专题03 二次函数（考点清单，10个考点梳理+16种题型解读）（期末复习知识清单）九年级数学上学期鲁教版

专题03 二次函数 （10个考点梳理+16种题型解读） 【清单01】二次函数的定义 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．其中，ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 特殊形式： 当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2； 当a≠0，b＝0时，y＝ax2+c； 当a≠0，c＝0时，y＝ax2+bx. 【清单02】y=ax2的图象和性质 . . 【清单03】y=ax2+k的图象和性质 【清单04】y=a（x-h）2的图象和性质 【清单05】y=a（x-h）2+k的图象和性质 【清单06】y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【清单07】二次函数图象的平移 【清单08】二次函数表达式的三种表达式 一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 【清单09】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系 【清单10】二次函数与一元二次方程的关系 【考点题型一】函数的判断和自变量取值范围 【例1】（2016·广东广州·一模）函数有意义，则自变量的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题解析：根据分式有意义的条件知：x-20 解得：x2 故选B. 【变式1-1】函数有意义，则自变量的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题解析：根据分式有意义的条件知：x-20 解得：x2 故选B. 【考点题型二】利用二次函数定义判断参数的值 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的定义及解一元二次方程，熟练掌握解二次函数的定义是解题关键．由二次函数的定义列出关于的一元二次方程和不等式，解方程与不等式即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得：， 故选：A． 【变式2-1】（24-25九年级上·广东中山·期中）若函数 是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A．2或 B． C．0或1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据自变量的次数等于2且系数不等于0列式计算即可． 【详解】解：∵函数 是关于x的二次函数， ∴且， 解得． 故选B． 【变式2-2】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知是关于x的二次函数，那么m的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据“形如的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：根据题意，得且， 解得：且， ∴． 故答案为：． 【考点题型三】二次函数的定义 【例3】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查的是二次函数的定义．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．形如 （a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义可得答案． 【详解】①，是二次函数； ②，是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ⑤∵中不是整 式，∴不是二次函数； ⑥，不是二次函数． ∴①②③是二次函数． 故答案为：①②③． 【变式3-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如是二次函数，根据二次函数的定义可得答案． 【详解】解：A. ，是一次函数，故选项A不符合题意； B. 不是二次函数，故选项B不符合题意； C. 整理后为，不是二次函数，故选项C不符合题意； D. 是二次函数，故选项D符合题意； 故选：D． 【考点题型四】求抛物线的顶点、对称轴、最值 【例4】（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）若二次函数有最大值，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．因为二次函数有最大值，所以它所对应的抛物线一定开口向下，所以可得，四个选项中只有，所以应选D． 【详解】解：二次函数有最大值， 二次函数对应的抛物线开口向下， ， 的值可能是． 故选：D． 【变式4-1】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线解析式求出顶点坐标，即可判断顶点坐标所在的位置． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线顶点在y轴上． 故选：D． 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，首先将二次函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可，熟知二次函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解： ， ∴抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是． 故选：C． 【变式4-3】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知二次函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了把二次函数解析式通过配方成顶点式求二次函数的最值的方法，熟练掌握配方法是解题的关键． 将二次函数解析式配方成顶点式即可求解． 【详解】解：将二次函数的解析式配方成顶点式得： ， ∴当时，二次函数有最小值为：， 故选：D． 【考点题型五】二次函数的增减性 【例5】（24-25九年级上·山西朔州·期中）若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为直线，根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，， ∴离对称轴最远，其次为，最近为， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）点，在抛物线上，存在正数，使得且时，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，一元一次不等式（组）的计算，先由二次函数的解析式求得函数的对称轴，然后求得当时，的取值范围，再由列出关于的不等式（组），进而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线， ∴函数的对称轴为直线， 根据二次函数的对称性可得，当时， ，， 即， ∵存在正数m，使得且时，都有， ∴或， 解得：或， 故选：C． 【变式5-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知函数图象开口向下，由的图象与性质可知对称轴是直线，当时，随的增大而减小，设点关于抛物线对称轴的对称点是，则由二次函数的对称性可得，由点，，都在对称轴的右侧且，即可得出答案． 【详解】解：函数解析式为， ， 函数图象开口向下，对称轴是直线，当时，随的增大而减小， 设点关于抛物线对称轴的对称点是， 由二次函数的对称性可知：， 根据轴对称的性质可得：， 解得：， ， 点，，都在对称轴的右侧，且， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，的图象与性质，根据二次函数的对称性求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【考点题型六】二次函数的平移 【例6】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（    ） A．25 B．－5 C．5 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，在x轴上的点的坐标特点，先把二次函数解析式化为顶点式得到顶点坐标为，再由在x轴上的点的纵坐标为0得到，则． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴， 故选：A． 【变式6-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）将函数的图象向左平移3个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线的平移，先把原二次函数转化为顶点式，再由抛物线平移规律：左加右减、上加下减，根据题中平移方式得到新抛物线解析式，即可得到答案． 【详解】解：， 该图象向左平移3个单位长度后，新抛物线的解析式为：， 新抛物线的顶点坐标为． 故选D． 【考点题型七】二次函数表达式的确定 【例7】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点．    (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； (2)连接A、B、C三点，求的面积． (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，根据交点坐标求不等式的解集． （1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据求出三角形的面积即可； （3）根据抛物线与直线的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：把代入得， ∴点的坐标为， 把代入得， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． （3）解：根据函数图象可知：当时，二次函数的图象在一次函数图象的下方， ∴不等式的解集为． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点．且有．顶点为D点． (1)求A、B点坐标． (2)求这个抛物线解析式． (3)将抛物线进行平移，使点A恰好落在顶点D的位置，请求出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，二次函数的平移． （1）根据二次函数的解析式得抛物线对称轴为直线，设点A坐标为，根据得点B坐标为，即可得，解得，即可得点A坐标为，点B坐标为； （2）将代入解得，即可得到抛物线解析式； （3）由上题知：抛物线顶点D坐标为，则将点向左平移3个单位，再向下平移个单位后得到点D，即可得平移后解析式． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点A坐标为， ∵， ∴点B坐标为， ∴， ， 解得， ∴点A坐标为，点B坐标为； （2）解：将代入， 得， ， 解得， ∴； （3）解：抛物线的顶点D坐标为， ∵将向左平移3个单位，再向下平移个单位后得到点， ∴平移后的抛物线解析式为． 【变式7-2】（24-25九年级上·贵州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和点，与y轴正半轴交于点C，且． (1)求该二次函数的解析式； (2)①若点均在该二次函数的图象上，请判断：对于任意实数的值是否为定值？ ②当时，总有，求实数t的值． 【答案】(1) (2)①是定值；②t的值为． 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质： （1）先求出点坐标，利用两点式写出函数解析式，再把点坐标代入求解即可； （2）①分别表示出，进行计算判断即可；②根据二次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和点，与y轴正半轴交于点C，且， ∴，二次函数的解析式为， ∴， ∴， ∴； （2）①的值是定值，理由如下： 把点代入函数解析式，得： ∴ ； 故的值是定值； ②∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵当时，总有， ∴， 当时，，若，则：（不符合题意，舍去）； ∴当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 【考点题型八】二次函数的图象与系数a，b，c的关系 【例8】（24-25九年级上·重庆长寿·期中）如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与轴的交点A在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（    ） A．①③④⑤ B．①②⑤ C．①②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质并结合题意逐项判断即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：，， ∵对称轴是， ∴， ∴， ∴，，故①②正确； 由图可得：当时，，故③错； 由图可得：当时，有最大值为， 故，即（m为实数），故④正确； 由图可得：当时，不一定大于0，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②④； 故选：D． 【变式8-1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形性质，会代入一些特殊值进行计算．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①抛物线的开口向上， 与轴的交点为在轴的负半轴上， 对称轴为， 同号，即， 故①错误； ②当时，函数值为2， 故②正确； ④当时，， 又， 故④正确； ③对称轴， 解得：， 由④得 故③错误； 综上所述，其中正确的结论是②④； 故选：D． 【变式8-2】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（   ）    A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．函数与x轴的两个交点坐标分别为和 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的图象和性质，根据函数图象确定对称轴、最小值、增减性、二次函数与x轴的交点判断即可． 【详解】解：图象关于直线对称，A说法正确，不符合题意； 函数的最小值是，B说法正确，不符合题意； 由关于对称的数为3，知函数与x轴的两个交点坐标分别为和，C说法正确，不符合题意； 当时，y随x的增大而减小，D说法错误，符合题意， 故选：D． 【考点题型九】二次函数与其他函数的图象关系 【例9】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质和一次函数的性质，根据二次函数的性质得对称轴为直线，可判断C；再由二次函数的性质和一次函数的性质对、的符号进行逐项判断，即可求解；掌握二次函数的性质和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 对称轴为直线，当时，则有，即抛物线与y轴的交点坐标为， 故C错误，不符合题意； A．由抛物线的图象得，顶点坐标为，且，所以一次函数交y轴于正半轴，且经过第一、二、四象限，故此项符合题意； B．由抛物线的图象得，由一次函数图象得，符号不一致，故此项错误，不符合题意； D．由一次函数图象得，，则由抛物线的顶点坐标可知，所以前后矛盾，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式9-1】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大． 根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由图象开口向下可知， 由对称轴，得， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B． 【变式9-2】在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，根据一次函数的图象得出的符号，进而判断出二次函数的图象即可求解，掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，该选项错误，不合题意； 、∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，该选项错误，不合题意； 、∵一次函数的图象经过二、三、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，该选项正确，符合题意； 、∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，该选项错误，不合题意； 故选：． 【考点题型十】二次函数与一元二次方程的关系 【例10】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若抛物线与轴交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数的关系．根据根与系数关系定理求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 故答案为：． 【变式10-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 根据抛物线的对称轴公式可判断①，根据对称轴及，得抛物线与轴的另一个交点为，进而可判断②，设，根据勾股定理列方程进而可判断③， 【详解】解：由对称轴为直线，得，故①正确； ∵点，对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， 即当时，， 故是方程的一个根，故②正确； 设， ∵二次函数， ∴， 故， 则当时，，化简得：， ∵， ∴当时，符合条件的点C有两个．故③错误． 故答案为：①②． 【变式10-2】函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图像与方程，能够熟练转化方程与图像的交点问题是解题关键．将转化为即方程的解为函数的图象与直线的交点的横坐标，通过图象解题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴方程的解为函数的图象与直线的交点的横坐标， 由图可知函数的图象与直线的交点只有一个， ∴关于的方程有两个相等的实数根， 故选：C． 【考点题型十一】二次函数的实际应用（1）-几何图形问题 【例11】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键． 设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：当，则， 解得：， 设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， ∵， 当时，C有最大值8． 故答案为：8． 【变式11-1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）中医药作为中华民族原创的医学科学，是中华文明的杰出代表，深刻反映了中华民族的世界观、价值观、生命观、健康观和方法论，兼具科学和人文的双重属性．为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为24米的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地．设中草药种植地边的长为米，面积为平方米． (1)直接写出与的函数关系式：______，并写出的取值范围：______； (2)当边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当边的长为5米时，中草药种植地面积最大，最大面积是45平方米． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用． （1）由可得出， 再根据长方形的面积公式表示出与的函数关系式，并求出其的取值范围即可． （2）根据二次函数的图像和性质即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：米， ∴， ∵墙的最大可用长度为9米 ∴， ∴． 故答案为：， （2）解：， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值， 最大值为（平方米．） 故当边的长为5米时，中草药种植地面积最大，最大面积是45平方米． 【变式11-2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，于点D，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点C出发沿向终点B运动，过点P作于点Q，以与为边作．设点P的运动时间为t（s）（），与的重叠部分图形的面积为S． (1)______． (2)当点M落在边上时，求t的值． (3)当与的重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式． (4)连结，当与的一条边垂直时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）解直角三角形求出，进而求出，再根据正切的定义即可解答； （2）由题意可得，根据勾股定理求得，证明，得到，求出，根据平行四边形的性质可得，当点M在边上时，易证，从而可得，即，即可求解； （3）分三种情况：①当时，；②当时，分别交于点G、点H，，③当时，交于点K，，分别进行求解即可； （3）分两种情况：①当时，则时平行四边形；②当时，易证，分别进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，； （2）解：由题意可得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 当点M在边上时， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：； （3）解：①当时，如图，此时，重叠部分的面积为：， 由（2）知， ∴， ； ∵，则， ∴点P运动到点D的时间为， ②当时，分别交于点G、点H， 此时，重叠部分的面积为：， ∵， ∴，即， 在中，， ∴（负值舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∵，则， ∴点P运动到点B的时间为， ③当时，交于点K， 此时，重叠部分的面积为：， 同理②得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，； （4）解：①当时， ∵， ∴， ∵， ∴时平行四边形， ∴， ∴ ∴； ②当时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（舍去）或， ∴当与的一条边垂直时，t的值为． 【点睛】本题考查动点相似三角形问题，涉及解直角三角形，勾股定理，函数关系式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性较强，难度较大，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【考点题型十二】二次函数的实际应用（2）-销售问题 【例12】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有间且全部用于出租储存货物． (1)用含的式子表示该宾馆每天的总利润w是_______元； (2)若游客居住每天带来的那部分总利润为元时，求空闲房间每天储存货物获得的总利润是多少元？ (3)该宾馆计划接受吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)元； (3)每间房价定价为元，宾馆每天的总利润最大为元． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程和二次函数关系式是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据游客居住每天带来的那部分总利润为元，列出方程，解方程求出的值即可； （3）先根据题意确定的取值范围为，结合（1）中结论可得，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，设空闲房间有间时， ∵宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲， ∴供游客居住的房间数是间，每个房间每天的定价是元时， ∵每个空闲房间每天储存货物可获得元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出元的各种费用， ∴每个空闲房间每天储存货物可获得元的利润，游客居住房间每个房间每天可获得元的利润， ∴该宾馆每天的总利润， 故答案为：． （2）解：若游客居住每天带来的那部分总利润为元时， 则游客居住每天带来的那部分总利润为， 解得：（舍）， ∴空闲房间每天储存货物获得的总利润是（元）； （3）解：∵该宾馆计划接受吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，且宾馆有个房间供游客居住， 故，且， 故x的取值范围为， 由（1）得， ∵，且二次函数对称轴为直线， ∴当（x为整数）时，w随x的增大而减小， ∴当时，w最大，最大值为， 此时，每间房价定价为（元），宾馆每天的总利润最大为元． 【变式12-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)设商场销售这种商品每天获利（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，正确解读题意，列出关系式是解题的关键． （1）设与之间的函数关系式为（），然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后有函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为． 由图象，把代入得， 解得， ∴与之间的函数关系式为． （2）解：∵， ∴ ∵，开口向下，对称轴为直线， ∴当随的增大而增大， ∴当时， 答：当每件商品的售价定为元时，每天销售利润最大，最大利润是元． 【变式12-2】（24-25九年级上·江苏南通·期中）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】 销售单价x（元） 日销售量y（件） 日销售利润w（元） (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式； (2)①填空：该产品的成本单价是 元，表中a的值是 ； ②若商店规定该商品的销售单价不低于元，求该商品日销售利润的最大值． 【答案】(1)一次函数解析式为 (2)①；②该商品日销售利润的最大值为元 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①设该产品的成本单价是n元，根据题意，得，可求，则，计算求解即可．②根据题意，得，由，，可知当时，w最大，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：设， 把代入得：， 解得：， 一次函数解析式为； （2）①解：设该产品的成本单价是n元， 根据题意，得， 解得， ∴． 故答案为：； ②解：根据题意，得， ，且销售单价不低于元，即， 当时，w最大，最大值为， 答：该商品日销售利润的最大值为元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次方程的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次方程的应用，一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值是解题的关键． 【考点题型十三】二次函数的实际应用（3）-拱桥问题 【例13】（24-25九年级上·云南楚雄·期中）建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用待定系数法可得抛物线解析式为，把代入可得，据此即可求解，正确建立平面直角坐标系是解题的关键． 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴当水面上升米后水面宽度为米， 故答案为：． 【变式13-1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长 米． 【答案】22.5 【分析】本题考查二次函数的实际应用，以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，由题意，抛物线过点，求出函数解析式，求出顶点坐标即可得出结果． 【详解】解：以所在直线为轴，点为坐标原点，建立直角坐标系，如图： 由题意，得：抛物线过点， 设抛物线的解析式为：，把代入，得： ， 解得：， ∴， ∴当时，有最大值为22.5， ∴这些钢索中最长的一根长为22.5米； 故答案为：22.5 【考点题型十四】二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题 【例14】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球能射进球门 【分析】本题考查二次函数的应用； （1）由题意可得过，顶点坐标为，再用待定系数法即可求解； （2）求出当时，的值，再与2.44比较即可． 【详解】（1）解：∵（米）， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线， 把点代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴球能射进球门． 【变式14-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②不能 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）①根据题意，设石块运行的函数关系式为，将代入解析式，待定系数求得； ②将代入，得出，将代入，得出，即可求解． （2）根据抛物线过原点，可得，将分别代入求得的值，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：①设石块运行的函数关系式为， 将代入，得，解得． 所以抛物线的解析式为． ②石块不能飞跃防御墙． 理由如下：将代入，； 将代入，．所以石块不能飞跃防御墙． （2）解：∵过点 ∴ ∴ ∴ 依题意分别代入， 即或 解得： 或 ∴． 【变式14-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）2023年10月5日，杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离，最高点的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)这次投篮训练能成功，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数解析等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，然后点代入求得即可解答； （2）令，求y的值，然后与比较即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：抛物线过点，顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入可得：，解得：， 所以抛物线的函数表达式． （2）解：这次投篮训练能成功，理由如下： 令，则， ∵， ∴这次投篮训练能成功． 【考点题型十五】二次函数的实际应用（4）-增长率问题 【例15】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）某工厂七月份生产零件万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个， 依题意得：． 故选：B． 【变式15-1】（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 【考点题型十六】二次函数的综合应用 【例16】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线与直线交于点． 嘉嘉说：当点与点重合时，长最大；琪琪说：当点的横坐标为1时，的面积为6．请选择其中一人的说法进行说理． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先求出，．再将，，代入，用待定系数法求解即可； （2）选择嘉嘉，先求出直线的解析式为．设点的横坐标为，则，，则，进而求解； 选择琪琪，先求出直线的解析式为．求出，，可得，最后由求解即可． 【详解】（1）解：，对称轴为直线， ， ． ， ， ． 把，，代入， 得 解得 抛物线的解析式为； （2）解：选择嘉嘉． 设直线的解析式为． 把，代入， 得 解得 直线的解析式为． 设点的横坐标为，则，， ， 当时，长最大，此时，与点A重合， 当点与点重合时，长最大； 选择琪琪： 设直线的解析式为． 把，代入， 得 解得 直线的解析式为． 点的横坐标为1，轴， 点的横坐标为1， 将代入，得， ， 将代入，得， ， ， 【点睛】此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数、一次函数解析式的确定，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征． 【变式16-1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值； (3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的横坐标为或 【分析】（1）把和的坐标代入抛物线解析求出a和b即可求解； （2）求出直线的解析式为，设，则，进而求得的表达式，根据二次函数的性质，即可得出答案； （3）分两种情况，①若，②若，由相似三角形的性质可求出的长，求出点坐标，联立直线和抛物线的解析式可求出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴ ， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴时，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， 设直线的解析式为， ∴ ， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 则， 则 ∵， ∴时，有最大值， ∴的最大值为． （3）解：∵，，， ∴，，， 若以为顶点的三角形与相似，可分两种情况： ①若， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴ ， ∴， ②若， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理的解析式为， ∴ ， ∴， 综上所述，点Q的坐标为点Q的横坐标为或． 【点睛】本题是二次函数压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积计算、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握二次函数图象和性质，相似三角形的性质等相关知识是解题关键． 【变式16-2】（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)的值为或 【分析】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出点纵坐标，代入抛物线解析式可求得的值； （4）由条件可得出，结合（）可得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过、两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，，解， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （2）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （3）解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为， ∴ ∵ ∴ ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，， ∴点纵坐标为， ∴，解得或， 当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （4）解：由（）得，， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点在线段上时，由（）得， ∴，此方程无实数根， 当点不在线段上时，则有， ∴，解得或， 综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（）中用表示出的长是解题的关键，在（）中确定出是解题的关键，在（）中由平行四边形的性质得到是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 【变式16-3】（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线的图象经过点，交轴于点，（点在点B左侧），连接，过点作交抛物线于D． (1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标； (2)若点为抛物线对称轴上一动点，连接、、．请直接写出周长的最小值及此时点的坐标； (3)若点为直线上方的抛物线上一个动点，点为直线上一动点，连、、、，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 【答案】(1)；，； (2)的周长最小为；点的坐标为， (3)四边形的面积最大为9，此时． 【分析】（1）把代入抛物线的解析式，求解得到的值，再令，解方程即可得出答案； （2）求得，待定系数法求出直线的解析式，从而得出直线的解析式，联立求得得出，关于抛物线的对称轴对称，直线与对称轴的交点即为点，此时，的周长为最小，据此计算即可得解； （3）过点作轴的垂线，交直线于点，设，则，则，由得到关于的二次函数，由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； 解方程， 得，， ∴，； （2）解：由抛物线可得，对称轴为直线， 设直线的解析式为，代入点的坐标得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴可设直线的解析式为，代入点的坐标得，， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， ∵如图，关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与对称轴的交点即为点，此时， ∴最小， ∴的周长为最小， ∵直线的解析式为，当时，， 的坐标为， ∵， ∴的周长最小为； （3）解：如图，过点作轴的垂线，交直线于点， 设点的坐标为，则，其中， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大为9，此时． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的综合应用、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次函数 （10个考点梳理+16种题型解读） 【清单01】二次函数的定义 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．其中，ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项. 特殊形式： 当a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2； 当a≠0，b＝0时，y＝ax2+c； 当a≠0，c＝0时，y＝ax2+bx. 【清单02】y=ax2的图象和性质 . . 【清单03】y=ax2+k的图象和性质 【清单04】y=a（x-h）2的图象和性质 【清单05】y=a（x-h）2+k的图象和性质 【清单06】y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 【清单07】二次函数图象的平移 【清单08】二次函数表达式的三种表达式 一般式：y＝ax2＋bx＋c (a≠ 0) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 【清单09】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数a，b，c的关系 【清单10】二次函数与一元二次方程的关系 【考点题型一】函数的判断和自变量取值范围 【例1】（2016·广东广州·一模）函数有意义，则自变量的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【变式1-1】函数有意义，则自变量的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【考点题型二】利用二次函数定义判断参数的值 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】（24-25九年级上·广东中山·期中）若函数 是关于x的二次函数，则m的值为（    ） A．2或 B． C．0或1 D．2 【变式2-2】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）已知是关于x的二次函数，那么m的值为 ． 【考点题型三】二次函数的定义 【例3】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ．（只填序号） 【变式3-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型四】求抛物线的顶点、对称轴、最值 【例4】（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）若二次函数有最大值，则的值可以是（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）抛物线的顶点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．x轴上 D．y轴上 【变式4-2】（24-25九年级上·安徽·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知二次函数的最小值是（    ） A．7 B． C．9 D． 【考点题型五】二次函数的增减性 【例5】（24-25九年级上·山西朔州·期中）若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）点，在抛物线上，存在正数，使得且时，都有，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式5-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【考点题型六】二次函数的平移 【例6】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（    ） A．25 B．－5 C．5 D．10 【变式6-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）将函数的图象向左平移3个单位长度后得到的新抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【考点题型七】二次函数表达式的确定 【例7】（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点．    (1)利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； (2)连接A、B、C三点，求的面积． (3)直接写出不等式的解集． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点．且有．顶点为D点． (1)求A、B点坐标． (2)求这个抛物线解析式． (3)将抛物线进行平移，使点A恰好落在顶点D的位置，请求出平移后抛物线的解析式． 【变式7-2】（24-25九年级上·贵州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和点，与y轴正半轴交于点C，且． (1)求该二次函数的解析式； (2)①若点均在该二次函数的图象上，请判断：对于任意实数的值是否为定值？ ②当时，总有，求实数t的值． 【考点题型八】二次函数的图象与系数a，b，c的关系 【例8】（24-25九年级上·重庆长寿·期中）如图是二次函数（是常数，）图象的一部分，与轴的交点A在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的是（    ） A．①③④⑤ B．①②⑤ C．①②③④ D．①②④ 【变式8-1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【变式8-2】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，下列说法错误的是（   ）    A．图象关于直线对称 B．函数的最小值是 C．函数与x轴的两个交点坐标分别为和 D．当时，y随x的增大而增大 【考点题型九】二次函数与其他函数的图象关系 【例9】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式9-2】在同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【考点题型十】二次函数与一元二次方程的关系 【例10】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若抛物线与轴交于点，，则 ． 【变式10-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与x轴的负半轴交于点，与y轴的正半轴交于点B，对称轴直线上有一个动点C，现有下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，符合条件的点C有且只有一个．其中所有正确结论的序号是 ． 【变式10-2】函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无实数根 【考点题型十一】二次函数的实际应用（1）-几何图形问题 【例11】（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图，P是抛物线在第一象限上的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A，B，则四边形周长的最大值为 ． 【变式11-1】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）中医药作为中华民族原创的医学科学，是中华文明的杰出代表，深刻反映了中华民族的世界观、价值观、生命观、健康观和方法论，兼具科学和人文的双重属性．为了传承中华民族传统的中医药文化，推进中医药文化课程的开发与实施，让学生充分体验中草药种植的乐趣，学校规划了一块如图所示的矩形用地，用长为24米的篱笆，一面靠墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的中草药种植地．设中草药种植地边的长为米，面积为平方米． (1)直接写出与的函数关系式：______，并写出的取值范围：______； (2)当边的长为多少时，中草药种植地面积最大，最大面积是多少？ 【变式11-2】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，于点D，．动点P以每秒5个单位长度的速度从点C出发沿向终点B运动，过点P作于点Q，以与为边作．设点P的运动时间为t（s）（），与的重叠部分图形的面积为S． (1)______． (2)当点M落在边上时，求t的值． (3)当与的重叠部分图形是四边形时，求S与t之间的函数关系式． (4)连结，当与的一条边垂直时，直接写出t的值． 【考点题型十二】二次函数的实际应用（2）-销售问题 【例12】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）某宾馆有个房间供游客居住，当每个房间每天的定价是元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加5元时，就会有一个房间空闲，空闲的房间可以出租储存货物，每个空闲房间每天储存货物可获得元的利润，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天额外支出元的各种费用，储存货物不需要额外支出费用，设空闲房间有间且全部用于出租储存货物． (1)用含的式子表示该宾馆每天的总利润w是_______元； (2)若游客居住每天带来的那部分总利润为元时，求空闲房间每天储存货物获得的总利润是多少元？ (3)该宾馆计划接受吨的货物存储，每个房间最多可以存储3吨，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天的总利润w最大，最大利润是多少元？ 【变式12-1】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）某商场以每件元的价格购进一种商品，规定这种商品每件售价不低于进价，又不高于元，经市场调查发现：该商品每天的销售量（件）与每件售价（元）之间符合一次函数关系，如图所示． (1)求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)设商场销售这种商品每天获利（元），当每件商品的售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式12-2】（24-25九年级上·江苏南通·期中）某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：【注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价）】 销售单价x（元） 日销售量y（件） 日销售利润w（元） (1)根据以上信息，求y关于x的函数关系式； (2)①填空：该产品的成本单价是 元，表中a的值是 ； ②若商店规定该商品的销售单价不低于元，求该商品日销售利润的最大值． 【考点题型十三】二次函数的实际应用（3）-拱桥问题 【例13】（24-25九年级上·云南楚雄·期中）建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 【变式13-1】（24-25九年级上·河北唐山·期中）如图，武汉晴川桥可以近似地看作抛物线，桥拱和路面之间用等距的9根钢索垂直相连，其正下方的路面长度为，这些钢索中最短的一根长8.1米，那么这些钢索中最长的一根长 米． 【考点题型十四】二次函数的实际应用（3）-跑跳轨迹问题 【例14】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）足球训练中球员从球门正前方9米的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6米时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以O为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为2.44米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【变式14-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）图1展示的发石车是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图，发石车位于点处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，点与点的水平距离为米，垂直距离为米．以点为原点，水平方向为轴方向，建立平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的解析式（不用写出的取值范围）； ②石块能否飞越防御墙． (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（不包括端点，，直接写出的取值范围． 【变式14-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）2023年10月5日，杭州亚运会女篮决赛，中国女篮以74比72战胜日本女篮夺得冠军，女篮的夺冠跟队员们平时的刻苦训练是分不开的．如图，这是一位篮球运动员在进行投篮训练，篮球以一定的速度斜向上抛出，不计空气阻力，在空中划过的运动路线可以看作是抛物线的一部分．以为坐标原点，建立平面直角坐标系．已知投篮处A到地面的距离，最高点的坐标为，篮筐中心距离地面的竖直高度是． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当该篮球运动员距篮筐中心的水平距离为时，这次投篮训练是否成功？请判断并说明理由． 【考点题型十五】二次函数的实际应用（4）-增长率问题 【例15】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）某工厂七月份生产零件万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十六】二次函数的综合应用 【例16】（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线，． (1)求抛物线的解析式； (2)为直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线与直线交于点． 嘉嘉说：当点与点重合时，长最大；琪琪说：当点的横坐标为1时，的面积为6．请选择其中一人的说法进行说理． 【变式16-1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，抛物线交轴于，两点，与轴交于点．连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点为抛物线在第三象限的一个动点，轴于点．交于点，于点，求线段的最大值； (3)如图2，若为抛物线上一点，直线与线段交于点，是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似．若存在，请求出此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 关键． 【变式16-2】（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【变式16-3】（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线的图象经过点，交轴于点，（点在点B左侧），连接，过点作交抛物线于D． (1)求抛物线的解析式及点A、B的坐标； (2)若点为抛物线对称轴上一动点，连接、、．请直接写出周长的最小值及此时点的坐标； (3)若点为直线上方的抛物线上一个动点，点为直线上一动点，连、、、，求四边形面积的最大值及此时点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$