第4章：一次函数章末重点题型复习-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册 第4章：一次函数章末重点题型复习 题型一 函数的相关概念 1．（2024春•邯山区校级期末）下列四个图象中，哪个不是y关于x的函数（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定正确选项． 【解答】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故是y关于x的函数； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故是y关于x的函数； C、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故是y关于x的函数； D、不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故不是y关于x的函数， 故选：D． 【点评】主要考查了函数的定义义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 2．（2024秋•大观区校级期中）下列图象中，表示y是x的函数的有（　　） A．①②③④ B．①④ C．①②③ D．②③ 【分析】根据函数的概念结合图象判断即可． 【解答】解：图象①④，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数； 图象②③，对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数； 故选：B． 【点评】本题考查了函数的概念，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，熟练掌握其定义是解题的关键． 3．（2024秋•五河县期中）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≤﹣2 【分析】根据分式有意义的条件是分母不为零列出不等式，解不等式即可得出答案． 【解答】解：由题意得：4﹣2x≠0， 解得：x≠2， 故选：A． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，熟记分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 4．（2023秋•茌平区校级期末）函数y中，自变量x的取值范围是　 　． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【解答】解：由题意，得 3﹣5x＞0， 解得x， 故答案为：x． 【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 5．（2024秋•临川区校级期中）函数的自变量x的取值范围是 　 　． 【分析】根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列不等式求解即可． 【解答】解：由题意得，3x﹣6≥0，且x﹣4≠0， 解得：x≥2且x≠4． 故答案为：x≥2且x≠4． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，解题的关键是一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 题型二 实际问题中的函数图象 1．（2024•滨州模拟）苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】苹果在下落的过程中，速度由0开始，随时间的增大速度越来越大． 【解答】解：苹果在下落的过程中，速度由0开始，随时间的增大速度越来越大． 故选：C． 【点评】本题考查函数的图象，正确理解速度与时间的关系，并且在读函数图象时首先要理解坐标轴表示的意义． 2．（2024•北京模拟）小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据小明的行走路线，判断小明离家的距离，由此再得出对应的函数图象即可． 【解答】解：根据函数图象可知，小明距离家先逐渐远去，有一段时间离家距离不变说明他走的是一段弧线，之后逐渐离家越来越近直至回家，分析四个选项只有C符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息． 3．（2024•东莞市校级模拟）如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与时间注水时间t（s）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意判断出大烧杯的液面高度h（cm）随时间t（s）的变化情况即可． 【解答】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度h（cm）为零，即h不会随时间t的增加而增大，故选项A、B、C不合题意； 当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度h（cm）随时间t的增加而增大，当小烧杯注满水后大烧杯的液面高度升高速度应该是由快到慢，故选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小． 4．（2023•盐田区二模）佳佳和爸爸一起从家出发，匀速行走25min后抵达离家1000m的报亭，佳佳随即按原速返回，爸爸看了10min报后返回，恰好与佳佳同时到家．则表示爸爸离家后距离与时间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数图象的横坐标，可得时间，根据函数图象的纵坐标，可得离家的距离． 【解答】解：匀速行走25分钟到报亭离家的距离随时间的增加而增加；看报10分钟，离家的距离不变；35分钟回家离家的距离岁时间的增加而减少，故B符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了函数图象，根据横轴和纵轴表示的量，得出时间与离家距离的关系是解题关键． 题型三 从函数图象中获取信息解决问题 1．（2023秋•砚山县期末）某天早晨，小明骑车上学途中，自行车出故障，恰好路边有维修站，几分钟后车修好了，他加快速度骑车到学校．如图，描绘了小明所行路程s（千米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系．下列说法不正确的是（　　） A．小明家到学校的距离是8千米 B．小明修车用了5分钟 C．小明骑车的总时间是25分钟 D．小明修车前后骑车的速度相同 【分析】根据函数图象，结合“速度＝路程÷时间”逐一判断即可． 【解答】解：由图象可知， 小明家到学校的距离是8千米，故选项A说法正确，不符合题意； 小明修车用了：15﹣10＝5（分钟），故选项B正确，不符合题意； 小明骑车的总时间是：30﹣5＝25（分钟），故选项C确，不符合题意； 小明修车前的速度为（千米/分钟），小明修车后的速度为（千米/分钟）， 所以小明修车前后骑车的速度不相同，选项D说法错误，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了函数图象，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，解题的关键是准确识图，从图象获取必须的信息． 2．（2024秋•兴平市期中）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图所示的曲线表示一只风筝在5min内离地面的飞行高度h（m）随飞行时间t（min）的变化情况，则下列说法不正确的是（　　） A．风筝最初的高度为30m B．1min，5min时风筝的高度相同 C．3min时风筝达到最高高度为60m． D．3min到5min之间，风筝飞行高度h（m）持续下降 【分析】根据函数图象逐项判断即可得． 【解答】解：根据函数图象逐项判断如下： A、风筝最初的高度为30m，正确，不符合题意； B、1min时高度和5min时高度相同，均为45m，正确，不符合题意； C、3min时风筝达到最高高度为60m，正确，不符合题意； D、3min到5min之间，风筝飞行高度h（m）先下降后上升，错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了函数图象，正确记忆函数相关函数的知识点是解题关键． 3．（2023秋•蜀山区期末）A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h； ②乙出发4h后追上甲； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【分析】根据图象可得甲车行驶的速度是60÷1＝60km/h，再由甲先出发1h，乙出发3h后追上甲，可得到乙车行驶的速度是80km/h，故①正确；故②错误；根据图象可得当乙到达B地时，甲乙相距100km，从而得到甲比乙晚到，故③正确；然后分两种情况：当乙车在甲车前，且未到达B地时和当乙车到达B地后时，可得④正确． 【解答】解：①由图可得，甲车行驶的速度是60÷1＝60km/h， ∵甲先出发1h，乙出发3h后追上甲， ∴3（v乙﹣60）＝60， ∴v乙＝80km/h， 即乙车行驶的速度是80km/h，故①正确； ②∵当t＝1时，乙出发，当t＝4时，乙追上甲， ∴乙出发3h后追上甲，故②错误； ③由图可得，当乙到达B地时，甲乙相距100km， ∴甲比乙晚到，故③正确； ④由图可得，当乙车在甲车前，且未到达B地时，则60t+80＝80（t﹣1）， 解得t＝8； 当乙车到达B地后时，60t+80＝640， 解得， ∴甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km，故④正确； 综上所述，①③④正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数的图象，准确获取图象信息是关键． 4．（2023秋•大观区校级期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是　 米． （2）小明在书店停留了　 　分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了　 米，一共用了　 　分钟． （4）在整个上学的途中在　 　（时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是多少米分？ 【分析】（1）根据小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，小明家到学校的路程； （2）观察图象即可得小明在书店停留的时间； （3）观察小明本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图可得，本次上学途中，小明一共行驶的路程，从离家至到达学校一共用的时间； （4）在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，根据路程除以时间即可求出最快的速度． 【解答】解：（1）小明家到学校的路程是1500米； 故答案为：1500． （2）小明在书店停留了12﹣8＝4（分钟）； 故答案为：4． （3）本次上学途中，小明一共行驶了1200+600+（1500﹣600）＝2700（米），一共用了14分钟； 故答案为：2700；14． （4）在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：（米/分）； ∴在整个上学的途中12分钟至14分钟小明骑车速度最快，最快的速度为：450米/分． 故答案为：12分钟至14分钟． 【点评】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是数形结合思想的熟练运用． 题型四 正比例函数的定义 1．（2024春•凤山县期末）下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（　　） A．y＝﹣0.1x B．y C．y＝2x2 D．y2＝4x 【分析】根据正比例函数的定义（形如y＝kx，其中k≠0，k为常数）解决此题． 【解答】解：A．根据正比例函数的定义，y＝﹣0.1x是正比例函数，故A符合题意． B．根据正比例函数的定义，y是反比例函数，不是正比例函数，故B不符合题意． C．根据正比例函数的定义，y＝2x2是二次函数，不是正比例函数，故C不符合题意． D．根据正比例函数的定义，y2＝4x不是正比例函数，故D不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解决本题的关键． 2．（2024秋•商洛期中）如果y＝x+4a﹣1是x的正比例函数，则a的值是（　　） A． B．0 C． D．﹣4 【分析】根据正比例函数的定义得到4a﹣1＝0，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵y＝x+4a﹣1是x的正比例函数， ∴4a﹣1＝0， 解得a． 故选：A． 【点评】本题考查了正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 3．（2024春•大安市期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　 　． 【分析】由正比例函数的定义可得m2﹣1＝0，且m﹣1≠0． 【解答】解：由正比例函数的定义可得：m2﹣1＝0，且m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了正比例函数的定义．解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1． 4．（2024秋•江苏期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【分析】（1）根据正比例函数的定义即可得出m的值； （2）当m＝7时，函数为一次函数，令y＝0，即可得出图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）∵y关于x的函数y＝4x+m﹣3，y是x的正比例函数， ∴m﹣3＝0， 解得m＝3； （2）当m＝7时，该函数的表达式为y＝4x+4， 令y＝0，得4x+4＝0， 解得x＝﹣1， ∴当m＝7时，函数图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解题的关键． 题型五 正比例函数的图象与性质 1．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【分析】根据题意，可以先出x＝a时的函数值，然后再写出x＝a+1时的函数值，再作差，即可得到当自变量x的值增加1时，函数y的值增加多少，本题得以解决． 【解答】解：当x＝a时，y＝﹣3a， 当x＝a+1时，y＝﹣3（a+1）， ∵﹣3（a+1）﹣（﹣3a）＝﹣3a﹣3+3a＝﹣3， ∴当自变量x的值增加1时，函数y的值增加﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 2．已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】正比例函数y＝kx，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小，进而判断①②是否正确；再运用上述正比例函数的单调性即可得到当x＞0时与当x＞1时，y的取值范围，进而再判断③④是否正确． 【解答】解：∵正比例函数yx中0， ∴y随x的增大而增大，y随x的减小而减小，故①正确，②正确； ③当x＞0时，y＞0，正确；④当x＞1时，y，错误， ∴正确的是①②③， 故选：C． 【点评】本题考查正比例函数的性质应用，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 3．（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（　　） A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2） 【分析】由函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，可得出k＜0，进而可得出正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小， ∴k＜0， ∴正比例函数y＝kx（k≠0，k为常数）的图象经过第二、四象限， ∴这个函数图象可能经过的点是（﹣2，4）． 故选：C． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，牢记“当k＞0时，函数图象位于第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，函数图象位于第二、四象限，y随x的增大而减小”是解题的关键． 4．（2023•东胜区模拟）一次函数y＝（1﹣m）x的图象如图所示，则化简的结果是（　　） A．2m﹣1 B．1﹣2m C．2m D．1 【分析】根据正比例函数的图象确定m的取值范围，再化简即可． 【解答】解：由题意得，1﹣m＞0， 解得，m＜1， 原式＝|1﹣m|+m ＝1﹣m+m ＝1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，二次根式的性质与化简，解题的关键是求出m的取值范围． 题型六 一次函数的定义 1．（2023春•渝中区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C．y＝3x+5 D． 【分析】根据一次函数的定义即可即可． 【解答】解：A、此函数是二次函数，故此选项不符合题意； B、此函数是反比例函数，故此选项不符合题意； C、此函数是一次函数，故此选项符合题意； D、此函数不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数．解题的关键是掌握一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 2．下列函数①y＝﹣x+3；②y；③y＝x2﹣1；④y＝x（x﹣1）﹣x2，是关于x的一次函数的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【解答】解：由“形如y＝kx+b（k≠0）的函数，y是x的一次函数”可知， ①y＝﹣x+3，y是x的一次函数； ②y，y是x的反比例函数； ③y＝x2﹣1，y是x的二次函数； ④y＝x（x﹣1）﹣x2＝﹣x，y是x的一次函数； 因此是一次函数的有①④，共2个， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数的定义，理解“形如y＝kx+b（k≠0）的函数，y是x的一次函数”是正确判断的关键． 3．（2024春•应城市期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是一次函数，则m的值是 　 ． 【分析】根据一次函数的定义求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是一次函数， ∴m﹣2≠0且1＝1， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 4．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 【分析】（1）根据一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案； （2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【解答】解：（1）由y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数，得 ， 解得m＝﹣2． 故当m＝﹣2时，y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7是一次函数； （2）当y＝3时，3＝﹣4x+5，解得x， 故当x时，y的值为3． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 题型七 一次函数的图象 1．（2024秋•迎泽区校级月考）已知一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，3＞0， ∴k＞0， ∴此函数的图象经过一、二、三象限． 故选：A． 【点评】本题考查的是一次函数的图象，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解答此题的关键． 2．（2023春•福州期中）若k＞0，b＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 【分析】直接根据一次函数图象与系数的关系判断即可． 【解答】解：∵k＞0，b＜0， ∴y＝kx+b的图象在一、三、四象限， 故选B． 【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y＝kx+b（k为常数，k≠0）， 当k＞0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、三象限； 当k＞0，b＜0，y＝kx+b的图象在一、三、四象限； 当k＜0，b＞0，y＝kx+b的图象在一、二、四象限； 当k＜0，b＜0，y＝kx+b的图象在二、三、四象限． 3．（2024秋•长春月考）已知直线y＝kx+b经过一、二，四象限，则直线y＝bx+k的图象只能是图中的（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直线y＝kx+b经过的象限，得到k＜0，b＞0，从而得到直线y＝bx+k的图象． 【解答】解：∵直线y＝kx+b经过一、二，四象限， ∴k＜0，b＞0， ∴直线y＝bx+k的图象从左向右呈上升趋势，与y轴的负半轴相交， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 4．（2024秋•长清区期中）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝﹣kx（k≠0）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的图象和性质，分两种情况，写出函数y＝kx﹣k与y＝﹣kx（k≠0）的图象经过哪几个象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx﹣k的图象经过第一、三、四象限，函数y＝﹣kx的图象经过第二、四象限，故选项A、D不符合题意； 当k＜0时，函数y＝kx﹣k的图象经过第一、二、四象限，函数y＝﹣kx的图象经过第一、三象限，故选项B不符合题意，选项C符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象、正比例函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型八 一次函数的性质 1．（2024秋•衡阳县月考）对于一次函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，1） B．y随x的增大而增大 C．当时，y＞0 D．它的图象经过第一、二、三象限 【分析】根据一次函数y＝﹣2x+1中，﹣2＜0，得出y随x的增大而减小，令x＝0，得出一次函数y＝﹣2x+1与y轴交于点（0，1），它的图象经过第一、二、四象限，当时，则y＞0，即可作答． 【解答】解：A、令x＝0时，则y＝﹣2×0+1＝1，即一次函数y＝﹣2x+1与y轴交于点（0，1），符合题意； B、∵一次函数y＝﹣2x+1，且﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小，不符合题意； C、∵一次函数y＝﹣2x+1的y随x的增大而减小， ∴令时，则， ∴当时，则y＞0，不符合题意； D、∵一次函数y＝﹣2x+1中，﹣2＜0，1＞0， ∴函数图象经过第一、二、四象限，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 2．（2024秋•庐阳区校级月考）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣2图象不经过第二象限．则整数m的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据一次函数图象经过的象限可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，即可得出答案． 【解答】解：由题意得，该函数的图象经过第一、三象限或第一、三、四象限， ， 解得：． ∵m为整数， ∴整数m的最小值为0． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数图象与系数的关系． 3．（2024春•海港区期末）若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在一次函数y＝（1+2m）x﹣3的图象上，且当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 【分析】由当x1＜x2时，y1＜y2可得出y随x的增大而增大，再利用一次函数的性质可得出1+2m＞0，解之即可得出m的取值范围． 【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＜y2， ∴y随x的增大而增大， ∴1+2m＞0， ∴m． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 4．（2024春•如皋市期末）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 【分析】由k＝﹣3＜0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合﹣2＜1＜3，即可得出y1＞y3＞y2． 【解答】解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键． 5．（2024春•亳州月考）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）． （1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？ （2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ （3）若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）根据正比例函数的性质得出2m﹣10＝0，求出方程的解即可； （2）根据一次函数的性质得出不等式m＜0； （3）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）y＝mx+2m﹣10（m≠0）． ∵函数为正比例函数， ∴2m﹣10＝0， 解得：m＝5， 答：当m＝5时，这个函数为正比例函数， （2）一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）， ∵函数y的值随着x值的增大而减小， ∴m＜0， 答：当m＜0时，函数y的值随着x值的增大而减小． （3）∵一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得：0＜m＜5， 答：当0＜m＜5时，函数的图象经过第一、三、四象限． 【点评】本题主要考查对解一元一次方程，一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据一次函数的性质和已知得出不等式或方程是解此题的关键． 题型九 一次函数的平移 1．（2023春•江门期末）在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣1沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的直线的函数关系式为（　　） A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1 【分析】根据平移法则可得出平移后的解析式． 【解答】解：把直线y＝2x﹣1沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的直线的函数关系式为y＝2x﹣1﹣2，即y＝2x﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 2．（2024秋•灞桥区校级月考）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝kx+2的图象向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数y＝2x﹣k的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】由平移的性质知，一次函数y＝kx+2的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0），代入解析式求出k值，再判定一次函数y＝2x﹣k的图象不经过的象限即可． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+2的图象向右平移2个单位长度后经过原点， ∴一次函数y＝kx+2的图象与x轴的交点坐标是（﹣2，0）， 将（﹣2，0）代入y＝kx+2得：﹣2k+2＝0， 解得k＝1， ∴一次函数y＝2x﹣k的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与平移，熟练掌握点的平移规律：左减右加，上加下减是解题的关键． 3．（2023秋•灞桥区校级期末）将一次函数y＝﹣3x﹣1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣3） B．y＝﹣3x+2 C．y＝﹣3（x+3） D．y＝﹣3x﹣4 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将直线y＝﹣3x﹣1沿y轴向下平移3个单位后的直线所对应的函数解析式是：y＝﹣3x﹣1﹣3＝﹣3x﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 4．（2023春•萨尔图区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值． 【分析】（1）根据待定系数法求得即可； （2）求得平移后的直线的解析式，代入点（m，﹣5），即可求得m的值． 【解答】解：（1）由图象可知，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，6）、B（﹣4，﹣3）， ∴， 解得， 所以一次函数的表达式为：yx+3； （2）将直线AB向下平移5个单位后得到yx+3﹣5，即yx﹣2， ∵经过点（m，﹣5）， ∴﹣5m﹣2， 解得m＝﹣2． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 题型十 一次函数与几何变换 1．已知直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称，则直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】根据对称性求得m、n的值，进而求得直线y＝mx+n与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求得． 【解答】解：∵直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称， ∴m＝4，0， ∴m＝4，n＝﹣2， ∴直线y＝mx+n的解析式为y＝4x﹣2， 令x＝0，则y＝﹣2； 令y＝0，则x， ∴直线y＝mx+n与坐标轴的交点为（，0）和（0，﹣2）， ∴直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为：， 故选：A． 【点评】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n的值是解题的关键． 2．若直线y＝kx+2与直线y＝﹣3x+b关于直线x＝﹣1对称，则k、b值分别为（　　） A．k＝﹣3、b＝﹣2 B．k＝3、b＝﹣2 C．k＝3、b＝﹣4 D．k＝3、b＝4 【分析】先求出一次函数y＝kx+2与y轴交点关于直线x＝﹣1的对称点，得到b的值，再求出一次函数y＝﹣3x+b与y轴交点关于直线x＝﹣1的对称点，代入一次函数y＝kx+2，求出k的值即可． 【解答】解：把x＝0代入y＝kx+2得，y＝2， ∴直线y＝kx+2与y轴交点为（0，2）， ∵点（0，2）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣2，2）， ∴点为（﹣2，2）在直线y＝﹣3x+b上， 代入直线y＝﹣3x+b，可得6+b＝2， 解得b＝﹣4， ∴一次函数y＝﹣3x﹣4与y轴交点为（0，﹣4）， ∵（0，﹣4）关于直线x＝﹣1的对称点（﹣2，﹣4）在直线y＝kx+2上， ∴代入直线y＝kx+2，可得﹣2k+2＝﹣4， 解得k＝3． 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数图象与几何变换，待定系数法求函数解析式，先根据题意得出直线与坐标轴的交点是解决问题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 【分析】设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D，通过三角形全等即可求得B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3，得到B′的坐标，进而全等直线AB′，进一步全等C点的坐标． 【解答】解：如图，设B旋转后的对应点为B′，作B′D⊥x轴于D， ∵直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B， ∴A（2，0），B（0，3）， ∴OA＝2，OB＝3， ∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3， ∵AB⊥AC， ∴∠OAB+∠DAB′＝90°＝∠OAB+∠OBA， ∴∠DAB′＝∠OBA， ∵AB＝B′A， ∵∠ADB′＝∠BOA＝90°， ∴△AOB≌△DB′A（AAS）， ∴B′D＝OA＝2，AD＝OB＝3， ∴B′（﹣1，﹣2）， ∴直线AB′yx， ∴C（0，）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，熟知三角形全等是解题的关键． 4．（2023秋•小店区月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是长方形，A（9，0），B（9，3），C（0，3），将△OAB沿直线OB折叠，此时点A落在点D处，OD与BC交于点E，且OE＝BE，则OD所在直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【分析】设点E的坐标为（m，3），则OE＝BE＝9﹣m，CE＝m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式． 【解答】解：∵四边形AOCB是长方形，A（9，0），B（9，3），C（0，3）， ∴AB＝OC＝3，AO＝BC＝9， 设点E的坐标为（m，3），则OE＝BE＝9﹣m，CE＝m， 在Rt△OCE中，OC＝3，CE＝m，OE＝9﹣m， ∴（9﹣m）2＝32+m2， ∴m＝4， ∴点E的坐标为（4，3）， 设OD所在直线的解析式为y＝kx， 将点E（4，3）代入y＝kx中， 得3＝4k，解得：， ∴OD所在直线的解析式为． 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、勾股定理，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键． 题型十一 一次函数的实际应用 1．（2024•河北一模）如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间t（s）之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为（　　） A．5s B．6s C．15s D．16s 【分析】利用待定系数法求出y与t的关系式，当y＝10时求出对应t的值即可． 【解答】解：设y与t的关系式为y＝kt+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（10，0）和（12，4）代入y＝kt+b， 得， 解得， ∴y与t的关系式为y＝2t﹣20（t≥10）． 当注满水杯时，y＝10，得2t﹣20＝10， 解得t＝15． 故选：C． 【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． 2．（2023秋•六安月考）某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计；B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.6元/min计．按照此类收费标准完成下列各题： （1）直接写出每月应缴费用y（元）与通话时长x（分）之间的关系式： A类： B类：　 （2）若每月平均通话时长为300分钟，选择 　 　类收费方式较少． （3）求每月通话多长时间时，按 A．B两类收费标准缴费，所缴话费相等． 【分析】（1）根据题目中收费标准可列出函数关系式； （2）根据两种收费方式，计算结果比较得出答案即可； （3）设每月通话时间x分钟，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等列出方程解答即可． 【解答】解：（1）根据题意得， A类：y＝0.2x+12， B类：y＝0.6x； 故答案为：y＝0.2x+12；y＝0.6x． （2）A类收费：12+0.2×300＝72元； B类收费：0.6×300＝180元； 180＞72， 所以选择A类收费方式， 故答案为A； （3）设每月通话时间x分钟，由题意得 12+0.2x＝0.6x， 解得：x＝30． 答：每月通话时间30分钟，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等 【点评】本题主要考查一次函数的应用，由条件列出相应的函数关系式是解题的关键． 3．某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意可以写出利润与m的函数关系式，然后根据m的取值范围和一次函数的性质，可以求得利润的最大值． 【解答】解：（1）设购进A种多媒体a套，B种多媒体b套， 由题意可得：， 解得， 答：购进A种多媒体20套，B种多媒体30套； （2）设利润为w元， 由题意可得：w＝（3.3﹣3）m+（2.8﹣2.4）×（50﹣m）＝﹣0.1m+20， ∴w随m的增大而减小， ∵10≤m≤20， ∴当m＝10时，w取得最大值，此时w＝19， 答：购进A种多媒体10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值． 4．（2023•雁塔区校级二模）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示． （1）求a的值； （2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式； （3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数． 【分析】（1）由图象知乙地80天接种40万人，乙地每天接种的人数为0.5万人，a； （2）设甲地接种速度放缓后，y关于x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法解即可； （3）把x＝80代入解析式，再用总人数相减即可． 【解答】解：（1）由图象可知，乙地80天接种40万人， ∴乙地每天接种的人数为40÷80＝0.5（万人）， ∵甲、乙两地同时以相同速度接种， ∴甲地在前a天每天接种的人数为0.5万， ∴a40， 答：a的值为40． （2）设甲地接种速度放缓后，y关于x的函数解析式为：y＝kx+b， 将（40，25），（100，40）代入得： ， 解得：， ∴y＝0.25x+15． 答：甲地接种速度放缓后，y关于x的函数解析式为y＝0.25x+15． （3）把x＝80代入y＝0.25x+15得： y＝0.25×80+15＝35， 40﹣35＝5（万人）． 答：乙地完成接种任务时，甲地未接种疫苗的人数为5万人． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图，熟练用待定系数法求函数关系式． 5．（2024•长沙模拟）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元； ①求W关于x的函数关系式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 【分析】（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额+100精装练习本销售额＝1450元；200本普通练习本销售额+50精装练习本销售额＝1100元，列出方程组，求出即可； （2）①购买普通练习本x个，则购买精装练习本（500﹣x）个，根据总利润＝普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式，然后再求出自变量x的取值范围即可； ②根据一次函数的性质和x的取值范围，可以得到商店应如何进货才能使销售总利润最大，并求出最大利润． 【解答】解：（1）设普通练习本的销售单价为m元，精装练习本的销售单价为n元， 由题意可得：， 解得， 答：普通练习本的销售单价为3元，精装练习本的销售单价为10元； （2）①购买普通练习本x个，则购买精装练习本（500﹣x）个， 由题意可得：W＝（3﹣2）x+（10﹣7）（500﹣x）＝﹣2x+1500， ∵普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍， ∴x≥3（500﹣x）， 解得x≥375， 即W关于x的函数关系式是：W＝﹣2x+1500（375≤x≤500）； ②∵W＝﹣2x+1500， ∴W随x的增大而减小， ∵375≤x≤500， ∴当x＝375时，W取得最大值，此时W＝750，500﹣x＝125， 答：当购买375个普通练习本，125个精装练习，销售总利润最大，最大总利润为750元． 【点评】本题主要考查二元一次方程组、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系和不等关系列出方程和不等式． 题型十二 一次函数与图象的面积 1．（2023秋•榆中县期末）如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）． （1）求过A，B两点直线的函数表达式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积． 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法，可求出过A，B两点直线的函数表达式； （2）由点A，B的坐标，可得出OA，OB的长，结合OP＝2OA，可求出AP的长，再利用三角形的面积公式，即可求出结论． 【解答】解：（1）设过A，B两点直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（﹣1，0），B（0，4）代入y＝kx+b（k≠0）得： ， 解得：， ∴过A，B两点直线的函数表达式为y＝4x+4； （2）∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）， ∴OA＝1，OB＝4． ∵OP＝2OA， ∴OP＝2， ∴AP＝OP﹣OA＝2﹣1＝1或AP＝OP+OA＝2+1＝3， ∴S△ABPAP•OB1×4＝2或S△ABPAP•OB3×4＝6． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，求出△ABP的面积． 2．（2024秋•碑林区校级月考）如图，直线y＝x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点C（﹣2，1）． （1）直接写出点B的坐标为 　 　； （2）求出△OBC的面积； （3）在直线BC上是否存在点M，使S△OBM＝2S△COB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）根据直线的解析式即可求得B的坐标； （2）根据题意得出C的横坐标，从而求得三角形的面积． （3）根据在直线BC上是否存在点M，设M（m，m+3），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 故答案为：（0，3）； （2）∵点C（﹣2，1）， ∴△OBC的面积OB•∁x3×2＝3； （3）存在； ∵在直线BC上是否存在点M， ∴设M（m，m+3）， ∵S△OBM＝2S△COB， ∴OB•|Mx|＝2OB•∁x ∴|m|＝2×2， ∴m＝±4， ∴M（4，7）或（﹣4，﹣1）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线与坐标轴的交点以及三角形的面积等，关键是熟练地运用性质进行推理和计算，通过做此题培养了学生的综合分析能力，用了分类讨论思想和方程思想． 3．（2024春•正定县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上，过点A的另一条直线交y轴于点B（0，6）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△ABC的面积； （3）若点P（t，y1）在线段AB上（可与点A，B重合），点Q（t﹣1，y2）在直线y＝4x﹣5上，求y1﹣y2的最小值． 【分析】（1）待定系数法求出直线AB解析式即可； （2）先求出线段BC长，再根据三角形面积公式计算即可； （3）根据题意列出y1﹣y2的函数解析式，由t的取值范围和一次函数性质确定最值即可． 【解答】解：（1）∵点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上， ∴m＝8﹣5＝3， ∴A（2，3）， 设直线AB的解析式为y＝kx+6，将点A（2，3）代入解析式得：3＝2k+6， 解得k， ∴直线AB的解析式为y． （2）在直线y＝4x﹣5中，C（0，﹣5）， ∴BC＝6+5＝11， ∴S△ABC11． （3）∵点P（t，y1）在线段AB上， ∴0≤t≤2， 根据题意，y1．，y2＝4（t﹣1）﹣5＝4t﹣9， ∴y1﹣y24t+9t+15， ∵0， ∴函数值随t增大而减小， 当t＝2时．y1﹣y2取最小值，最小值为4． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及三角形面积问题，解决问题的关键是求出y1﹣y2的表达式，利用t的最值求出答案． 4．（2024秋•舒城县校级月考）如图，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0），过点C（﹣2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等． （1）求△AOB的面积． （2）求直线l的函数解析式． 【分析】（1）由点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0），结合三角形的面积公式可得答案； （2）证明△AOB和△CBE的面积相等，可得，可得E的纵坐标，再求解直线AB的解析式可得E的横坐标，再设直线l为：y＝mx+n，把E，C坐标代入求解即可． 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0）， ∴． （2）∵△ADE和△DCO的面积相等， ∴△AOB和△CBE的面积相等， ∵C（﹣2，0），B（2，0）， ∴， ∴点E纵坐标为， 设直线AB为y＝kx+b，点B（2，0），A（1，3）在一次函数图象上， ∴， 解得：， ∴直线AB解析式为：y＝﹣3x+6， 将点E纵坐标代入直线解析式得：， 解得：， ∴， 设直线l解析式为：y＝mx+n，点E、点C在一次函数图象上， ∴， 解得：， ∴直线l为：． 【点评】本题考查的是坐标与图形面积，求解一次函数的解析式，熟练掌握一次函数性质是关键． 题型十三 一次函数与动点运动问题 1．如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（　　） A．24 B．18 C．20 D．40 【分析】根据y关于x的函数图象得到BC、CD的长，进而求长方形的周长． 【解答】解：由y关于x的函数图象可知，BC＝4，CD＝9﹣BC＝9﹣4＝5， ∴长方形ABCD的周长是：2×（4+5）＝18； 故选：B． 【点评】本题主要考查关于动点问题的函数图象，根据函数图像获取相关信息是解题的关键． 2．（2023秋•东港市期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC的中点，动点P从点C出发，沿CA﹣AB运动到点B，设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　） A． B． C． D．6 【分析】由图象可知：当x＝3时，y等于3，由此可得出CD的长，进而得出BC的长；当x＝6时，面积最大，且面积发生转折，此时点P和点A重合，可得AC＝6，最后由勾股定理可得结论． 【解答】解：由图象可知：当x＝3时，CP＝3，， 即 ，解得CD＝2， ∵点D是BC的中点， ∴BC＝4， 当x＝6时，此时点P和点A重合， ∴AC＝6， 在 Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝6， 由勾股定理可得，． 故选：A． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出AC和BC的长． 3．如图1，AH＝BC＝10cm，GF＝DE，点P从点A出发保持匀速运动，沿长方形凹槽A→B→C→D→E→F→G→H的路线运动，到点H停止；如图2是△APH的面积S（cm2）和运动时间x（s）的图象． （1）求图1中的AB的长度； （2）设点P运动的路程为y（cm），请写出y（cm）与运动时间x（s）之间的关系式，写出x的取值范围． 【分析】（1）根据图2可知，当运动时间为10s时，△APH的面积S＝100cm2，即可求出AB的长度； （2）由（1）可知点P运动的速度为2cm/s，再求出GF＝DE＝2×（22﹣20）＝4cm，所以运动时间x的范围为0≤x≤29，即可求出答案． 【解答】解：（1）根据图2可知，当运动时间为10s时，△APH的面积S＝100cm2， 即P运动到B点时AH×AB＝100， ∵AH＝10cm， ∴AB＝20（cm）， 答：AB的长度20cm； （2）由（1）可知点P运动的速度为2（cm/s）， ∴GF＝DE＝2×（22﹣20）＝4（cm）， ∴从点A到点H的路程为20+10+20+4+4＝58cm， ∴运动时间x的范围为0≤x，即0≤x≤29， ∴y＝2x（0≤x≤29）． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，关键是能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 4．如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC＝10cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示． （1）由图2知，点E运动的时间为 　　s，速度为 　 　cm/s，点E停止运动时与点C的距离为 　　cm； （2）求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当点E停止运动后，求三角形ABE的面积． 【分析】（1）根据图象解答即可； （2）根据三角形的面积公式，可得答案； （3）根据三角形的面积公式，可得答案． 【解答】解：（1）根据题意和图象，可得E点运动的时间为3s，速度为3cm/s， 当点E停止运动时，BE＝3×3＝9（cm），此时距离点C：10﹣9＝1（cm）， 故答案为：3，3，1； （2）根据题意得yBE×AD12x， 即y＝12x（0＜x≤3）； （3）当x＝3时，y＝12×3＝36（cm2）， 故△ABE的面积为36cm2． 【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及求函数解析式，求函数值问题，能读懂函数图象是解决问题的关键． 题型十四 一次函数的综合应用问题 1．（2024秋•高新区校级月考）如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数yx+3的图象经过点B、C． （1）点C的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； （2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O′与O关于直线l对称，连接CO′并延长，交射线AB于点D． ①求证：△CMD是等腰三角形； ②当CD＝5时，求直线l的函数表达式． 【分析】（1）设点C的坐标为（0，y），把x＝0代入yx+3中得y＝3，即可求出C点的坐标；设点B的坐标为（﹣4，y），把x＝﹣4代入yx+3中得y＝2，即可求出B点的坐标； （2）①根据对称的性质和平行线的性质，推知∠CMD＝∠MCD，故MD＝CD，所以CMD是等腰三角形； ②如图②，过点D作DP⊥y轴于点P．利用勾股定理求得CP的长度，然后结合坐标与图形的性质求得点M的坐标，利用待定系数法求得直线l的解析式即可． 【解答】（1）解：∵A（﹣4，0），AB∥y轴，直线yx+3经过点B、C， 设点C的坐标为（0，y），把x＝0代入yx+3中得y＝3， ∴C（0，3）； 设点B的坐标为（﹣4，y），把x＝﹣4代入yx+3中得y＝2， ∴B（﹣4，2）； 故答案为：（0，3）；（﹣4，2）； （2）①证明：∵AB∥y轴， ∴∠OCM＝∠CMD． ∵∠OCM＝∠MCD， ∴∠CMD＝∠MCD， ∴MD＝CD， ∴CMD是等腰三角形； ②解：如图②，过点D作DP⊥y轴于点P． 在直角△DCP中，由勾股定理得到：CP3， ∴OP＝AD＝CO+CP＝3+3＝6， ∴AM＝AD﹣DM＝6﹣5＝1， ∴点M的坐标是（﹣4，1）． 设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0）． 把M（﹣4，1）、C（0，3）分别代入，得， ， 解得， 故直线l的解析式为yx+3． 当D与A重合时，y＝2x+3． ∴直线l的函数表达式为yx+3或y＝2x+3． 【点评】此题考查了一次函数综合题，需要综合利用勾股定理，等腰三角形的判定与性质，对称的性质以及待定系数法求一次函数解析式等知识点，难度不是很大，但是需要学生对所学知识有一个系统的掌握． 2．（2024秋•凌海市期中）如图，直线y＝kx﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1． （1）求k的值； （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣3上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式； （3）探索： ①点D是直线y＝kx﹣3上的一个动点，当△OBD的面积是3时，求点D的坐标； ②在①的条件下，且点D在第一象限，问：x轴上是否存在一点P，使△POD等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由OB＝1可得出点B坐标，将点B的坐标代入直线解析式中即可得出k； （2）直接利用三角形的面积公式即可得出结论； （3）①当△OBD的面积是3时，则△OBD的高为6，即点D到x轴距离为6，据此求解即可； ②设出点P的坐标，进而利用两点间的距离公式求出OD2，OP2，DP2，分三种情况用两边相等建立方程求解即可． 【解答】解：（1），直线y＝kx﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1， ∴B（1，0）， 交点B的坐标代入y＝kx﹣3中，得： k﹣3＝0， 解得k＝3， ∴y＝3x﹣3， ∴k的值为3； （2）∵点A（x，y）是第一象限内的直线y＝3x﹣3上的一个动点， ∴△AOB的面积； （3）①∵△OBD的面积是3，OB＝1， ∴△OBD的高为6， ∴点D到x轴距离为6， ∵点D是直线y＝3x﹣3上的一个动点， ∴y＝3x﹣3＝6时，x＝3， y＝3x﹣3＝﹣6时，x＝﹣1， ∴点D的坐标为（3，6）或（﹣1，﹣6）； ②x轴上存在一点P，使△POD等腰三角形；理由如下： ∵在①的条件下，且点D在第一象限， ∴点D的坐标为（3，6）， 设点P（m，0）， ∴OD2＝32+62＝45，OP2＝m2，DP2＝（m﹣3）2+36， ∵△DOP为等腰三角形， ∴当OD＝OP时，OD2＝OP2，即：45＝m2， 解得， 此时点P坐标为，； 当OD＝DP时，OD2＝DP2，即：45＝（m﹣3）2+36， 解得m＝0（此时和点A重合，舍去）或m＝6， 此时点P坐标为（6，0）； 当OP＝DP时，OP2＝DP2，即：m2＝（m﹣3）2+36， 解得， 此时点P坐标为； 即：满足条件的P点坐标为，，（6，0），． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 3．（2024秋•长清区期中）如图，直线l1与x轴、y轴分别交于点A、点B（0，1），直线l2：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线l1与l2交于点E（2，m）． （1）求m的值和直线l1的表达式； （2）点G是x轴上的一个动点，连接GB，GE，求GB+GE的最小值和此时点G的坐标； （3）在直线CD上是否存在一点P，使得△BEP的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点E（2，m）代入y＝﹣x+4求得点E（2，2），设直线AB的解析式为y＝kx+b，解方程组即可得到结论； （2）作点B关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于G，则此时GB+GE的值最小，求得F（0，﹣1），设直线EF的解析式为y＝ax+c，得到直线EF的解析式为yx﹣1，当y＝0时，x，于是得到G（，0），根据勾股定理得到EF； （3）当点P在y轴的左侧时，如图，当点P在y轴的右侧时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）把点E（2，m）代入y＝﹣x+4得m＝﹣2+4＝2， ∴点E（2，2）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴， ∴yx+1； （2）作点B关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于G， 则此时GB+GE的值最小， ∵B（0，1）， ∴F（0，﹣1）， 设直线EF的解析式为y＝ax+c， ∴， 解得， ∴直线EF的解析式为yx﹣1， 当y＝0时，x， ∴G（，0）， ∴EF， 故GB+GE的最小值为； （3）存在， 当点P在y轴的左侧时，如图， ∴S△BEP﹣S△BED＝S△BDP＝53×2＝2， ∵BD＝3， ∴xP， 把xP代入y＝﹣x+4得，yP， ∴P（，）， 当点P在y轴的右侧时，同理可得P（，）， 综上所述，存在，点P的坐标为（，）或（，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理轴对称﹣最短路径问题，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． 4．（2024秋•雁塔区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC． （1）OC的长为 　 　，OD的长为 　 　，直线CD的表达式为 　 　； （2）若点E（1，b）为直线AB上的点，点P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出OA＝2，OB＝4，由全等三角形的性质可得OD＝2，OC＝4；利用待定系数法可求直线CD的函数表达式； （2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质和一次函数的性质可求点Q坐标． 【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+4得：y＝4， ∴点B（0，4）， ∴OB＝4， 把y＝0代入y＝﹣2x+4得：x＝2， ∴点A（2，0）， ∴OA＝2， ∵△AOB≌△DOC， ∴OC＝OB＝4，OD＝OA＝2． 设直线CD对应的函数表达式为：y＝kx+b， ∵OC＝4，OD＝2， ∴C（﹣4，0），D（0，2）， 把C（﹣4，0），D（0，2）代入y＝kx+b得： ， 解得， ∴直线CD对应的函数表达式为yx+2， 故答案为：4；2；yx+2， （2）直线CD上存在点Q，使得△EPQ是以点E为直角顶点的等腰直角三角形；理由如下： ∵E（1，b）为直线AB上的点， ∴b＝﹣2×1+4＝2， ∴E（1，2）， ①当点P在点B下方时，如图2，连接DE，过点Q作QM⊥DE，交DE的延长线于M点， ∵D（0，2）， ∴DE⊥y轴，DE＝1，点M的纵坐标为2，∠M＝∠EDP＝90°， ∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形， ∴EP＝EQ，∠PEQ＝90°， ∴∠QEM+∠PED＝90°＝∠QEM+∠EQM， ∴∠DEP＝∠EQM， ∴△DEP≌△MQE（AAS）， ∴MQ＝DE＝1， ∴Q点的纵坐标为3， 把y＝3代入yx+2中得：x＝2， ∴点Q（2，3）； ②当点P在点B上方时，如图3，过E点作EM∥y轴，过点Q作QM⊥EM于M点，过P点作PN⊥EM交ME的延长线于N点． 则∠M＝∠N＝90°， ∴N点的横坐标为1， 则PN＝1， ∵△EPQ是以E为直角顶点的等腰三角形， ∴EP＝EQ，∠PEQ＝90°， ∴∠QEM+∠PEN＝90°＝∠PEN+∠NPE， ∴∠MEQ＝∠NPE， ∴△EQM≌△PEN（AAS）， ∴EM＝PN＝1， ∵E（1，2）， ∴M点的纵坐标为1， ∴Q点的纵坐标为1， 把y＝1代入yx+2中得：x＝﹣2， ∴Q（﹣2，1）； 综上所述，直线CD上存在点Q，使得△EPQ是以E为直角顶点的等腰直角三角形，Q点的坐标为（2，3）或（﹣2，1）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册 第4章：一次函数章末重点题型复习 题型一 函数的相关概念 1．（2024春•邯山区校级期末）下列四个图象中，哪个不是y关于x的函数（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•大观区校级期中）下列图象中，表示y是x的函数的有（　　） A．①②③④ B．①④ C．①②③ D．②③ 3．（2024秋•五河县期中）在函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠2 B．x≥2 C．x≠﹣2 D．x≤﹣2 4．（2023秋•茌平区校级期末）函数y中，自变量x的取值范围是　 　． 5．（2024秋•临川区校级期中）函数的自变量x的取值范围是 　 　． 题型二 实际问题中的函数图象 1．（2024•滨州模拟）苹果熟了，从树上落下来．下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•北京模拟）小明晚饭后出门散步，从家点O出发，最后回到家里，行走的路线如图所示．则小明离家的距离h与散步时间t之间的函数关系可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•东莞市校级模拟）如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与时间注水时间t（s）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 4．（2023•盐田区二模）佳佳和爸爸一起从家出发，匀速行走25min后抵达离家1000m的报亭，佳佳随即按原速返回，爸爸看了10min报后返回，恰好与佳佳同时到家．则表示爸爸离家后距离与时间关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 题型三 从函数图象中获取信息解决问题 1．（2023秋•砚山县期末）某天早晨，小明骑车上学途中，自行车出故障，恰好路边有维修站，几分钟后车修好了，他加快速度骑车到学校．如图，描绘了小明所行路程s（千米）与他所用的时间t（分钟）之间的关系．下列说法不正确的是（　　） A．小明家到学校的距离是8千米 B．小明修车用了5分钟 C．小明骑车的总时间是25分钟 D．小明修车前后骑车的速度相同 2．（2024秋•兴平市期中）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”．如图所示的曲线表示一只风筝在5min内离地面的飞行高度h（m）随飞行时间t（min）的变化情况，则下列说法不正确的是（　　） A．风筝最初的高度为30m B．1min，5min时风筝的高度相同 C．3min时风筝达到最高高度为60m． D．3min到5min之间，风筝飞行高度h（m）持续下降 3．（2023秋•蜀山区期末）A，B两地相距640km，甲、乙两辆汽车从A地出发到B地，均匀速行驶，甲出发1小时后，乙出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距s（km），甲行驶的时间为t（h），s与t的关系如图所示，下列说法： ①甲车行驶的速度是60km/h，乙车行驶的速度是80km/h； ②乙出发4h后追上甲； ③甲比乙晚到； ④甲车行驶8h或，甲，乙两车相距80km． 其中正确的是（　　） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．（2023秋•大观区校级期末）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小明家到学校的路程是　 米． （2）小明在书店停留了　 　分钟． （3）本次上学途中，小明一共行驶了　 米，一共用了　 　分钟． （4）在整个上学的途中在　 　（时间段）小明骑车速度最快，最快的速度是多少米分？ 题型四 正比例函数的定义 1．（2024春•凤山县期末）下列式子中，哪个表示y是x的正比例函数（　　） A．y＝﹣0.1x B．y C．y＝2x2 D．y2＝4x 2．（2024秋•商洛期中）如果y＝x+4a﹣1是x的正比例函数，则a的值是（　　） A． B．0 C． D．﹣4 3．（2024春•大安市期末）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝　 　． 4．（2024秋•江苏期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣3． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝7，求该函数图象与x轴的交点坐标． 题型五 正比例函数的图象与性质 1．对于正比例函数y＝﹣3x，当自变量x的值增加1时，函数y的值增加（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 2．已知正比例函数yx，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023•金山区二模）已知函数y＝kx（k≠0，k为常数）的函数值y随x值的增大而减小，那么这个函数图象可能经过的点是（　　） A．（0.5，1） B．（2，1） C．（﹣2，4） D．（﹣2，﹣2） 4．（2023•东胜区模拟）一次函数y＝（1﹣m）x的图象如图所示，则化简的结果是（　　） A．2m﹣1 B．1﹣2m C．2m D．1 题型六 一次函数的定义 1．（2023春•渝中区校级期中）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C．y＝3x+5 D． 2．下列函数①y＝﹣x+3；②y；③y＝x2﹣1；④y＝x（x﹣1）﹣x2，是关于x的一次函数的有（　　）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2024春•应城市期末）已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣1+3是一次函数，则m的值是 　 ． 4．（2024春•大武口区期末）已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）若函数是一次函数，则x为何值时，y的值为3？ 题型七 一次函数的图象 1．（2024秋•迎泽区校级月考）已知一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，则该函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（2023春•福州期中）若k＞0，b＜0，则函数y＝kx+b的图象大致是（　　） A．B． C．D． 3．（2024秋•长春月考）已知直线y＝kx+b经过一、二，四象限，则直线y＝bx+k的图象只能是图中的（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•长清区期中）在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝﹣kx（k≠0）的图象可能为（　　） A． B． C． D． 题型八 一次函数的性质 1．（2024秋•衡阳县月考）对于一次函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（　　） A．它的图象与y轴交于点（0，1） B．y随x的增大而增大 C．当时，y＞0 D．它的图象经过第一、二、三象限 2．（2024秋•庐阳区校级月考）已知一次函数y＝（2m+1）x+m﹣2图象不经过第二象限．则整数m的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024春•海港区期末）若点A（x1，y1）和点B（x2，y2）在一次函数y＝（1+2m）x﹣3的图象上，且当x1＜x2时，y1＜y2，则m的取值范围是（　　） A．m B．m C．m D．m 4．（2024春•如皋市期末）若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y2＞y1 5．（2024春•亳州月考）已知关于x的一次函数y＝mx+2m﹣10（m≠0）． （1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？ （2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？ （3）若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出m的取值范围． 题型九 一次函数的平移 1．（2023春•江门期末）在平面直角坐标系中，把直线y＝2x﹣1沿y轴向下平移2个单位长度后，得到的直线的函数关系式为（　　） A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2x+1 D．y＝2x﹣1 2．（2024秋•灞桥区校级月考）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝kx+2的图象向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数y＝2x﹣k的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2023秋•灞桥区校级期末）将一次函数y＝﹣3x﹣1的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（　　） A．y＝﹣3（x﹣3） B．y＝﹣3x+2 C．y＝﹣3（x+3） D．y＝﹣3x﹣4 4．（2023春•萨尔图区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A、B． （1）根据图象，求一次函数y＝kx+b（k≠0）的表达式； （2）将直线AB向下平移5个单位后经过点（m，﹣5），求m的值． 题型十 一次函数与几何变换 1．已知直线y＝2x+m与直线y＝nx+4（n≠0）关于y轴对称，则直线y＝mx+n与坐标轴围成的三角形的面积为（　　） A． B．1 C． D．2 2．若直线y＝kx+2与直线y＝﹣3x+b关于直线x＝﹣1对称，则k、b值分别为（　　） A．k＝﹣3、b＝﹣2 B．k＝3、b＝﹣2 C．k＝3、b＝﹣4 D．k＝3、b＝4 3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx+3分别与x轴y轴交于点A和点B，将直线AB绕点A顺时针旋转90°后，所得直线与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，﹣1） B．（0，） C．（0，） D．（0，） 4．（2023秋•小店区月考）如图，在平面直角坐标系中，四边形AOCB是长方形，A（9，0），B（9，3），C（0，3），将△OAB沿直线OB折叠，此时点A落在点D处，OD与BC交于点E，且OE＝BE，则OD所在直线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 题型十一 一次函数的实际应用 1．（2024•河北一模）如图1，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间t（s）之间的关系如图2所示，则从开始注水至把小水杯注满水需要的时间为（　　） A．5s B．6s C．15s D．16s 2．（2023秋•六安月考）某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通话费按0.2元/min计；B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.6元/min计．按照此类收费标准完成下列各题： （1）直接写出每月应缴费用y（元）与通话时长x（分）之间的关系式： A类： B类：　 （2）若每月平均通话时长为300分钟，选择 　 　类收费方式较少． （3）求每月通话多长时间时，按 A．B两类收费标准缴费，所缴话费相等． 3．某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 （1）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？ （2）若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（10≤m≤20），当把购进的两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 4．（2023•雁塔区校级二模）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示． （1）求a的值； （2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式； （3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数． 5．（2024•长沙模拟）某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50精装练习本销售总额为1100元． （1）求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？ （2）该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x个，获得的利润为W元； ①求W关于x的函数关系式； ②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润． 题型十二 一次函数与图象的面积 1．（2023秋•榆中县期末）如图所示，点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（0，4）． （1）求过A，B两点直线的函数表达式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求△ABP的面积． 2．（2024秋•碑林区校级月考）如图，直线y＝x+3与x轴交于点A、与y轴交于点B，与经过原点的直线相交于点C（﹣2，1）． （1）直接写出点B的坐标为 　 　； （2）求出△OBC的面积； （3）在直线BC上是否存在点M，使S△OBM＝2S△COB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2024春•正定县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，m）在直线y＝4x﹣5上，过点A的另一条直线交y轴于点B（0，6）． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△ABC的面积； （3）若点P（t，y1）在线段AB上（可与点A，B重合），点Q（t﹣1，y2）在直线y＝4x﹣5上，求y1﹣y2的最小值． 4．（2024秋•舒城县校级月考）如图，点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，0），过点C（﹣2，0）作直线l交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面积相等． （1）求△AOB的面积． （2）求直线l的函数解析式． 题型十三 一次函数与动点运动问题 1．如图，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动到点A停止，设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则长方形ABCD的周长是（　　） A．24 B．18 C．20 D．40 2．（2023秋•东港市期末）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC的中点，动点P从点C出发，沿CA﹣AB运动到点B，设点P的运动路程为x，△PCD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　） A． B． C． D．6 3．如图1，AH＝BC＝10cm，GF＝DE，点P从点A出发保持匀速运动，沿长方形凹槽A→B→C→D→E→F→G→H的路线运动，到点H停止；如图2是△APH的面积S（cm2）和运动时间x（s）的图象． （1）求图1中的AB的长度； （2）设点P运动的路程为y（cm），请写出y（cm）与运动时间x（s）之间的关系式，写出x的取值范围． 4．如图1所示，在三角形ABC中，AD是三角形的高，且AD＝8cm，BC＝10cm，点E是BC上的一个动点，由点B向点C运动，其速度与时间的变化关系如图2所示． （1）由图2知，点E运动的时间为 　　s，速度为 　 　cm/s，点E停止运动时与点C的距离为 　　cm； （2）求在点E的运动过程中，三角形ABE的面积y（cm2）与运动时间x（s）之间的关系式，并写出自变量的取值范围； （3）当点E停止运动后，求三角形ABE的面积． 题型十四 一次函数的综合应用问题 1．（2024秋•高新区校级月考）如图①，平面直角坐标系中，O为原点，点A坐标为（﹣4，0），AB∥y轴，点C在y轴上，一次函数yx+3的图象经过点B、C． （1）点C的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　； （2）如图②，直线l经过点C，且与直线AB交于点M，O′与O关于直线l对称，连接CO′并延长，交射线AB于点D． ①求证：△CMD是等腰三角形； ②当CD＝5时，求直线l的函数表达式． 2．（2024秋•凌海市期中）如图，直线y＝kx﹣3与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中OB＝1． （1）求k的值； （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y＝kx﹣3上的一个动点，当点A运动过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式； （3）探索： ①点D是直线y＝kx﹣3上的一个动点，当△OBD的面积是3时，求点D的坐标； ②在①的条件下，且点D在第一象限，问：x轴上是否存在一点P，使△POD等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024秋•长清区期中）如图，直线l1与x轴、y轴分别交于点A、点B（0，1），直线l2：y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点C、点D，直线l1与l2交于点E（2，m）． （1）求m的值和直线l1的表达式； （2）点G是x轴上的一个动点，连接GB，GE，求GB+GE的最小值和此时点G的坐标； （3）在直线CD上是否存在一点P，使得△BEP的面积等于5，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2024秋•雁塔区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4交坐标轴于A，B两点，过x轴负半轴上一点C作直线CD交y轴正半轴于点D，且△AOB≌△DOC． （1）OC的长为 　 　，OD的长为 　 　，直线CD的表达式为 　 　； （2）若点E（1，b）为直线AB上的点，点P为y轴上的点，请问：直线CD上是否存在点Q，使得△EPQ是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$