专题02 直角三角形中的边角关系（考点清单，8个考点梳理+13种题型解读）（期末复习知识清单）九年级数学上学期鲁教版

专题02 直角三角形中的边角关系 【清单01】锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． ①∠A的正弦：sinA＝ =②∠A的余弦：cosA＝＝ ； ③∠A的正切：tanA＝ ＝ . 【清单02】锐角三角函数的增减性 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. . 【清单03】特殊角的三角函数 【清单04】直角三角形中的边角关系 ①三边关系：a2＋b2＝c2 ②三角关系：∠A＝90°－∠B　. ③边角关系：sinA＝cosB＝　，cosA＝sinB＝　　，tanA＝，tanB＝. 【清单05】锐角三角函数的计算 ①利用计算器求三角函数值：直接按三角函数键． ②利用计算器求锐角的度数：先按2ndF键. 【清单06】仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 【清单07】方向角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角. 【清单08】坡角、坡度（或坡比） ①坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. ②坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,即. ③坡度等于坡角的正切值,即 【考点题型一】求三角函数值 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【考点题型二】网格中求三角函数值 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2022·陕西西安·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·陕西西安·二模）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高长度为（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】利用特殊角的三角函数值计算 【例3】（23-24九年级下·内蒙古包头·阶段练习）计算： ． 【变式3-1】（2024九年级上·全国·专题练习）计算：． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：. 【考点题型四】利用三角函数值判断角度大小 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【变式4-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】利用三角函数值判断三角形形状 【例5】（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知、、分别为中、、的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且，判断的形状，并说明理由． 【变式5-1】（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【变式5-2】（19-20九年级上·陕西宝鸡·期末）在中,若，则是 三角形． 【变式5-3】在△ABC中，（2sinA﹣）2+＝0，则△ABC的形状为 ． 【考点题型六】用计算器求三角函数值 【例6】（2024·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型七】直接解直角三角形 解2个直角三角形常见思路：①利用公共边设未知数，用勾股定理; ②利用三角函数值. 【例7】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点，点C是一点，若，则 ． 【变式7-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，D为垂足，，那么 ． 【变式7-2】（2024·四川绵阳·二模）如图，在中， ，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，． ①求； ②求的面积． 【变式7-3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，垂足为D，，求的值． 【考点题型八】构造辅助线解直角三角形 构造辅助线常见思路：①作高; ②延长；③作平行. 【例8】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【变式8-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）阅读下面材料． 小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题： (1)请直接写出的长为_______； (2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． (3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 【变式8-2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【变式8-3】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【考点题型九】三角函数与其他图形综合 【例9】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【变式9-1】（2024·上海静安·二模）如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【变式9-2】（2024·江苏盐城·一模）如图，已知菱形，，点E是边中点，，则 ． 【考点题型十】三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角 【例10】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）中山广场的灯杆上挂着一个广告牌，某数学“综合与实践”小组计划测量该广告牌上下边缘高度差．测量方案如图所示，是高为18米的灯杆，广告牌的上边缘在点处，下边缘在点处．小林同学站在距灯杆16米远的处，借助测角仪观察，测得灯杆上的点的仰角是，小林同学的眼睛到地面的距离米；小赵同学借助无人机技术在观测点处进行测量，测得平行于水平线，灯杆上的点的俯角是，点，之间的距离是10米．请根据以上数据，求灯杆上广告牌的高度．（结果精确到米） （参考数据：，，，） 【变式10-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）． (1)求小明从点到点的过程中上升的高度； (2)大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米） 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西·期中）图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求西安电视塔的高度．（参考数据：，，） 【变式10-3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离（即的长度）．已知测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小张在处测得标语牌顶部点的仰角为，，且图中点在同一平面内，求的长．（参考数据：，，） 【考点题型十一】三角函数的实际应用（2）--方向角 【例11】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在A地的北偏东方向，求，两地的距离． 【变式11-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东方向上，它向东匀速航行了60海里到达点C处，此时测得灯塔A在它的北偏东方向上，从点C处继续向东匀速航行3小时到达点D处，此时测得灯塔A在它的北偏西方向上，求该渔船航行的速度为每小时多少海里？，    【变式11-2】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处：小强自南门B处出发，沿正西方向行走到达D处，再沿北偏西；方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，） 【考点题型十二】三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度（或坡比） 【例12】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）周末，小明参加骑行活动，他沿着坡度为的山坡上坡前进了，则小明所在的位置升高了（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 【考点题型十三】三角函数的实际应用（4）--与实际物体结合 【例13】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面的夹角，视线PE与地面的夹角，点为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（参考数据：，，，）（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图是一架人字梯，已知，两梯脚之间的距离米，与地面的夹角为，则人字梯长为 米． 【变式13-2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直角三角形中的边角关系 【清单01】锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边． ①∠A的正弦：sinA＝ =②∠A的余弦：cosA＝＝ ； ③∠A的正切：tanA＝ ＝ . 【清单02】锐角三角函数的增减性 当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. . 【清单03】特殊角的三角函数 【清单04】直角三角形中的边角关系 ①三边关系：a2＋b2＝c2 ②三角关系：∠A＝90°－∠B　. ③边角关系：sinA＝cosB＝　，cosA＝sinB＝　　，tanA＝，tanB＝. 【清单05】锐角三角函数的计算 ①利用计算器求三角函数值：直接按三角函数键． ②利用计算器求锐角的度数：先按2ndF键. 【清单06】仰角和俯角 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 【清单07】方向角 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角. 【清单08】坡角、坡度（或坡比） ①坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α. ②坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面的坡度（或坡比）,即. ③坡度等于坡角的正切值,即 【考点题型一】求三角函数值 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·山东济南·期中）在中，，，，的对边分别用表示，则下列等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，根据锐角三角函数的定义进行解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式不正确，符合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 、，即，该选项等式正确，不合题意； 故选：．    【变式1-2】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 【变式1-3】（23-24九年级上·广东清远·阶段练习）把三边的长度都扩大为原来的2倍，则锐角的正弦值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，由于三边的长度都扩大为原来的倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角的正弦值也不变． 【详解】因为三边的长度都扩大为原来的倍，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小没改变，所以锐角的正弦值也不变． 故选A． 【考点题型二】网格中求三角函数值 【例2】（2025九年级下·全国·专题练习）三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，首先根据三角形在网格纸中的位置可以得到、、，根据勾股定理可以得到，再根据正弦定义求出即可． 【详解】解：如下图所示， 由网格可知、、， ， ， 故选：C． 【变式2-1】（2022·陕西西安·模拟预测）如图，网格中每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据网格构造直角三角形，利用勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可； 【详解】解：如图，在直角三角形中，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是解决问题的前提，构造直角三角形是正确解答的关键． 【变式2-2】（2023·陕西西安·二模）如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出三角形的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高． 【详解】解：四边形是正方形，面积是4； ，的面积相等，且都是． 的面积是：． 则的面积是：． 在直角中根据勾股定理得到：． 设边上的高线长是．则， 解得：， 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割补法”求面积是解决本题的关键． 【考点题型三】利用特殊角的三角函数值计算 【例3】（23-24九年级下·内蒙古包头·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3-1】（2024九年级上·全国·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案． 【详解】解： ． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式和绝对值，然后计算加减． （2）首先计算特殊角的三角函数值，立方根，然后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，二次根式的性质，立方根等计算，解题的关键是掌握以上运算法则． 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）计算：. 【答案】 【分析】根据零指数幂，绝对值化简，有理数的乘方，特殊角的三角函数计算，解答即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了零指数幂，绝对值化简，有理数的乘方，特殊角的三角函数，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【考点题型四】利用三角函数值判断角度大小 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）比较和的大小（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，将余弦转化为正弦是解题的关键． 将余弦转化为正弦，根据正弦的锐角三角函数的增减性比较大小即可． 【详解】解：∵，正弦的锐角三角函数值随角度的增大而增大， ∴， ∴． 故选：A． 【变式4-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较三角函数值的大小，根据三个三角函数的取值范围和增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选D． 【变式4-2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 【考点题型五】利用三角函数值判断三角形形状 【例5】（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知、、分别为中、、的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且，判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】根据题意可得，且，结合勾股定理的逆定理得是直角三角形，再根据三角函数及得，即可得出结论． 【详解】解：为等腰直角三角形，理由如下： ∵关于的方程有两个相等的实根， ∴，且，即． ∴， ∴． ∴为直角三角形． ∵， ∴ ∴即， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，正弦、余弦，根据一元二次方程的根的情况，判断三角形的情况，掌握一元二次方程的根的情况与的关系是解决此题的关键． 【变式5-1】（2024·江苏淮安·一模）在中，若，，都是锐角，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】此题考查了已知三角函数值求角，涉及了绝对值和平方的非负性，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据绝对值和平方的非负性可得，，求得，即可求解． 【详解】解：由可得 ， 即， 解得：，则， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 【变式5-2】（19-20九年级上·陕西宝鸡·期末）在中,若，则是 三角形． 【答案】等腰 【分析】根据绝对值和平方的非负性求出sinA和tanB的值，再根据锐角三角函数的特殊值求出∠A和∠B的角度，即可得出答案. 【详解】∵ ∴， ∴∠A=30°，∠B=30° ∴△ABC是等腰三角形 故答案为等腰. 【点睛】本题考查的是特殊三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值. 【变式5-3】在△ABC中，（2sinA﹣）2+＝0，则△ABC的形状为 ． 【答案】等边三角形． 【分析】先根据非负数的性质及特殊的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，最后根据三个内角关系判断出其形状． 【详解】解：由题意得，2sinA﹣＝0，cosB﹣＝0， ∴sinA＝，cosB＝， 则∠A＝60°，∠B＝60°， 则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝60°， 故△ABC为等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理的综合应用，分析式子的结构特征找准对应知识点是解答此题的关键. 【考点题型六】用计算器求三角函数值 【例6】（2024·山东东营·模拟预测）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正切函数值求边长，涉及计算器的使用，根据题意，得到，借助科学计算器求解即可得到答案，熟记正切函数值求边长的方法及科学计算器的使用是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，，则， 边的长为， 若用科学计算器求边的长，则按键顺序正确， 故选：D． 【变式6-1】（2024·山东淄博·二模）如图，在中，，，．若用科学计算器求边的长，则下列按键顺序正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了计算器，根据正切的定义求出的表达式是解题的关键．根据正切的定义求出的表达式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【考点题型七】直接解直角三角形 解2个直角三角形常见思路：①利用公共边设未知数，用勾股定理; ②利用三角函数值. 【例7】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，点，点C是一点，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查坐标与图形性质和三角函数的定义，掌握锐角正切三家函数的定义是关键．根据点和点的坐标，得到和的长度，根据角相等得到正切值相等，再得到长度即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ， 故答案为：3． 【变式7-1】（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，D为垂足，，那么 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意画出图形，根据，设，求出的长，利用角的转换以及正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴设， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式7-2】（2024·四川绵阳·二模）如图，在中， ，垂足为，，垂足为，与，分别相交于点，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，． ①求； ②求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定及性质，三角函数的比值关系等知识点，灵活运用菱形的性质是解题的关键． （1）利用平行四边形的性质寻找条件证出后，即可得到，从而可判定出四边形是菱形； （2）①利用平行得到，再利用相似三角形的比值关系求解即可； ②利用三角函数的比值关系求出菱形的边长，再根据面积公式运算求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中 ∴， ∴， ∴是菱形； （2）①解：∵， ∴， ∴， ∵,， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式7-3】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，垂足为D，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．证明得，设，求出，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， 设， 则， ， ． 【考点题型八】构造辅助线解直角三角形 构造辅助线常见思路：①作高; ②延长；③作平行. 【例8】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【变式8-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）阅读下面材料． 小明遇到这样一个问题： 如图，在四边形中，，，，，求的长． 小明发现，延长与相交于点，通过构造．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图）．解决下列问题： (1)请直接写出的长为_______； (2)请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得的长． (3)参考小明思考问题的方法，解决问题：如图，在四边形中，，，，，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）延长与相交于点，解直角三角形，得出的长，那么，再解直角三角形，即可求出； （2）过点作于，交于，过作于顶，由，，，得四边形是矩形，，从而，，，进而利用解直角三角形即可求得，，从而即可得解； （3）延长与相交于点．由，得出，那么，．设，则，，．在中，由，得出，求出，那么，，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）解：如图，延长与相交于点， ∵，， ∴．， ∴， ∴． 在中， ∵，，， ∴． 故答案为：； （2）解：如图，过点作于，交于，过作于顶， ∵，，， ∴四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，延长与相交于点． ∵， ∴， ∴，． 设，则，，． 在中，． ∵， ∴，即， ∴． 经检验是所列方程的解，且符合题意， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，度直角三角形的性质，等角对等边，矩形的判定及性质，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． ． 【变式8-2】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，求和的长． 【答案】， 【分析】如图，作边上的高．,，分别使用勾股定理，计算即可，本题考查了化斜为直解直角三角形，熟练掌握作高是解题的关键． 【详解】解：如图，作边上的高． 在中， ∵， ∴． ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 【变式8-3】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【考点题型九】三角函数与其他图形综合 【例9】（21-22九年级上·全国·单元测试）如图，以的顶点O为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若，，，，则点A的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】B 【分析】过点A作轴，垂足为B，根据正弦和余弦的定义，求出，，从而得到坐标． 【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为B， ∴，， ∴，， ∴点A的坐标是（，）， 故选B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解直角三角形，解题的关键是根据三角函数的定义求出，的长． 【变式9-1】（2024·上海静安·二模）如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度． 【详解】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点D在线段延长线上时，如图2， 同理可得：， ∴， 故答案为：或． 【变式9-2】（2024·江苏盐城·一模）如图，已知菱形，，点E是边中点，，则 ． 【答案】 【分析】作于G， 交的延长线于点H，由菱形的性质得， 所以 再证明，设则 求得． 由得则求得 由求得则 于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点G，交的延长线于点H，则，如图： ∵四边形是菱形，，点E是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则 ∴，， , ， ， ， 故答案为：． 【考点题型十】三角函数的实际应用（1）--仰角和俯角 【例10】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）中山广场的灯杆上挂着一个广告牌，某数学“综合与实践”小组计划测量该广告牌上下边缘高度差．测量方案如图所示，是高为18米的灯杆，广告牌的上边缘在点处，下边缘在点处．小林同学站在距灯杆16米远的处，借助测角仪观察，测得灯杆上的点的仰角是，小林同学的眼睛到地面的距离米；小赵同学借助无人机技术在观测点处进行测量，测得平行于水平线，灯杆上的点的俯角是，点，之间的距离是10米．请根据以上数据，求灯杆上广告牌的高度．（结果精确到米） （参考数据：，，，） 【答案】灯杆上广告牌的高度约为米 【分析】根据题意，过点作与点，则，可得四边形是矩形，（米），（米），在中，运用正切值可得，则有（米），（米），根据题意可得是等腰直角三角形，运用勾股定理可得，由即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作与点，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴（米），（米）， 在中，（米），， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵灯杆上的点的俯角是，点，之间的距离是10米，， ∴，（米）， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即，且， ∴（负值舍去）， ∴（米）， ∵，，结果精确到米， ∴（米）， ∴灯杆上广告牌的高度约为米． 【点睛】本题主要考查矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算方法是解题的关键． 【变式10-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）小明在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡比为（点、、在同一条直线上）． (1)求小明从点到点的过程中上升的高度； (2)大树的高度大约是多少米？（参考数据：，结果精确到米） 【答案】(1)小明从点到点的过程中上升的高度为米； (2)大树的高度是米． 【分析】（）过点作于点，则，由斜面的坡比为，设米，则米，最后由勾股定理即可求解； （）过点作于点，设米，则可得四边形为矩形，故有米，米，然后利用仰角，俯角及正切即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度问题，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， 由题意知米， ∵斜面的坡比为， ∴， 设米，则米， ∵， ∴， ∴， ∴（米）， ∴小明从点到点的过程中上升的高度为米； （2）解：过点作于点，设米， 由（）得：（米）， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米，（米）， ∵， ∴（米）， ∴米， ∵， 在中，， ∴， ∴， 经检验：是原方程的解， ∴（米）， 答：大树的高度是米． 【变式10-2】（24-25九年级上·陕西·期中）图①中的陕西广播电视塔，又称“西安电视塔”．某直升飞机于空中A处探测到西安电视塔，此时飞行高度，如图②，从直升飞机上看塔尖C的俯角，看塔底D的俯角，求西安电视塔的高度．（参考数据：，，） 【答案】西安电视塔的高度约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．先解得到，再解，，即可求解． 【详解】解：延长交于点G，由题意得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 答：西安电视塔的高度约为． 【变式10-3】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在运动会期间，我校在教学楼上悬挂一块高为6米的标语牌．小明和小张在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离（即的长度）．已知测角仪支架高，小明在处测得标语牌底部点的仰角为，小张在处测得标语牌顶部点的仰角为，，且图中点在同一平面内，求的长．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，延长交于，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】解：延长交于，如图所示： 则， ， ， 由题意可得，，， 设，则， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 答：点到地面的距离的长约为． ． 【考点题型十一】三角函数的实际应用（2）--方向角 【例11】（24-25九年级上·山东菏泽·期中）现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在A地的北偏东方向，求，两地的距离． 【答案】（千米） 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含角的直角三角形的计算，方位角的表示，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．首先过点沿东西方向作直线交于点，过点作于，可得、，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可知千米，在中利用勾股定理求出的长度，在中再次运用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如图所示，过点沿东西方向作直线交于点，过点作于， 由题意得，， ， 点在点北偏西方向， 点在点东偏南方向， ， ， ， ， ，， (千米)，， ， ． 【变式11-1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，某渔船在B处测得灯塔A在它的北偏东方向上，它向东匀速航行了60海里到达点C处，此时测得灯塔A在它的北偏东方向上，从点C处继续向东匀速航行3小时到达点D处，此时测得灯塔A在它的北偏西方向上，求该渔船航行的速度为每小时多少海里？，    【答案】渔船航行的速度为每小时40海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题．理解题意，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 过点作于点，设海里，用表示，，，根据列出关于的方程，解出，再求出，进而求出，由此即可求出该渔船的航行速度． 【详解】解：过点作于点，    由题意可得：，，， 设海里， 在中， 海里， 在中， ， ， ， 解得：， 即海里，海里， ， ， 又， 海里， 海里， 该渔船航行的速度为（海里/小时） 答：渔船航行的速度为每小时40海里． 【变式11-2】（24-25九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，某小区有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小红自小区北门A处出发，沿南偏西方向前往小区居民活动中心C处：小强自南门B处出发，沿正西方向行走到达D处，再沿北偏西；方向前往小区居民活动中心C处与小红汇合，两人所走的路程相同，求该小区北门A与南门B之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形：方位角的应用；过点C作于M，过D作于N，则可得四边形是矩形；设，则可表示出，利用两人所走的路程相同建立方程，求得x，即可求出小区北门A与南门B之间的距离． 【详解】解：过点C作于M，过D作于N， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，； 设，则； ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴，， ∵两人所走的路程相同， ∴即， 解得：； ∵， ∴ 即小区北门A与南门B之间的距离为． 【考点题型十二】三角函数的实际应用（3）--坡角、坡度（或坡比） 【例12】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在坡度的山坡上植树，要求相邻两树间的水平距离为，则斜坡上相邻两树间的坡面距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形－坡度．根据坡度“铅直距离与水平距离的比”及已知水平距离，可求得铅直距离，由勾股定理即可求坡面距离． 【详解】解：由题意得：， 即， 由勾股定理得：， 故选：C． 【变式12-1】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）周末，小明参加骑行活动，他沿着坡度为的山坡上坡前进了，则小明所在的位置升高了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．已知了坡度，可求出坡角的度数，进而根据坡面长求出铅直高度即小明垂直升高的距离． 【详解】解：如图，中，，，    ∴， ∴． 即此人所在的位置比原来升高了， 故选：B． 【变式12-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图为一节楼梯的示意图，，，米．现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米，则地毯的长度需要（    ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，理解题意，得到地毯的长度为的长，利用正切定义求得即可求解． 【详解】解：在中，，米， ∴（米）， ∴地毯的长度为米． 故选：B． 【考点题型十三】三角函数的实际应用（4）--与实际物体结合 【例13】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，，区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面的夹角，视线PE与地面的夹角，点为视线与车窗底端的交点，，，．若A点到B点的距离，则盲区中的长度是（参考数据：，，，）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形的应用，首先证明四边形是矩形，利用的正弦值可求出的长，即可得的长，利用的正切值即可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中,， ∴， ∴， 在中,， ， ， 故选: B． 【变式13-1】（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图是一架人字梯，已知，两梯脚之间的距离米，与地面的夹角为，则人字梯长为 米． 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，根据等腰三角形的性质构造直角三角形是解题的关键． 根据等腰三角形的性质，过点作得到，根据余弦的定义即可，得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， 米， ， ， 故答案为：． 【变式13-2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．    (1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长． (2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)2米 (2)能，理由见解析 【分析】（1）在中，由，，进而求出即可； （2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，    由题意可知，，米，米， 在 中，，（米）， （米）， （米）， 即点到的距离的长为2米； （2）解：依题意， 当，米时，且， 则， ∵点D距地面为米 ∴（米）， （米）， （米）， ， 能通过． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$