第3章 3.2.2 第2课时 双曲线的简单几何性质及应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质及应用，承接上节课双曲线几何性质，系统梳理直线与双曲线位置关系判断、弦长计算、中点弦问题及常见结论应用，构建从基础到综合的知识支架。 通过类比椭圆位置关系培养数学眼光，分类讨论与代数推理发展数学思维，如例1对k值分类体现严谨推理，问题引导与反思总结强化数学语言表达。课中例题典型助教师高效授课，课后分层练习帮学生查漏补缺。

第2课时　双曲线的简单几何性质及应用 学习目标　1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长问题.3.能用双曲线的性质解决问题. 导语 上节课我们学习了双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的几何性质是解答双曲线基本问题的法宝，这节课我们将在已有知识的基础上，进一步掌握双曲线的标准方程、几何性质，并运用它们解决有关直线与双曲线的综合问题. 一、直线与双曲线的位置关系的判断 问题　类比直线与椭圆的位置关系可知直线与双曲线有几种位置关系？ 提示　有三种位置关系，分别为相交、相切、相离三种情况. 知识梳理 把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式. (1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点. (2)Δ=0时，直线与双曲线只有一个公共点. (3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点. 当a=0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点. 注意点： 直线与双曲线的关系中：一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支. 例1　已知双曲线x2-y2=4，直线l：y=k(x-1)，试分别确定满足下列条件的实数k的取值范围. (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点. 解　联立消去y， 得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*) 当1-k2≠0，即k≠±1时， Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2). (1)由 得-<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解， 即直线l与双曲线有两个公共点. (2)由得k=±， 此时方程(*)有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1-k2=0，即k=±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行， 方程(*)化为2x=5， 故方程(*)只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点. 故当k=±或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点. (3)由得k<-或k>， 此时方程(*)无实数解， 即直线l与双曲线没有公共点. 反思感悟　(1)解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. (2)双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行. (3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 跟踪训练1　(课本例6)　讨论直线y=x+b与双曲线x2-y2=1的公共点的个数. 解　由消去y得x2-(x+b)2=1. 整理得2bx+b2+1=0. ① 如果b=0，则方程①变为1=0，无解.此时直线与双曲线无公共点.事实上，此时直线为y=x，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点. 如果b≠0，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①为一元一次方程，有唯一解，原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点. 跟踪训练1　若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不同的两点，则k的取值范围为 　　　　　　　　.  答案　 解析　将y=kx+2代入双曲线方程整理可得x2-4kx-10=0， 设直线与双曲线右支交于两点，， 则 解得-<k<-1，即k的取值范围为. 二、弦长的计算及中点弦问题 例2　已知双曲线C：x2-y2=2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为(　　) A.3 B.4 C.6 D.6 答案　D 解析　双曲线C：-=1，则c2=4， ∴右焦点为F(2，0)， 根据题意易得过F的直线斜率存在， 设方程为y=k(x-2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)， 联立 化简得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0， ∴xA+xB=，xAxB=. ∵线段AB中点的横坐标为4， ∴xA+xB==8， 解得k2=2，∴xAxB==10， 则(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=82-4×10=24， 则|AB|===6. 