精品解析：福建省宁德市福鼎市第四中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题

福鼎四中2024-2025学年第一学期月考高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．测试范围：数列+平面解析几何初步+圆锥曲线与方程 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到，计算出答案. 【详解】∵各项均为正数的等比数列中，， ∴. 故选：C. 2. 下列说法中，错误的是（   ） A. 经过点且与直线平行的直线方程是 B. 直线的一个方向向量为 C. 过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 D. ，，三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】A设所求直线为，代入点求参数即可判断；B根据斜率写出一个方向向量，判断两个向量是否平行即可；C注意直线过原点的情况；D利用两点式求斜率，判断是否相等即可. 【详解】A：令过点且与直线平行的直线为， 则，故所求直线为，对； B：直线的斜率为，则一个方向向量为， 显然与向量平行，故向量也是一个方向向量，对； C：当直线过原点时，直线方程为，错； D：由，故三点共线，对. 故选：C 3. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知先求得参数，进一步即可得解. 【详解】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合， 所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 4. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】公切线的条数确定两圆的位置关系，进而得到圆心距和两圆的半径之间的关系，计算即可. 【详解】由题意得，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 又两圆有且仅有一条公切线，则两圆的位置关系为内切，所以，即，解得． 故选：C. 5. 已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得 【详解】当直线斜率不存在时， 由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上， 而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意. 故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为， 即， 代入椭圆的方程化简得， 所以，解得， 故直线方程为，即. 故选：B. 6. 已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】设的公差d，由有， 解得，所以， 则，当且仅当时等号成立． 故选：A 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】由关系以及离心率、可得双曲线方程，进一步代入即可求解. 【详解】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有， 又由双曲线的离心率为，有， 可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为. 故选：B. 8. 已知椭圆的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线所过的定点，由题，此定点也在椭圆上，从而得出a，b，c的关系，用离心率表示出a，再由题目中长轴长的范围列出关于离心率的不等式，求解即可. 【详解】直线即，该直线过定点，所以点在C上，，即， 设，则， 所以， 因为C的长轴长大于，所以，， 所以，解得，所以：. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列，满足为的前项和，且，则（ ） A. 数列为等差数列 B. C. D. 或时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，等式移项即可判断，对B，根据等差数列下标和性质求出，则可求出，则得到其通项，对C，直接利用等差数列前项和公式即可判断，对D，利用二次函数性质即可判断. 【详解】对A，， 则数列为等差数列，故A正确， 对B，，则， 则，则，则，则，故B错误， 对C，，则，故C正确， 对D，，开口向下，对称轴为， ，故当或时,取得最大值，故D正确， 故选：ACD. 10. 已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 的最小值为 D. 若点在圆上，则的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合直线与圆的方程以及直线与圆的位置关系相关知识点对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于选项A，直线， 可得当时方程恒成立，即直线恒过定点， 故A正确； 对于选项B，因为直线恒过定点，根据圆M的标准方程可得， ，所以点在圆M内，所以直线与圆恒相交， 故B正确； 对于选项C，如图所示，设为点P，则， 当直线l于MP的连线垂直时，取得最小值， 此时由圆的弦长公式可得，， 故C错误； 对于选项D， 可将其看成点到点距离的平方再减1， 由于是圆上的点，如图所示， ，连结，则ME于圆的交点即为, 此时取得最小值， 故此时的最小值为， 故D正确. 故选：ABD. 11. 已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在4个点M，使得 B. 直线与直线斜率乘积为定值 C. 有最小值 D. 的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，由为圆心为直径的圆与椭圆的交点个数判断；B选项，由满足椭圆方程，代入直线与直线斜率乘积的算式中化简即可；C选项，利用椭圆定义结合基本不等式求最小值；D选项，利用数形结合和椭圆定义，求的最值，得取值范围. 【详解】对于A中，由椭圆，可得， 由，以为圆心，为直径的圆，与椭圆C有4个交点， 所以存在4个点M，使得，A选项正确； 对于B中，设，则，且，可得， 则为定值，所以B选项错误． 对于C中，由椭圆的定义，可得， 则， 当且仅当时，即时等号成立，所以C选项错误． 对于D中，由点N在椭圆外，设直线与椭圆相交于， 如图所示，则， 因为，且， 可知，即，当与重合时，等号成立， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：AD． 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线平行，则它们之间的距离为__________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由直线平行的判定求得，再应用平行线距离公式求距离. 【详解】由题意，可得，故可写， 所以两直线距离为. 故答案为： 13. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程有圆心并求得，应用点斜式写出切线方程. 【详解】由圆，则圆心为，故，则点P处的切线斜率为， 所以圆在点P处的切线方程为，可得. 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，，，根据已知列式化简得出动点的轨迹方程为椭圆，由椭圆的定义得出为椭圆的两焦点，即可根据椭圆的定义得出答案. 【详解】设点，，， 由，得， 点在椭圆上， ，， 则代入，得， ， ， 将代入，得， 得 由，得， 则， 直线与直线斜率之积为，即，得， 则，即， 故动点的轨迹方程为，即， 即动点的轨迹方程为椭圆， 平面内存在两定点，使得为定值， 则为椭圆的两焦点， 则， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知圆心为的圆与直线相切. （1）求圆的标准方程; （2）若圆与圆相交于两点，求直线的方程及弦长度. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）直线与圆C相切，可得直线l到点C的距离等于圆C的半径，用距离公式可以求得圆C的半径等于1，最后用圆的标准方程公式得到圆C的标准方程； （2）圆C与圆相交于A，B两点，线段即为两圆的公共弦．将两圆的方程的相减，得到二元一次方程，即为公共弦所在直线的方程，在利用圆的弦长公式求出线段的长度. 【小问1详解】 圆与直线相切， 圆心到直线的距离等于圆的半径. 因此半径， 圆的标准方程为. 【小问2详解】 圆与圆相交于两点， 由两式相减得方程:， 直线的方程即为. 圆心到直线的距离为， 所以. 16. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，. （1）求的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据点坐标可得两点坐标，利用可求的方程. （2）设直线的方程，与抛物线联立，结合过焦点的弦长公式可求直线的方程. 【小问1详解】 由题意得，， 把代入得，即， ∴，解得， ∴方程为：. 【小问2详解】 由（1）得直线斜率存在，， 设， 由得，， ∴， 由得，，解得， ∴直线的方程为或. 17. 记为数列的前项和，已知，且，. （1）证明：为等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将原式两边同时除以，构造等差数列即可； （2）由（1）可得，根据得到与的关系式，再利用累乘法求解即可； （3）利用错位相减法求和即可 【小问1详解】 ，， ，， 数列是首项为1，公差为的等差数列； 【小问2详解】 ， 即， ， 两式作差得， 即， ， 即，， ，； 【小问3详解】 ， ， ， ， . 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点直线与椭圆交于不同的两点，且与坐标原点构成三角形，求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求椭圆的标准方程； （2）设点，可设直线的方程为与椭圆联立表示出弦长和三角形的高h，表示从三角形的面积，利用基本不等式求最值. 【详解】解：（1）抛物线的焦点坐标为，椭圆的半焦距 由题可知解得， 椭圆的标准方程为. （2）设点． 三点构成三角形，所以直线的斜率存在且不为 则可设直线的方程为 联立 消去整理得． 由得 即 ， = 易知，点到直线的距离 设 则 当且仅当即时等号成立， 面积的最大值为 【点睛】思路点睛： （1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程； （2）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 19. 已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”． （1）判断数列是否为“凹数列”，请说明理由； （2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； （3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，当时，有”． 【答案】（1）数列是“凹数列”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）计算出，故满足“凹数列”的定义； （2）利用等差数列通项公式得到，由题意得对任意恒成立，化简得到，得到答案； （3）先证明出必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，则有，即，所以为“凹数列”. 【小问1详解】 因为，则， 又，故，即，数列是“凹数列”． 【小问2详解】 因为等差数列的公差为， 所以， 因为数列是凹数列， 所以对任意恒成立， 即 所以，即， 因为， 解得． 所以的取值范围为． 【小问3详解】 先证明必要性： 因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即， 所以对任意的，当时，有 ， 所以， 又， 所以．必要性成立， 再证明充分性： 对于任意的，当时，有， 取，则有， 即，所以为“凹数列”. 【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2024-2025学年第一学期月考高二数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．测试范围：数列+平面解析几何初步+圆锥曲线与方程 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知各项均为正数的等比数列中，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9 2. 下列说法中，错误的是（   ） A. 经过点且与直线平行的直线方程是 B. 直线的一个方向向量为 C. 过点且在，轴上的截距相等的直线方程为 D. ，，三点共线 3. 已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 4. 若圆与圆有且仅有一条公切线，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 5. 已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为等差数列的前n项和，若，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列，满足为的前项和，且，则（ ） A. 数列为等差数列 B. C. D. 或时，取得最大值 10. 已知圆，直线，直线与圆交于，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 的最小值为 D. 若点在圆上，则的最小值是 11. 已知椭圆，上分别为它的左右焦点，点A，B分别为它的左右顶点，已知定点，点M是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A. 存在4个点M，使得 B. 直线与直线斜率乘积为定值 C. 有最小值 D. 的取值范围为 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线平行，则它们之间的距离为__________. 13. 已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为__________. 14. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知圆心为的圆与直线相切. （1）求圆的标准方程; （2）若圆与圆相交于两点，求直线的方程及弦长度. 16. 已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点.当轴时，. （1）求的方程； （2）若，求直线的方程. 17. 记为数列的前项和，已知，且，. （1）证明：为等差数列； （2）求的通项公式； （3）若，求数列的前项和. 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点相同，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过点直线与椭圆交于不同的两点，且与坐标原点构成三角形，求面积的最大值． 19. 已知数列，对于任意，都有，则称数列为“凹数列”． （1）判断数列是否为“凹数列”，请说明理由； （2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； （3）证明：数列为“凹数列”充要条件是“对于任意的，当时，有”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $