】 如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，最大， 此时P的纵坐标为：， ∴． 【小问3详解】 如图，过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F， ∴， ∴， ∴ ， 设直线的解析式为， ∴， 解得 ， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时， 有最大值， 此时的横坐标为：3． 【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 12月初三年级数学学科综合训练 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列新能源汽车车标中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是 （ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A 经过红绿灯路口，遇到绿灯 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 班里的两名同学的生日是同一天 D. 从一个只装有白球的袋中摸球，摸出黄球 3. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2024 6. 如图，内接于，AD是直径，若，则的度数是（ ） A. 60° B. 65° C. 70° D. 75° 7. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 一个扇形的弧长是，面积为，则其半径为（ ） A. 6 B. 36 C. 12 D. 144 9. 流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了x人，可列出的方程是（　　） A. B. C. D. 10. y＝x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（　　） A a≤﹣5 B. a≥5 C. a＝3 D. a≥3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分） 11. 一个布袋里放有1个红球和2个白球，它们除颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出1个球，摸到白球的概率是______． 12. 的直径为10，弦的长为8，若为的中点，则______． 13. 如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是________． 14. 如图，是的切线，切点分别为A，B，点C，D分别在上，切于点E．若的周长为12，则的长为_____． 15. 某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10 cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____． 16. 如图，正方形ABCD的边长为1，⊙O经过点C，CM为⊙O的直径，且CM＝1．过点M作⊙O的切线分别交边AB，AD于点G，H．BD与CG，CH分别交于点E，F，⊙O绕点C在平面内旋转（始终保持圆心O在正方形ABCD内部）．给出下列四个结论： ①HD＝2BG；②∠GCH＝45°；③H，F，E，G四点在同一个圆上；④四边形CGAH面积的最大值为2．其中正确的结论有 _____（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)． （1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C' （2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长． 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 21. 从一副普通的扑克牌中取出三张牌，它们的牌面数字分别为2，3，6．将这三张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记下数字．然后将抽取的牌背面朝上放回，洗匀，再从中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相同的概率． 22. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π） 23. 某超市销售一种品牌糕点，每盒进价为50元，超市规定每盒售价不得低于60元．根据以往销售经验发现：当每盒售价定为60元时，每天卖出600盒；每盒售价每提高1元，每天少卖20盒．设超市每盒售价定为x（元），每天卖出y（盒）． （1）求y关于x函数表达式； （2）当每盒售价定为多少元时，超市销售该糕点日均毛利润最大？最大日均毛利润是多少？ 24. 如图，为的外接圆，，，点是上的动点，且点、分别位于的两侧． （1）求的半径； （2）当时，求的度数； （3）设的中点为，在点的运动过程中，线段是否存在最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． 25. 已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为直线下方的抛物线上一个动点，当面积最大时，求点P的坐标； （3）点P在直线下方的抛物线上，连接交于点M，当最大时，求点P的横坐标及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $