八年级数学第一次月考卷（北师大版，测试范围：第一～二章）-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章~第二章（北师大版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在，，，，，，中，无理数的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（    ） 甲：16的平方根是        乙：的平方等于5 丙：的平方根是       丁：4的算术平方根是2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简﹣|2a+b|的结果为（　　） A．2a+b B．﹣2a+b C．a+b D．2a﹣b 6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 7．估算的值应在（    ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 8．如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．则的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 10．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．比较大小： （选填“＞”“＜”或“＝”） 12．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是 ． 13．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 14．如图，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了4米到，底端滑动到，那么的长是 m． 15．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ． 16．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 19．如图，点在中，，，， (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 20．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与－1重合，那么点D在数轴上表示的数为______． 21．如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点，，． (1)求的长； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？ 22．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． (1)求∠ACB的度数； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 23．阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝        （1） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ＝  （2） ①请参照（1）（2）的方法用两种方法化简： 方法一： ＝ 方法二： ＝ ②直接写出化简结果： ＝ ＝ ③计算： + +   +…+ + 24．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（）如图1放置，，点E在边AC上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理 （1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理 （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米． （3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离． （4）借助上面的思考过程，当时，求代数式的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$数学 第 1页（共 6页） 数学 第 2页（共 6页） 数学 第 3页（共 6页） 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10[A] [B] [C] [D] 二、填空题（本题共 6小题，每小题 3分，共 18分．） 11．____________________ 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 15．____________________ 16．____________________ 三、解答题（本题共 8小题，共 72分．第 17-18题每题 6分，第 19-20 题每题 8 分，第 21-22 题每题 10分，第 23-24 题每题 12分，解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ) ( ) 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考 答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二 、 填空题 （ 本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． ） 1 1 ． ____________________ 1 2 ． ____________________ 1 3 ． ____________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． ____________________ 1 6 ． ____________________ 三 、解答题 （ 本题共 8 小题，共 72 分．第1 7 - 18 题 每题6 分， 第 19 -2 0 题每题8 分 ，第 21 -2 2 题每题 10分 ，第 23 -2 4 题每题 12分 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 7 ．（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 8 ．（6分） 1 9 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） 21 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 22 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 24 ．（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 11 ) 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 单项 选择题 （ 本题共 1 0 小题，每小题 3 分，共 3 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题 （ 本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分． ） 1 1 . ________________ 1 4 . ________________ 1 2 . ________________ 1 5 . ________________ 1 3 . ________________ 1 6 . ________________ 三 、解答题 （ 本题共 8 小题，共 72 分．第1 7 - 18 题 每题6 分， 第 19 -2 0 题每题8 分 ，第 21 -2 2 题每题 10分 ，第 23 -2 4 题每题 12分 ，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） 1 7 ．（6分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（6分） 19 ．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） 2 1 ． （ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（1 2 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 4 ．（1 2 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b 24 ．（1 0 分） b ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A C C B A B A B 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．＜ 12． 13． 14．8 15． 16． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18． 【详解】（1）解：∵是49的算术平方根， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：． （2）解：，， ， ∴的立方根是． 19． 【详解】（1）解：∵，，， ， （2）∵，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为． 20． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； （2）∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的边长为：， ∴； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：， 故答案为：． 21． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 答：OA的长为20cm； （2）过点B作交AO的延长线于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴显示屏顶部比原来升高了． 22． 【详解】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）解：海港C受台风影响，理由： 过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴×300×400＝×500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响， ∴海港C受台风影响； （3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 由（2）得：CD⊥AB，CD=240km， ∴EF=2ED， ∵ED＝＝100（km）， ∴EF＝200km， ∵台风的速度为28千米/小时， ∴200÷28＝（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 23． 【详解】①方法一：＝＝   方法二：＝ ②＝＝ ＝＝ 故答案为； ③ + +   +…+ + 24． 【详解】（1），，， 他们满足的关系式为：，化简得 证毕； （2）如图2①，连接CD，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米， ∴（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41千米． （3）如图2②所示： 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米． 故答案为千米； （4） 先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作于E，即：DF就是代数式最小值． 代数式的几何意义是线段AB上一点到D，C的距离之和，而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小值， 令， 则原式 最小值为 故答案为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考 答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单项选择题（本题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3分，共 18分．） 11.________________ 14. ________________ 12. ________________ 15. ________________ 13. ________________ 16. ________________ 三、解答题（本题共 8 小题，共 72分．第 17-18 题每题 6 分，第 19-20 题每题 8 分，第 21-22 题每题 10分，第 23-24题每题 12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 学科网（北京）股份有限公司 18．（6分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 23．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 细目表分析 题号 难度系数 详细知识点 一、单选题 1 0.85 求一个数的算术平方根；求一个数的平方根 2 0.85 求一个数的算术平方根；无理数 3 0.65 判断三边能否构成直角三角形 4 0.65 求一个数的算术平方根；求一个数的平方根 5 0.94 根据点在数轴的位置判断式子的正负；化简绝对值；利用二次根式的性质化简 6 0.85 等腰三角形的性质和判定；勾股定理与网格问题；在网格中判断直角三角形 7 0.85 无理数的大小估算；二次根式的混合运算 8 0.85 作线段(尺规作图)；用勾股定理解三角形 9 0.65 求最短路径(勾股定理的应用) 10 0.85 图形类规律探索；用勾股定理解三角形；以弦图为背景的计算题 二、填空题 11 0.65 实数的大小比较 12 0.85 求一个数的算术平方根；程序设计与实数运算 13 0.65 无理数整数部分的有关计算；二次根式的混合运算 14 0.85 求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 15 0.94 勾股定理与网格问题 16 0.65 用勾股定理解三角形 三、解答题 17 0.65 求一个数的算术平方根；求一个数的立方根；零指数幂；二次根式的混合运算 18 0.65 求一个数的算术平方根；求一个数的立方根；已知一个数的立方根，求这个数 19 0.85 用勾股定理解三角形；利用勾股定理的逆定理求解 20 0.65 立方根的实际应用；实数与数轴；用勾股定理解三角形 21 0.65 含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形 22 0.85 根据三线合一求解；判断是否受台风影响(勾股定理的应用)；勾股定理逆定理的实际应用 23 0.15 与实数运算相关的规律题；分母有理化；归纳与类比 24 0.15 线段垂直平分线的实际应用；勾股定理的证明方法 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章~第二章（北师大版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在，，，，，，中，无理数的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（    ） 甲：16的平方根是        乙：的平方等于5 丙：的平方根是       丁：4的算术平方根是2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简﹣|2a+b|的结果为（　　） A．2a+b B．﹣2a+b C．a+b D．2a﹣b 6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 7．估算的值应在（    ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 8．如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．则的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 10．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 第II卷 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．比较大小： （选填“＞”“＜”或“＝”） 12．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是 ． 13．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 14．如图，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了4米到，底端滑动到，那么的长是 m． 15．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ． 16．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分．第17-18题每题6分，第19-20题每题8分，第21-22题每题10分，第23-24题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 19．如图，点在中，，，， (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 20．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8． (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与－1重合，那么点D在数轴上表示的数为______． 21．如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点，，． (1)求的长； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？ 22．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． (1)求∠ACB的度数； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 23．阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝        （1） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ＝  （2） ①请参照（1）（2）的方法用两种方法化简： 方法一： ＝ 方法二： ＝ ②直接写出化简结果： ＝ ＝ ③计算： + +   +…+ + 24．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（）如图1放置，，点E在边AC上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理 （1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理 （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米． （3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离． （4）借助上面的思考过程，当时，求代数式的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第一章~第二章（北师大版）。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据算术平方根及平方根的性质依次化简即可做出判断． 【详解】解：．，故本选项运算错误； ．，故本选项运算错误； ．，故本选项运算正确； ．，故本选项运算错误． 故选：． 【点睛】此题考查了算术平方根及平方根的运算，熟练运用算术平方根及平方根的性质化简是解题的关键． 2．在，，，，，，中，无理数的个数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项． 【详解】，有限小数，是有理数，不是无理数； ，分数，是有理数，不是无理数； ，无限循环小数，是有理数，不是无理数； ， ，， 是无理数，共4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了无理数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 3．下列各组长度的线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可． 【详解】解：A、，则能组成直角三角形，故A正确； B、，则不能组成直角三角形，故B错误； C、，则不能组成直角三角形，故C错误； D、，则不能组成直角三角形，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形． 4．以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（    ） 甲：16的平方根是        乙：的平方等于5 丙：的平方根是       丁：4的算术平方根是2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的性质依次判断即可． 本题主要考查了平方根和算术平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根；负数没有平方根；0的平方根是0．熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：16的平方根是，故甲的描述正确； 乙：的平方等于5，故乙的描述正确； 丙：没有平方根，故丙的描述错误； 丁：4的算术平方根是2，故丁的描述正确． 故选：C． 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简﹣|2a+b|的结果为（　　） A．2a+b B．﹣2a+b C．a+b D．2a﹣b 【答案】C 【分析】首先根据实数a，b在数轴上的位置，可得a＜0＜b；再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简即可． 【详解】解：根据图示，可得a＜0＜b， ∴-|2a+b|=（-a）-（-2a-b）=-a+2a+b=a+b． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴、二次根式的化简和性质、绝对值，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性． 6．如图，每个小正方形的边长都是1，，，分别在格点上，则的度数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据勾股定理逆定理可得是以、为腰的等腰直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图，连， 则，， ， 即， 为等腰直角三角形，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和等腰直角三角形的判定和性质． 7．估算的值应在（    ） A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和估算无理数的大小，先根据二次根式的乘法法则进行计算，再估算出的范围，再求出的范围，最后求出答案即可． 【详解】 估算的值应在到之间 故选：A． 8．如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E．则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段的尺规作图，先利用勾股定理得到，再由作图方法推出，据此可得答案． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 由作图方法可知， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（ ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ，，， ，， ； 如图2， ，，， ，， ， ， 它需要爬行的最短路程为10． 故选：A． 10．如图1，，，，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（    ） A．200 B．175 C．150 D．125 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据题意分别计算出图1、图2和图3中正方形的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 图1中所有正方形面积和为：， 图2中所有正方形面积和，， 图3中所有正方形面积和， ⋯ ∴第n个图形中所有正方形的面积和为， ∴图6中所有正方形的面积和为：，故B正确． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题 11．比较大小： （选填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜ 【分析】两式作差，通分后比较分子与0的关系即得答案． 【详解】解：∵－＝ ， ∴＜． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了实数的大小比较，属于常考题型，掌握作差法解答的方法是关键． 12．有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值是 ．    【答案】 【分析】先看懂数值转换器，若输入一个数，求出的这个数的算术平方根，若结果是有理数，再重新输入，若结果是无理数就输出．据此作答即可． 【详解】解：∵16的算术平方根是4，4是有理数， 又∵4的算术平方根是2，2是有理数， ∴还需求2的算术平方根是， ∵是无理数， ∴y的值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键值注意读懂数值转换器． 13．设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算，由于，所以可求出a，进而求出b，代入计算即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为，小数部分为， ∴， 故答案为：． 14．如图，梯子靠在墙上，梯子的顶端到墙根的距离为，梯子的底端到墙根的距离为，一不小心梯子顶端下滑了4米到，底端滑动到，那么的长是 m． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题时注意勾股定理应用的环境是在直角三角形中．由题意可知，，先利用勾股定理求出，梯子移动过程中长短不变，所以，又由题意可知，进而得出答案． 【详解】解：在直角三角形中，因为，， 由勾股定理得：， 由题意可知， 又， 根据勾股定理得：， 故． 故答案为：8． 15．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，则AB边上的高为 ． 【答案】 【分析】如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得． 【详解】设AB边上的高为h 如图，由网格的特点得： 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键． 16．定义：我们把三角形某边上中线的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中高偏度值”．如图，在中，，，，则中边的“中高偏度值”为 ．    