精品解析： 山东省青岛第二十六中学2025年九年级中考一模数学试题

2025年青岛市第二十六中学中考一模 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 1968年科学家发现世界上最小的物质是夸克，物质就是由这种极其小的物质而构成的，夸克有多小呢？它的大小是1介米，约为原子核的百万分之一．百万分之一用科学记数法表示为（ ） A. 1×10-5 B. 1×10-6 C. 1×106 D. 1×10-8 2. 下列四个图案中是轴对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列各数中与3互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC（点B与原点O重合）经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（ ） A. （1.4，1） B. （1.5，2） C. （1.6，1） D. （2.4，1） 7. 如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算：______． 11. 已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为______． 12. 如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为_____． 13. 某车间计划在一定时间内生产240套零配件，生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务．设原计划每天生产x套零配件，则可列方程为________． 14. 如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是_______． 15. 如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了_______ 三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：线段c，直线l及l外一点A． 求作：，使直角边为（，垂足为C）斜边． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 17. （1）化简： （2）求不等式组的整数解． 18. 阿代的数学研学日记 课题：测量旗杆的高度 地点：青岛市山海二十六中学操场 时间：2025月3月2日 昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为_______． 今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？ 请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由． （参考数据：，，；，，） 19. 2022年末，中国迎来第一波疫情高峰．为加强同学们的防护意识，某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“”这组的部分数据（从小到大排序）如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 a 75 3 b 88 4 10 95 根据以上信息，回答下列问题： （1）下列说法正确的是______． A．样本为n名学生 B．a＝12 C．m＝40 （2）“”这组的数据的众数是______． （3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______；平均分是______； （4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数． 20. 学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏规则如下：甲乙两个人分别任意旋转两个转盘，用所指的两个数字相乘，如果积为正数，则甲获胜；如果积为负数，则乙获胜．（若指针压在扇形的边界上，则重新转到转盘） （1）转动A盘一次，转出的数字是负数的概率是 ； （2）请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由． 21. 【问题背景】 如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图. 【问题探究】 （1） ______ ； （2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ． 【拓展延伸】 在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ． 22. 如图，直线与双曲线相交于点，． （1）求双曲线及直线对应的函数表达式； （2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 23. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC． （1）求证：AB=AF； （2）若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 24. 如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）求高架桥两端的的距离； （3）如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用． 25. 已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为． （1）当t为何值时，是等腰三角形； （2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年青岛市第二十六中学中考一模 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共9小题，27分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，93分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共27分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题3分，共27分） 1. 1968年科学家发现世界上最小的物质是夸克，物质就是由这种极其小的物质而构成的，夸克有多小呢？它的大小是1介米，约为原子核的百万分之一．百万分之一用科学记数法表示为（ ） A. 1×10-5 B. 1×10-6 C. 1×106 D. 1×10-8 【答案】B 【解析】 【分析】先把百万分之一变成数字的形式，再用科学记数法表示. 【详解】解：百万分之一即＝1×10－6. 故选：B. 【点睛】本题考查了科学记数法表示绝对值比1小的数，形式为a×10－n，其中1≤a＜10，指数中的n等于第一个非0数前面0的个数. 2. 下列四个图案中是轴对称图形的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】这4个图形各自沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的是轴对称图形． 【详解】第二个，第四个是轴对称图形． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义，是解决此类问题的关键． 3. 下列各数中与3互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，还考查了求一个数的绝对值、立方根，算术平方根． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：A、，3和3是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意． B、3和是互为倒数，故此选项错误，不符合题意． C、，和3是相反数，故此选项正确；符合题意； D、，3和3是同一个数，不是相反数，故此选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 如图所示的几何体，其上半部有一个圆孔，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图的定义及画图规则，画出俯视图，再与各选项进行对比即可找出正确答案． 【详解】解：从上向下看几何体时，外部轮廓如图1所示： ∵上半部有圆孔，且在几何体内部，看不见的轮廓线画虚线， ∴整个几何体的俯视图如图2所示： 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识点，熟知左视图的定义和画三视图的规则是解题的关键． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式的运算；分别根据零指数幂，负整数指数幂，同底数幂的乘方，幂的乘方，单项式除以单项式的运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A .，该选项错误； B.，该选项错误； C.，该选项错误； D.，该选项正确； 故选： D． 6. 在如图所示的单位正方形网格中，△ABC（点B与原点O重合）经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（ ） A. （1.4，1） B. （1.5，2） C. （1.6，1） D. （2.4，1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为：（2，4），A1（﹣2，1）， ∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（﹣1.6，﹣1）， ∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2， ∴P2点的坐标为：（1.6，1）． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键． 7. 如图，直线的顶点A在直线n上，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 8. 如图，在中，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点E逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵，，， ∴， 由旋转，得， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积 ． 故选：D． 9. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方程无实数根，则．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则 图象与y轴的交点为正半轴，则c＞0，由此可知abc＜0，故①错误，由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1，代入，中得：，计算出函数图象与x轴的另一交点为（3,0）设函数解析式为：，将交点坐标代入得化简得：，将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，、变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，结合以上结论可判断正确的项． 【详解】解：由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=1，故，故b＞0，且，则故②正确， ∵图象与y轴的交点为正半轴， ∴c＞0，则abc＜0，故①错误， 由图象可知当x=1时，函数取最大值， 将x=1，代入，中得：， 由图象可知函数与x轴交点为（﹣1,0），对称轴为将x=1，故函数图象与x轴的另一交点为（3,0）， 设函数解析式为：， 将交点坐标代入得：， 故化简得：， 将x=1，代入可得：，故函数的最大值为-4a，故③正确， 变形为：要使方程无实数根，则，将c=-3a，，代入得：，因为a＜0，则，则，综上所述，故④正确， 则②③④正确， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的一般式，二次函数的交点式，二次函数的最值，对称轴，以及交点坐标掌握数形结合思想是解决本题的关键． 第Ⅱ卷（共93分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，先化简二次根式，代入三角函数值，再约分，计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解： 故答案为：． 11. 已知三个数据的平均数为2，方差为1，则的平均数为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平均数，方差，解题的关键是熟练掌握方差公式， 先求出三个数的和，再根据方差公式代入，即可求解，进而得出结论． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 解得：， 则的平均数为：5， 故答案为：5． 12. 如图，线段AB经过⊙O的圆心，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D．若AC＝BD＝1，∠A＝45°，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC、OD，根据切线性质和∠A＝45°，易证得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，进而求得OC＝OD＝1，∠COD＝90°，根据弧长公式求得即可． 【详解】如题所示，连接OC、OD， ∵AC，BD分别与⊙O相切于点C，D． ∴OC⊥AC，OD⊥BD， ∵∠A＝45°， ∴∠AOC＝45°， ∴AC＝OC＝1， ∵AC＝BD＝1，OC＝OD＝1， ∴OD＝BD， ∴∠BOD＝45°， ∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴的长度为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算等，证得∠COD=90°是解题的关键． 13. 某车间计划在一定时间内生产240套零配件，生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务．设原计划每天生产x套零配件，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设原计划每天生产x套零配件，根据“生产3天后改进了技术，结果每天比原计划多生产4套并提前6天完成生产任务”列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产x套零配件，根据题意可得， ， 故答案为： 【点睛】此题考查了分式方程的应用，读懂题意，找到等量关系正确列出方程是解题的关键． 14. 如图所示，在矩形中，，点分别在边上．连接，将四边形沿翻折，点分别落在点处．则的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，翻转变化的性质，勾股定理； 连接交于点F，设，则，求出，结合点C与点A关于直线对称，得到，垂直平分，求出，即可求出． 【详解】解：连接交于点F， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵将四边形沿翻折，点分别落在点处， ∴点C与点A关于直线对称， ∴，垂直平分， ∴，， ， ∵， ∴， ， ∴ ∴ 故答案为：2． 15. 如图，一个三阶魔方由27个边长为1的正方体组成，把魔方的中间一层转动了之后，表面积增加了_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一个小三角形的面积，进而求出答案． 本题主要考查几何体的表面积． 【详解】解：转动了之后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形， 设直角边为x，则斜边为， 则有 ， 得到 由几何关系得：阴影部分的面积为 所以增加的面积为 故答案为：． 三、作图题（本大题满分4分）用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 16. 已知：线段c，直线l及l外一点A． 求作：，使直角边为（，垂足为C）斜边． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 在直线l另一侧取点P，以点A为圆心，为半径画弧交直线l于M、N，再作线段的垂直平分线交l于C，然后以点A为圆心，c为半径画弧交l于B，连接，则 为所作． 【详解】解：如图，即为所求． 四、解答题（本大题共9小题，共68分） 17. （1）化简： （2）求不等式组的整数解． 【答案】（1）（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简运算，不等式组的解法； （1）根据分式的混合运算法则进行计算即可； （2）先求出不等式组的解集，再求整数解即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， 由①得： 解得：， 由②得： 解得：， 该不等式组的解集为： 该不等式组的整数解为：． 18. 阿代的数学研学日记 课题：测量旗杆的高度 地点：青岛市山海二十六中学操场 时间：2025月3月2日 昨天上午代兴国老师要带我们去操场测量旗杆的高度，昨天我们小组设计了一个方案，方案如下：小亮拿着标杆垂直于地面放置，我和小聪用卷尺测量标杆、标杆的影长和旗杆的影长，如图1所示，标杆，影长，旗杆的影长，则可求得旗杆的高度为_______． 今天测量时阴天就不能用昨天的方案了，如图2所示，张世昌老师将升旗用绳子拉直，使绳子的底端G刚好触到地面，用仪器测得绳子与地面的夹角为，然后又将绳子拉到一个0.5米高的平台上，拉直绳子使绳子上的H点刚好触到平台，剩余的绳子长度为5米，此时测得绳子与平台的夹角为，利用这些数据能求出旗杆的高度吗？ 请你回答阿代的问题．若能，请求出旗杆的高度；若不能，请说明理由． （参考数据：，，；，，） 【答案】；旗杆高度可求，为米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解决本题的关键是要熟练掌握解直角三角形的方法． （1）首先证明出，得到，然后代入即可求出； （2）如图所示，过点H，作于N，设米，解直角三角形得到的长，进而求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以； （2）如图所示，过点H，作于N， 设米， 米， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， 解得：， 答：旗杆高度可求，为米． 19. 2022年末，中国迎来第一波疫情高峰．为加强同学们的防护意识，某校举行了以“疫情防护”为主题的知识竞赛活动．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分，现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组），并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，下面为部分数据：其中“”这组的部分数据（从小到大排序）如下：80，82，82，83，83，84，85，85，85，86，87，87，87，88，88……其中“”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 平均分 1 8 65 2 a 75 3 b 88 4 10 95 根据以上信息，回答下列问题： （1）下列说法正确的是______． A．样本为n名学生 B．a＝12 C．m＝40 （2）“”这组的数据的众数是______． （3）随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______；平均分是______； （4）若学生竞赛成绩达到96分以上（含96分）获奖，请你估计全校1200名学生中获奖的人数． 【答案】（1）B （2）96 （3）83.5；82.6分 （4）120人 【解析】 【分析】（1）根据统计表和统计图中的数据，可以判断哪个选项符合题意； （2）根据题目中的数据，可以写出“”这组的数据的众数； （3）根据题目中的数据，可以计算出中位数和平均数； （4）根据题目中的数据，可以计算出全校1200名学生中获奖的人数． 【小问1详解】 解：样本为名学生的竞赛成绩，故选项错误，不符合题意； ，则，故选项符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 故选：B； 【小问2详解】 解：”这组的数据如下：90，92，93，95，95，96，96，96，97，100． “”这组的数据的众数是96； 【小问3详解】 解：随机抽取的这名学生竞赛成绩的中位数是， 平均分是：（分）； 【小问4详解】 解：（人， 答：估计全校1200名学生中获奖的有120人． 【点睛】本题考查扇形统计图、统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏规则如下：甲乙两个人分别任意旋转两个转盘，用所指的两个数字相乘，如果积为正数，则甲获胜；如果积为负数，则乙获胜．（若指针压在扇形的边界上，则重新转到转盘） （1）转动A盘一次，转出的数字是负数的概率是 ； （2）请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由． 【答案】（1） （2）不公平，见解析 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、利用列表或树状图求概率、游戏的公平性等知识点，熟练掌握画树状图或列表求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算概率即可； （2）先根据题意列出表格，再根据表中数据分别算出两人赢的概率，再比较概率得出答案即可． 【小问1详解】 解：∵盘被分成面积相等的3个扇形， ∴小明转动一次A盘，转出的数字是负数的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 2 3 4 1 （1，） （1，2） （1，3） （1，4） （，） （，2） （，3） （，4） 3 （3，） （3，2） （3，3） （3，4） 由表可知：共有12种等可能的结果； 其中甲获胜（记为事件A）的结果共7种，分别为： （1，2），（1，3），（1，4），（，），（3，2），（3，3），（3，4）, ∴． 其中乙获胜（记为事件B）的结果共5种，分别为： （1，），（，2），（，3），（，4），（3，） ∴； ∵， ∴不公平． 21. 【问题背景】 如图，是一张等腰直角三角形纸板，，取、、中点进行第次剪取，记所得正方形面积为，如图，在余下的和中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第次剪取，并记这两个正方形面积和为如图. 【问题探究】 （1） ______ ； （2）如图，再在余下的四个三角形中，用同样方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第次剪取，并记这四个正方形面积和为继续操作下去，则第次剪取时， ______ ；第次剪取时， ______ ． 【拓展延伸】 在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为______ ． 【答案】（1）；（2），；【拓展延伸】 【解析】 【分析】（1）根据题意，可求得，第一次剪取后剩余三角形面积和为：，第二次剪取后剩余三角形面积和为：； （2）同理可得规律：即是第次剪取后剩余三角形面积和，根据此规律求解即可答案； （3）依此规律可得第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和． 本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，得出甲、乙两种剪法，所得的正方形面积是解题的关键． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 同理：等于第二次剪取后剩余三角形面积和， ， 故答案为：； （2）等于第次剪取后剩余三角形面积和， 第一次剪取后剩余三角形面积和为：， 第二次剪取后剩余三角形面积和为：， 第三次剪取后剩余三角形面积和为：， 第十次剪取后剩余三角形面积和为：， 第次剪取后剩余三角形面积和为：， 故答案为：，； （3）在第次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和为， 故答案为：． 22. 如图，直线与双曲线相交于点，． （1）求双曲线及直线对应的函数表达式； （2）将直线向下平移至处，其中点，点在轴上．连接，，求的面积； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】将代入双曲线，求出的值，从而确定双曲线的解析式，再将点代入，确定点坐标，最后用待定系数法求直线的解析式即可； 由平行求出直线的解析式为过点作交于 ，设直线与轴的交点为，与轴的交点为, 可推导出, 再由 ，求出则的面积 数形结合求出x的范围即可. 【小问1详解】 将代入双曲线， ∴, ∴双曲线的解析式为， 将点代入， ∴, ∴, 将代入, ， 解得， ∴直线解析式为； 【小问2详解】 ∵直线向下平移至, ∴, 设直线的解析式为将点代入 ∴解得 ∴直线的解析式为 ∴ 过点作交于, 设直线与轴的交点为，与轴的交点为, ∴, ∵, ∴, ∵, ， ， ∵， ， ， ∴的面积 【小问3详解】 由图可知或时, 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直线平移是性质，数形结合是解题的关键. 23. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC． （1）求证：AB=AF； （2）若∠ACB=30°，连接AG，判断四边形AGCD是什么特殊的四边形？并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC， ∴∠ABC=∠AFE=90°， 在△ABC和△AFE中， ∵， ∴△ABC≌△AFE（AAS）， ∴AB=AF； （2） 四边形AGCD是菱形． 证明：∵∠ACB=30°，∠ABC=90°， ∴2AB=AC， ∵AB=AF， ∴AC=2AF=AF+FC， ∴AF=CF， ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠FCG， 在△DAF和△GCF中， ， ∴△DAF≌△GCF（ASA）， ∴AD=CG， ∵AD∥CG， ∴四边形AGCD是平行四边形， ∵DG⊥AC， ∴平行四边形AGCD是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据AAS证出△ABC≌△AFE，根据全等三角形的性质推出即可； （2）求出AF=CF，证△DAF≌△GCF，推出AD=CG，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点的综合运用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 24. 如图1，一段高架桥的两墙，由抛物线一部分连接，为确保安全，在抛物线一部分内修建了一个菱形支架，抛物线的最高点到的距离米，，点，在抛物线一部分上，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，确定一个单位长度为1米． （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）求高架桥两端的的距离； （3）如图2，现在将菱形做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形广告牌，已知矩形广告牌的价格为80元/米，其余部分广告牌的价格为160元/米，试求菱形广告牌所需的最低费用． 【答案】（1） （2）米 （3）元 【解析】 【分析】（1）过点作于点，作轴于点，在中，轴，，勾股定理得出，进而得出，根据，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据，解方程，得出的坐标，即可求解． （3）待定系数法得出直线的解析式为，直线的解析式为，设矩形中，米，则，代入，，继而得出，由（1）得出，设总费用为，进而根据面积乘以广告牌的价格得出的函数关系，根据二次函数的性质求得最值即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点，作轴于点， ∵四边形是菱形，， ∴，， 在中，轴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设抛物线对应的函数表达式为， 将，代入得， ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 令， 解得：， ∴， ∴（米） 【小问3详解】 设直线的解析式为，将点代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设矩形中，米， 则，代入，， 得， ∴ ， ∴， 由（1）可得， ， 设总费用为， ∴ ； 当时，取得最小值， 最小值为， ∴菱形广告牌所需的最低费用为元． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，菱形的性质，矩形的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 25. 已知，如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC，BD交于点O．点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s：当一个点停止运动时，另一个点也停止运动：联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作，交BD与点F，设运动时间为． （1）当t为何值时，是等腰三角形； （2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分?若存在求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或5s；（2）；（3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，①当AP=PO=t，如图1，过P作PM⊥AO，证得，再根据相似三角形的性质得到t的值，②当AP=AO=t=5，③当时，从而得到结论； （2）先证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，再证得△AOP≌COE，证得AP=EC=t，得出△OEC的面积，从而可求五边形OECQF的面积． （3）过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，由角平分线的性质得到，据勾股定理得到，由三角形的面积公式得到，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°， ∴AC=10，，点O到AD的距离为3， 当为等腰三角形时，分三种情况讨论： 当AP=PO=t时 过P作PM⊥AO，如图1所示： ∴， ∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD， ∴△APM∽△ACD， ∴ ∴， ∴； ②当； ③当时即点P与点D重合，．不合题意，舍去． 综上所述，当或5s时，为等腰三角形 （2）在矩形ABCD中，，， ∴ ∵， ∴， ∴， 在矩形ABCD中，AD//BC， AO=CO，又得∠AOP=∠COE， ∴∠PAO=∠ECO， ∴△AOP≌COE， ∴AP=EC=t， ∴， ∴ （3）存在，理由如下： 如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N， 在矩形ABCD中，，， ∴， ∵∠POD=∠COD， ∴， ∴ ∵ ∴OP•DM=3PD， ∴ ∴ ∵PD2=PM2+DM2， ∴ 解得：t=16（不合题意，舍去）， ∴当时，OD平分∠COP． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $