第2章：实数章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册 第2章：实数章末重点题型复习 题型一 无理数的识别 1．（2023秋•西安期末）实数﹣3，0.1，，中，四个数中是无理数为（　　） A．﹣3 B．0.1 C． D． 2．（2024秋•芗城区校级月考）下列各数中：，0，，，，，0.101001中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（2024秋•贵州期中）在实数，3.14，0，，，，0.1616616661...（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 题型二 平方根、算术平方根、立方根的概念 1．（2024春•浏阳市期末）下列各数中，没有平方根的是（　　） A．2 B．（﹣2）2 C．﹣22 D．23 2．（2024•单县二模）的算术平方根是（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 3．（2023•鸡泽县期末）下列说法中，正确的是（　　） ①﹣64的立方根是﹣4； ②49的算术平方根是±7； ③的立方根是； ④的平方根是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024春•商南县期末）下列说法正确的是（　　） A．4是的算术平方根 B．平方根等于它本身的数是0和1 C．9的平方根是±3 D．﹣4的平方根是±2 题型三 平方根、算术平方根、立方根的计算 1．（2024秋•金东区期中）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•通川区校级期末）﹣27的立方根与9的平方根之和是（　　） A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6 3．求下列式子中的x的值： （1）18﹣2x2＝0； （2）（x+1）3+27＝0． （3）4（x﹣2）2＝49； （4）（x﹣1）3＝64． 4．（2024秋•伊川县期中）已知4a+1的算术平方根是3，b、c满足． （1）求a、b、c的值： （2）求（a+b+c）2的平方根． 5．（2024秋•碑林区校级期中）若x，y为实数，且满足，求的平方根． 题型四 实数的分类 1．（2024•龙沙区校级开学）下面7个数：，3.14，π﹣1，，，其中是有理数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（2023春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的集合中：，3.14，，﹣8，，0.6，0，，． 3．（2024秋•十堰期中）将下列各数填入相应的括号内： ﹣2.5，0，8，，﹣1.121121112⋯，，﹣0.． 正数集合：{ 　 　…}； 有理数集合：{ 　 　…}； 负数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 3．（2023秋•安岳县校级月考）把下列各数填入相应的集合里：1、3.1415、、、、、﹣0.、、0、（﹣2）3、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1） 有理数集合：{　 　…}； 无理数集合：{　 　…}； 正实数集合：{　 　…}； 分数集合：{　 　…}； 题型五 实数的相反数、倒数、绝对值 1．（2024秋•吉安期中）﹣64的立方根为　 　，的平方根为　 　，的倒数为　 　． 2．（2024秋•晋源区月考）实数的相反数是（　　） A． B． C． D． 3．（2023春•朝阳区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值是的数是 B．的相反数是± C．1的绝对值是1 D．的相反数是﹣2 4．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则1的平方根为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 题型六 实数与数轴 1．（2024秋•菏泽期中）若实数a、b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　） A．a+b＝0 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|b|＜|a| 2．（2023秋•城关区校级期末）如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是AC的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•光山县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 4．（2024秋•沙坪坝区校级月考）如图所示，数轴上A、B两点所表示的数是﹣2，0，BC与数轴垂直，且BC＝1，连结AC，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为 　 　． 5．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）请你求出数x的值． （2）若m为的相反数，n为（x﹣2）的绝对值，求m+n的整数部分的立方根． 题型七 实数的非负性的应用 1．（2024•安阳模拟）已知，那么（a+b）2024的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．32024 D．﹣32024 2．（2024秋•石鼓区校级月考）已知，则的平方根是（　　） A． B． C．±2 D．2 3．（2024秋•西安月考）已知x，y满足，求﹣10x﹣y的平方根． 3．（2024春•海淀区校级期中）已知：实数a，b满足|4﹣b|＝0． （1）求a和b的值； （2）求2a+10b的平方根． 5．（2024春•上思县月考）在Rt△ABC中，其中两边长为a，b，且a，b满足． （1）求a，b的值． （2）求Rt△ABC的斜边长． 题型八 实数的大小比较 1．（2024秋•雁塔区校级月考）下列四个数中，最大的实数是（　　） A．π B． C． D．0 2．（2023秋•榆中县期末）下列各式比较大小正确的是（　　） A． B．﹣π＜﹣3.14 C． D． 3．（2024秋•郑州期中）比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•市中区校级月考）比较大小：① 　　；②6.5 　 　3；③ 　 　（填“＞”，“＝”，“＜”号）． 5．设a，b，c，d＝4 （1）比较a与b两个数的大小； （2）求|a﹣b|+c的值． 题型九 实数的规律探究问题 1．（2024春•平城区月考）已知，，则（　　） A．14.35 B．143.5 C．45.39 D．453.9 2．（2024春•呼和浩特期末）已知，，则（　　） A．0.00607 B．0.0607 C．0.001921 D．0.01921 3．（2024春•庆云县期末）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： ••• ••• ••• 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ••• 根据以上规律，若，则（　　） A．37.9 B．379 C．12 D．120 4．（2024秋•管城区校级期中）根据表格解答下列问题： x 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 x2 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 （1）190.44的平方根是 　 ． （2）　 　， 　． （3）若13.513.6，求满足条件的整数n的值． 题型十 实数的新定义运算问题 1．（2024秋•兰州期中）现定义运算“※”：对于任意实数a、b，都有a※b＝a2﹣b2，如3※4＝32﹣42＝﹣7，若x※3＝16，则实数x的值为（　　） A．4或﹣4 B．7或﹣1 C．19或﹣13 D．±5 2．（2023春•梅河口市校级期中）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b（a+b＞0），如3*2．请计算： （1）8*7； （2）6*（5*4）． 3．对于实数a、b定义运算“#”a#b＝ab﹣a﹣1． （1）求（﹣2）#3的值； （2）通过计算比较3#（﹣2）与（﹣2）#3的大小关系； （3）若x#（﹣4）＝9，求x的值． 4．（2023春•涡阳县月考）对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a⊗b，如2⊗1，求： （1）3⊗2的值； （2）5⊗（4⊗2）的值． 5．对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为a*b＝ab﹣a﹣b． （1）计算：•； （2）填空：*（）　 　（）*（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 题型十一 实数的估算 1．（2024春•如皋市期末）与最接近的整数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2024春•金寨县期末）估计的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 3．（2023秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且mn，则（m﹣n）2023的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1 4．（2024春•秀山县期末）已知a﹣1的平方根是±6，b的立方根是﹣3，c是的整数部分． （1）直接写出a、b、c的值； （2）若x是的小数部分，求的算术平方根． 5．（2023秋•慈溪市期中）阅读下面的文字，解答问题，大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即，∴的整数部分是2，小数部分是． （1）请解答：（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 ． （2）如果的小数部分是的整数部分是b，求的值． （3）已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求x﹣y的值． 题型十二 实数的运算 1．（2024秋•和平区校级月考）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024春•彭阳县期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•凉州区期中）计算：（1）； （2）． 4．（2024春•凉州区期中）计算： （1）； （2）． 5．（2024秋•建邺区校级期中）计算： （1）； （2）． 题型十三 实数的实际应用 1．（2023秋•临汾期中）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为 　 　cm． 2．（2023秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（　　） A． B． C． D．2 3．（2023春•白水县期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生40J的热量，求电流的值是多少？ 4．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长． 5．小丽想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，她不知道是否裁得出来，正在发愁小明见了说：“别发愁，一定能用这块正方形纸片裁出需要的长方形纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 题型十四 二次根式的定义 1．（2023秋•叙州区期末）下列各式是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•晋江市期中）下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•东坡区校级期中）在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型十五 二次根式有意义的条件 1．（2023春•黔西南州期末）式子在实数范围内有意义的条件是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0 2．无论a取何值，下列各式中一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•新疆模拟）使式子有意义的实数x的取值范围是 　 　． 4．（2024秋•南岗区校级月考）有意义，则x的取值范围为 　 　． 题型十六 二次根式的性质 1．（2023春•绥滨县期末）把（m﹣1）中根号前的（m﹣1）移到根号内得（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•安居区期末）若x＜1，则化简|4﹣x|的正确结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x 3．（2024秋•九龙坡区校级期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 　 　． 4．设a，b，c分别为一三角形的三边长，试化简：|a﹣b﹣c|． 5．小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下： 题目：若代数式的值是1，求m的取值范围． 解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|， 当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）； 当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件； 当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）； 所以，m的取值范围是1≤m≤2． 请你根据小明的做法，解答下列问题： （1）当3≤m≤5时，化简：　 　； （2）若代数式的值是4，求m的取值范围． 题型十七 最简二次根式的识别 1．（2023秋•金山区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与的被开方数不同的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•长宁区校级期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 　 　． 4．（2023•郑州二模）若是最简二次根式，写出一个符合条件的x的值：　 　． 5．（2023秋•罗湖区校级期中）下列实数（1）；（2）2；（3）（4）；（5）中，最简二次根式的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十八 二次根式的运算 1．（2023秋•长安区期中）下列计算正确的是（　　） A．235 B．236 C．523 D．（） 2．（2023•市南区校级二模）计算的结果是（　　） A．9 B．25+4 C．6+4 D．12 3．（2023春•东莞市月考）计算：　 　． 4．（2024秋•介休市期中）计算下列各题： （1） （2） （3） （4） 5．（2024秋•高碑店市期中）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：　　． （2）计算：． （3）已知，求a2+b2的值． 题型十九 二次根式的化简求值 1．先化简，再求值：（）2•，其中a，b． 2．先化简，再求值：（）﹣（），其中x，y＝27． 3．（2023秋•普陀区期中）已知a，求的值． 4．已知：x＝2，y＝2，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）x2﹣xy+y2； （3）2x3+6x2y+2xy2． 5．在解决问题：“已知a，求3a2﹣6a﹣1的值”． ∵a1， ∴a﹣1 ∴（a﹣1）2＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴3a2﹣6a＝3， ∴3a2﹣6a﹣1＝2． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：； （2）若a，求2a2﹣12a﹣1的值． 题型二十 二次根式的实际应用问题 1．（2023春•潼南区期中）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为m、宽为m． （1）求该矩形土地的周长； （2）若种植造价每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用． （提示：结果保留整数，2.4） 2．如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm． （1）求长方体盒子的容积； （2）求这个长方体盒子的侧面积． 3．（2023春•汉滨区期中）三角形的周长为（52）cm，面积为（204）cm2，已知两边的长分别为cm和cm，求：（1）第三边的长； （2）第三边上的高． 4．（2023春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 5．如果一个三角形的三边的长分别为a，b，c，那么可以根据海伦﹣秦九韶公式S[其中p（a+b+c）]或其他方法求出这个三角形的面积．试求出三边长分别为，3，2的三角形的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册 第2章：实数章末重点题型复习 题型一 无理数的识别 1．（2023秋•西安期末）实数﹣3，0.1，，中，四个数中是无理数为（　　） A．﹣3 B．0.1 C． D． 【分析】根据无理数的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．﹣3是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．0.1是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是无理数，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义的内容是解此题的关键，注意：无理数是指无限不循环小数． 2．（2024秋•芗城区校级月考）下列各数中：，0，，，，，0.101001中，无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：，3是整数，属于有理数； 在实数，0，，，，，0.101001中，是无理数的有：，，，共3个． 故选：B． 【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数称为无理数是解题的关键． 3．（2024秋•贵州期中）在实数，3.14，0，，，，0.1616616661...（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【解答】解：3.14是有限小数，属于有理数； 0，，﹣3是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，，0.1616616661…（两个1之间依次多一个6）是无限不循环小数，它们是无理数，共3个； 故选：C． 【点评】本题考查算术平方根以及无理数的定义及判定方法：无理数就是无限不循环小数，初中范围内学习的无理数有：①π，2π等；②开方开不尽的数；③以及0.1010010001…，等有这样规律的数． 题型二 平方根、算术平方根、立方根的概念 1．（2024春•浏阳市期末）下列各数中，没有平方根的是（　　） A．2 B．（﹣2）2 C．﹣22 D．23 【分析】根据平方根的性质进行解题即可． 【解答】解：A、2＞0有平方根，不符合题意； B、（﹣2）2＝4＞0有平方根，不符合题意； C、﹣22＝﹣4＜0没有平方根，符合题意； D、23＝8＞0有平方根，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平方根，解题的关键是掌握负数没有平方根 2．（2024•单县二模）的算术平方根是（　　） A．4 B．2 C．±4 D．±2 【分析】利用算术平方根的意义解答即可． 【解答】解：∵4，4的算术平方根为2， ∴的算术平方根是2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． 3．（2023•鸡泽县期末）下列说法中，正确的是（　　） ①﹣64的立方根是﹣4； ②49的算术平方根是±7； ③的立方根是； ④的平方根是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据立方根、平方根和算术平方根的定义分别对每小题进行分析，即可得出答案． 【解答】解：①﹣64的立方根是﹣4，原说法正确； ②49的算术平方根是7，原说法错误； ③的立方根是，原说法正确； ④的平方根是±，原说法错误； 正确的个数有2个； 故选：B． 【点评】此题考查了立方根、平方根和算术平方根，熟练掌握立方根、平方根和算术平方根的定义是解题的关键． 4．（2024春•商南县期末）下列说法正确的是（　　） A．4是的算术平方根 B．平方根等于它本身的数是0和1 C．9的平方根是±3 D．﹣4的平方根是±2 【分析】根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法． 【解答】解：A、2是的算术平方根，选项错误，不符合题意； B、平方根等于它本身的数只有0，选项错误，不符合题意； C、9的平方根是±3，正确，符合题意； D、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根． 题型三 平方根、算术平方根、立方根的计算 1．（2024秋•金东区期中）下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法． 【解答】解：A、2，故本选项错误； B、3，故本选项错误； C、9，故本选项错误； D、13，故本选项正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，对各选项分别计算即可判断，是基础题，难度不大． 2．（2023秋•通川区校级期末）﹣27的立方根与9的平方根之和是（　　） A．0 B．6 C．﹣12或6 D．0或﹣6 【分析】依据平方根和立方根的定义求得这两个数，然后利用加法法则计算即可． 【解答】解：﹣27的立方根是﹣3，9的平方根是±3， ﹣3+3＝0，﹣3+（﹣3）＝﹣6． 故选：D． 【点评】本题考查了立方根和平方根的定义，掌握立方根和平方根的定义是关键． 3．求下列式子中的x的值： （1）18﹣2x2＝0； （2）（x+1）3+27＝0． （3）4（x﹣2）2＝49； （4）（x﹣1）3＝64． 【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案； （2）直接利用立方根的定义计算得出答案． （3）直接利用平方根的定义计算得出答案； （4）直接利用立方根的定义计算得出答案． 【解答】解： （1）18﹣2x2＝0， 则2x2＝18， 故x2＝9， 解得：x＝±3； （3）（x+1）3+27＝0， 则（x+1）3＝﹣27， x+1＝﹣3， 解得：x＝﹣4． （4）∵4（x﹣2）2＝49， ∴， ∴， ∴， ∴或． （2）∵（x﹣1）3＝64， ∴x﹣1＝4， ∴x＝5． 【点评】此题主要考查了实数运算以及平方根、立方根，正确化简各数是解题关键． 4．（2024秋•伊川县期中）已知4a+1的算术平方根是3，b、c满足． （1）求a、b、c的值： （2）求（a+b+c）2的平方根． 【分析】（1）根据题意可得4a+1＝32，b﹣5＝0，c+1＝0，再进行解题即可； （2）先将a，b，c的值代入，求出代数式的值，再求平方根即可． 【解答】解：（1）∵4a+1的算术平方根是3， ∴4a+1＝32＝9， ∴a＝2， ∵b、c满足， ∴b﹣5＝0，c+1＝0， ∴b＝5，c＝﹣1； （2）由（1）可知a＝2，b＝5，c＝﹣1， ∴（a+b+c）2＝（2+5﹣1）2＝36， ∴36的平方根是±6． 【点评】本题考查算术平方根的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 5．（2024秋•碑林区校级期中）若x，y为实数，且满足，求的平方根． 【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再代入进行计算，最后根据平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵， 又∵，|y3+1|≥0， ∴2x﹣1＝0，y3+1＝0， ∴x，y＝﹣1， ∴， ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【点评】本题考查了非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，正确求出x、y的值是解题的关键． 题型四 实数的分类 1．（2024•龙沙区校级开学）下面7个数：，3.14，π﹣1，，，其中是有理数的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据有理数的定义判断即可． 【解答】解：有理数有：3.1416，3.14，，共3个， 故选：D． 【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数、无理数的定义是解题的关键． 2．（2023春•灵宝市期中）把下列各数填在相应的集合中：，3.14，，﹣8，，0.6，0，，． 【分析】根据有理数的分类标准解决此题． 【解答】解： 【点评】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类标准是解决本题的关键． 3．（2024秋•十堰期中）将下列各数填入相应的括号内： ﹣2.5，0，8，，﹣1.121121112⋯，，﹣0.． 正数集合：{ 　 　…}； 有理数集合：{ 　 　…}； 负数集合：{ 　 　…}； 无理数集合：{ 　 　…}． 【分析】直接利用正数、有理数、负数、无理数的定义分别分析得出答案． 【解答】解：正数集合：{8，，，…}； 有理数集合：{﹣2.5，0，8，，﹣0.，…}； 负数集合：{﹣2.5，﹣1.121121112⋯，﹣0.，…}； 无理数集合：{，﹣1.121121112⋯，…}． 故答案为：8，，；﹣2.5，0，8，，﹣0.；﹣2.5，﹣1.121121112⋯，﹣0.；，﹣1.121121112⋯． 【点评】此题主要考查了实数的分类，正确掌握相关定义是解题关键． 3．（2023秋•安岳县校级月考）把下列各数填入相应的集合里：1、3.1415、、、、、﹣0.、、0、（﹣2）3、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1） 有理数集合：{　 　…}； 无理数集合：{　 　…}； 正实数集合：{　 　…}； 分数集合：{　 　…}； 【分析】根据实数的分类：实数分为有理数、无理数．或者实数分为正实数、0、负实数．进行填空． 【解答】解：有理数集合：{3.1415、、﹣0.、、0、（﹣2）3、…}； 无理数集合：{1、、、、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）…}； 正实数集合：{1、3.1415、、、、、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）…}； 分数集合：{3.1415、、﹣0.、…}． 故答案为：3.1415、、﹣0.、、0、（﹣2）3；1、、、、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）；1、3.1415、、、、、2.3030030003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）；3.1415、、﹣0.． 【点评】此题主要考查了有理数、无理数及实数的定义，用到的知识点为：有理数和无理数统称实数；整数和分数统称有理数；无限不循环小数叫做无理数，透彻理解定义是解题的关键． 题型五 实数的相反数、倒数、绝对值 1．（2024秋•吉安期中）﹣64的立方根为　 　，的平方根为　 　，的倒数为　 　． 【分析】直接利用立方根的定义、平方根的定义、倒数的定义分别得出答案即可． 【解答】解：的平方根为±2， ∵（﹣4）3＝﹣64， ∴﹣64的立方根为﹣4， ∵， ∴的倒数是， 故答案为：﹣4；±2；． 【点评】此题主要考查了立方根的定义、平方根的定义、倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键． 2．（2024秋•晋源区月考）实数的相反数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相反数的定义，即可求解． 