专题06 对概率的进一步认识（考点清单，5个考点梳理+8种题型解读）（期末复习知识清单）九年级数学上学期鲁教版

· 专题06 对概率的进一步认识 （5个考点梳理+7种题型解读） 【清单01】列表法 · 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表法 【清单02】树状图法 · 当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时, 为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树状图”. 【清单03】 用列表法求概率的步骤 · ①列表格； · ②确定所有可能的结果和事件发生的结果. · ③代入概率公式计算. 【清单04】用树状图法求概率的步骤 · ①确定每一步有几种结果； · ②在树状图下面对应写着所有可能的结果； · ③利用概率公式进行计算. 【清单05】频率和概率的区别和联系 · 在大量重复试验中，随机事件A发生的频率 会稳定到某个常数P.我们用P这个常数表示事件A发生的概率，即 P（A）=P. · 频率稳定时可看作是概率，但概率与频率无关. 【考点题型一】用列举法求概率的步骤 【例1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查列举法求概率；由题意可知有235、253、325、352、523、532，共6种可能，然后问题可求解． 【详解】解：现随机输入这三个数，有235、253、325、352、523、532，共6种可能，那么一次就能支付成功的概率为； 故选：B． 【变式1-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，列举法求概率．熟练掌握一次函数的图象与性质，列举法求概率是解题的关键． 由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限，然后列举所有的情况，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当或时，一次函数的图象经过第二象限和第三象限， 由题意知，有，，，，，，，，共9种等可能的结果， 其中使一次函数的图象经过第二象限和第三象限，有，，，，共5种等可能的结果， ∴一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为， 故选：D． 【变式1-2】（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有： 闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合四个的情况有：，，，， 故这些开关随机闭合至少两个共11种， 其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种， 将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 【考点题型二】用列表法或树状图法求概率的步骤 【例2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了两张卡片，则小涵抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查概率公式，以及用画树状图法求概率．根据题意画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可画树状图如下： 由图知，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的有种， 抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为； 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·全国·期末）某校七、八年级分别从四部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片不相同的概率为（  　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握列表法或树状图是解题的关键． 先列出表格，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：设四部影片依次为A、B、C、D，根据题意，列表如下： A B C D A A、A A、B A、C A、D B B、A B、B B、C B、D C C、A C、B C、C C、D D D、A D、B D、C D、D 表中共有种等可能得结果，其中两个年级选择不相同的影片有种， ∴这两个年级选择的影片不相同的概率为． 故选：D． 【变式2-2】（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查树状图法与列表法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与经过两次传球后，球回到甲、乙、丙、丁手中的情况，再利用概率公式即可求得答案．解题的关键是掌握知识点：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：画树状图得：    ∵共有种等可能的结果，经过次传球后，球回到甲手中的有种情况，回到乙手中的有种情况，回到丙手中的有种情况，回到丁手中的有种情况， ∴经过次传球后，球回到甲手中的概率是， 球回到乙手中的概率是， 球回到丙手中的概率是， 球回到丁手中的概率是， ∵， ∴第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是甲． 故选：A． 【考点题型三】利用概率判断游戏的公平性 【例3】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为1，2，3的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【答案】不公平 【分析】本题考查了列表法求概率，游戏公平性问题；先根据题意列出表格，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 共有9种情况，和为奇数有4种情况，和为偶数有5种情况， ∴甲获胜的概率是，乙获胜的概率是 所以这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 【变式3-1】（2024·贵州·模拟预测）某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了概率的计算，掌握概率的计算公式是解题的关键． 根据题意可得黑球有个，根据概率公式可得摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为，使得游戏公平，则概率相等，由此列式求解即可． 【详解】解：口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球， ∴黑球有个， ∴摸到绿球的概率为，摸到黑球的概率为， ∵使游戏对小星、小红双方公平， ∴， 解得，， 故选：B ． 【变式3-2】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小临从四张卡片中随机抽取两张，小临抽取两张卡片内容均为化学变化的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及小临抽取两张卡片内容均为化学变化的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解∶四张卡片内容中是化学变化的有∶A，D． 画树状图如下∶ 共有12种等可能的结果，其中小临抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有∶，．共2种，小临抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为． 故答案为：． 【考点题型四】概率的实际应用 【例4】（2024·甘肃·模拟预测）甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． (1)求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； (2)若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】（1）小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为； （2）将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下： 小肃小甘 A B C D A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) 由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种， ∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为． 【变式4-1】（2022·福建·一模）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满200元减66元； 方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受的优惠如表所示． 的值 2 6 10 实际付款 8折 7折 6折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元（），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出表格，得到所有的等可能的结果，根据概率公式即可得结果． （2）根据题意分别表示出顾客按方案一、方案二需要支付的金额，然后根据选择方案二更优惠列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：列表如下： 1 1 5 5 1 （1，1） （1，5） （1，5） 1 （1，1） （1，5） （1，5） 5 （5，1） （5，1） （5，5） 5 （5，1） （5，1） （5，5） 由上表可知共有12种结果，并且他们发生的可能性相等，其中和为6的有8种． ∴该顾客选择方案二的抽奖方式获得7折优惠的概率为； （2）解：依题意知， 所以该顾客可按方案二抽奖一次． 选择方案二时，由（1）可知，该顾客获得“8折”优惠的概率为，获得“7折”优惠的概率为，获得“6折”优惠的概率为， ∴方案二的平均打折数为． 选择方案一时，该顾客需要支付元． ∴依题意可得：， 解得：． ∴当时，该顾客选择方案二更优惠． 【点睛】本题主要考查了用树状图或列表法求概率以及概率的应用和一元一次不等式，解题的关键是注意用树状图或列表法列出所有的等可能的结果时，做到不重复、不遗漏，以及熟记求简单等可能性事件的概率=所求情况数与总情况数之比． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）模拟经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当同向行驶的三辆汽车经过这个十字路口时， (1)求三辆车全部同向而行的概率． (2)求至少有两辆车向左转的概率． (3)这个路口汽车左转．右转、直行的指示绿灯交替亮起，亮的时间均为秒．交管部门对这个十字路口交通高峰时段车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为使交通更加通畅，请你用统计的知识对此十字路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 【答案】(1) (2) (3)向左转及直行的绿灯亮的时间都为（秒），向右转绿灯亮的时间为（秒） 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意：概率所求情况数与总情况数之比． （1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与三辆车全部同向而行的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2）由（1）中的树状图即可求得至少有两辆车向左转的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； （3）由汽车向右转、向左转、直行的概率分别为，，，即可求得答案． 【详解】（1）解：分别用、、表示向左转，直行，向右转，根据题意画出树状图如下： 由图可知：共有种等可能的结果数，三辆车全部同向而行的有种情况， （ 三辆车全部同向而行的概率） ； （2）解：至少有两辆车向左转的情况数有种， （ 至少有两辆车向左转 ）=； （3）解：汽车向右转、向左转，直行的概率分别为，，， 在绿灯亮的总时间不变的条件下可以调整绿灯亮的时间如下： 向左转及直行的绿灯亮的时间都为：（秒）， 向右转绿灯亮的时间为：（秒）． 【考点题型五】频率与概率的概念 【例5】（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 【详解】解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 【变式5-1】（19-20九年级上·全国·课后作业）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是 【答案】25 【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案． 【详解】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是25， 故答案为：25． 【点睛】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间． 【变式5-2】下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【答案】B 【分析】本题考查用频率估计概率，掌握在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值是解题关键．理解用频率估计概率，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率不一定越来越小，故该选项说法错误，不符合题意； B．根据在大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近概率，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5，故该选项说法正确，符合题意； C．试验50000次正面朝上的频率不一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5，故该选项说法错误，不符合题意； D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数不一定等于2500，故该选项说法错误，不符合题意． 故选B． 【考点题型六】求某件事情的频率 【例6】（20-21九年级上·云南红河·期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（    ）． 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 0.923 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断： ①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，据此进行判断即可． 【详解】解：①当移植的树数是3500时，表格记录成活数率是0.915，且树苗成活的频率总在0.900附近摆动，这种树苗成活的概率不一定高于0.890，故错误； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是0.900，故正确； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵，故正确； ④若小张移植20000棵这种树苗，则不一定成活18000棵，故错误． 故选C． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【变式6-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【答案】B 【分析】本题主要考查频率的应用，根据成活率求出未成活率，再乘以2000即可得出结果． 【详解】解：（棵）， 故选：B 【变式6-2】（2024八年级下·全国·专题练习）调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可． 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 【考点题型七】由频率估计概率 【例7】（24-25九年级上·四川达州·期中）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（   ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 【答案】B 【分析】本题考查了根据评率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于0.410， 故选：B ． 【变式7-1】（2024·贵州·模拟预测）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 【答案】C 【分析】本题主要考查概率的计算和频率估计概率；分别计算出每个事件的概率，其值在的即符合题意； 【详解】解：A、袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率为，不符合题意； C、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2的概率为，符合题意； D、从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花的概率为，不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】（24-25九年级上·山东济南·期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率是解题关键，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解． 【详解】解：由题意可知，袋子上中有个球，则白球出现的概率为，红球出现的概率为，黄球出现的概率为，黑球出现的概率为， 试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， 该种球的颜色最有可能是黄色， 故选：C． 【考点题型八】概率与统计图的综合应用 【例8】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整． (2)若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人． (3)此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率． 【答案】(1)72；补全条形统计图见详解； (2)220； (3)． 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键． （1）用条形统计图中一般等级的人数除以扇形统计图中一般的百分比可得抽取的学生人数，进而可得优秀等级的百分比用乘以优秀等级的百分比，即可得出扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角度数；求出良好等级的学生人数，补全条形统计图即可； （2）根据用样本估计总体，用550乘以扇形统计图中良好的百分比，即可得出答案； （3）画树状图可得出所有等可能的结果数以及选中的两名同学恰好是甲和乙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解∶抽取的学生人数为 (人)， 扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 故答案为∶72； “良好”等级的学生人数为 (人)， 补全条形统计图如图所示 （2）解：成绩良好的学生约有（人）， 故答案为：220； （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲和乙的结果有∶甲乙，乙甲，共2种． 选中的两名同学恰好是甲和乙的概率为． 【变式8-1】（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）为迎接年月在成都举办的“第届世界大学生夏季运动会”，同时为了解龙泉驿区人民对大运会的认知情况，龙泉驿区在大面街道师大社区开展了对“大运会的认知情况”调查，社区工作人员对该社区居民进行了抽样调查，按认知情况可分如下四类：类——完全不了解；类——了解基本情况；类——较为了解；类——非常了解．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)此次抽样调查的人数是____________人；____________； (2)补全条形统计图； (3)为继续宣传大运会的相关知识，社区管理部门准备在非常了解的居民中征集名志愿宣传者，现有男女共名居民报名，要从这人中随机挑选人，求恰好抽到男和女的概率． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3) 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的应用，列表法或树状图法求概率． （1）用类的人数除以其人数占比即可得到总人数，用类型人数除以总人数即可得出的值； （2）分别求出类型人数和类型人数，据此补全统计图即可,； （3）画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）解：解此次抽样调查的人数为：（人）； 类型人数百分比为：； 故答案为：；． （2）解：类型人数为：（人）； 类型人数为：（人）； 补全图形如下： （3）解：画树状图如下： 所有等可能的情况有种，其中一男一女有种， ∴恰好选到一男一女的概率为． 【变式8-2】（24-25九年级上·山东济南·期中）每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： (1)接受测评的学生共有 人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为 ； (2)请补全条形统计图； (3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是用列表法或树状图求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况之比． （1）根据等级为中的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“优”等级人数所占比例； （2）根据四个等级人数之和等于总人数求出“良”的人数即可补全图形即可． （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：接受测评的学生共有（人）， 扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为， 故答案为：160，； （2）解：等级为“良”的人数为（人）， 补全图形如下： ； （3）解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的有4种情况， ∴抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的概率是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 专题06 对概率的进一步认识 （5个考点梳理+7种题型解读） 【清单01】列表法 · 当一次试验要涉及两个因素,并且可能出现的结果数目较多时,为了不重不漏的列出所有可能的结果,通常采用列表法 【清单02】树状图法 · 当一次试验中涉及2个因素或更多的因素时, 为了不重不漏地列出所有可能的结果,通常采用“树状图”. 【清单03】 用列表法求概率的步骤 · ①列表格； · ②确定所有可能的结果和事件发生的结果. · ③代入概率公式计算. 【清单04】用树状图法求概率的步骤 · ①确定每一步有几种结果； · ②在树状图下面对应写着所有可能的结果； · ③利用概率公式进行计算. 【清单05】频率和概率的区别和联系 · 在大量重复试验中，随机事件A发生的频率 会稳定到某个常数P.我们用P这个常数表示事件A发生的概率，即 P（A）=P. · 频率稳定时可看作是概率，但概率与频率无关. 【考点题型一】用列举法求概率的步骤 【例1】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，小辰准备在妈妈生日当天订购鲜花送给她，在付款时忘了支付密码的后三位数，只记得密码后三位数是由“2，3，5”这三个数字组成的（不同数位上的数字不同），现随机输入这个三位数，一次就能支付成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·贵州毕节·期中）在三张卡片上分别标上数字，2，，先从这三张卡片中随机抽出一张记所标数字为a，然后放回打乱，再从中随机抽出一张记所标数字为b，则一次函数的图象经过第二象限和第三象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级下·四川绵阳·期中）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】用列表法或树状图法求概率的步骤 【例2】（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）数学选修课开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小涵随机抽取了两张卡片，则小涵抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚卡通图案的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·全国·期末）某校七、八年级分别从四部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片不相同的概率为（  　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·内蒙古包头·三模）甲、乙、丙、丁四位同学在操场上练习互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，则第二次传完后，球回到手上概率最高的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点题型三】利用概率判断游戏的公平性 【例3】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）甲、乙两人玩扑克牌游戏，游戏规则是：从牌面数字分别为1，2，3的三张扑克牌中，随机抽取一张，放回后，再随机抽取一张，若所抽的两张牌面数字的和为奇数，则甲获胜；若所抽取的两张牌面数字的和为偶数，则乙获胜．这个游戏 ．（填“公平”或“不公平”） 【变式3-1】（2024·贵州·模拟预测）某口袋中有10个球，其中白球个，绿球个，其余为黑球，从袋中任意摸出一个球，若为绿球，则小星获胜，若为黑球，则小红获胜，要使游戏对小星、小红双方公平，则的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式3-2】（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．小临从四张卡片中随机抽取两张，小临抽取两张卡片内容均为化学变化的概率是 ． 【考点题型四】概率的实际应用 【例4】（2024·甘肃·模拟预测）甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容． (1)求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率； (2)若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率． 【变式4-1】（2022·福建·一模）商场在国庆期间举行部分商品优惠促销活动，顾客只能从以下两种方案中选择一种： 方案一：购物每满200元减66元； 方案二：顾客购物达到200元可抽奖一次．具体规则是：在一个箱子内装有四张一样的卡片，四张卡片中有2张写着数字1，2张写着数字5．顾客随机从箱子内抽出两张卡片，两张卡片上的数字和记为，的值和享受的优惠如表所示． 的值 2 6 10 实际付款 8折 7折 6折 (1)若按方案二的抽奖方式，利用树形图（或列表法）求一次抽奖获得7折优惠的概率； (2)若某顾客的购物金额为元（），请用所学统计与概率的知识，求出选择方案二更优惠时的取值范围． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）模拟经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，如果这三种情况是等可能的，当同向行驶的三辆汽车经过这个十字路口时， (1)求三辆车全部同向而行的概率． (2)求至少有两辆车向左转的概率． (3)这个路口汽车左转．右转、直行的指示绿灯交替亮起，亮的时间均为秒．交管部门对这个十字路口交通高峰时段车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为，向左转和直行的频率均为，在绿灯亮的总时间不变的条件下，为使交通更加通畅，请你用统计的知识对此十字路口三个方向的绿灯亮的时间做出合理的调整． 【考点题型五】频率与概率的概念 【例5】（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【变式5-1】（19-20九年级上·全国·课后作业）事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是 【变式5-2】下表列出了一些历史上的数学家所做的“掷质地均匀的硬币”试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率mn 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 下列说法正确的是（　） A．随着试验次数的增加，正面朝上的频率越来越小 B．随着试验次数的增加，正面朝上的频率稳定在0.5附近，我们可以估计“正面朝上”这一事件的概率为0.5 C．试验50000次正面朝上的频率一定比试验10000次正面朝上的频率更接近0.5 D．当试验次数为5000次时，正面朝上的次数一定等于2500 【考点题型六】求某件事情的频率 【例6】（20-21九年级上·云南红河·期末）小张承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个橡胶园，现在有一种橡胶树树苗，它的成活率如下表所示，则下面推断中，其中合理的是（    ）． 移植棵数 成活数 成活率 移植棵数 成活数 成活率 50 47 1500 1335 270 235 3500 3203 400 369 0.923 7000 6335 750 662 14000 12628 下面有四个推断： ①小张移植3500棵这种树苗，成活率肯定高于； ②随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是； ③若小张移植10000棵这种树苗，则可能成活9000棵； ④若小张移植20000棵这种树苗，则一定成活率18000棵． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【变式6-1】（23-24九年级上·全国·课后作业）林业局将一批树苗移栽到林区，已知这批树苗的成活率接近0.95，已知移栽的树苗为2000棵，那么移栽后未成活的树苗约有（　　） A．75棵 B．100棵 C．150棵 D．1900棵 【变式6-2】（2024八年级下·全国·专题练习）调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【考点题型七】由频率估计概率 【例7】（24-25九年级上·四川达州·期中）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表，根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（   ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 A．0.400 B．0.410 C．0.413 D．0.423 【变式7-1】（2024·贵州·模拟预测）某小组在“用频率估计概率”的试验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 B．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上” C．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2 D．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的牌是梅花 【变式7-2】（24-25九年级上·山东济南·期中）数学课上，李老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有4个白球、3个红球、2个黄球和1个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（   ） A．黑球 B．红球 C．黄球 D．白球 【考点题型八】概率与统计图的综合应用 【例8】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）某项活动的比赛成绩分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，为了解该项活动的比赛成绩，抽取了部分同学的成绩进行统计，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 度，并将条形统计图补充完整． (2)若参加比赛的共有550名学生，则成绩良好的学生有 人． (3)此次活动中甲，乙，丙，丁四名同学获得满分，现从这四名同学中随机抽取两名同学参加该项目活动的展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲和乙的概率． 【变式8-1】（22-23九年级下·四川成都·阶段练习）为迎接年月在成都举办的“第届世界大学生夏季运动会”，同时为了解龙泉驿区人民对大运会的认知情况，龙泉驿区在大面街道师大社区开展了对“大运会的认知情况”调查，社区工作人员对该社区居民进行了抽样调查，按认知情况可分如下四类：类——完全不了解；类——了解基本情况；类——较为了解；类——非常了解．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下： (1)此次抽样调查的人数是____________人；____________； (2)补全条形统计图； (3)为继续宣传大运会的相关知识，社区管理部门准备在非常了解的居民中征集名志愿宣传者，现有男女共名居民报名，要从这人中随机挑选人，求恰好抽到男和女的概率． 【变式8-2】（24-25九年级上·山东济南·期中）每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答： (1)接受测评的学生共有 人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为 ； (2)请补全条形统计图； (3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$