【答案】 【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离,再求它们的比值即可． 【详解】解 ： 作于点D，为的中线， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵为斜边上的中线，， ∴， ∴， 即点到的距离为， ∴中边的“中偏度值”为：， 故答案为：．    【点睛】本题考察了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6； (2)． 【分析】（1）根据零指数幂，平方根，立方根，即可求解， （2）根据二次根式混合运算，即可求解， 本题考查了，零指数幂，立方根，二次根式的混合运算，解题的关键是：熟练掌握相关预算法则． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．已知是49的算术平方根，的立方根是． (1)求x，y的值； (2)求的立方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，即可解答； （2）将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：∵是49的算术平方根， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：． （2）解：，， ， ∴的立方根是． 19．如图，点在中，，，，    (1)求的长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积； （1）根据勾股定理和，，，可以求出的长； （2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：∵，，， ， （2）∵，， ， 是直角三角形，， ． 故图中阴影部分的面积为． 20．如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．    (1)求出这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点A与－1重合，那么点D在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)2 (2)；2 (3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）用点表示的数减去边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得：； （2）∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的边长为：， ∴； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数与数轴、立方根、勾股定理的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 21．如图1，居家网课学习时，小华先将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏与底板所在水平线的夹角，侧面示意图如图2；如图3，使用时为了散热，他在底板下垫入散热架后，电脑转到位置，侧面示意图如图4．已知，于点，，． (1)求的长； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？ 【答案】(1)OA的长为20cm (2)显示屏顶部比原来升高了 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质得到，再根据勾股定理即可得到结论； （2）过点B作交AO的延长线于D，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 答：OA的长为20cm； （2）过点B作交AO的延长线于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴显示屏顶部比原来升高了． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确的画出图形是解决本题的关键． 22．今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． (1)求∠ACB的度数； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)∠ACB＝90° (2)海港C受台风影响，理由见解析 (3)台风影响该海港持续的时间为小时 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可求解； （2）过点C作CD⊥AB， 根据直角三角形的面积可得AC×BC＝CD×AB，从而得到CD＝240km，即可求解； （3）设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 根据等腰三角形的性质可得EF=2ED=200km，即可求解． 【详解】（1）解：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）解：海港C受台风影响，理由： 过点C作CD⊥AB， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC＝CD×AB， ∴×300×400＝×500×CD， ∴CD＝240（km）， ∵距离台风中心260km及以内的地区会受到影响， ∴海港C受台风影响； （3）解：设台风中心的移动到点E处开始影响该海港，移动到点F处开始该海港开始不受影响，则EC＝FC＝260km， 由（2）得：CD⊥AB，CD=240km， ∴EF=2ED， ∵ED＝＝100（km）， ∴EF＝200km， ∵台风的速度为28千米/小时， ∴200÷28＝（小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 23．阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ＝＝        （1） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： ＝  （2） ①请参照（1）（2）的方法用两种方法化简： 方法一： ＝ 方法二： ＝ ②直接写出化简结果： ＝ ＝ ③计算： + +   +…+ + 【答案】①方法一：＝＝   方法二：＝ ②；；③ 【分析】①根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可； ②根据材料运用的两种方法进行分母有理化即可； ③先分母有理化，再根据式子的规律即可求解. 【详解】①方法一：＝＝   方法二：＝ ②＝＝ ＝＝ 故答案为； ③ + +   +…+ + 【点睛】本题主要考查二次根式的分母有理化，分析材料，运用材料的方法是解题关键. 24．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．证法如下： 把两个全等的直角三角形（）如图1放置，，点E在边AC上，现设两直角边长分别为、，斜边长为，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理 （1）请根据上述图形的面积关系证明勾股定理 （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 千米． （3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离． （4）借助上面的思考过程，当时，求代数式的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）41千米；（3）见解析，千米；（4）最小值为 【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出； （2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=25-16=9千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离． （3）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，分别在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC=PD建立方程，解方程即可． （4）根据轴对称-最短路线的求法作图，然后根据勾股定理即可求出． 【详解】（1），，， 他们满足的关系式为：，化简得 证毕； （2）如图2①，连接CD，作于点E， ∵，， ∴，， ∴千米， ∴（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41千米． （3）如图2②所示： 设千米，则千米， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即千米． 故答案为千米； （4） 先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作于E，即：DF就是代数式最小值． 代数式的几何意义是线段AB上一点到D，C的距离之和，而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小值， 令， 则原式 最小值为 故答案为． 【点睛】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$