第五章 导数及其应用（压轴专练）（六大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）

第五章 导数及其应用（压轴专练）（六大题型） 目录： 题型1：证明不等式 题型2：恒成立问题 题型3：零点问题 题型4：方程根问题 题型5：双变量问题 题型6：极值点偏移问题 题型1：证明不等式 1．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据“T点”的性质可求的值； （2）根据“T点”的性质可得在上有三个不同的解，利用换元法可求参数的值； （3）若存在一个包含“和谐T点”的区间，则在上有解，利用导数可证该结论错误. 【解析】（1），由可得，而 因为为函数在区间上的“T点”，故. （2）， 因为函数在区间上恰有3个“T点”， 所以在上有三个不同的解， 故在上有三个不同的解， 设，则， 则在上有两个不同的根， 且其中有且只有一个根为或或， 若一个根为，则，此时另一个根为， 此时有一根，在上有两个不同的解， 故此时在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时另一个根为， 同理可得在上有三个不同的解； 若一个根为，则，此时在上仅有一个根，舍； 综上，. （3）， 若存在含“和谐T点”的区间，则， 其中， 整理得到：即， 设，故，设， 则，故在上为增函数，故， 故，故不成立， 故函数的定义域内不存在一个包含“和谐T点”的区间 【点睛】思路点睛：对于导数背景下的多变量的存在性问题，注意根据方程组的形式合理消元，从而构建较为简单的函数，而后者可以利用导数来处理. 2．（24-25高三上·上海·期中）已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，.求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）求导后，令，根据导函数有两个零点可构造不等式求得的范围，结合韦达定理可将表示为关于的函数，结合的范围可证得结论； （3）根据的正负可得单调性，从而确定当时，；根据的单调性可推导证得由此可得结论. 【解析】（1）当时，，则，， 又，所求切线方程为：，即. （2）由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则，原方程可化为，且和是方程的两根， ，解得：，，， ， ，在上单调递减，， 即. （3），定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，，， 以此类推，当时，； ，， 在上单调递减，当时，， 即，，， 即，. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式的问题，第二问证明的关键是能够将所证极值之和转化为关于变量的函数的形式，从而利用的范围来进行求解；第三问证明的关键是能够根据函数单调性和递推关系，得到的范围，进而利用单调性来进行推导. 3．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【答案】(1)不是“导可控函数”，说明见解析 (2)1个，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导，依条件判断即可； （2）利用导数判断函数的单调性，再结合函数值域可判断零点个数； （3）利用导数的定义得，再由不等式的性质，适当放缩得证. 【解析】（1）若，则， 当时，， 故不是 “导可控函数” . （2）依题意，， 所以，在上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当时，， 当时，， 所以存在零点，综上存在1个零点； （3）因为，由导数的定义得 ， 即， 不妨设 若，则 若， 则 . 命题得证. 【点睛】利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形． （2）构造新的函数． （3）利用导数研究的单调性或最值． （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 题型2：恒成立问题 4．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“一类函数”. (1)试判断是否为其定义域上的“一类函数”，并说明理由； (2)若函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的最大整数值. 【答案】(1)不是为其定义域上的“一类函数”； (2) (3)的最大整数值为0. 【分析】（1）根据定义，取反例即可判断； （2）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离，转变为函数最值问题可解； （3）根据定义将问题化为恒成立问题，然后参变分离，利用导数求解可得. 【解析】（1）函数不是其定义域上的“M一类函数”. 理由如下： 的定义域为，存在， 使得， 故不是其定义域上的“M一类函数” （2），所以. 若函数在上为“M一类函数”， 则在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以在上恒成立. 令， 因为，，所以当时，的最小值为， 所以，所以实数a的取值范围为. （3）， 依题意有对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，，即； 当时，， 令，则， 令，则， 易知时，时，， 即在上是减函数，在上是增函数， 而， 即时，，于是，则在上是减函数， 故，从而. 综上，满足条件的实数的取值范围是，于是的最大整数值为0. 【点睛】思路点睛：本题实质上属于恒成立问题，常用参变分离法，从而将恒成立问题转化为函数最值问题，然后利用导数求最值即可求解. 5．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. (1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； (2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围； (3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 【答案】(1)是，理由见解析； (2) (3)证明见解析； 【分析】（1）由与不为相关函数对，得到且，从而若为相关函数，由成立求解； （2）根据与为相关函数对，由成立求解； （3）采用反证法，假设对任意均存在，均有，根据与为相关函数对，分，，得出矛盾即可. 【解析】（1）解：若与不为相关函数对，则且， 则，所以只要即可， 当，时， ， 所以函数与是相关函数对； （2）因为与为相关函数对， 所以， 令，，当时，；当时，， 所以是极小值点，， 所以， 所以； （3）假设对任意均存在， 均有， 则取，，，使得， 对任意，，有，， 又函数与为相关函数对， 则①若，则； ②若，则， 由①②知：，由，将其分为很多个子区间， 如，，，…… 则以上每个区间至多包含一个，矛盾，假设不成立， 故存在实数，使得对任意，均有． 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由假设，，根据函数与为相关函数对，分别由和，构造，找出矛盾而得证. 6．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围． (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为． (2) (3)①证明见解析；②假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列，理由见解析． 【分析】（1）求导得，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为当时，恒成立，求导得，然后分，以及讨论，即可得到结果； （3）①根据题意，构造函数，求导可得在恒成立，即可证明；②根据题意，结合“源数列”以及“生成数列”的概念，然后假设存在，代入计算，即可得到方程无解，故不存在. 【解析】（1）当时，，， 令，则，解得或， 当时，； 当时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）， 令，依题意，当时，恒成立， 由，得，， 又因为，所以， 当时，，所以在单调递增， ，不合题意； 当时，令，解得， 当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减． 若要使恒成立，则需，解得， 故此时； 当时，， 所以在单调递减， 所以，符合题意； 综上，实数a的取值范围为． （3）①，，故， 构造函数， ，则 函数在上单调递增，，故在恒成立，单调递增， 故，即，， 当时，， 综上所述：恒成立，即． ②，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增， 故， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到，无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究不等式恒成立问题以及导数与数列的结合，难度较大，解答本题的关键在于理解题中“源数列”以及“生成数列”的概念，再由导数与数列的知识进行解答. 题型3：零点问题 7．（24-25高三上·上海·期中）若函数的图象上有两个不同点，处的切线重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”. (1)试判断函数与的图象是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图象的“自公切线”方程； (3)若，求证：函数，有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”. 【答案】(1)存在，不存在； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据“自公切线”的定义判断即可； （2）设切点，问题化为存在，使得，利用导数几何意义求切线方程，根据切线重合列方程求参数，即可得方程； （3）利用导数研究的单调性及其零点，假设的图象存在“自公切线”，存在且，使的图象在与处的切线重合，即对应导数值相等，结合三角函数线推出矛盾，即可证. 【解析】（1）因为直线是图象的一条“自公切线”，故函数的图象存在“自公切线”， 对于是严格减函数，故在不同点的切线斜率不同，所以函数的图象不存在“自公切线”， 所以的图象存在“自公切线”，函数的图象不存在“自公切线”； （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，存在，使得， 在点处的切线方程为， 在点处的切线方程为， 因此，消去得， 令， 求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为， 因此，所以曲线的“自公切线”的方程为. （3）因为，， 所以在上恒成立，当且仅当时， 故是严格增函数，其至多有一个零点. 令，，其图象是连续曲线，且， 所以在上存在零点， 在上，存在零点，所以有唯一零点； 假设的图象存在“自公切线”，则存在且，使的图象在与处的切线重合， 故，且， 由得，不妨设，将代入，得， 在上图的单位圆中，于， 知，与矛盾. 故的图象不存在“自公切线”. 【点睛】关键点点睛：第三问，对于求证函数“自公切线”，注意应用反证思想，假设存在并利用导数值相等及三角函数线的关系推出矛盾为关键. 8．（24-25高三上·上海·期中）设函数的定义域为开区间.若存在，使得曲线在处的切线与曲线只有唯一的公共点，则称切线是函数的一条“切线”. (1)求证：直线是函数的一条“切线”； (2)设，求证：函数存在无数条“切线”； (3)设，.若曲线在处的切线是函数一条“切线”，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据“切线”定义，及导数的几何意义判断直线是函数的一条“切线”即可； （2）问题化为证明，对任意均为函数的“切线”. （3）由题意，有唯一零点，讨论参数a研究的零点求参数范围. 【解析】（1）由于，设曲线在点处的切线为， 则，，， 所以，， 故直线是曲线在处的切线. 令，则，当且仅当时等号成立. 故函数在上严格减，知函数有唯一零点， 因此直线是函数的一条“切线”. （2）由于，故曲线在处的切线方程为. 下面证明：对任意，上述切线均为函数的“切线”. 令，则. 由于是严格减函数，且， 在上，函数单调递减； 在上，函数单调递增. 由于，故当时，恒有. 因此有唯一零点，即直线是的“切线”. 因此函数存在无数条“切线”. （3）函数的定义域，由于， 故. 令，直线是函数的一条“切线”，即有唯一零点. ，且， （i）若，则，在上， 故在上严格增，满足要求. （ii）若，在上，严格减，得. 由于，且函数的图象是连续曲线， 因此函数在上存在零点，不满足要求. （iii）若，在上，严格减，得. 令，则，且，于是. 由于函数的图象是连续曲线， 因此函数在上存在零点，不满足要求. 综上可知，. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为研究有唯一零点为关键. 题型4：方程根问题 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3) 【分析】（1）根据奇偶函数的定义，即可判断； （2）首先根据极值点的定义求，并利用函数的导数，判断函数的单调性，求函数的极值，再利用函数的图象，结合函数有3个零点求参数的取值范围； （3）首先根据函数的的单调性去绝对值，再变形不等式，转化为函数在递减；在递增，再利用函数的导数和单调性的关系，转化为参变分离，求最值问题，即可求解. 【解析】（1）当时，，满足为偶函数； 当时，，且为非奇非偶函数. （2）函数在处有极值， 可得，解得， 所以 当时，递减；当或时，递增， 可得在处取得极小值，且为0，在处取得极大值，且为， 的方程有3个不同的实根，等价为， 即有的取值范围是. （3）在递减，可得时，， ，即为， 即 即为 即对任意且时恒成立. 所以在递减；在递增. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， 在上单调递增，即，则. 当在恒成立时，可得，即在恒成立， ，当时等号成立，则，则. 综上可得的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是第3问，变形不等式，转化为两个函数的单调性问题，结合导数，即可求解. 10．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. (1)若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围； (3)若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“1跃点”函数的定义，列出方程，求出该方程在上有两个不同的解的实数的范围作答. （3）将问题转化为方程，即有一个实数解，再构造函数，借助导数求解作答. 【解析】（1）函数的导函数为， 因为函数，是“跃点”函数， 则方程有解，即有解， 而，因此，解得， 所以实数的取值范围是. （2）函数的导函数为， 依题意，方程，即在上有两个不等实根， 令，因此函数在上有两个不同零点， 则，解得或， 所以实数的取值范围是. （3）函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个 “1跃点”， 则方程，显然，所以在上恰有一个实数根， 令，求导得， 由，得；由，得且，， 于是函数在上单调递减， 恒成立，函数的取值集合是， 在上单调递减，函数的取值集合是， 在上单调递增，函数的取值集合是，函数的图象，如图，    当时，直线与函数的图象有唯一公共点， 即方程恰有一个实数根，从而， 所以b的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 11．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据变形得到，从而得到，证明出结论； （2）由得，令，求导得到函数单调性和极值情况，从而得到的解的情况，得到答案； （3）由题目条件得到在R上单调递减，变形得到，即，由函数单调性得到，根据不动点得到在时有解，构造，，求导得到其单调性和最值，从而得到不等式，求出a的取值范围. 【解析】（1），故， 其中，则， 其中定义域为R，故为奇函数， （2）由得，令，则 令，解得，令，解得， 所以在单调递减，在上单调递增， 其中， 故当时，无解，当时，有1个解， 当时，有2个解； 综上，当时，函数没有不动点； 当时，函数有1个不动点； 当时，函数有2个不动点. （3）当时，，故， 所以在上单调递减， 根据奇函数的对称性，可得在R上单调递减， 因为存在，即， 则， 故，则，即， 因为为函数一个不动点， 所以在时有解， 令，， 因为当时，， 所以在上单调递减，且趋向于时，趋向于， 所以只需，即， 解得， 故a的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 题型5：双变量问题 12．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求出，根据零点存在性定理判断证明； （2）根据函数在上处处相依，可得，使得，转化为，，得解； （3）根据题意可得，结合的单调性将要证明的问题转化为，，构造函数，利用导数证明. 【解析】（1）当时，， ， 所以，， 即，又在上处处相依， 所以函数在上有零点. （2），， ， 因为函数在上处处相依， 所以，，使得， 即，使得， ，，即，， 又， . 所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数的在的相依区间， 所以，又， 则， 因为，，即单调递减， ，，即单调递增， 所以，则， 要证，即证，即证， 即证，， 令， ， 令，， ， 因为，，， 所以，即在上单调递减，则， 所以，即在上单调递减， 所以，即，即证得成立. 从而证明得到. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是根据相依区间的定义得到，结合条件利用分析法转化为，，构造函数证明. 13．（2023·上海虹口·一模）设，已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)对于函数的极值点，存在，使得，试问对任意的正数，是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)若函数在区间上的最大值为40，试求的取值集合． 【答案】(1)的单调递增区间为：与；单调递减区间为：； (2)是定值6； (3). 【分析】（1）由函数，求导函数，令，由导函数的零点将定义域分段，分析当变化时，，的变化情况，即可得函数的单调区间； （2）方法一：根据，，确定，与之间的等式关系，又由得与的关系，即可得与的关系，由（1）知和是函数的极值点，则当和分别求解，确定是否为定值即可； 方法二：由，两式联立进行因式分解可得，即可得为定值； （3）由于函数在闭区间上的最大值只有可能在，6，，这4处取得，分别求解得，，，讨论或 ，分别求解的取值情况，即可得的取值集合． 【解析】（1）解：由，，可得． 因，由，解得． 当变化时，，的变化情况如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 所以，的单调递增区间为：与；单调递减区间为：． （2）方法1：因为存在极值点，所以由（1）知：，且． 因为，，故由，得即． 因为，所以（*） 由题意，得，即． 由（1）知，和是函数的极值点， 故当时，由（*）可得， 解得，即， 此时． 当时，由（*）可得， 解得，即，此时． 综上，可得结论成立． 方法2：因为存在极值点，所以由（1）知：，且． 因为，，故由， 得即． 因为，所以（*） 由题意，得，即，将其代入（*）， 得（**） 即 亦即． 由于，因此． （3）解：因函数在闭区间上的最大值只有可能在，6，，这4处取得． 又，，， （因） ①若为在区间上的最大值（等于40）， 令，则，且，由，得． 设，则恒成立，故在上严格递增， 于是在上存在唯一的，使，易知，进而相应的． 而此时，，因此符合题意． ②若为在区间上的最大值（等于40），则，或． （i）当时，，， 为在区间上的最大值，因此符合题意． （ii）当时，，，， 于是不符合题意，舍去． 综上所述，符合条件的的取值集合为． 【点睛】本题考查了函数与导数的综合应用，主要涉及利用导数确定函数单调区间、极值点与方程的根、闭区间上的最值问题，需要注意解题的基本思路和基本方法，属于中等难度的题.本题解决极值点与函数方程的关键是运算问题，方法一强调，与之间的等式关系为，又由得与的关系，整理可得与的关系，再结合的取值情况即可得为定值；方法二强调的是多元变量的因式分解问题，主要涉及的是分组因式分解方法，需要保证两两分组后有公因式，利用方程的根即可得为定值；而对于函数在闭区间上的最大值即比较区间端点值与极值的大小即可得最大值的取值情况，且注意检验最值是否取到. 14．（2023·上海徐汇·二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数. (1)函数，是否为函数﹖请说明理由； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围； (3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】（1）根据函数的定义，即可证明； （2）分为在区间上仅存的极大值点或极小值点讨论单调性，以及根据函数的性质，列式求解； （3）首先根据函数是函数，构造函数，再求函数的导数，参变分离后转化为求函数的值域，并求. 【解析】（1）是函数，理由如下， 对任意，， ，故 （2）（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在严格递减， 由，即，得， 又，，则，（构造时，等号成立）， 所以； （ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在严格增， 由，同理可得， 又，，则，（构造时，等号成立）， 所以； 综上所述：所求取值范围为； （3）显然为上的严格增函数，任意，不妨设， 此时， 由为函数，得恒成立，即 恒成立， 设，则为上的减函数，，得对恒成立， 易知上述不等号右边的函数为上的减函数， 所以，所以的取值范围为， 此时， 法1：当时，即，由，而，所以为上的增函数， 法2：， 因为，当，，所以为上的增函数， 由题意得，，. 【点睛】本题考查函数新定义，以及理由导数研究函数性质，不等式的综合应用问题，本题的关键是理解函数的定义，并结合构造函数，不等式关系，进行推论论证. 题型6：极值点偏移问题 15．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 【答案】(1)函数在上的极值点不偏移 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求的根及的极值点，再根据题设定义，即可求解； （2）先求的根，对求导，得到，通过计算得到，再利用二次函数的性质，即可求解； （3）设的两个零点为，根据条件得到，再构造函数，利用函数的单调性，得到，即可求解. 【解析】（1）由，得到，所以， 又，由，得到，又当时，，当时，， 所以只有一个极值点，且极值点为，此时， 所以函数在上的极值点不偏移. （2）因为， 且，， 由，得到或，则， 又，，则有两根， 不妨设为，且，又，所以， 又时，，时，，所以函数在上只有一个极值点，且， 又， 所以，故函数在上的极值点右偏移. （3）由题知，，令，得到， 当时，，当时，， 所以是的极值点， 且在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又，时，，时，，， 则有两个零点，不妨设为，且，所以，， 令， 则在恒成立， 所以在区间上单调递增， 所以，即， 故，又， 故，得到，即， 所以当时，函数在上的极值点左偏移． 【点睛】方法点睛：本题第三问考查极值点偏移问题，解决极值点偏移的主要方法有： 1.构造对称函数； 2.比值换元； 3.对数平均不等式. 16．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)是上的“双中值函数”，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可； （2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明. 【解析】（1）函数是上的“双中值函数”． 理由如下： 因为，所以. 因为，，所以 令，得，即，解得. 因为，所以是上的“双中值函数”. （2）①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，所以，所以，即的取值范围为； ②证明：不妨设， 则，，即，． 要证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以，所以， 则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 【点睛】思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明. 学科网（北京）股份有限公司2 / 33 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 导数及其应用（压轴专练）（六大题型） 目录： 题型1：证明不等式 题型2：恒成立问题 题型3：零点问题 题型4：方程根问题 题型5：双变量问题 题型6：极值点偏移问题 题型1：证明不等式 1．（24-25高三上·上海金山·期末）对于函数图像上不同的三点（其中），记点M处的切线为l，若，则称M为函数在区间上的“T点”．特别地，当，则称M为函数在区间上的“和谐T点”． (1)设是函数在区间上的“T点”，若，求实数n的值； (2)设，若函数在区间上恰有3个“T点”，求所有满足条件的实数a的值组成的集合； (3)设，试探究函数的定义域内是否存在一个包含“和谐T点”的区间，若存在，求出该区间；若不存在，请说明理由． 2．（24-25高三上·上海·期中）已知. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数存在两个不同的极值点，求证：； (3)若，，数列满足，.求证：当时，. 3．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 题型2：恒成立问题 4．（24-25高三上·上海松江·期中）已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“一类函数”. (1)试判断是否为其定义域上的“一类函数”，并说明理由； (2)若函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的取值范围； (3)已知函数，为其定义域上的“一类函数”，求实数的最大整数值. 5．（2024·上海杨浦·二模）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对. (1)判断函数与是否为相关函数对，并说明理由； (2)已知与为相关函数对，求实数的取值范围； (3)已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有. 6．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时恒成立，求实数a的取值范围． (3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”． ①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有； ②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 题型3：零点问题 7．（24-25高三上·上海·期中）若函数的图象上有两个不同点，处的切线重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”. (1)试判断函数与的图象是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图象的“自公切线”方程； (3)若，求证：函数，有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”. 8．（24-25高三上·上海·期中）设函数的定义域为开区间.若存在，使得曲线在处的切线与曲线只有唯一的公共点，则称切线是函数的一条“切线”. (1)求证：直线是函数的一条“切线”； (2)设，求证：函数存在无数条“切线”； (3)设，.若曲线在处的切线是函数一条“切线”，求的取值范围. 题型4：方程根问题 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数. (1)判断函数的奇偶性； (2)若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围； (3)记.若对任意且时，均有成立，求实数的取值范围. 10．（23-24高三上·上海黄浦·开学考试）对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. (1)若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若函数是定义在上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃点”，求实数的取值范围； (3)若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的取值范围. 11．（23-24高二下·上海·期末）函数的定义域为，如果存在，使得，称t为的一个不动点．函数（，为自然对数的底数），定义在R上的函数满足，且当时，． (1)求证：为奇函数； (2)当a变化时，求函数不动点个数； (3)若存在，，且为函数的一个不动点，求a的取值范围． 题型5：双变量问题 12．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数在的相依区间．已知． (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数、，，都有恒成立，求实数的取值范围． (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：． 13．（2023·上海虹口·一模）设，已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)对于函数的极值点，存在，使得，试问对任意的正数，是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)若函数在区间上的最大值为40，试求的取值集合． 14．（2023·上海徐汇·二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，，则称函数为函数. (1)函数，是否为函数﹖请说明理由； (2)若为函数，图像在是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围； (3)若，，且为函数，，对任意，恒有，记的最小值为，求的取值范围及关于的表达式. 题型6：极值点偏移问题 15．（24-25高三上·上海黄浦·期末）函数的定义域为，在上仅有一个极值点，方程在上仅有两解，分别为、，且．若，则称函数在上的极值点左偏移；若，则称函数在上的极值点右偏移． (1)设，，判断函数在上的极值点是否左偏移或右偏移？ (2)设且，，，求证：函数在上的极值点右偏移； (3)设，，，求证：当时，函数在上的极值点左偏移． 16．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. ①求的取值范围； ②证明：. 学科网（北京）股份有限公司1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$