精品解析：广东省清远市清新区四校2024-2025学年高二上学期12月期末联考数学试题

清新区2024～2025学年高二12月期末四校联考 数学试题 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.） 1. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ） A. B. C. －2 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 利用向量运算得到得到答案. 【详解】 故 故选： 【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力. 2. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆面积得出，结合四边形的周长求得，进而得出椭圆方程，得出，设，根据四边形的面积为即可求解最大面积． 【详解】由题可知，，即， 由四边形的周长为12得，，即，所以， 所以椭圆，则， 设，，则， 所以四边形的面积为， 故选：A． 3. 已知直线：与抛物线相交于A、B两点，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据抛物线的定义可得，联立方程组，利用根与系数的关系，即可求解． 【详解】由抛物线，可得其焦点坐标为，准线方程为， 又由直线，可得直线过抛物线的焦点， 设，根据抛物线的定义可得 所以， 又由，整理得，则， 所以． 故选D． 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的焦点弦的求解，其中解答中熟练应用抛物线的焦点弦的性质，合理利用一元二次方程的根与系数的关系求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，再由标准方程判断焦点位置，并求焦点坐标. 【详解】因为，所以，所以抛物线的焦点在轴上，且， 所以， 所以抛物线焦点坐标为， 故选：D. 5. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的导函数，利用换元法将题目条件转化为在上恒成立；再构造函数，判断其函数的单调性，求出最大值即可解答. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 令， 则， 所以在上恒成立. 又因为在上单调递增， 所以当时， 故. 故选：D. 6. 已知函数的图象在处的切线方程为，则（ ） A. 的单调递减区间为，单调递增区间为 B. 的单调递减区间为，单调递增区间为 C. 的单调递减区间为，单调递增区间为 D. 的单调递减区间为，单调递增区间为 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得，求出实数的值，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间. 【详解】因为，则，由已知可得，解得， 所以，. 由，得；由，得． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 故选：B. 7. 已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据抛物线定义得的轨迹为抛物线，再设其抛物线方程，根据焦点坐标求出其方程，再根据抛物线性质即可求出的长. 【详解】由题意得点的轨迹为焦点为，准线方程为的抛物线， 设抛物线的方程为，，则，解得， 故抛物线方程为，当时，，则， 故选：D. 8. 点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标，再代入点到直线的距离公式，即可得答案. 【详解】∵点在直线上，∴设， 利用点到直线的距离公式得：，解得：或， ∴点的坐标为或. 故选：C. 【点睛】本题考查点到直线的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每题至少两项是符合题目要求的.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. （多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，从而确定圆心的坐标，写出圆的方程即可. 【详解】由题意设，，所以， 在中， 如图所示，有两种情况： 故圆心C的坐标为或， 故所求圆的标准方程为 故选：AB. 10. 已知点P在圆C：上，点A（4，0），B（0，2），当∠PBA最小时，记直线PB斜率为k1，当∠PBA最大时，记直线PB的斜率为k2，则（ ） A. B. C. 三角形PAB的面积小于 D. 三角形PAB的面积大于 【答案】ABC 【解析】 【分析】设切线方程为，由圆心到切线距离等于半径得关于的方程，由韦达定理判断AB，求出圆心到直线的距离，可得到直线距离的最大值和最小值，从而可判断CD． 【详解】过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，当∠PBA最大时，点P与Q重合， A．设l：，即 当l与圆M相切时， 由韦达定理，故A正确； B．由选项A得，，故B正确； C．， ，由题易知直线AB的方程为， 即，则圆心M到直线AB的距离 ，所以直线AB与圆M相离，到直线的距离记为h， 所以点P到直线AB的距离的最大值为，， ，C正确； D．点P到直线AB的距离的最小值为，， 面积最小值，故D错误． 故选：ABC． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且垂直于直线的直线方程为 B. 过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C. 曲线过点的最短弦长为； D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据垂直关系确定斜率，应用点斜式写出直线方程判断；B注意截距不为0的情况；C判断已知点为抛物线的焦点，结合通项性质求最短弦长；D根据给定直线和曲线的形状，数形结合求参数范围. 【详解】A：与直线垂直的直线斜率为，故所求直线为， 即，对； B：若截距不为0时，令直线为，则， 此时直线方程为，错； C：由，是焦点为的抛物线，故过点的最短弦为通径，长度为，对； D：由过定点，是圆上半部分，如下图， 当动直线与半圆的左上方相切时，有，即，得， 当动直线过半圆左侧端点时，即， 结合图知，，D错. 故选：AC 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，试用表示经过两点直线的倾斜角_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜率公式结合诱导公式运算求解. 【详解】设直线的倾斜角为， ∵，则， ∴， 又∵，则， ∴. 故答案为：. 13. 已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由可得，从而可求公比. 【详解】由可得，故或， 若 故，若，则， 故答案为：. 14. 若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，可求得的焦点，也是双曲线的焦点，再由双曲线的一条渐近线方程即可求得双曲线的方程． 【详解】∵， ∴该椭圆的焦点在轴，且焦点坐标为：； ∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴设双曲线的方程为，即， ∵双曲线与有相同的焦点， ∴，∴，∴双曲线的方程为． 故答案为. 【点睛】本题考查椭圆的性质与双曲线的性质及标准方程，求得双曲线的焦点是关键，属于中档题． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接，， 因为F，G分别为，的中点， 所以，， 又E为的中点，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在直三棱柱中，平面， 又平面，平面， 所以，，又， 故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，， 所以，， ， 设平面的法向量为， 则令得，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 16. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点. （1）求线段的中点的轨迹方程； （2）经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）令，联立抛物线并应用韦达定理求得、，写出线段的中点坐标，即可得轨迹方程； （2）令，，同（1）求得，，根据点在抛物线上、点差法求得， 写出直线并求坐标，应用两点式并假设推出矛盾，即可证结论. 【小问1详解】 由题意，令，联立抛物线得， 若，则，， 所以， 而线段的中点坐标为， 所以中点的轨迹方程. 【小问2详解】 令，，同（1）可得，， 由且，则，即， 可设，令，则，即， 所以，， 若，即， 所以 所以， ， ，显然与矛盾， 综上，不成立，故，即，，在同一条直线上. 【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法求得，进而求得，再应用两点式并假设推出矛盾为关键. 17. 点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A,B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K． （1）求抛物线的方程； （2）设C,D是抛物线上异于A,B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E,G,K三点共线． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意易得，代入抛物线求得，即可得方程； （2）由（1）得，准线为，，设应用点斜式分别写出直线AC,BD,AD,BC，求交点E,G坐标，利用斜率公式判断共线即可. 【小问1详解】 由题意，得，因为，轴， 不妨设，代入抛物线，得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 由（1）知：，准线为，， 设 直线AC为①， 直线BD为②， 联立①②，解得，即， 直线AD为③， 直线BC为④， 联立③④，解得，即， 直线EK的斜率， 直线GK的斜率， 则直线EK的斜率与直线GK的斜率相同，所以E、G、K三点共线. 18. 如图，三棱锥中，平面平面，，点分别是棱的中点，点是的重心. （1）证明：平面； （2）若为正三角形，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由面面平行的性质定理证明 （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解 【小问1详解】 连接，连接并延长交于点，则点为的中点， 从而点分别是棱的中点， 又平面平面， 平面平面. 又平面， 平面平面， 又平面平面. 【小问2详解】 连接是的中点，， 平面平面，平面平面， 平面平面. 连接并延长交于点，则为的中点， 连接，则平面. 为正三角形 同理可得面，则如图建立空间直角坐标系 设. ， 则. ， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 又平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为． （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线（不过原点）与椭圆交于两点、，为线段的中点．求面积的最大值及此时的斜率． 【答案】（1） （2）面积的最大值是，此时的斜率为 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出，进而求出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出弦长，点到直线距离，表达出的面积，用基本不等式求出最大值及此时直线的斜率. 【小问1详解】 设椭圆上的点坐标为，，则点D到焦点距离为，当时，取得最大值，由题意知： ∴，∴椭圆C的方程为． 【小问2详解】 显然，直线的斜率存在， 设直线方程为，，， 联立直线与椭圆方程得：， 原点到直线的距离为，所以 ， 令，．∴， 当且仅当时等号成立，此时，且满足， ∴面积的最大值是，此时的斜率为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清新区2024～2025学年高二12月期末四校联考 数学试题 满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.） 1. 已知在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点，若其中为实数，则的值是（ ） A. B. C. －2 D. 2 2. 阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线：与抛物线相交于A、B两点，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的图象在处的切线方程为，则（ ） A. 的单调递减区间为，单调递增区间为 B. 的单调递减区间为，单调递增区间为 C. 的单调递减区间为，单调递增区间为 D. 的单调递减区间为，单调递增区间为 7. 已知点到点的距离与到直线相等，且点的纵坐标为12，则的值为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 8. 点在直线上，且点到直线的距离为，则点坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.每题至少两项是符合题目要求的.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.） 9. （多选）已知某圆圆心C在x轴上，半径为5，且在y轴上截得线段AB的长为8，则圆的标准方程为（　　） A. B. C. D. 10. 已知点P在圆C：上，点A（4，0），B（0，2），当∠PBA最小时，记直线PB斜率为k1，当∠PBA最大时，记直线PB的斜率为k2，则（ ） A. B. C. 三角形PAB的面积小于 D. 三角形PAB的面积大于 11. 下列说法正确的是（ ） A. 过点且垂直于直线的直线方程为 B. 过点且在x、y轴截距相等的直线方程为 C. 曲线过点的最短弦长为； D. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，试用表示经过两点直线的倾斜角_____． 13. 已知等比数列的前n项和为，，则数列的公比__________． 14. 若双曲线与椭圆有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则该双曲线的标准方程是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于，两点. （1）求线段的中点的轨迹方程； （2）经过点的另一条直线交抛物线于，两点，连接，设经过且平行于的直线交轴于点，求证：，，在同一条直线上. 17. 点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A,B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K． （1）求抛物线的方程； （2）设C,D是抛物线上异于A,B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E,G,K三点共线． 18. 如图，三棱锥中，平面平面，，点分别是棱的中点，点是的重心. （1）证明：平面； （2）若为正三角形，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为． （1）求椭圆的方程： （2）过点的直线（不过原点）与椭圆交于两点、，为线段的中点．求面积的最大值及此时的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $