精品解析：福建省宁德市福鼎市第四中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

福鼎四中2024-2025学年高一数学上学期12月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 10. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 已知方程的解在内，则 B. 函数的零点是 C. 函数的图象关于对称 D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是___________． 13. 已知，，则用，表示______ 14. 设函数，则使得成立的的解集是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. （1）计算 （2）化简 16. 已知关于x的不等式. （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集. 17. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点. （1）求的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域. 18. 近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆． （1）根据以上数据，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，试从①(且)；②两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式； （2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计每年传统能源汽车保有量下降2%，假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量． （参考数据:，，） 19. 若函数对任意的均有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）全集为，函数，试证明具有性质； （3）具有性质，且，求证：对任意，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2024-2025学年高一数学上学期12月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题先化简出，再求即可. 【详解】解：因为，所以 又因为， 所以 故选：C 【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、集合的并集运算，是基础题 2. 命题，，则命题的否定形式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得到结论． 【详解】命题，，为全称量词命题， 则该命题的否定为：，. 故选：C． 3. “”是“幂函数在上是减函数”的一个（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由幂函数在上是减函数,可得，由此求出的值，由充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立； 若幂函数在上是减函数， 则，解得或，故必要性不成立， 因此""是"幂函数在上是减函数"的一个充分不必要条件. 故选：B 4. 已知，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法求函数解析式，注意函数的定义域即可. 【详解】令， 由， 则，即. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据自变量取值所属区间代入对应函数解析式，由内而外逐层求解即可，注意对数恒等式的应用. 【详解】由题意，. 故选：D. 6. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数函数和对数函数的单调性求解. 【详解】因为，，， 所以， 故选：D 7. 已知函数在R上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减，需满足每一段函数均单调递减，且分段处左端点函数值大于等于右端点函数值，从而得到不等式，求出答案. 【详解】显然在上单调递减， 要想在R上单调递减， 则，解得. 故选：D 8. 若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据恒成立的性质，结合二次函数和对数函数的最值性质分类讨论进行求解即可. 【详解】因为二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以当时，该二次函数是单调递增函数， 当时，；当时，，所以此时二次函数的值域为. 当时，当时，函数单调递减， 当时，；当时，， 所以，而， 因此在内不成立； 当时，当时，函数单调递增， 当时，；当时，，此时该对数函数的值域为， 二次函数和对数函数的图象如下图所示： 要想不等式 在内恒成立， 只需，而，所以， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相同函数的概念判断A，根据函数的定义域和值域的概念判断BC，利用换元法列方程组判断D. 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，所以两函数有相同的定义域及对应关系，表示同一个函数，选项A说法正确； 对于B，因为函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为，选项B说法正确； 对于C，由，可得函数的定义域为， 又函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为，选项C说法错误； 对于D，因为①，所以②， 得，解得，选项D说法正确； 故选：ABD 10. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 已知方程的解在内，则 B. 函数的零点是 C. 函数的图象关于对称 D. 用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数，利用零点存在性定理判断A；利用零点的定义判断B；利用指数对数函数图象关系判断C；利用二分法求出近似解的方法判断D. 【详解】对于A，令，函数在R上递增，， 因此函数的零点，即方程的解在内，A正确； 对于B，函数的零点是，B错误； 对于C，函数互为反函数，它们的图象关于对称，C正确； 对于D，函数在R上递增，由， 得函数的零点在区间上，D正确. 故选：ACD 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，得，然后逐个分析判断即可. 【详解】由，得， 对于A，因为，所以，所以A正确， 对于B，因为，所以 ，所以B错误， 对于C，因为，所以 ，所以C正确， 对于D，因为，所以 ，所以D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据具体函数的定义域满足的条件可得，从而得出答案. 【详解】函数的定义域满足 ,解得 且 函数的定义域为 故答案为： 13. 已知，，则用，表示______ 【答案】 【解析】 【分析】化简，，结合对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由，，可得， 又由. 故答案为：. 14. 设函数，则使得成立的的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的性质，再利用性质求解不等式. 【详解】函数的定义域为R，，则为奇函数， 又函数分别为R上的增函数和减函数，于是是R上的增函数， 不等式化为， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. （1）计算 （2）化简 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】（1）根据指数的运算性质及对数恒等式化简即可； （2）根据根式与分数指数幂的转化及指数的运算性质化简即可. 【详解】（1）； （2）. 16. 已知关于x的不等式. （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）求关于x的不等式的解集. 【答案】（1）， （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）对于一元二次不等式，当二次项系数不为时，可根据二次函数的图象与性质来求解不等式.对于第一问，已知不等式的解集，可利用根与系数的关系来确定和的值. （2）先将不等式化为标准的一元二次不等式形式，再根据的取值范围分类讨论求解. 【小问1详解】 因为的解集为或，所以和是方程的两个根. 对于一元二次方程，若是其两根，则，. 在方程中，，，. 已知是方程的根，将代入方程得，即，解得. 当时，方程为，因式分解得，所以另一个根. 【小问2详解】 先将不等式化为标准形式：，即. 当时，不等式化为，解得. 当时，方程的两根为，. 当时，，不等式的解集为. 当时，，不等式的解集为或. 当时，不等式化为，即，解集为. 当时，，不等式的解集为或. 综上所得： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 17. 设a，b为实数，定义在R上的函数为奇函数，且其图象经过点. （1）求的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数，并求在上的值域. 【答案】（1） （2） 任取，，且， 则 ， 因为，所以， 又， 所以，所以，故为R上的增函数. 当时，，即， 所以在上的值域为. 【解析】 【分析】（1）根据，函数的图象经过点可求出可得的解析式； （2）用定义证明为R上的增函数即可；并根据的单调性可得函数在上的值域. 【小问1详解】 因为为R上的奇函数， 所以，即，① 又因为函数的图象经过点， 所以，即，② 由①②，可得，，故， ，， 故为奇函数， 所以； 【小问2详解】 略 18. 近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆． （1）根据以上数据，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，试从①(且)；②两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式； （2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计每年传统能源汽车保有量下降2%，假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量． （参考数据:，，） 【答案】（1）应选函数模型是(且)； （2）2028年底 【解析】 【分析】（1）由于增长趋势知，增长快，应选函数模型是(且)，由待定系数法即可求得函数关系式； （2）设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆，得出关系式，再得出新能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得到结果． 【小问1详解】 根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选函数模型是(且)， 由题意得，得，所以， 【小问2详解】 设从2019年底起经过x年后传统能源汽车保有量为y辆， 则有， 设从2019年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车， 则有， 化简得， 解得， 故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车． 19. 若函数对任意的均有，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）全集为，函数，试证明具有性质； （3）具有性质，且，求证：对任意，均有. 【答案】（1）具有性质，理由如下： 对于， 因， 故对任意的成立，即函数具有性质. （2） 当为有理数时，具有性质.理由如下： 而， 显然对任意有理数恒成立，故具有性质； 当为无理数时，具有性质，理由如下： ，故具有性质. 综上所述，当时，均有，故函数具有性质. （3） 假设为中第一个大于0的值，则， 因具有性质，故， 则， 故， 这与矛盾，故假设不成立， 所以对任意，均有. 【解析】 【分析】（1）直接将解析式代入不等式后化简，再结合基本不等式判断是否对任意实数都成立即可. （2）将函数分段讨论，每一段都根据性质的定义判断是否具有性质，再得出在R上是否具有性质. （3）利用反证法，先提出假设为大于0的值，再结合性质的定义可推导出，与题干条件相矛盾，从而得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $