专题01 导数的运算及其几何意义（专项训练）高二数学沪教版选择性必修第二册

专题01 导数的运算及其几何意义 目录 A题型建模・专项突破 题型一、导数的基础概念 1 题型二、导数的四则运算与复合函数导数 2 题型三、由导数的几何意义求斜率或倾斜角的范围 2 题型四、求在曲线某点处的切线方程（重点） 3 题型五、求过某点的切线方程/由切线求参数 3 题型六、求两个曲线的公切线（难点） 4 题型七、求切线的条数（难点） 4 题型八、与切线有关的综合题型（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、导数的基础概念 1．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数在处的导数，则 ． 2．（24-25高二下·上海·期末）已知在处可导，若，则 ． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设定义在R上的函数的导函数为，若，则 ． 4．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数图像在点处的切线方程是，则 ． 5．（24-25高二下·上海·期中）设函数在点处可导，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D． 题型二、导数的四则运算与复合函数的导数 6．（25-26高二上·上海·期中）已知函数，则 ． 7．（2025高三·上海·专题练习）若，则 . 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则 9．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数，则 ． 10．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，则 ． 题型三、由导数的几何意义求斜率或倾斜角的范围 11．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 12．（22-23高三上·上海浦东新·月考）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．曲线的切线斜率的最小值为 ． 14．点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四、求在曲线某点处的切线方程（重点） 16．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 17．（23-24高二下·上海·期中）函数，则函数在点处的切线方程为 . 18．（25-26高三上·上海·期中）设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 19．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 20．（25-26高三上·上海·月考）函数的图像在点处的切线方程为 . 题型五、求过某点的切线方程/由切线求参数 21．（25-26高三上·上海·月考）已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为 . 22．（24-25高二下·上海·月考）已知函数有一条斜率为1的切线，则切点的坐标为 ． 23．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 24．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 25．若直线 与曲线 相切，则 （    ） A． B． C． D．4 题型六、求两个曲线的公切线（难点） 26．已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ． 27．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 28．直线与函数和的图象都相切，则 ． 29．设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 30．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 题型七、求切线的条数（难点） 31．过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 32．已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ． 33．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（    ） A． B． C． D． 35．过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 题型八、与切线有关的综合题型（难点） 36．已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是 ． 37．（2023·上海黄浦·三模）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是 . 38．已知函数，直线，是的两条切线，，相交于点，若，则点横坐标的取值范围是 ． 39．已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，.其中，则有 A． B． C． D． 40．设函数，若函数有三个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二下·上海黄浦·月考）函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高二下·上海金山·期中）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ． 4．（24-25高三上·上海宝山·期中）设点P在直线上，点Q在曲线上，线段的中点为M，O为坐标原点，则的最小值为 . 5．（24-25高三上·上海黄浦·月考）设，，为曲线上两点，为曲线上两点，且四边形为矩形，则实数的取值范围为 . 6．（23-24高二下·上海·期中）设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为 . 7．（22-23高三上·上海黄浦·开学考试）已知函数满足，函数恰有5个零点，则实数a的取值范围为 ． 三、解答题 8．（2025·上海·三模）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 9．