反思感悟　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围. 跟踪训练2　已知双曲线的方程为x2-=1.试问：双曲线上是否存在被点B(1，1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由. 解　方法一　设被点B(1，1)所平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1， 代入双曲线方程x2-=1， 得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0， ∴ 解得k<，且k≠±. 设弦的两端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1+x2=. ∵点B(1，1)是弦的中点， ∴=1，∴k=2>. 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦. 方法二　设双曲线上存在被点B平分的弦MN，且点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=2，y1+y2=2， 且 由①-②得 (x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0， ∴kMN==2， ∴直线MN的方程为y-1=2(x-1)， 即y=2x-1. 由消去y，得2x2-4x+3=0. 又Δ=-8<0，∴直线MN与双曲线不相交， 故双曲线上不存在被点B(1，1)平分的弦. 三、双曲线中的常见结论及应用 例3　设F1，F2分别为双曲线-=1的左、右焦点，P为双曲线上一点，若∠F1PF2=120°，则点P到x轴的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设点P到x轴的距离为h，由双曲线-=1得a=，b=2，c=，|F1F2|=2，=|F1F2|×h=，即=×2×h=，故h=. 反思感悟　双曲线-=1(a>0，b>0)中常用到的结论 (1)P为双曲线上异于实轴端点的一点，∠F1PF2=θ，则=. (2)已知斜率存在的直线l与双曲线交于A，B两点，点M是AB的中点，O为坐标原点，则kOM·kAB=. (3)已知A，B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于A，B的一点，则kPA·kPB=. (4)已知P(x0，y0)是双曲线上一点，则双曲线在点P处的切线方程为-=1. 跟踪训练3　已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)，直线l：9x+y-13=0经过点P，且与双曲线E交于A，B两点，若P恰好是弦AB的中点，则双曲线E的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±3x 答案　B 解析　因为P是弦AB的中点，O为坐标原点，则kOP·kAB=，而kOP=-，kAB=-9，故=-×(-9)=3，=，所以双曲线E的渐近线方程为y=±x. 1.知识清单： (1)直线与双曲线的位置关系的判断. (2)弦长的计算与中点弦问题. (3)双曲线中的常见结论及应用. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：判断直线与双曲线的公共点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数讨论.代数计算中的运算失误. 1.直线y=x+3与双曲线-=1(a>0，b>0)的交点个数是(　　) A.1 B.2 C.1或2 D.0 答案　A 解析　由双曲线-=1(a>0，b>0)， 可得其渐近线方程为y=±x， 因为直线y=x+3与双曲线的一条渐近线y=x平行， 所以它与双曲线只有1个交点. 2.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是(　　) A.(1，2) B.(-2，-1) C.(-1，-2) D.(2，1) 答案　C 解析　将y=x-1代入2x2-y2=3， 得x2+2x-4=0， 由此可得弦的中点的横坐标为==-1，纵坐标为-1-1=-2. 3.若直线y=kx与双曲线4x2-y2=16相交，则实数k的取值范围为(　　) A.(-2，2) B.[-2，2) C.(-2，2] D.[-2，2] 答案　A 解析　易知k≠±2，将y=kx代入4x2-y2=16得关于x的一元二次方程(4-k2)x2-16=0， 由Δ>0可得-2<k<2. 4.过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|=　　　　.  答案　4 解析　由双曲线方程可得右焦点为(2，0)，渐近线方程为y=±x，把x=2代入渐近线方程，得y=±2，故|AB|=4. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1.“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　直线与双曲线有唯一交点时，直线与双曲线不一定相切(直线与双曲线的渐近线平行时)；直线与双曲线相切时，直线与双曲线一定有唯一交点. 2.若直线x=a与双曲线-y2=1有两个交点，则a的值可以是(　　) A.4 B.2 C.1 D.-2 答案　A 解析　因为在双曲线-y2=1中，x≥2或x≤-2，所以若x=a与双曲线有两个交点， 则a>2或a<-2，故只有A符合题意. 3.已知双曲线-=1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2=3，则双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 答案　C 解析　设点P(x，y)，由题意知k1·k2=·====3， 所以其渐近线方程为y=±x. 4.已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(-12，-15)，则E的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　B 解析　由已知条件易得直线l的斜率 k==1， 设双曲线E的方程为-=1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则-=1， ① -=1， ② x1+x2=-24，y1+y2=-30， 由①②得=，从而=1， 又因为a2+b2=c2=9， 故a2=4，b2=5，所以E的方程为-=1. 5.设双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点.若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案　C 解析　设双曲线的半焦距为c， 则F(c，0)，将x=c代入双曲线-=1， 得y=±，不妨取C，B， 又A1(-a，0)，A2(a，0)， 故==-，==. 因为A1B⊥A2C， 故-×=-1， 即=1，即=1， 所以a=b，故该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x. 6.(多选)已知双曲线C：-=1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　) A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y=±x D.直线2x-y-1=0与C有两个公共点 答案　AC 解析　由双曲线C：-=1过点(3，)，可得m=1，则双曲线C的标准方程为-y2=1.所以a=，b=1，c==2，因为双曲线C的焦距为2c=4，所以选项A正确； 因为双曲线C的离心率为==，所以选项B不正确； 因为双曲线C的渐近线方程为y=±x，所以选项C正确； 将直线2x-y-1=0与双曲线-y2=1联立，消去y可得3x2-4x+4=0，Δ=-4×3×4=-32<0，所以直线2x-y-1=0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确. 7.(5分)过点A(3，-1)且被点A平分的双曲线-y2=1的弦所在的直线方程是　　　　　　.  答案　3x+4y-5=0 解析　易知所求直线的斜率存在，设为k， 则该直线的方程为y+1=k(x-3)， 代入-y2=1， 消去y得关于x的一元二次方程 (1-4k2)x2+(24k2+8k)x-36k2-24k-8=0(1-4k2≠0)， ∴-=6，∴k=-(满足Δ>0)， ∴所求直线方程为3x+4y-5=0. 8.(5分)记双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值　　　　　　.  答案　2((1，]内的任意值均可) 解析　双曲线C的渐近线方程为y=±x，若直线y=2x与双曲线C无公共点， 则2≥，∴≤4，∴e2==1+≤5， 又e>1，∴e∈(1，]， ∴填写(1，]内的任意值均可. 9.(10分)设A，B为双曲线x2-=1上的两点，线段AB的中点为M(1，2).求： (1)直线AB的方程；(5分) (2)△OAB的面积(O为坐标原点).(5分) 解　(1)显然直线AB的斜率存在， 设直线AB的方程为y-2=k(x-1)， 即y=kx+2-k. 由 消去y，整理得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则1==(2-k2≠0)， 解得k=1. 当k=1时，满足Δ>0， 故直线AB的方程为y=x+1. (2)由(1)得x1+x2=2，x1x2=-3， ∴|AB|=· =×=4. 又点O到直线AB的距离d==， ∴S△OAB=|AB|·d=×4×=2. 10.(10分)已知直线l：x+y=1与双曲线C：-y2=1(a>0). (1)若a=，求l与C相交所得的弦长；(5分) (2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.(5分) 解　(1)当a=时， 双曲线C的方程为4x2-y2=1， 联立消去y，得3x2+2x-2=0. 设l与C的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=-，x1x2=-， 于是|AB|=·=×=. (2)将y=-x+1代入双曲线-y2=1中， 得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0， 所以 解得0<a<且a≠1. 又双曲线的离心率e===， 所以e>且e≠， 即离心率e的取值范围是∪(，+∞). 11.(2023·天津)双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P，已知|PF2|=2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为(　　) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案　 D 解析　因为过F2(c，0)作一条渐近线y=x的垂线，垂足为P，则|PF2|==b=2， 所以b=2， ① 联立可得x=，y=， 即P， 因为直线PF1的斜率为=， 整理得(a2+c2)=4ab， ② a2+b2=c2与①②联立得，a=，b=2， 故双曲线的方程为-=1. 12.(多选)设A，B为双曲线x2-=1上的两点，下列四个点中，可以为线段AB中点的是(　　) A.(2，0) B.(-2，4) C.(1，4) D.(-1，1) 答案　AC 解析　当直线AB的斜率不存在时，设直线方程为x=n，依题知n<-1或n>1，此时线段AB的中点为(n，0)，则选项A中的点满足题意，则A正确； 当直线AB的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m， 联立 消去y得x2+2kmx+m2+4=0， 由题知k2-4≠0， ① Δ=4k2m2-4(k2-4)(m2+4)>0， 化简为k2<m2+4， ② 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为(x0，y0)， 则x1+x2=， y1+y2=k(x1+x2)+2m=， 所以x0=，y0=， 即=， 对于B，可得k=-2，不满足条件①，故B错误； 对于C，可得k=1，m=3，满足条件①②，故C正确； 对于D，可得k=-4，m=-3，不满足条件②，故D错误. 13.(多选)已知F1，F2分别为双曲线C：-=1的左、右焦点，过F2的直线交双曲线C的右支于P，Q两点，则下列叙述正确的是(　　) A.直线PF1与直线PF2的斜率之积为 B.|PQ|的最小值为 C.若|PQ|=2，则△PF1Q的周长为8 D.点P到两条渐近线的距离之积为 答案　BCD 解析　如图，F1(-，0)，F2(，0)， 设P(m，n)，则2m2-3n2=6，又·=·==，故A错误； 由双曲线的焦点弦的性质，可得过焦点垂直于x轴的弦的长度最小， 即|PQ|的最小值为==，故B正确； 由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=|QF1|-|QF2|=2a， 所以|PF1|+|QF1|=4a+|PF2|+|QF2|=4a+|PQ|， 故△PF1Q的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|=4a+2|PQ|=4+4=8，故C正确； 由双曲线的渐近线方程为x±y=0， 可得点P到两条渐近线的距离之积为 ·==，故D正确. 14.(5分)设双曲线-=1的右顶点为A，右焦点为F，过点F作平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　　　　.  答案　 解析　双曲线-=1的右顶点A(3，0)，右焦点F(5，0)，渐近线方程为y=±x.不妨设直线FB的方程为y=(x-5)，代入双曲线方程整理，得x2-(x-5)2=9， 解得x=，y=-，∴B. ∴S△AFB=|AF|·|yB|=(c-a)·|yB|=×(5-3)×=. 15.(多选)已知双曲线C：x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：x=my-1(m∈R)与C的左、右两支分别交于M，N两点(点N在第一象限)，点P在直线l上，点Q在直线NF2上，且QF1∥PF2，则(　　) A.C的离心率为3 B.当m=时，|MN|= C.∠PF2M=∠NF2P D.|QF2|为定值 答案　BCD 解析　由题意得，a=1，b=，c=2，e==2，故A错误； 联立得y2-2y=0，解得y=0或y=，则|MN|=×=，故B正确； 由直线l：x=my-1(m∈R)可知M(-1，0)，又F2(2，0)，P，故P在线段MF2的垂直平分线上， 设PM，PF2的斜率分别为k，-k，M(-1，0)，故直线MP的方程为y=k(x+1)， 联立 得(3-k2)x2-2k2x-k2-3=0，则3-k2≠0， 设N(x1，y1)，又点N在第一象限，则x1=，0<k<，故N. 当NF2⊥x轴时，x1==2，解得k=1，y1=3，故△MF2N是等腰直角三角形，且易知∠PF2M=∠NF2P=45°； 当NF2不垂直于x轴时，则k≠1，直线NF2的斜率为=，故tan∠NF2M=-，因为tan∠PF2M=k， 所以tan 2∠PF2M==tan∠NF2M，所以2∠PF2M=∠NF2M，∠PF2M=∠NF2P，故C正确； 因为QF1∥PF2，故∠F2F1Q=∠PF2M=∠NF2P=∠F2QF1，故|QF2|=|F1F2|=4，故D正确. 16.(11分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点A(2，2)，且△AF1F2的面积为2. (1)求双曲线C的标准方程；(4分) (2)直线l：x=my+1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于点E，F(不同于点A)，记直线AE，AF分别与直线x=1交于点M，N，证明：B是MN的中点.(7分) (1)解　由题知 解得 ∴双曲线C的标准方程为-=1. (2)证明　将l：x=my+1代入双曲线C：-=1， 得(2m2-1)y2+4my-2=0. 设E(x1，y1)，F(x2，y2)， 则2m2-1≠0， Δ=32m2-8>0， y1+y2=-，y1y2=-. 直线AE的方程为y=(x-2)+2， 令x=1，得yM=+2； 直线AF的方程为y=(x-2)+2， 令x=1，得yN=+2. ∵+ ==-4， ∴yM+yN=0，又B(1，0)， ∴|BM|=|BN|，即B是MN的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $