3.3.1 抛物线的标准方程（教学课件）数学湘教版选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.1 抛物线的标准方程 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1 理解抛物线的定义及焦点、准线的意义（重点） 2 掌握抛物线的四种标准方程和p的几何意义（重点） 3 会用定义法、待定系数法求抛物线的标准方程（难点） 我们把一根直尺固定在图板上直线l的位置,把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A,取绳长等于点A到直角顶点C的长(即点A到直线l的距离),并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F.用铅笔尖引着 绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描出了一条曲线. 这就是本节我们要学习的抛物线,这条曲线上的点有什么特征? 情景导入 在初中，我们将二次函数的图象称为抛物线． 在重力作用下的平抛或斜抛物体(比如运动场上投出的篮球、水池里喷出的水柱)其运动的轨迹都是抛物线的一部分． 怎样通过几何性质来刻画抛物线呢? 实验：任给一个定点 F 和一条直线l．你能设计适当的方法或装置，画出到F和l距离相等的点的轨迹并观察轨迹的形状吗？ 新知探究 5 1．将一直尺固定在直线l上，取一个直角三角板，以它的一条直角边靠紧直尺的一边l； 3．再取一条长度正好等于AC的细线，将这条细线的一端固定在三角板上的点A处，另一端用大头针固定在点F处（F ∉l）； 4．用铅笔将细线绷紧，使铅笔尖贴在三角板的边AC之上，让三角板沿着直尺滑动，则铅笔尖所在的点P就画出所要作的轨迹的一段． 2．在另一条直角边上取定点A，设三角板的直角顶点为C； 6 7 观察画出的轨迹的形状，发现它与二次函数的图象－抛物线很相似．为了验证这个猜想，我们先设法求出轨迹的方程． 已知定点F与一条定直线l，F ∉l．动点P到F与l的距离相等，建立适当的平面直角坐标系，求动点P(x，y)的轨迹方程． 8 过点F作直线l的垂线，交l于点D．设|FD|=p>0．取FD的中点O为原点，以OF的方向为x轴的正方向，建立平面直角坐标系． 9 如果以O为原点，OF的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则可得轨迹方程为x2=2py，即 ，这是以x为自变量、以y为因变量 的二次函数，它的图像是抛物线． 而 y2=2px 的图像是将开口向上的抛物线 绕顶点沿顺时针方向旋转90°得到． 10 我们把平面内与一定点F和一条定直线l（F ∉l）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 对于任意 p>0，焦点为 ，准线方程为 的抛物线方程为 y2=2px，这称为抛物线的标准方程． 按其他方式建立直角坐标系，可以得出抛物线其他形式的方程．如果建立的坐标系满足条件：原点是焦点到准线的垂线段的中点，一条坐标轴垂直于准线，所得的抛物线方程就称为标准方程． 这样的标准方程及其图象有如下四种情况． 归纳总结 11 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 12 （1）抛物线的顶点在原点，以x轴或y轴为对称轴，焦点在对称轴上； （2）抛物线的标准方程中，x与y，哪个是一次的，焦点就在哪一轴上； 如果一次项的系数是正的，焦点就在正半轴上（开口朝对称轴的正方向）； 如果一次项的系数是负的，焦点就在负半轴上（开口朝对称轴的负方向）． 13 例1 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 4x ； （2）x = －y2 ； （3）y = ax2 ，a>0． 课本例题 14 （2）x = －y2 ； 15 （3）y = ax2 ，a>0． 16 例2 求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标为F(0，－4) ；（2）准线方程为 ；（3）过点(2，4)． 课本例题 17 （2）准线方程为 ； 18 （3）过点(2，4)． 19 1.求下列各抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图． (1)y2=16x；(2)y=16x2；(3)y2=- x；(4)y=- x2 【解析】解：(1)y2=16x的焦点坐标为(4，0)，准线方程x=-4，图象为 课堂练习 20 (2)y=16x2即x2= y的焦点坐标为(0， ) ，准线方程y=- ，图象为 课堂练习 1.求下列各抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图． (1)y2=16x；(2)y=16x2；(3)y2=- x；(4)y=- x2 21 (3)y2=- x的焦点坐标为(- ，0）准线方程x= ，图象为 课堂练习 1.求下列各抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图． (1)y2=16x；(2)y=16x2；(3)y2=- x；(4)y=- x2 22 (4)y=- x2即x2=-4y的焦点坐标为(0，-1)，准线方程y=1 ，图象为 课堂练习 1.求下列各抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图． (1)y2=16x；(2)y=16x2；(3)y2=- x；(4)y=- x2 23 2.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)焦点为F(-2，0)； (2)准线方程为：y=-4； (3)焦点到准线的距离为6． 【解析】解：(1)因为焦点为F(-2，0)，故抛物线焦准距为p=4, 则抛物线标准方程为y2=-8x； (2)抛物线准线方程为：y=-4，则 ，∴p=8， 焦点在y轴正半轴上，则抛物线标准方程为x2=16y； (3)焦点到准线的距离为6，即p=6， 焦点位置不确定， 故抛物线标准方程为y2=12x或y2=-12x或x2=12y或x2=-12y. 24 题型一：抛物线的标准方程 例1.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程： (1)准线方程为；(2)经过点. 若抛物线的标准方程为，则由，解得； 若抛物线的标准方程为，则由，解得. ∴所求抛物线的标准方程为或. 解(1)：因为抛物线的准线交轴于正半轴，且，则，所以所求抛物线的标准方程为 . (2)∵点在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为或. 典例剖析 1.用待定系数法求抛物线标准方程的4步骤： 设方程：根据焦点位置，设出标准方程；列方程：根据条件建立关于参数的方程； 解方程：解关于参数的方程，求出的值；得问题：根据参数的值，写出所求的标准方程. 2.求抛物线的标准方程时需注意的3个问题： (1)把握开口方向与方程间的对应关系. (2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为或，这样可以减少讨论情况的个数. (3)注意与的几何意义. 归纳总结 题型二：抛物线定义及应用 例2.若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大.求点的轨迹方程. 解：由于位于轴右侧的动点到的距离比它到轴的距离大， 所以动点到的距离与它到直线的距离相等. 由抛物线的定义知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线(不包含原点)，其方程应为的形式，而，所以，，故点的轨迹方程为. 典例剖析 抛物线定义的两种应用 1.实现距离转化：根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题. 2.解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两间间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 归纳总结 题型三：抛物线的实际应用 例3.某河上有座抛物线拱桥，当水面距拱桥时，水面宽，一木船宽，高，载货后船露在水面上的部分高为，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？ 解：设以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为，由题意知，点在抛物线(设为水面宽且)，所以，，所以抛物线方程为. 设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于，(与关于轴对称)时，船开始不能通航，设点坐标为，由，得，此时水面与抛物线拱顶相距. 典例剖析 求解抛物线实际应用题的5步骤 1.建系：建立适当的平面直角坐标系. 2.假设：设出合适的抛物线标准方程. 3.计算：通过计算求出抛物线的标准方程. 4.求解：求出所要求的量. 5.还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题. 归纳总结 我们把平面内与一定点F和一条定直线l（F ∉l）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线． 对于任意 p>0，焦点为 ，准线方程为 的抛物线方程为 y2=2px，这称为抛物线的标准方程． 课堂小结 31 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 32 Lavf58.51.100 $$