【解答】解：实数的相反数是， 故选：B． 【点评】本题考查了实数的性质，相反数的定义，熟知定义即可求解． 3．（2023春•朝阳区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．绝对值是的数是 B．的相反数是± C．1的绝对值是1 D．的相反数是﹣2 【分析】利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义对每个选项作出判断即可得出结论． 【解答】解：∵绝对值是的数是或， ∴A选项的结论不正确； ∵的相反数是， ∴B选项的结论不正确； ∵1的绝对值是1， ∴C选项的结论正确； ∵2， ∴的相反数为2． ∴D选项的结论不正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了实数的性质，绝对值的意义，立方根，相反数的意义，正确利用绝对值的意义，立方根，相反数的意义进行解答是解题的关键． 4．已知，a、b互为倒数，c、d互为相反数，则1的平方根为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 【分析】直接利用倒数的定义以及相反数的定义分别分析得出答案． 【解答】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数， ∴ab＝1，c+d＝0， 则1 ＝﹣1+0+1 ＝0． 故选：C． 【点评】此题主要考查了实数的性质，正确化简各数是解题关键． 题型六 实数与数轴 1．（2024秋•菏泽期中）若实数a、b在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（　　） A．a+b＝0 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．|b|＜|a| 【分析】由图可判断a＝﹣2，b＝1，再逐项计算，即可解答． 【解答】解：根据数轴可知：a＝﹣2，b＝1， ∴a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2＜0，|b|＜|a|． 所以只有选项D成立． 故选：D． 【点评】此题考查了数轴的有关知识，有理数的加法与乘法运算，利用数形结合思想，可以解决此类问题．数轴上，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数． 2．（2023秋•城关区校级期末）如图，在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C，B是AC的中点，则点A表示的数（　　） A． B． C． D． 【分析】设点A表示的数是a，求出BC之间的距离，求出AB，即可得出关于a的方程，求出即可． 【解答】解：设点A表示的数是a， ∵在数轴上数表示2，的对应点分别是B、C， ∴B、C之间的距离是BC2， ∵B是AC的中点， ∴AB＝BC2， ∵B点表示的数是2，A点表示的数是a， ∴2﹣a2， 解得：a＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了数轴和实数的关系的应用，注意：在数轴上AB之间的距离是AB＝|xA﹣xB|． 3．（2024春•光山县期末）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以点A为圆心，以AB的长为半径画圆，所得圆和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A． B．3.2 C． D． 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AB＝AE， ∴， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为． 故选：A． 【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 4．（2024秋•沙坪坝区校级月考）如图所示，数轴上A、B两点所表示的数是﹣2，0，BC与数轴垂直，且BC＝1，连结AC，以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D，则点D所表示的数为 　 　． 【分析】先由勾股定理求出AC的长，再根据同圆的半径相等即可求解． 【解答】解：由勾股定理得：AC， ∵以A为圆心，AC为半径画弧，交数轴于点D， ∴AC＝AD， ∵点A表示的数是﹣2， ∴点D表示的数是2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是求出AC的长． 5．如图，数轴的正半轴上有A，B，C三点，点A，B表示数1和．点B到点A的距离与点C到点O的距离相等，设点C所表示的数为x． （1）请你求出数x的值． （2）若m为的相反数，n为（x﹣2）的绝对值，求m+n的整数部分的立方根． 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离求出AB之间的距离即为x的值； （2）根据题意及x的值求出m和n的值，再把m，n代入所求代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵点A，B表示的数分别是1和， ∴， ∴， ∴点C表示的数； （2）由（1）知， ∴，， ∴m＝﹣（﹣1）＝1，， ∴， ∵1＜2＜4， ∴， ∴， ∴的整数部分为2，其立方根为． 【点评】此题考查了估算无理数的大小，数轴上两点的距离，相反数和绝对值，正确估算12及2＜43是解题的关键． 题型七 实数的非负性的应用 1．（2024•安阳模拟）已知，那么（a+b）2024的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．32024 D．﹣32024 【分析】根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a+2＝0，b﹣1＝0， ∴a＝﹣2，b＝1， ∴（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1， 故选：A． 【点评】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是正确理解几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0． 2．（2024秋•石鼓区校级月考）已知，则的平方根是（　　） A． B． C．±2 D．2 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出a，b的值，再求的平方根即可． 【解答】解：由题可知，a﹣2＝0，b﹣8＝0， ∴a＝2，b＝8， ∴， ∴的平方根是， 故选：A． 【点评】本题考查算术平方根和绝对值的非负数的性质、平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 3．（2024秋•西安月考）已知x，y满足，求﹣10x﹣y的平方根． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴x+1＝0，y﹣3x﹣1＝0， ∴x＝﹣1，y＝﹣2， ∴﹣10x﹣y＝12， ∵12的平方根是±， ∴﹣10x﹣y的平方根为±． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 3．（2024春•海淀区校级期中）已知：实数a，b满足|4﹣b|＝0． （1）求a和b的值； （2）求2a+10b的平方根． 【分析】（1）根据非负数的性质求出a与b的值即可； （2）将a与b的值代入进行计算即可． 【解答】解：（1）由题可知， ， 解得， 则a＝﹣2，b＝4． （2）2a+10b＝﹣2×2+10×4＝36， 故2a+10b的平方根为±6． 【点评】本题考查非负数的性质、绝对值以及平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 5．（2024春•上思县月考）在Rt△ABC中，其中两边长为a，b，且a，b满足． （1）求a，b的值． （2）求Rt△ABC的斜边长． 【分析】（1）根据非负数的性质得到，则a﹣2b＝0，a﹣4＝0，解方程即可得到答案； （2）分边长为4的边为斜边和直角边两种情况结合勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）∵，， ∴， ∴a﹣2b＝0，a﹣4＝0， ∴a＝4，b＝2； （2）当边长为4的边为直角边，则斜边的长为，当边长为4的边为斜边时，斜边长即为4； 综上所述，Rt△ABC的斜边长为或4． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，熟练掌握非负数的性质是关键． 题型八 实数的大小比较 1．（2024秋•雁塔区校级月考）下列四个数中，最大的实数是（　　） A．π B． C． D．0 【分析】根据实数的大小比较法则，即可得到答案． 【解答】解：∵，， ∴最大的数是π． 故选：A． 【点评】本题主要考查了实数的大小比较，正实数大于零大于负实数． 2．（2023秋•榆中县期末）下列各式比较大小正确的是（　　） A． B．﹣π＜﹣3.14 C． D． 【分析】两个负数比较，绝对值大的反而小，由此比较每个选项即可作出判断． 【解答】解：A、∵，， 又∵， ∴， 故此选项不符合题意； B、∵|﹣π|＝π，|﹣3.14|＝3.14， 又∵π＞3.14， ∴﹣π＜﹣3.14， 故此选项符合题意； C、∵，|﹣3|＝3， 又∵， ∴3， 故此选项不符合题意； D、∵，， 又∵， ∴， 故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 3．（2024秋•郑州期中）比较下列各组数的大小，错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的意义进行比较，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、，故A不符合题意； B、∵2.236， ∴1≈1.236， ∴， ∴0.5， 故B符合题意； C、0.5，故C不符合题意； D、7，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了实数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．（2024秋•市中区校级月考）比较大小：① 　　；②6.5 　 　3；③ 　 　（填“＞”，“＝”，“＜”号）． 【分析】①直接根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可； ②两数平方，平方大的数大； ③利用作差法求解即可． 【解答】解：①∵，， 又∵， ∴， 故答案为：＜； ②∵6.52＝42.25，， 又∵42.25＜45， ∴， 故答案为：＜； ③， 由于，则， ∴， 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了二次根式比较大小，实数大小比较，熟练掌握比较大小的方法是解题的关键． 5．设a，b，c，d＝4 （1）比较a与b两个数的大小； （2）求|a﹣b|+c的值． 【分析】（1）先估算出的范围，再变形，即可得出答案； （2）先代入，再求出即可． 【解答】解：（1）∵3＜4， ∴， ∴， ∴， 即a＜b； （2）∵a，b，c，d＝4， ∴原式＝|| ＝﹣1． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，绝对值，实数的大小比较，算术平方根等知识点，能估算出的大小和正确去掉绝对值符号是解此题的关键． 题型九 实数的规律探究问题 1．（2024春•平城区月考）已知，，则（　　） A．14.35 B．143.5 C．45.39 D．453.9 【分析】由即可求解． 【解答】解：∵， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键． 2．（2024春•呼和浩特期末）已知，，则（　　） A．0.00607 B．0.0607 C．0.001921 D．0.01921 【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位，小数点的移动方向保持一致． 【解答】解：∵， ∴0.01921， 故选：D． 【点评】本题考查了算术平方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 3．（2024春•庆云县期末）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： ••• ••• ••• 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 ••• 根据以上规律，若，则（　　） A．37.9 B．379 C．12 D．120 【分析】根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，则． 【解答】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位． ∵1440＝14.4×100， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查算术平方根，能够读懂题意．理解图表是解题的关键． 4．（2024秋•管城区校级期中）根据表格解答下列问题： x 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 13.8 13.9 14 x2 169 171.61 174.24 176.89 179.56 182.25 184.96 187.69 190.44 193.21 196 （1）190.44的平方根是 　 ． （2）　 　， 　． （3）若13.513.6，求满足条件的整数n的值． 【分析】（1）从表格中的对应值，结合平方根的定义可得答案； （2）将转化为10，再根据表格中的对应值得出的值即可； （3）根据13.513.6，结合表格中对应值可得n的取值范围，再确定整数n即可． 【解答】解：（1）由表格中的数据的对应值可知， ∵（±13.8）2＝190.44， ∴190.44的平方根为±13.8， 故答案为：±13.8； （2）∵13.32＝176.89≈176.9， ∴13.3， ∵10＝137， 故答案为：13.3，137； （3）由表格中的对应值可知， 当13.513.6时，182.25＜n＜184.96， ∴整数n的值为183，184， 答：满足条件的整数n的值为183或184． 【点评】本题考查平方根、估算无理数的大小，理解平方根的定义是正确解答的关键． 题型十 实数的新定义运算问题 1．（2024秋•兰州期中）现定义运算“※”：对于任意实数a、b，都有a※b＝a2﹣b2，如3※4＝32﹣42＝﹣7，若x※3＝16，则实数x的值为（　　） A．4或﹣4 B．7或﹣1 C．19或﹣13 D．±5 【分析】根据新定义求解即可，正确理新定义是解题的关键． 【解答】解：由新定义可知，x※3＝x2﹣33＝16， ∴x2＝25， ∴x＝±5， 故选：D． 【点评】本题考查了新定义下的实数运算，熟练掌握运算法则是关键． 2．（2023春•梅河口市校级期中）对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b（a+b＞0），如3*2．请计算： （1）8*7； （2）6*（5*4）． 【分析】（1）根据定义的新运算a*b，进行计算即可解答； （2）根据定义的新运算，先算括号里，再算括号外，即可解答． 【解答】解：（1）8*7 ； （2）6*（5*4）＝6* ＝6*3 ＝1． 【点评】本题考查了实数的运算，理解并应用定义的新运算是解题的关键． 3．对于实数a、b定义运算“#”a#b＝ab﹣a﹣1． （1）求（﹣2）#3的值； （2）通过计算比较3#（﹣2）与（﹣2）#3的大小关系； （3）若x#（﹣4）＝9，求x的值． 【分析】（1）将a＝﹣2，b＝3代入公式计算可得； （2）依据公式计算出3#（﹣2）的值，比较大小即可得； （3）由原等式得出关于x的方程，解之可得答案． 【解答】解：（1）（﹣2）#3＝（﹣2）×3﹣（﹣2）﹣1 ＝﹣6+2﹣1 ＝﹣5； （2）3#（﹣2）＝3×（﹣2）﹣3﹣1 ＝﹣6﹣3﹣1 ＝﹣10， 而（﹣2）#3＝﹣5， ∴3#（﹣2）＜（﹣2）#3； （3）∵x#（﹣4）＝9， ∴﹣4x﹣x﹣1＝9， 解得：x＝﹣2． 【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握新定义及实数的混合运算顺序和运算法则，也考查解一元一次方程的能力． 4．（2023春•涡阳县月考）对于任意两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a⊗b，如2⊗1，求： （1）3⊗2的值； （2）5⊗（4⊗2）的值． 【分析】（1）根据题目给出的信息列式计算即可； （2）根据题目给出的信息列式计算即可． 【解答】解：（1）； （2）5⊗2． 【点评】本题主要考查了新定义运算，掌握题意，列出算式，准确计算是关键． 5．对于实数a，b，定义运算：“*”，运算规则为a*b＝ab﹣a﹣b． （1）计算：•； （2）填空：*（）　 　（）*（填“＞”“＝”或“＜”）； （3）我们知道：实数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（2）的计算结果，你认为这种运算“*”是否满足交换律？若满足，请说明理由． 【分析】（1）••即可计算 （2）根据题意的运算规则，即可进行判断 （3）对于实数ab＝ba，﹣a﹣b＝﹣b﹣a，则交换a，b位置有，b*a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b． 【解答】解： （1）••3×（﹣5）＝﹣15 （2）由运算规则得， *•2 *•2 故** 故答案为：＝ （3）满足 理由如下 ∵对于实数ab＝ba，﹣a﹣b＝﹣b﹣a ∴b*a＝ba﹣b﹣a＝ab﹣a﹣b＝a*b ∴这种运算“*”满足交换律 【点评】本题主要考查立方根，平方根的运算，新定义的运算，关键在于读懂新定义的运算规则及运算模式进行套用即可． 题型十一 实数的估算 1．（2024春•如皋市期末）与最接近的整数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据平方数，进行计算即可解答． 【解答】解：∵9＜15＜16， ∴34， ∵3.52＝12.25， ∴12.25＜15， ∴3.5， ∴与最接近的整数是4， 故选：C． 【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键． 2．（2024春•金寨县期末）估计的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而估算2的大小即可． 【解答】解：∵82＝64，92＝81，而64＜72＜81， ∴89， ∴62＜7， 故选：B． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 3．（2023秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且mn，则（m﹣n）2023的值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定m、n的值，再代入计算即可． 【解答】解：∵34，而mn，其中m，n为两个连续的整数， ∴m＝3，n＝4， ∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提． 4．（2024春•秀山县期末）已知a﹣1的平方根是±6，b的立方根是﹣3，c是的整数部分． （1）直接写出a、b、c的值； （2）若x是的小数部分，求的算术平方根． 【分析】（1）根据平方根、立方根的定义以及估算无理数的大小的方法即可求出a、b、c的值； （2）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而确定x的值，代入计算即可． 【解答】解：（1）∵a﹣1的平方根是±6， ∴a﹣1＝36， 解得a＝37， 又∵b的立方根是﹣3， ∴b＝﹣27， ∵c是的整数部分，而23， ∴c＝2， 答：a＝37，b＝﹣27，c＝2； （2）∵23， ∴的整数部分是2，小数部分是2，． ∴22＝4， ∴的算术平方根为2． 【点评】本题考查平方根、立方根以及估算无理数的大小，掌握平方根、立方根的定义以及估算无理数大小的方法是正确解答的关键． 5．（2023秋•慈溪市期中）阅读下面的文字，解答问题，大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，又例如：∵22＜7＜32，即，∴的整数部分是2，小数部分是． （1）请解答：（1）的整数部分是 　 　，小数部分是 　 ． （2）如果的小数部分是的整数部分是b，求的值． （3）已知：x是的整数部分，y是其小数部分，求x﹣y的值． 【分析】（1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可； （2）根据算术平方根的定义估算无理数、的大小，确定a、b的值，再代入计算即可； （3）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，进而得出5的大小，确定x、y的值，再代入计算即可； 【解答】解：（1）∵32＝9，42＝16，而9＜13＜16， ∴34， ∴的整数部分为3，小数部分为3， 故答案为：3，3； （2）∵23，56， ∴的整数部分为2，小数部分a2，的整数部分为b＝5， ∴2+53， 答：的值为3； （3）∵32＝9，42＝16，而9＜13＜16， ∴34， ∴8＜59， ∴5的整数部分x＝8，小数部分y＝583， ∴x﹣y＝83＝11． 【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提． 题型十二 实数的运算 1．（2024秋•和平区校级月考）下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据算术平方根的定义对A进行判断； 根据二次根式的加减法对B进行判断； 根据二次根式的性质对C、D进行判断． 【解答】解：A．原式＝0.8，所以A选项不符合题意； B． 3，所以B选项不符合题意； C．5，﹣|﹣5|＝﹣5，所以C选项不符合题意； D．原式＝3﹣7＝﹣4，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了实数的运算，立方根，掌握相应的运算法则是关键． 2．（2024春•彭阳县期末）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】各式计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝﹣1，符合题意； B、原式＝2，不符合题意； C、原式＝|﹣9|＝9，不符合题意； D、原式＝5，不符合题意， 故选：A． 【点评】此题考查了实数的运算，以及立方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2024春•凉州区期中）计算：（1）； （2）． 【分析】（1）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、有理数的乘方运算法则、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案； （2）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、二次根式的性质分别化简，进而计算得出答案． 【解答】解：（1）原式＝﹣16×（﹣1）+2﹣5 ＝16+2﹣5 ＝13； （2）原式＝2（2）+9﹣3 ＝1﹣29﹣3 ＝5． 【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键． 4．（2024春•凉州区期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据实数的混合运算法则计算即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． 5．（2024秋•建邺区校级期中）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）先根据负整数指数幂、立方根、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先根据立方根、绝对值、有理数的乘方法则计算，再合并即可． 【解答】解：（1） ； （2） ＝5． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 题型十三 实数的实际应用 1．（2023秋•临汾期中）将一块体积为64cm3的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为 　 　cm． 【分析】根据8个小正方体的体积之和等于大正方体的体积64cm3，列方程可求出答案． 【解答】解：设小正方体的棱长为xcm，由题意得， 8x3＝64， 解得x＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查立方根，利用体积公式得出8x3＝64是解决问题的关键． 2．（2023秋•运城期末）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是（　　） A． B． C． D．2 【分析】因为正方形的面积与长方形的面积相等，可知正方形的边长． 【解答】解：∵长方形的长为2，宽为1， ∴长方形的面积：2×1＝2， 设正方形的边长为a，则可得：a2＝2， ∴， ∵a是正方形的边长，即a＞0， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了长方形和正方形的面积，平方根的定义，掌握等积变形是解题的关键． 3．（2023春•白水县期末）电流通过导线时会产生热量，满足Q＝I2Rt，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s），若导线电阻为5Ω，2s时间导线产生40J的热量，求电流的值是多少？ 【分析】通过分析题目列出正确的方程式，结合实际情况求出正确的解． 【解答】解：由题意可得R＝5Ω，t＝2s，Q＝40J， ∴40＝I2×5×2， ∴I2＝4， ∴I＝±2（负值不符合实际情况，舍去） ∴电流的值是2A． 【点评】本题考查了二次方程的实际应用，解题关键在于能够分析题目列出方程式． 4．如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长． 【分析】设小长方形的宽为xcm，长为2xcm，根据题意列等式，解出即可． 【解答】解：设小长方形的宽为xcm，长为2xcm． 根据题意得2x•x＝162， 解得x＝±9， ∵x＞0， ∴x＝9， 2x＝18（cm）， 答：正方形纸板的边长18cm． 【点评】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根定义，根据题意列出等式是解题关键． 5．小丽想用一块面积为900cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为600cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，她不知道是否裁得出来，正在发愁小明见了说：“别发愁，一定能用这块正方形纸片裁出需要的长方形纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？ 【分析】设长方形纸片的长为4a，宽为3a，根据面积计算出长和宽，在求出原正方形的边长，比较大小即可得出结论． 【解答】解：∵30（cm）， ∴原正方形纸片的边长为30cm， 设长方形纸片的长为4a，宽为3a， 由题意知4a×3a＝600， 解得a＝5（舍负）， ∴长方形纸片的长为54＝20（cm），宽为515（cm）， ∵2030， ∴同意小明的说法，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 【点评】本题主要考查算术平方根的知识，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键． 题型十四 二次根式的定义 1．（2023秋•叙州区期末）下列各式是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．中被开方数2＞0，是二次根式，故本选项符合题意； B．中被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．中被开方数2﹣π＜0，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能数据二次根式的定义（当a≥0时，形如的式子叫二次根式）是解此题的关键． 2．（2024秋•晋江市期中）下列式子中，不属于二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据被开方数为非负数，再列不等式，逐一分析即可． 【解答】解：A、是二次根式，故本选项不符合题意； B、因a2+1＞0，则是二次根式，故本选项不符合题意； C、由于被开方数是负数，所以在实数范围内没有意义，不属于二次根式，故本选项符合题意； D、由于被开方数是正数，是二次根式，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的定义，解此类题目的关键是理解被开方数是非负数． 3．（2024秋•东坡区校级期中）在式子，，，，中，是二次根式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案． 【解答】解：，，是二次根式，共3个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的定义是解题关键． 题型十五 二次根式有意义的条件 1．（2023春•黔西南州期末）式子在实数范围内有意义的条件是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x＜0 D．x≤0 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：式子在实数范围内有意义的条件是：x﹣1＞0， 解得：x＞1． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 2．无论a取何值，下列各式中一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数判断即可． 【解答】解：A.不一定有意义，不合题意； B.不一定有意义，不合题意； C.不一定有意义，不合题意； D.的被开方数是正数，一定有意义，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 3．（2024•新疆模拟）使式子有意义的实数x的取值范围是 　 　． 【分析】根据二次根式有意义可得3﹣x≥0，且x≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：3﹣x≥0，且x≠0， 解得：x≤3，且x≠0， 故答案为：x≤3，且x≠0． 【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式分母不为零． 4．（2024秋•南岗区校级月考）有意义，则x的取值范围为 　 　． 【分析】根据分母不为零和二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x﹣5≥0且4﹣x≠0， 解得x≥5． 故答案为：x≥5． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握分母不为零和二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 题型十六 二次根式的性质 1．（2023春•绥滨县期末）把（m﹣1）中根号前的（m﹣1）移到根号内得（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：， ∴1﹣m＞0， ∴原式 ， 故选：D． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质． 2．（2023秋•安居区期末）若x＜1，则化简|4﹣x|的正确结果是（　　） A．2 B．﹣2 C．6 D．6﹣2x 【分析】由已知可得x﹣2＜﹣1＜0，4﹣x＞3＞0，原式可化为|x﹣2|+4﹣x，根据绝对值的定义进行计算即可得出答案． 【解答】解：∵x＜1， ∴x﹣2＜﹣1＜0，﹣x＞﹣1， ∴4﹣x＞﹣1+4， 即4﹣x＞3＞0， ∴|4﹣x| ＝|x﹣2|+4﹣x ＝﹣（x﹣2）+4﹣x ＝﹣x+2+4﹣x ＝6﹣2x． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练应用二次根式的性质与化简的计算方法进行求解是解决本题的关键． 3．（2024秋•九龙坡区校级期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 　 　． 【分析】由数轴得，﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|a|＞|b|，进一步得出a+b＜0，a+1＞0，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：由数轴得，﹣1＜a＜0，0＜b＜1，|a|＞|b|， ∴a+b＜0，a+1＞0， ∴ ＝|a+b|+|a+1| ＝﹣a﹣b+a+1 ＝1﹣b， 故答案为：1﹣b． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握数轴的性质以及二次根式的化简是解题的关键． 4．设a，b，c分别为一三角形的三边长，试化简：|a﹣b﹣c|． 【分析】先根据三角形的三边关系判断出a+b+c，a﹣b﹣c，b﹣a﹣c及c﹣b﹣a的符号，再把二次根式进行化简即可． 【解答】解：∵a，b，c分别为一三角形的三边长， ∴a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0， ∴原式＝a+b+c﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）+（c﹣b﹣a） ＝a+b+c﹣a+b+c﹣b+a+c+c﹣b﹣a ＝4c． 【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知三角形的三边关系是解答此题的关键． 5．小明在学习二次根式时，碰到这样一道题，他尝试着运用分类讨论的方法解题如下： 题目：若代数式的值是1，求m的取值范围． 解：原式＝|m﹣1|+|m﹣2|， 当m＜1时，原式＝（1﹣m）+（2﹣m）＝3﹣2m＝1，解得m＝1（舍去）； 当1≤m≤2时，原式＝（m﹣1）+（2﹣m）＝1，符合条件； 当m＞2时，原式＝（m﹣1）+（m﹣2）＝2m﹣3＝1，解得m＝2（舍去）； 所以，m的取值范围是1≤m≤2． 请你根据小明的做法，解答下列问题： （1）当3≤m≤5时，化简：　 　； （2）若代数式的值是4，求m的取值范围． 【分析】（1）先利用二次根式的性质得到原式＝|m﹣3|+|m﹣5|，再根据m的范围去绝对值，然后合并即可； （2）先利用二次根式的性质得到原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|，再讨论：m＜2或2≤m≤6或m＞6，然后分别去绝对值确定满足条件的m的范围． 【解答】解：∵3≤m≤5， ∴|m﹣3|+|m﹣5| ＝m﹣3﹣（m﹣5） ＝m﹣3﹣m+5 ＝2； 故答案为2； （2）原式＝|m﹣2|﹣|m﹣6|， 当m＜2时，原式＝（2﹣m）﹣（6﹣m）＝﹣4，不符合条件； 当2≤m≤6时，原式＝（m﹣2）﹣（6﹣m）＝2m﹣8＝4，解得m＝6，符合条件； 当m＞6时，原式＝（m﹣2）﹣（m﹣6）＝4，符合条件； 所以m的取值范围是m≥6． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质和分类讨论的思想是解决问题的关键． 题型十七 最简二次根式的识别 1．（2023秋•金山区期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义对各选项进行分析即可． 【解答】解：A、3，不符合题意； B、a，不符合题意； C、，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是最简二次根式，熟知最简二次根式的条件是解题的关键． 2．将下列二次根式化为最简二次根式后，被开方数与的被开方数不同的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【解答】解：A、原式，被开方数与的被开方数相同，故此选项不符合题意； B、原式＝3，被开方数与的被开方数相同，故此选项不符合题意； C、原式＝5，被开方数与的被开方数相同，故此选项不符合题意； D、原式＝2，被开方数与的被开方数不同，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义． 3．（2023秋•长宁区校级期中）二次根式中：、、、是最简二次根式的是 　 　． 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：，被开方数含分母，不是最简二次根式， 2，|x|，被开方数中含能开得尽方的因数或因式，不是最简二次根式， 是最简二次根式， 故答案为：． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 4．（2023•郑州二模）若是最简二次根式，写出一个符合条件的x的值：　 　． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到x的取值范围，写一个符合题意的x的值即可． 【解答】解：∵x﹣2≥0， ∴x≥2， 故答案为：4（答案不唯一）． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 5．（2023秋•罗湖区校级期中）下列实数（1）；（2）2；（3）（4）；（5）中，最简二次根式的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【解答】解：（1）是最简二次根式； （2）2是整数，不是二次根式； （3），因此不是最简二次根式； （4）是最简二次根式； （5）2，因此不是最简二次根式； 综上所述，最简二次根式有：，，共两个， 故选：C． 【点评】本题考查最简二次根式，分母有理化，掌握最简二次根式的定义是正确判断的前提． 题型十八 二次根式的运算 1．（2023秋•长安区期中）下列计算正确的是（　　） A．235 B．236 C．523 D．（） 【分析】先根据二次根式的加减法法法则，二次根式的除法法则和二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可． 【解答】解：A．2和3不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意； B．2（2×3）6，故本选项符合题意； C．5和﹣2不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意； D．（） ，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 2．（2023•市南区校级二模）计算的结果是（　　） A．9 B．25+4 C．6+4 D．12 【分析】先算二次根式的除法，再算加法即可． 【解答】解： 4 ＝25+4， 故选：B． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3．（2023春•东莞市月考）计算：　 　． 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可． 【解答】解：原式＝3+22﹣（9﹣2） ＝5+27 ＝22． 故答案为：22． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和乘法公式幂是解决问题的关键． 4．（2024秋•介休市期中）计算下列各题： （1） （2） （3） （4） 【分析】（1）分别运用二次根式化简，再进行加减运算，即可作答． （2）先运算乘除，再进行加减运算，即可作答． （3）分别运用完全平方公式以及平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． （4）先运用二次根式化简括号内，再运算除法，最后进行加减运算，即可作答． 【解答】解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ＝2． 【点评】本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．（2024秋•高碑店市期中）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 （1）仿照上面的解题过程，化简：　　． （2）计算：． （3）已知，求a2+b2的值． 【分析】（1）分子分母分别乘即可； （2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并，再利用平方差公式计算即可．； （3）由条件可得：，，可得：，再利用平方差公式计算即可． 【解答】解：（1）， （2）原式 ＝2025﹣1 ＝2024． （3）∵， ， ∴， ∴． 【点评】本题考查分母有理化．二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型十九 二次根式的化简求值 1．先化简，再求值：（）2•，其中a，b． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式 ， 当a，b时， 原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 2．先化简，再求值：（）﹣（），其中x，y＝27． 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可． 【解答】解：原式＝6xy4y6 ＝6346 ， 当x，y＝27时，原式3． 【点评】调标考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则是解题的关键． 3．（2023秋•普陀区期中）已知a，求的值． 【分析】直接将已知分母有理化，再结合分式的性质化简，进而代入得出答案． 【解答】解：∵a1， ∴ ＝a﹣1 1﹣1﹣（1） 1﹣11 ＝﹣3． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值以及分式的化简求值、分母有理化，正确掌握相关运算法则是解题关键． 4．已知：x＝2，y＝2，求下列各式的值： （1）x2﹣y2； （2）x2﹣xy+y2； （3）2x3+6x2y+2xy2． 【分析】（1）直接利用乘法公式计算得出答案； （2）直接将原式变形，再利用乘法公式计算得出答案； （3）直接将原式变形，再利用乘法公式计算得出答案． 【解答】解：（1）∵x＝2，y＝2， ∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y） ＝（22）（22） ＝4×2 ＝8； （2）x＝2，y＝2， ∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy ＝（22）2+（2）（2） ＝12+4﹣3 ＝13； （3）2x3+6x2y+2xy2 ＝2x（x2+3xy+y2） ＝2x[（x+y）2+xy]， ＝2×（2）[（22）2+（2）（2）] ＝2×（2）×（42+4﹣3） ＝2×（2）×17 ＝68+34． 【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键． 5．在解决问题：“已知a，求3a2﹣6a﹣1的值”． ∵a1， ∴a﹣1 ∴（a﹣1）2＝2， ∴a2﹣2a＝1， ∴3a2﹣6a＝3， ∴3a2﹣6a﹣1＝2． 请你根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：； （2）若a，求2a2﹣12a﹣1的值． 【分析】（1）根据平方差公式计算； （2）利用分母有理化把a化简，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【解答】解：（1）4﹣2； （2）a3﹣2， 则2a2﹣12a﹣1 ＝2（a2﹣6a+9﹣9）﹣1 ＝2（a﹣3）2﹣19 ＝2（3﹣23）2﹣19 ＝﹣3． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化、完全平方公式、平方差公式是解题的关键． 题型二十 二次根式的实际应用问题 1．（2023春•潼南区期中）在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为m、宽为m． （1）求该矩形土地的周长； （2）若种植造价每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用． （提示：结果保留整数，2.4） 【分析】（1）根据矩形周长公式进行计算，并化简即可； （2）根据矩形面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可． 【解答】解：（1）2（）＝2（85）＝1610（m）． 即该矩形土地的周长为（1610）m； （2）854096（m2）， 160×96＝15360（元）． 故在该矩形土地上全部种植草坪的总费用约为15360元． 【点评】本题考查了二次根式的应用，矩形的周长与面积公式，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 2．如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm． （1）求长方体盒子的容积； （2）求这个长方体盒子的侧面积． 【分析】（1）结合题意可知该长方体盒子的长为，宽为，高为cm，而长方体的容积为长×宽×高，即可得答案； （2）该长方体盒子的侧面为长方形，长为，宽为cm，共4个面，即可得答案． 【解答】解：（1）由题意可知：长方体盒子的容积为： （cm3）， 答：长方体盒子的容积为48． （2）长方体盒子的侧面积为： ＝48（cm2）， 答：这个长方体盒子的侧面积为48cm2． 【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解． 3．（2023春•汉滨区期中）三角形的周长为（52）cm，面积为（204）cm2，已知两边的长分别为cm和cm，求：（1）第三边的长； （2）第三边上的高． 【分析】（1）根据第三边等于周长减去另两边之和，即可求出第三边的长； （2）根据三角形的高等于三角形的面积的2倍除以底边即可求出第三边上的高． 【解答】解：（1）∵三角形周长为 cm，两边长分别为 cm 和 cm， ∴第三边的长是：cm； （2）∵面积为（204）cm2， ∴第三边上的高为（）cm． 【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 4．（2023春•云南期末）某居民小区有块形状为矩形ABCD的绿地，长BC为米，宽AB为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米． （1）求矩形ABCD的周长．（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【分析】（1）根据矩形的周长＝（长+宽）×2计算即可； （2）先求出通道的面积，再算钱数即可． 【解答】解：（1）（）×2 ＝（85）×2 ＝132 ＝26（米）， 答：矩形ABCD的周长为26米； （2）2×（1）×（1） ＝852×（13﹣1） ＝80﹣24 ＝56（平方米）， 6×56＝336（元）， 答：购买地砖需要花费336元． 【点评】本题考查了二次根式的应用，最简二次根式，掌握•（a≥0，b≥0）是解题的关键． 5．如果一个三角形的三边的长分别为a，b，c，那么可以根据海伦﹣秦九韶公式S[其中p（a+b+c）]或其他方法求出这个三角形的面积．试求出三边长分别为，3，2的三角形的面积． 【分析】将a代入公式可求得三角形的面积． 【解答】解：令a， ∴， ∴S2＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c） ＝9， ∵S＞0， ∴S＝3， 故三边长分别为，3，2的三角形的面积为3． 【点评】本题考查了二次根式的运算，关键是根据题意列式求解． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$