（23-24高二下·上海闵行·期末）若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 10．（23-24高三上·上海宝山·月考）记，分别为函数，的导函数.若存在实数，满足且，则称为函数与的一个“S点”. (1)证明：函数与不存在“S点”； (2)若存在实数b，使得函数与存在“S点”，求实数a的取值范围； (3)已知函数，.对任意常数，判断是否存在常数，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数的运算及其几何意义 目录 A题型建模・专项突破 题型一、导数的基础概念 1 题型二、导数的四则运算与复合函数导数 2 题型三、由导数的几何意义求斜率或倾斜角的范围 2 题型四、求在曲线某点处的切线方程（重点） 3 题型五、求过某点的切线方程/由切线求参数 3 题型六、求两个曲线的公切线（难点） 4 题型七、求切线的条数（难点） 4 题型八、与切线有关的综合题型（难点） 5 B综合攻坚・能力跃升 题型一、导数的基础概念 1．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数在处的导数，则 ． 【答案】 【分析】由导数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海·期末）已知在处可导，若，则 ． 【答案】2 【分析】由导数得定义计算即可. 【详解】因为，所以， 即. 故答案为：2. 3．（24-25高二下·上海浦东新·期末）设定义在R上的函数的导函数为，若，则 ． 【答案】 【分析】利用导数的定义直接求解即可. 【详解】由导数的定义得， 因为，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知函数图像在点处的切线方程是，则 ． 【答案】 【分析】结合导数的定义求解即可. 【详解】因为函数图像在点处的切线方程是， 则函数图像在点处的切线的斜率为 故答案为：. 5．（24-25高二下·上海·期中）设函数在点处可导，且，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D． 【答案】B 【分析】由导数的概念求解即可. 【详解】由. 故选：B. 题型二、导数的四则运算与复合函数的导数 6．（25-26高二上·上海·期中）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据导数的极限定义和基本初等函数的导数公式计算即可. 【详解】由可得，函数求导得，则， 而. 故答案为：1. 7．（2025高三·上海·专题练习）若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，先求的值，进而求即可. 【详解】对函数求导得，； 令，得，整理得. 因此，，故. 故答案为： 8．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则 【答案】 【分析】根据求导法则先求导，进而得，即可求解. 【详解】由题意有：，所以， 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海黄浦·月考）已知函数，则 ． 【答案】 【分析】求导赋值得即可得，，代入求值即可. 【详解】因为，所以， 令，可得， 解得，所以，， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知函数，则 ． 【答案】或-0.5 【分析】根据函数在某点处导数的定义，结合所给函数的导数公式进行求解. 【详解】根据函数的导数定义， 表示的是函数在处的导数. 根据复合函数求导法则，. 所以. 故答案为：. 题型三、由导数的几何意义求斜率或倾斜角的范围 11．（2025·上海浦东新·三模）曲线的图象上有一动点，则在此动点处切线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义，即可求解. 【详解】，根据导数的几何意义可知，切线的斜率的取值范围为. 故答案为： 12．（22-23高三上·上海浦东新·月考）设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，令后可求，再根据导数的取值范围可得的范围，从而可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴或. 故选：B. 13．曲线的切线斜率的最小值为 ． 【答案】 【分析】先求导，再利用导数的几何意义结合函数性质求解． 【详解】，求导得， 当时，取得最小值， 曲线的切线斜率的最小值为． 故答案为：． 14．点在曲线上，设曲线在点处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围，即可求出结果. 【详解】由题意得，即， 又，所以， 故选：D. 15．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据导数的概念求出函数的导数，然后根据导数的几何意义结合点P处切线倾斜角的取值范围是，列不等式可求出结果. 【详解】 又曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为， 所以其斜率， 所以，解得， 所以点P横坐标的取值范围为， 故选：D. 题型四、求在曲线某点处的切线方程（重点） 16．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率； （2）根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 17．（23-24高二下·上海·期中）函数，则函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求出函数的导数以及的值，由函数导数的几何意义可得切线方程. 【详解】根据题意，， 则， 又因为， 所以由点斜式方程得， 化解得. 故答案为：. 18．（25-26高三上·上海·期中）设 . (1)求函数的定义域； (2)当时，求函数在点处的切线方程 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析出要使函数有意义，须满足真数，即可得解； （2）当时，确定的解析式，利用导数求出在处的斜率，即可求出切线方程. 【详解】（1）要使函数有意义，须满足真数， 所以函数的定义域为； （2）当时，，则， 所以，又， 所以函数在点处的切线方程为. 19．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】因为，所以，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 20．（25-26高三上·上海·月考）函数的图像在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用导数求得函数的图像在点处的切线的斜率，写出切线的点斜式方程，化简可得一般式方程. 【详解】函数的定义域为，. 所以. 函数的图像在点处的切线方程为：，即. 故答案为：. 题型五、求过某点的切线方程/由切线求参数 21．（25-26高三上·上海·月考）已知函数 ，曲线 经过点的切线方程为 . 【答案】 【分析】设出切点坐标，通过导数求得切线斜率，再由直线的斜率公式求斜率，列出等式求解即可. 【详解】设切点坐标为， ， 由题意可得：， 整理可得，解得， 所以切点坐标为，切线的斜率， 所以切线方程为：，即. 故答案为：. 22．（24-25高二下·上海·月考）已知函数有一条斜率为1的切线，则切点的坐标为 ． 【答案】 【分析】求出导函数，令导数为1，即可求出切点坐标 【详解】因为函数有一条斜率为1的切线， 所以，令，有， 令，有， 当时，； 当时，由在上恒成立，有在上单调递增， 所以有唯一解， 又，所以切点坐标为. 故答案为：. 23．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则 . 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 24．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用导数表示出在点处的切线方程和在点处的切线方程，再代入点，化简即可得到结果. 【详解】设，由，得， 曲线在点处的切线方程为， 把代入切线方程，得， 化简得， 同理可得曲线在点处的切线方程为， 都满足直线， 直线的方程为. 故选：A 25．若直线 与曲线 相切，则 （    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】设出切点坐标，求导并利用导数的几何意义与两点间的斜率公式计算可得直线斜率. 【详解】设直线与曲线相切于点， 求导可得，因此切线斜率， 又切线过原点，可得，化简可得， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 因此可得，即可得. 故选： 题型六、求两个曲线的公切线（难点） 26．已知直线l与曲线、都相切，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【分析】分别求出两曲线的切线方程是和，解方程，，即得解. 【详解】解：由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：； 由得，设切点为，所以切线的斜率为， 则直线l的方程为：． 所以，， 消去得， 故或，所以直线l的方程为：或． 故答案为：或 27．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 28．直线与函数和的图象都相切，则 ． 【答案】 【分析】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 29．设，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 ． 【答案】/0.5 【分析】首先根据题意求出切线方程，然后对求导，根据斜率值和切点的函数值求出的值. 【详解】因为，所以. 所以曲线在点的切线方程为：. 因为，设曲线与该切线的切点为. 所以，所以，即. 又， 所以. 故答案为：. 30．若直线与函数和的图象分别相切于点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解. 【详解】设，， 因为，， 所以函数的图象在点处的切线方程为，即， 函数的图象在点处的切线方程为，即， 因为直线是两函数图象的公切线，所以， 由①可得，代入②得， 因为，所以，所以，， 所以. 故选：C． 题型七、求切线的条数（难点） 31．过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，结合该点是不是切点分类讨论进行求解即可. 【详解】由， 当点是切点时，此时切线的斜率为，此时有一条切线； 当点不是切点时，设切点为，则切线的斜率为， 切线方程为：，该切线过点， 于是有 或（舍去）， 综上所述：过点可作曲线的切线条数为， 故选：B 32．已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ． 【答案】2 【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，把点代入切线方程，求出相应答案即可. 【详解】当时，，设切点为，， 又 故过的切线方程为, 将代入可得, 解得或4，均大于0，满足要求； 当时，，设切点为， 又， 故过的切线方程为 将代入，可得 解得或4，均大于0，不合要求，舍去． 故答案为：2． 33．已知函数，过点可作曲线的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出的导函数，设切点坐标为，写出切线方程，把代入，得到关于的方程，根据方程解的个数即可得出切线的条数． 【详解】解法一  由，得．设切点坐标为， 则切线方程为， 把代入可得，即， 因为，所以该方程有2个不同的实数解，故切线有2条． 解法二  由，得，令，得． 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，且，则点在曲线的下方，    数形结合可知，过点可作曲线的2条切线． 故选：B 34．过点作曲线的切线，当时，切线的条数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，由导数几何意义可表示出切线方程，代入可将问题转化为方程的解的个数的求解；令，利用导数可得图象，根据与图象交点个数可确定方程解的个数，进而得到切线条数. 【详解】设切点为， ，切线斜率， 切线方程为：； 又切线过，； 设，则， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增， 又，，恒成立，可得图象如下图所示， 则当时，与有三个不同的交点， 即当时，方程有三个不同的解，切线的条数为条. 故选：D. 35．过点有且只有一条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设切点，即可求解切线方程， 将代入切线方程中得，构造，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】由得， 设直线与曲线的切点为，则切线方程为， 将代入切线方程中得. 令，则，令，解得， 所以在和单调递减，在单调递增， 且当时，，当时，，而，， 要使只有一个实数根，则. 故答案为： 题型八、与切线有关的综合题型（难点） 36．已知函数若关于的方程的实数根恰有一个，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点，对函数求导，求出过的切线的斜率，结合图象求解即可. 【详解】由题意可得直线与函数的图象只有一个交点， 又因为直线过定点， 作出函数的图象，如图所示： 过点作曲线的切线，设切点为， 因为， 所以切线方程为， 代入，得， 解得， 所以切线的斜率， 所以当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 又因为当时，也满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 37．（2023·上海黄浦·三模）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是 . 【答案】 【分析】求出，根据导数的几何意义得到，根据余弦函数的最值可得且，或且，分两种情况求出，然后求出其最小值即可. 【详解】因为， 所以， 依题意可得， 所以, 所以且， 或且， 当且时， ，，，， 所以，，， 所以，，， 所以当或时，取得最小值. 当且时， ，，，， 所以，，， 所以，，， 所以当或时，取得最小值. 综上所述：的最小值是. 故答案为：. 38．已知函数，直线，是的两条切线，，相交于点，若，则点横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】记，，不妨设与相切于点，与相切于点，则，，利用导数求出，再求出直线，的方程，解方程求出点的横坐标，再利用基本不等式得解. 【详解】记，， 由函数图象可知，不妨设与相切于点，与相切于点，则，． ∴，，∴，， ∵，∴，即，所以， ∵的方程为，的方程为， 两方程相减得点的横坐标， ∵，∴， ∴，即点横坐标的取值范围是． 故答案为： 39．已知直线与函数的图象恰有四个公共点，，，.其中，则有 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，在同一坐标系中作出直线与函数的图象，利用导数的几何意义可求得切线的斜率，从而将切点坐标代入直线方程（即切线方程）即可求得答案． 【详解】∵直线与函数的图象恰有四个公共点，如图： 当时，函数， 依题意，切点坐标为， 又切点处的导数值就是直线的斜率，即， 故选：B． 40．设函数，若函数有三个零点，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用数形结合，对进行分类讨论求解即可． 【详解】函数有三个零点，等价于函数与图象有3个交点， 且图象恒过点，作出函数的图象如图： 如图，当时，与的图象有且只有一个交点， 当时，与的图象有2个交点， 当直线过时，，此时与的图象有2个交点， 当时，与的图象有3个交点， 当时，与的图象有1个交点， 当时，， 对求导得，令，解得， 所以在处的切线方程为， 故是的切线， 此时与的图象有2个交点， 由图，当时，与的图象有3个交点， 综上，， 故选：D． 一、单选题 1．（24-25高二下·上海黄浦·月考）函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导函数几何意义和直线垂直的条件得方程一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项. 【详解】函数 ，则， 函数 的图象上存在两条相互垂直的切线， 不妨设在和处的切线互相垂直，则， 即， 则， 所以，， 又，所以或， 所以方程变为，即. 故选：B 2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）若曲线在与处的切线互相垂直，且两条切线的交点在直线上，则的值可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得，利用正弦函数的值域分析推得中必有一个为1，另一个为，由此确定，并求出，再作出图形数形结合求解判断. 【详解】函数，求导得, 曲线在与处的切线斜率分别为， 由两条切线互相垂直，得，而， 当且仅当中一个取1，另一个取时，它们的积为，不妨令，， 则，即， 此时,， 如图，设，则是以为直角顶点的等腰直角三角形， 由图知，， 则， 对于A，由，得不成立，A不是； 对于B，由，得不成立，B不是； 对于C，由，得不成立，C不是； 对于D，取，，D是. 故选：D 二、填空题 3．（24-25高二下·上海金山·期中）已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为 ． 【答案】48 【分析】根据题意，求得，得到，由，可得，求得，，进而得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数， 即为， 可得的导数为， 则， 由，可得， ， ， 则 ，当且仅当时，取得等号． 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海宝山·期中）设点P在直线上，点Q在曲线上，线段的中点为M，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】通过转化可得的最小值为到距离平方的最小值，利用导数求出切线即可得． 【详解】由题可设，， 则 则 即， 即的最小值为到距离平方的最小值， 其中点在曲线上，在直线上， 的最小值为在曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离， 设切点为， 因为曲线的导函数为，则，解得，所以切点为， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将问题转化到距离平方的最小值，从而结合导数的意义即可得解. 5．（24-25高三上·上海黄浦·月考）设，，为曲线上两点，为曲线上两点，且四边形为矩形，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分讨论，并寻找其极限位置即可. 【详解】解：因为的图象是由的图象向右平移2个单位，再向上或向下平移个单位得到的， 当时，如图所示： 取，当的纵坐标趋向于正无穷大的时候，可以无限接近为一个矩形； 当时，若能成为一个矩形，则必有：∥， 因为， 上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大， 所以必有 ，这与 矛盾； 当时，取此时在处切线的斜率为4，取临界， 设解得， 即当时，可以看成极限时候的矩形； 当时，若能成为矩形， 必有∥， 上的点处切线的斜率比上的点处切线的增长率大， 所以必有 ，这与 矛盾； 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是寻找特殊位置，找到临界值的情况，对进行合理地分类讨论，从而得到其范围. 6．（23-24高二下·上海·期中）设点在曲线上，点在直线上，平面上一点满足，则到坐标原点的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则，进而，表示到的距离平方，结合导数的几何意义求出即可. 【详解】由题意知，设， 由，得， 得，即， 所以， 即， 表示点到点的距离平方， 其中在曲线上，在直线上， 的最小值为曲线上与直线平行的切线的切点到直线的距离. 设切点，则， 解得，即切点为，所以， 则，得， 即点M到原点O的距离最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将问题转化为点到点的距离平方的最小值，利用导数的几何意义求解即可. 7．（22-23高三上·上海黄浦·开学考试）已知函数满足，函数恰有5个零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】把函数零点问题转化为两函数交点问题，再结合函数图像，利用导数求切线进行求解. 【详解】因为函数满足， 所以，， 因为函数恰有5个零点， 所以函数与恰有5个交点，如图， 因为与交于原点，要恰有5个交点， 与必有2个交点， 设与相切，切点为， 此时切线斜率为，解得， 解得，所以切点为，所以，解得， 所以要使函数恰有5个零点，则. 故答案为：. 三、解答题 8．（2025·上海·三模）已知定义在上的函数的图像上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且对上的任意的，均有，则称函数为“切线支撑”函数. (1)试判断函数是否为“切线支撑”函数.若是，写出一组点，；否则，请说明理由； (2)证明：函数为“切线支撑”函数； (3)已知为“切线支撑”函数，求实数的取值范围 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先由降幂公式和辅助角公式得到，再结合函数新定义和正弦函数的取值可得； （2）由函数新定义结合导数的意义得到，点处的切线方程，再结合余弦函数的取值证明； （3）先由导数分析单调性得到切点，必在轴的两侧，再利用导数的意义得到切线方程，然后结合函数新定义构造函数，分析单调性得到极值． 【详解】（1）， 显然， 令，得，，即， 所以，是的极小值点，且为曲线的一条切线， 所以函数是“切线支撑”函数， 可取，． （2）证明：因为，设，， 所以，点处的切线方程为和， 所以， 所以，， 不妨取，，则，即，， 所以，不妨取．则切线的方程为， 又，所以函数为“切线支撑”函数． （3）当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的右侧； 当时，，所以在上为增函数，所以切点，不可能都在轴的左侧； 所以切点，必在轴的两侧． 不妨设，，， 当时，，所以点处的切线方程为， 即； 当时，，所以点处的切线方程为， 即， 因为，两点处的切线重合，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 又当时，，所以，即， 设点处的切线方程为， 设， 则， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，所以， 设点处的切线方程为， 则，即， 所以为“切线支撑”函数， 综上可得，实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 9．（23-24高二下·上海闵行·期末）若函数的图像上有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的图像的“自公切线”. (1)试判断函数与的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）； (2)若，求函数的图像的“自公切线”方程； (3)设，求证：函数的图像不存在“自公切线” 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）对于函数：结合其图象分析判断即可；对于函数：结合的单调性分析判断； （2）求出函数的导数，并设出切点，求出处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程； （3）假设存在，设切线方程，根据导数求切线方程，列方程组，结合题意分析该方程组解的个数即可判断. 【详解】（1）对于函数： 由函数的图象可知：和为函数的“自公切线”， 所以函数的图像存在“自公切线”； 对于函数：则，可知在上单调递增， 可知，可知，即任意不同两点的切线斜率不相等， 所以函数的图像不存在“自公切线”. （2）函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点处的切线方程为，在点处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. （3）假设函数的图像存在“自公切线”，设为， 因为，则， 则，， 可知在处的切线方程为， 整理得， 则，即， 可知方程有两个不相等的根，则， 且也为方程的根， 则， 整理得， 且，即， 可得，即， 可得，整理得， 则，整理得，解得， 即此时方程只有一个解， 这与题意相矛盾，即假设不成立， 所以函数的图像不存在“自公切线”. 【点睛】方法点睛：根据过某点切线方程（斜率）或其与某线平行、垂直或重合等求参数问题的解法：利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解． 10．（23-24高三上·上海宝山·月考）记，分别为函数，的导函数.若存在实数，满足且，则称为函数与的一个“S点”. (1)证明：函数与不存在“S点”； (2)若存在实数b，使得函数与存在“S点”，求实数a的取值范围； (3)已知函数，.对任意常数，判断是否存在常数，使函数与在区间内存在“S点”，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）根据“S点”的定义对两函数求导并联立导函数解方程可知无解，即可证明结论； （2）联立导函数和原函数方程组解出实数的表达式即可求得实数a的取值范围； （3）根据题意构造方程组解得，利用零点存在定理证明在有零点，即可得出结论. 【详解】（1），， 由定义得，联立解得方程无解， 则与不存在“S点”； （2）易知，，， 由得，若存在“S点”即可知方程有解，所以； 得， ，即，可得； 所以可得； （3），， 由，假设满足得，得， 由，得，得， 令（，）， 设（，）， 则，，得， 又的图象在上不间断，则在上有零点， 则在上有零点， 则存在，使与在区间内存在“S点”. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $