精品解析：山东省名校2025届高三上学期12月校际联合检测数学试题

山东名校2025届高三12月校际联合检测 数学 命题学校：日照一中 审题学校：莱芜一中 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置，并在答题卡规定位置贴条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求出集合，正确交集可得答案. 【详解】由，可得，即， 由，所以． 故选：D． 2. 若复数 满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求 ，再根据复数模的公式计算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：B． 3. 已知向量，，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由数量积的性质等价转化关系，结合充分条件必要条件的定义确定结论. 【详解】由，， 若，则， 解得或 ， 故“ ”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设公差为，利用等差数列的性质、通项公式可得答案.. 【详解】设公差为， 因为数列为等差数列，则， 又，则，即， 因为，，所以 ， 故． 故选：C． 5. 设是空间中的一个平面，是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面垂直判定定理可判断A；结合线面垂直与线线垂直的性质分析可判断B；由线面垂直性质可判断C、D. 【详解】对于A，由，，只有直线与相交时，可得，故A错误； 对于B，由，知或，故B错误； 对于C，由，则，故C错误； 对于D，由，可得，又因为 ，所以，故D正确． 故选：D. 6. 已知，，，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数平方关系可求得，利用两角差余弦公式求得，由同角三角函数商数关系化简所求后可得结果. 【详解】因为，，， ，故， 且，故， 所以． 故选：D. 7. 若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设在底面的投影为，确定球心位置，求，由此可求侧棱和侧面三角形的高，再求侧面积. 【详解】如下图，设在底面的投影为，易知正四棱锥 的外接球球心在上， 由题设，球体半径，则， 所以，，， 中边上的高为，故正四棱锥的侧面积为. 故选：C 8. 若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性，利用导数分析易得当时，在上单调递增，因此可得在上恒成立，且，进而求解即可. 【详解】因为， 当时，， 则， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 当时，， 由题意知，在上恒成立， 即在上恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以 ， 又由，得到， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于，利用导数分析得当时，的单调性，从而确定在上的单调性，从而得解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举例可判断A；利用作差法可判断B；利用不等式的基本性质可判断C；结合对数函数的性质可得，进而判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，由 ，则， 所以，故B正确； 对于C，由，得，所以， 又，所以，因此，故C正确； 对于D，由，得，即， 当时，命题不成立，故D错误． 故选：BC． 10. 函数的图象，如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数是奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 若在上有且仅有三个零点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】化简函数解析式，由图象观察可得时，函数取最大值，由此可求，结合周期公式求周期，判断A，求函数的解析式并化简，结合正弦函数性质判断B，化简函数的解析式，结合正弦函数性质求其对称中心，判断C，求的范围，结合条件列不等式求的范围，判断D. 【详解】依题意，， 观察图象可得时，函数取最大值，又， 所以， ， 解得， ，而，解得， ，的最小正周期为，A错误； 是奇函数，B正确； ， ， 令， ，可得， ， 因此的对称中心为， 当 时，函数的对称中心为，故C正确； ， ，当时，， 依题意，，解得，D正确． 故选：BCD． 11. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与直线所成角为 D. 平面经过棱的三等分点 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明可判断AB正确；由异面直线的向量求法可得C错误，在棱上取一点，求得平面和平面的法向量，解方程可得，可判断D正确. 【详解】在正方体中，分别以为轴，轴， 轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为2，则， 对于A，， 设平面的一个法向量， 因为平面， 所以平面，A正确； 对于B，因为， 所以，B正确； 对于C，设直线与直线所成角为， 则，又， 所以，C错误； 对于D，在棱上取一点，如下图所示： 则， 设平面的法向量，平面的法向量， 则，解得平面的一个法向量， 又，解得平面的一个法向量， 因为平面平面，所以当时，共面， 此时，即解得， 所以平面经过棱的三等分点 ，可得D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先说明数列的公比不为，由条件结合等比数列求和公式证明，再结合求和公式求结论. 【详解】设等比数列的公比为， 若，则，矛盾，故． 由题意，得，即，， 所以． 故答案为： 13. 已知正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合基本不等式证明，解不等式可得结论. 【详解】由，得， 所以， 因为， ，所以， 所以，即， 所以，当且仅当，且，即时，上式取“=”， 所以的最小值为． 故答案为：9. 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在 中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可得，结合三角恒等变换与辅助角公式可求得，求解即可； （2）设，利用等边三角形的性质得，在 中利用余弦定理求得，即可求解比例. 【小问1详解】 依题意，， 由正弦定理可得， 因为 ，所以，所以， 即， 所以，即， 因为，所以，所以，即． 【小问2详解】 不妨设，则， 因为，所以 为等边三角形， 则， 由余弦定理得， 所以，解得或（舍去）， 所以． 16. 已知函数． （1）证明：函数的图像关于点对称： （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 函数的定义域为， 依题意， ， 所以函数的图像关于点对称． （2）． 【解析】 【分析】（1）由 即可求证； （2）参变分离得到，再通过换元，借助二次函数求最值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时， ， 由已知，不等式恒成立， 因为，所以 ， 以上不等式可化为： ， 整理得，， 设 ，由，知 ，上式可转化为 ，， 因为，由 ，知 ，所以 ， 所以实数的取值范围为． 17. 如图，在四棱锥 中， 且，底面是边长为的菱形， （1）平面 平面 （2）若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可得平面 ，即可根据面面垂直的判定求证， （2）根据面面垂直的性质可得为直线与平面所成角的平面角且为 的重心，即可建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，根据法向量的夹角以及换元法得，结合二次函数的性质即可求解最值. 【小问1详解】 连接 交于点,连接, 由于，是 的中点，故, 又,平面 ， 故平面 ，平面， 故平面 平面 【小问2详解】 过作于点， 由于平面 平面，且两平面的交线为, 平面 ，故平面， 因此为直线与平面所成角的平面角，故, 平面， 平面，故 ， 又平面， 故 平面，平面，故， 结合 可知为 的垂心， 由于底面是边长为的菱形，，故 为等边三角形， 因此为 的重心， , 以建立轴，过平面的垂线作为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于，则,故， 则 设,故，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设二面角的平面角为， 则 ， 令则,， 由于， 故， 当且仅当，即时取等号， 故的最大值为，因此 的最小值为， 【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 18. 已知函数．（其中是自然对数的底，，）． （1）讨论函数的单调性； （2）当 时，若恒成立，求整数的最大值（）． 【答案】（1） 当时，在上是增函数； 当 时，在上是增函数，在上是减函数． （2）1 【解析】 【分析】（1）直接利用导数分析函数单调性即可； （2）转化问题为对于 恒成立，设，利用导数分析函数单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 函数定义域为，． 当时，，在上是增函数； 当 时，由，解得， 由，解得． 所以函数在上是增函数，在上是减函数． 综上，当时，在上是增函数； 当 时，在上是增函数，在上是减函数． 【小问2详解】 由题意当 时，，整理得． 令函数， 则． 令，则． 当 时，恒成立，所以在单调递增． 又，， 所以，使得，即． 故时，；时，． 因此在单调递减，在单调递增， 所以． 令函数．则， 所以在单调递增，因此． 又，， ∴． 因此整数的最大值为1. 【点睛】方法点睛：利用导数求解参数范围的问题的解题常用方法： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 19. 已知无穷数列（ ，），构造新数列满足，满足，…，满足（ ，），若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，，……，（ ，），若为常数数列，则称为阶等比数列． （1）已知为二阶等差数列，且，， ，求的通项公式； （2）若数列为二阶等差数列，为一阶等比数列．证明：为三阶等比数列； （3）已知，令的前项和为，，证明：． 【答案】（1） （2） 因为为二阶等差数列，所以 （为常数）， 因此，即， 所以 ， 故是关于的二次多项式， 又是一阶等比，设公比为，则，则， 由是关于的二次多项式，知是关于的三次多项式． 下面证明是三阶等差数列： 设，，则 ， 所以 ， ， ，此为常数， 因此是三阶等差数列， 故是常数列， 故是三阶等比数列． （3） 由上可知，可设，（其中 ）， 则， 所以 故， 所以 ， 因此， 设数列的前项和为，则， 所以， 两式相减，得 ， 所以． 即，得证． 【解析】 【分析】（1）由新定义得为公差为2，首项为的等差数列，由等差数列的通项公式求解； （2）由已知 （为常数），证明是关于的二次多项式，求，结合定义证明是三阶等差数列，由此完成证明； （3）利用待定系数法证明，由裂项相消求和，再结合放缩，错位相减法求和证明结论. 【小问1详解】 因为 ，又 ， 所以为公差 为，首项为的等差数列， 因此 ，即 ， 所以 ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 $ 山东名校2025届高三12月校际联合检测 数学 命题学校：日照一中 审题学校：莱芜一中 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置，并在答题卡规定位置贴条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数 满足（其中i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是空间中的一个平面，是两两不重合的三条直线，则下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 6. 已知，，，则( ) A. B. C. D. 7. 若正四棱锥的高为6，且所有顶点都在半径为4的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 函数的图象，如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 函数是奇函数 C. 的图象关于点对称 D. 若在上有且仅有三个零点，则 11. 在正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 直线与直线所成角为 D. 平面经过棱的三等分点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等比数列的前项和为，若，则__________． 13. 已知正数，满足，则的最小值为__________． 14. 一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，角的对边分别为，且． （1）求角； （2）若为边上一点，且，求的值． 16. 已知函数． （1）证明：函数的图像关于点对称： （2）若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 如图，在四棱锥 中， 且，底面是边长为的菱形， （1）平面 平面 （2）若直线与平面所成角的正弦值为，点为棱上的动点（不包括端点），求二面角的正弦值的最小值 18. 已知函数．（其中是自然对数的底，，）． （1）讨论函数的单调性； （2）当 时，若恒成立，求整数的最大值（）． 19. 已知无穷数列（ ，），构造新数列满足，满足，…，满足（ ，），若为常数数列，则称为阶等差数列；同理令，，……，（ ，），若为常数数列，则称为阶等比数列． （1）已知为二阶等差数列，且，， ，求的通项公式； （2）若数列为二阶等差数列，为一阶等比数列．证明：为三阶等比数列； （3）已知，令的前项和为，，证明：． 第1页/共1页 $