精品解析：广东省河源市正德中学2024-2025学年高一上学期第二次段考数学试题

2024-2025学年高一年级第一学期第二次段考试题 数 学 全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合得，又因，所以. 故选：D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件定义可判断选项正误. 【详解】若，则，充分性得证； 若，则，但不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列出关于x的不等式组，解之即可求得函数的定义域. 【详解】由，可得，故且 则函数的定义域是 故选：D 4. 幂函数在上递减，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征，利用排除法判断即可. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 当时，所以，故排除C. 故选：D. 6. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B，函数，，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D符合题意. 故选：D 7. 若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：A. 8. 设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数性质可确定单调性，进而得到，由此可得，解不等式可求得结果. 【详解】的图象经过第二、三、四象限， ，解得：，在上单调递减， 则由得：，即， ，解得：， 实数的取值范围为. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 是定义在R上的偶函数，当时，，则当时， D. 已知，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，当为偶数时，；B选项，作差法比较出大小；C选项，由函数为奇函数，得到时，，则；D选项，将原式变形为，利用基本不等式求得最小值. 【详解】A选项，当为奇数时，， 当为偶数时，，A错误； 对于B，， 因为， 所以， 所以， 所以，即，故B正确. 对于C，因为是定义在上的偶函数，当时，， 所以当时，，则，故C正确； 对于D，，由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，但，故等号取不到，D错误 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 的最小值为1 D. 的图象与轴有1个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用换元法求出的解析式，然后逐一判断即可. 【详解】令，得，则，得， 故，，，A正确，B错误. ，所以在上单调递增， ，的图象与轴只有1个交点，C正确，D正确. 故选：ACD 11. 定义在的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 函数在上是增函数 D. 不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，分别令和求解；对于B，由，利用赋值法求解；对于C，易得为偶函数，再利用函数单调性定义判断；对于D，由C函数在上是增函数，再由结合求解. 【详解】对于A，令，则，则 ， 令，则，则，A正确； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，由于函数定义域为，取，则， 即为偶函数； 任取且，则， 因为，故，则，则， 故函数在上是减函数，C错误； 对于D，由C的分析可知函数在上是增函数， 故由结合可得，且， 解得，且，即的解集为，D正确 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，的否定是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用特称命题的否定形式回答即可. 【详解】命题“，”的否定形式是“”. 故答案为：. 13. 已知函数为奇函数.则_______. 【答案】1 【解析】 【分析】因为奇函数且定义域为R，故可由求得的值，再利用奇函数的定义验证即可. 【详解】因为函数为奇函数，定义域为R，所以，即 此时， ， 即为奇函数，符合题意. 故答案为：1. 14. 定义在R上的，在上增函数，且，，则不等式的解集为_____________. 【答案】或 【解析】 【分析】 先利用已知条件赋值，计算和，判断是偶函数，再利用已知条件化简所求不等式为，结合奇偶性得到，再利用单调性即得，即得结果. 【详解】依题意，令得，即； 令得，即；令，则，即，故是偶函数.又因为， 故不等式即，故，即，所以，即，故或，即解集为或. 故答案为：或. 【点睛】利用函数奇偶性和单调性解不等式问题： （1）是奇函数，图像关于原点中心对称，利用奇函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可； （2）是偶函数，图像关于y轴对称，利用偶函数性质将不等式形式，再利用单调性得到和的大小关系，再解不等式即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案； （2）两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 因为， 所以， ， 所以. 16. 已知，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果. （2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可. 【小问1详解】 当时，集合，可得或， 所以； 【小问2详解】 由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 17. 已知函数， （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为 或 ， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为 或 ． 【解析】 【分析】（1），即恒成立，时，恒成立，时，只需，，求解即可． 不等式，即，讨论的取值情况，从而求出不等式的解集． 【小问1详解】 因为函数， 所以恒成立， 等价于恒成立， 即恒成立， 当时，恒成立，满足题意 当时，要使恒成立， 则，即, 解得． 综上所述，实数的取值范围是. 【小问2详解】 由得,， 即,又因为， 所以：当，即时， 不等式的解集为 或 ； 当，即时， 可得，不等式的解集为; 当，即时， 不等式的解集为或 ． 综上，时，不等式的解集为 或 ， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为 或 ． 18. 已知函数. （1）判断奇偶性并证明； （2）利用定义证明在R上单调递增； （3）若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） 函数为奇函数，理由如下： 定义域为R，又， 所以为奇函数； （2） 由（1）知，， 任取，且， 则 因为，则 所以，即， 所以在R上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）求出定义域为R，且，得到为奇函数； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数奇偶性和单调性得到，变形得到，换元后得到函数最小值，从而得到. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 为奇函数， 由，得， 因为函数在R上单调递增， 所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则只需， 令，则， ，当时，，即， 所以k的取值范围为 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围； （3）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值． 【答案】（1）证明：结合二次函数的图象可知：函数在上单调递增， 且，，所以当时，函数的值域亦为. 所以：是函数的一个 “优美区间”. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“优美区间”的定义证明即可. （2）问题转化为：方程在有两个不同的解，再求的取值范围. （3）由新定义及函数定义域，确定相应方程有两个同号的不等实根，由此求得参数范围. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 函数在上存在“优美区间”， 转化为：方程在有两个不同的解. 由， 因为方程在上有两个不同的解， 所以：. 故所求的取值范围为：. 【小问3详解】 因为在和上均为增函数， 所以函数的有“优美区间”等价于：方程有两个同号的根. 由有两个同号的根，为，（）. 由或. 由，， 所以， 所以当即时，有最大值，所以. 又或，所以可以取到.故：. 【点睛】方法点睛：本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，解题难点是新定义的应用，解题方法是利用新定义把问题转化为一元二次方程根的分布，注意分类讨论的应用．对学生的逻辑思维能力运算求解能力要求较高，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高一年级第一学期第二次段考试题 数 学 全卷满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 幂函数在上递减，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 2或 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各组函数是同一个函数的是（    ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数且的图象经过第二、三、四象限，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 是定义在R上的偶函数，当时，，则当时， D. 已知，则的最小值为 10. 已知函数，则（ ） A. B. C. 的最小值为1 D. 的图象与轴有1个交点 11. 定义在的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 函数在上是增函数 D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题，的否定是___________． 13. 已知函数为奇函数.则_______. 14. 定义在R上的，在上增函数，且，，则不等式的解集为_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值. （1）； （2）已知，求的值. 16. 已知，集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 已知函数， （1）恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； 18. 已知函数. （1）判断奇偶性并证明； （2）利用定义证明在R上单调递增； （3）若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 19. 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数.且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”. （1）求证：是函数的一个“优美区间”； （2）如果函数在上存在“优美区间”，求实数的取值范围； （3）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $