专题7.5 期末复习之选择压轴题十七大题型总结-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（北师大版2024）

专题7.5 期末复习之选择压轴题十七大题型总结 【北师大版2024】 【题型1 丰富的图形世界】 2 【题型2 数轴与绝对值的化简】 4 【题型3 有理数的运算】 8 【题型4 幻方与程序框图】 11 【题型5 有理数运算的应用】 15 【题型6 列代数式】 18 【题型7 代数式求值】 20 【题型8 整式加减与周长问题】 22 【题型9 一元一次方程的解】 27 【题型10 一元一次方程的应用】 29 【题型11 线段的和差】 32 【题型12 线段中的动点问题】 36 【题型13 角的计算】 39 【题型14 角中的旋转问题】 43 【题型15 新定义问题】 47 【题型16 规律探究】 51 【题型17 多结论问题】 53 【题型1 丰富的图形世界】 【例1】（24-25七年级·山东济南·期中）一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体从三个不同方向看到的形状如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则所代表的数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何体的三视图， 从三视图中2开始，结合主视图可得到下层正面为6的正方体左右两面的数字为3和4，进而确定正方体上下两面是2和5，在底面是5与2两种情况考虑，从下往上即可得出答案． 【详解】解：由题意可知还原这个立体图形的形状， 左视图中的2的对面是5，紧临的是3，其对面是4，再接下来是4，其对面是3； 主视图中小正方体正面是6，后面是1，右面是3，上下两个面就是2，5相对； 当底面是5，上面是2，紧临的是6，其对面是1，接触的两个面上的数字之和为8，则★应该是7，不可能； 所以底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4，接下来紧临的还是4，则★为其对面，所以是3． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，是一个正方体的表面展开图，已知该正方体的每个面都有一个有理数．若相对面上的两个数的和都为，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方体相对两面上的数字，代数式求值，由图可得，的对面是，的对面是，的对面是，根据相对面上的两个数的和都为，列式求出的值，再代入代数式计算即可求解，求出的值是解题的关键． 【详解】解：由图可得，的对面是，的对面是，的对面是， ∵相对面上的两个数的和都为， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：． 【变式1-2】（23-24·浙江金华·七年级校考期中）下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，根据正方体表面三角形和长方形的位置关系逐项判定即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】、选项两个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 、选项当三角形所在面为正面时，其中一个长方形所在面为左面，不符合题意； 、选项经过折叠得到题图几何体，符合题意； 、选项三角形所在面和其中一个长方形所在面互为相对面，不符合题意； 故选：． 【变式1-3】（23-24七年级·上海宝山·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两面上的字，找出变化的规律是解题的关键． 先向右翻滚，然后按逆时针方向旋转，叫做一次变换，那么连续次变换则是一个循环．本题先要找出次变换是一个循环，然后再求被整除后余数是几，从而确定第次变换后的点数． 【详解】解：第一次变换后朝上一面的点数为5， 第二次变换后朝上一面的点数为6， 第三次变换后朝上一面的点数为3， 第四次变换后朝上一面的点数为5， 连续3次变换是一个循环， 余， 连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 故选：． 【题型2 数轴与绝对值的化简】 【例2】（23-24七年级·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值，解题的关键是熟练掌握绝对值的非负性，根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 【变式2-1】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【答案】D 【分析】根据|a−d|＝10，|a−b|＝6得出b和d之间的距离，从而求出b和c之间的距离，然后假设a表示的数为0，分别求出b，c，d表示的数，即可得出答案． 【详解】解：∵|a−d|＝10， ∴a和d之间的距离为10， 假设a表示的数为0，则d表示的数为10， ∵|a−b|＝6， ∴a和b之间的距离为6， ∴b表示的数为6， ∴|b−d|＝4， ∴|b−c|＝2， ∴c表示的数为8， ∴|c−d|＝|8−10|＝2， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离、绝对值的意义，关键是要能恰当的设出a、b、c、d表示的数． 【变式2-2】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【答案】B 【分析】可得，从而可得 ；然后根据选项判断，，的符号，进行化简即可求解． 【详解】解： 是的中点， ， ； A． 在的左边，，，， ， 故此项不符合题意； B． 在与之间时，，，， ， 故此项符合题意； C．在与之间时，，，， ， 故此项不符合题意； D．在的右边时，，，， ， 故此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了利用绝对值性质进行化简，掌握性质是解题的关键． 【变式2-3】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和． 【详解】 ， 或， 或， 当时，等价于，即， 或， 或； 当时，等价于，即， 或， 或， 故或或或， 所有满足条件的数的和为：． 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏． 【题型3 有理数的运算】 【例3】（23-24七年级·广东东莞·期中）已知和是一对互为相反数，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用绝对值非负性求出a、b的值，代入到所求的代数式中再运用进行简便运算． 【详解】∵和是一对互为相反数 ∴+=0 ∴a=1，b=2 ∴ = = = = = 故选：C． 【点睛】此题考查绝对值的非负性和有理数的简便运算．其关键是要发现并运用对，，等进行裂项，并两俩抵消． 【变式3-1】（23-24七年级·上海宝山·期末）如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】相乘的这些分数的特点是分母都是偶数，分子都是奇数；再写出一道分数相乘，使它们分子都是偶数，分母都是奇数， 把这两道算式相乘，得出积为，由此进一步再做比较即可得解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴，即， 故选A． 【点睛】本题考查了比较有理数的大小，采用适当的方式将有理数放大后比较是解题的关键． 【变式3-2】（23-24七年级·山西·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的a的值为多少即可． 【详解】解：根据分析，可得 则所有符合条件的a的值为：128、21、20、3． 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 【变式3-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 【答案】A 【分析】计算出的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答． 【题型4 幻方与程序框图】 【例4】（23-24七年级·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】共有个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这 个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为，然后利用这个原理将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：因为共有个数，每一条边上个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这个数共加了两遍后和为，所以每条边的和为， 所以这一行最后一个圆圈数字应填， 则所在的横着的一行最后一个圈为， 这一行第二个圆圈数字应填， 目前数字就剩下， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这一行剩下的两个圆圈数字和应为，则取中的， 这两行交汇处是最下面那个圆圈，应填， 所以这一行第三个圆圈数字应为， 则所在的横行，剩余3个圆圈里分别为，要使和为2，则为 故选： 【点睛】本题主要考查了幻方的应用，找到每一行的规律并正确进行填数是解题的关键． 【变式4-1】（23-24七年级·河南濮阳·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，，则第2018次输出的结果为　　 A．0 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据题意找出规律即可求出答案． 【详解】第一次输出为24， 第二次输出为12， 第三次输出为6， 第四次输出为3， 第五次输出为6， 第六次输出为3， …… 从第三次起开始循环，∴（2018﹣2）÷2=1008 故第2018次输出的结果为：3． 故选B． 【点睛】本题考查了数字规律，解题的关键是正确理解程序图找出规律，本题属于基础题型． 【变式4-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为(　　)． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算；根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，可得①，②，③表示的数，即可求出的值． 【详解】解：如图， 任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于， 对角线上①处数字与，的和为， ①处的数字为：， 又中间一列②处数字与，的和为， ②处上的数字为： 最正面一行数字之和为 ③处数字为 最后一列之和为， ， 故选：D． 【变式4-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）    A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，要先读懂题意，根据题意获取数量关系，再用尝试法，直到找到合理的数值，本题综合性比较强，比较注重逻辑推理．由题意可知，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．所以有，进而得，，，再利用尝试法，把数据代入验证，可得，，，的值，并代入计算可得结论． 【详解】解：由题意可得： ， 所以有，，， 由图中可知，，，的值，由，，5，，6，8中取得， 由于，且只有， ，， 这时，的值从，，中取得， 当和，计算验证，都不符合题意， 所以时，符合题意． 具体数值如下图所示，    所以，，，， 则． 故选：B． 【题型5 有理数运算的应用】 【例5】（23-24七年级·浙江绍兴·期末）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目． 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论： ①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭， 可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； ②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上， 需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上， 对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； 则共有种乘坐方式； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况． 【变式5-1】（2024七年级·全国·专题练习）共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有，，，四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（    ）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）． 公司 计费 付费优惠 1元/次 没有 1.5元/次 周末和节假日骑行免费 1.5元/次 每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周 1.5元/次 每骑行付费一次，下次骑行免费 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）的工作日与假期的天数，获得骑行的次数与时间，然后计算不同方案所需总费用，进行比较即可． 【详解】解：这段时间有20周，19个周末（含假清明、五一，端午），不足半小时的次数有个，还有个50分钟（回家、返公司）的单程． ∴若用公司的车，约需付费：（元）； 若用公司的车，约需付费：（元）； 若用公司的车，大体认为在4.5个月的周期里，可以免单4.5周，计费的工作日不超过天，周末加法定假日不超过15个，大约需付费不超过：（元）； 若用公司的车，约需付费：（元）． 综上所述，选用公司的车最省钱，也就是最划算． 故选D． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用．解题的关键与难点在于理解题意． 【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，得到至少要购买5份套餐，再结合优惠活动进行求解即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：∵全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币， ∴至少要购买5份套餐， ①当购买5份套餐，其余全部购买电影票时： （元）， ∵消费满300元，减25元， ∴共消费：元， ②当购买6份套餐，其余全部购买电影票时： 元， ∵消费满600元，减60元， ∴共消费：元， 此时最优惠， 故选B． 【变式5-3】（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为，甲容器高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为分钟，若时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高时，的值为（    ）      A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5 【答案】C 【分析】本题考查有理数的应用，分类讨论是解决问题的关键．根据题意，分两种情况，乙容器水高，丙容器无水时；丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，丙到达时，计算求解即可． 【详解】解： 时，甲容器里的水开始流向乙容器，即甲中水上升了，甲中注水速度为， 甲、乙、丙的底面的面积之比为，则注水的速度之比为， 乙的注水速度为，丙的注水速度为， 当乙容器里的水比丙容器里的水高时， 乙容器水高，丙容器无水，； 丙中进水，乙中水到达与丙连接的管子处时，用时，假设在此之后注水分钟，乙比丙高，则丙要到达， ， ， 综上所述，的值为或． 故选：． 【题型6 列代数式】 【例6】（23-24七年级·湖北孝感·期末）某轮船在静水中的速度为u千米/时，A港、B港之间的航行距离为S千米，水流速度为v千米/时．如果该轮船从A港驶往B港，接着返回A港，航行所用时间为小时，假设该轮船在静水中航行2S千米所用时间为小时，那么与的大小关系为（　　） A．＜ B．＞ C．＝ D．与u，v的值有关 【答案】B 【详解】解：t1==， t2=， t1﹣t2=﹣= ， 因为u＞v＞0， 所以t1﹣t2＞0，即t1＞t2． 故选B． 【点睛】本题考查了列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． 【变式6-1】（2024·安徽合肥·一模）某某市2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了，计划2020年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式，根据题意先求出2018年和2020年扶贫资金，再求得这三年的扶贫资金总额即可． 【详解】解：∵2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了， ∴2018年的扶贫资金为万元， ∵计划2020年的增幅调整为上一年的2倍， ∴2020年的扶贫资金为万元， ∴这3年的扶贫资金总额将达到：万元． 故选：D． 【变式6-2】（23-24七年级·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【答案】D 【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键． 【详解】解：设每杯售价x元， 在甲店购买12杯的费用为（元）； 在甲店买8杯，在乙店买4杯的费用为（元）； 在甲店买6杯，在乙店买6杯的费用为（元）； 在乙店购买12杯的费用为（元）； 在乙店买12杯花钱最少， 故选：D． 【变式6-3】（23-24七年级·山东青岛·单元测试）萱萱的妈妈下岗了，在国家政策的扶持下开了一家商店，全家每个人都要出一份力，妈妈告诉萱萱说，她第一次进货时以每件元的价格购进了件牛奶；每件元的价格购进了件洗发水，萱萱建议将这两种商品都以元的价格出售，则按萱萱的建议商品卖出后，商店（ ） A．赚钱 B．赔钱 C．不嫌不赔 D．无法确定赚与赔 【答案】D 【分析】此题可以先列出商品的总进价的代数式，再列出按萱萱建议卖出后的销售额，然后利用销售额减去总进价即可判断出该商店是否盈利. 【详解】由题意得，商品的总进价为， 商品卖出后的销售额为， 则， 因此，当时，该商店赚钱：当时，该商店赔钱；当时，该商店不赔不赚. 故答案为D. 【点睛】本题主要考查列代数式及整数的加减，分类讨论的思想是解题的关键. 【题型7 代数式求值】 【例7】（2024·湖北武汉·二模）已知一列数的和，且，则的值是(    ) A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】设， 则可推出，从而得到，，故，从而得到． 【详解】解：设， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ 故选：D 【点睛】本题考查整式的加减法，推导是解题的关键． 【变式7-1】（23-24七年级·河北保定·期末）已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 根据已知条件推出式子与的值，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴． 故选：D． 【变式7-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(　  　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据题意可得m=-1，|5-n|=1或m=-2，|5-n|=4，求出m、n的值，然后求出mn的值即可． 【详解】∵代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式， ∴化简后的结果可能为2x4y，也可能为xy， 当结果为2x4y时，m=-1，|5-n|=1， 解得：m=-1，n=4或n=6， 则mn=（-1）4=1或mn=（-1）6=1； 当结果为xy时，m=-2，|5-n|=4， 解得：m=-2，n=1或n=9， 则mn=（-2）1=-2或mn=（-2）9=-29， 综上，mn的值共有3个， 故选C. 【点睛】本题考查了合并同类项，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则． 【变式7-3】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若满足方程，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m的取值范围即可解答. 【详解】当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以 故选D 【点睛】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键. 【题型8 整式加减与周长问题】 【例8】（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式与几何图形，延长交于点，得到，即四边形的面积为，再得到，即四边形的面积为，再利用得到四边形的面积为4，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点， 两个大小相同的小正方形及， ， ， 即， 四边形的面积等于， 同理可得， ， 四边形的面积等于， ， ， 即， ， ， 四边形为正方形，两个大小相同的小正方形及， ，， ， 即， 正方形的面积为4， 长方形的面积已知， 已知， 故答案为：D． 【变式8-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，根据图形列出阴影部分的周长是解答本题的关键． 设正方形纸片①②③④的边长为、、、；列出两个阴影部分边长之差即可得到结果． 【详解】解：设正方形纸片①②③④的边长为、、、，如图： 左上角阴影部分的周长为：， 右下角阴影部分的周长为：， ∴两部分阴影周长值差为： ， ∴要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其①正方形的边长即可， 故选：A． 【变式8-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可． 【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n， ∴AB+BC，JI+HI=， 延长FG交AD于M， 正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA， 正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG， ∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC， ∴AK+JF+KJ+FC= AB+BC=， ∵AM+GL=AD=BC， ∴AM+GL+LC=BC+AB-DL=-DL， ∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH， ∵EH=DL， ∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长=+-DL+ n+EH=m+n． 故选：A． ． 【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【变式8-3】（23-24七年级·江苏无锡·期末）将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．53 C．46 D．55 【答案】A 【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为36，求得，根据图2中长方形的周长为53，求得AB=，没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为36，可得，，解得：， 如图，图2中长方形的周长为53， ∴， ∴， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长， ∴ ． 故选A． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，设出未知数、正确列代数式表示各线段的长是解答本题的关键． 【题型9 一元一次方程的解】 【例9】（23-24七年级·重庆·期末）已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 是非负整数解 或，，时，的解都是非负整数 则 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 【变式9-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得到，得到的解为，类比得到答案． 【详解】∵，得到， ∴的解为， ∵方程的解是， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义是解题的关键． 【变式9-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图，点为线段上两点，，且，设，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把代入得出，先求出CD=6，将 再代入方程并求出方程的解即可． 【详解】解： ∵，， ∴， ， 解得：． ∴， 的解为， 故选：． 【点睛】本题考查了两点间的距离 、一元一次方程的解法及应用，得出关于的方程是解此题的关键． 【变式9-3】（23-24七年级·全国·课后作业）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 •a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ） A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1 【答案】A 【详解】解：去分母得：2ax=3x﹣（x﹣6）， 去括号得：2ax=2x+6， 移项，合并得，（2a-2）x=6， 因为无解，所以2a﹣2=0，即a=1． 故选A． 【点睛】本题考查了一元一次方程无解，解题关键是准确理解题意，列出关于字母a的方程． 【题型10 一元一次方程的应用】 【例10】（23-24七年级·全国·单元测试）实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，用两个相同的管子在容器的高度处连通(即管子底端离容器底)．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则开始注入(    )分钟的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高． A．3 B．6 C．3或6 D．3或9.3 【答案】D 【分析】在容器乙中的水未注入容器甲之前，注入的水仅存放在乙、丙容器内；在容器乙中的水注入容器甲之后，注入容器乙和丙中的水流入到甲容器中，在注入的过程中产生 的高度差． 【详解】解：当容器乙中的水未注入容器甲之前， 由题意，注入单个容器中水位上升的高度与时间的关系为/分钟， 所以当乙中水位为时满足条件，所用时间为： (分钟)； 当容器乙中的水注入容器甲之后，当甲容器中的水位为，容器乙中的水位为时，满足题意， 设注水时间为x，则，解得 (分钟)， 要使乙中水位高出甲，则需注水的时间为：分钟． 故选：D． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意分析产生水位差的两种情况是解答本题的关键点，建立方程时要注意甲容器中原有的水． 【变式10-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点．．．若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，首先计算得甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为：，设两人相週的次数为，根据一元一次方程的性质列方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，甲、乙两运动员每次相遇的时间间隔为： 设两人相遇的次数为 ∵起跑后时间总共为2分钟，即120 s ∴ ∴ 根据题意，两人相遇的次数为整数 ∴，即两人相遇的次数为5次 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 【变式10-2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 a b 表格中a、b的值正确的是（   ） A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2 【答案】D 【分析】对比图表中七、八年级小组活动次数可知，八年级比七年级多活动1次文艺小组，总时间多2小时，由此可以指导文艺小组活动每次2小时，再通过七年级的活动次数可以求出科技小组活动每次1.5小时，然后列代数式，求代数式的整数解． 【详解】由表格可知文艺小组活动每次2小时，科技小组活动每次1.5小时． 设九年级文艺小组活动x次，则科技小组活动次数为次，因为活动次数为整数，所以当时，． 故选D 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意是解决本题的关键． 【变式10-3】（23-24七年级·河北沧州·期中）甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数20正对着乙温度计的度数-10，那么此时甲温度计的度数-5正对着乙温度计的度数是（    ） A．5 B．15 C．25 D．30 【答案】B 【分析】通过观察发现两支温度计的放置方向相反，但是刻度间的间隔相同，所以求出甲温度计前后的温度变化后，把乙温度计按相反方向变化相同的温度即可得到答案 ． 【详解】解：设所求乙温度计的度数为x，则由题意可知甲温度计前后刻度的变化为：-5-20=-25， ∵两支温度计的放置方向刚才相反，∴两支温度计前后刻度的变化也是相反的， ∴x-（-10）=25，解得x=25-10=15， 故选B ． 【点睛】本题考查正负数在生活中的应用，熟练掌握正负数的意义及它们的关系是解题关键． 【题型11 线段的和差】 【例11】（23-24七年级·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（    ）    A．5 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】设，则，求得，设，当点E在线段之间时，得到，求得，进而即可求出；当点E在线段之间时，同理可求出与条件不符，故舍去； 【详解】设，则， ∴． ∵， ∴． 设， 当点E在线段之间时，如图，    ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段之间时，如图，    ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：，不符合题意，舍； 综上可得． 故选B． 【点睛】本题主要考查两点间的距离及线段的和与差．解答的关系是分类讨论点E的位置． 【变式11-1】（23-24七年级·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和与差，正确画出图形，熟练掌握线段之间的运算是解题关键．先画出图形，设，则，，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： 设， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式11-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，则线段的长是（    ） A．2 B．4 C．2或14 D．4或14 【答案】C 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差计算．根据题意运用分类讨论画出两个图形，运用线段中点的定义与线段的和差即可解答． 【详解】分两种情况讨论： ①如图，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴，即 ∴； ②如图，， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点D是折线的“折中点”， ∴， ∴； 综上所述，线段的长为2或14． 故选：C 【变式11-3】（23-24七年级·重庆江津·期末）如图1，线段表示一条拉直的细线，、两点在线段上，且，.若先固定点，将折向，使得重叠在上；如图2，再从图2的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设OB=3x，依次表示出BP、OA、AP、AB的长度，折叠后从点B处剪开得到AB段为2x，OB=3x，BP=5x，即可得到比值. 【详解】设OB=3x，则BP=7x， ∴OP=OB+BP=10x， ∵， ∴OA=4x，AP=6x， ∴AB=OA-OB=x， 将折向，使得重叠在上，再从点重叠处一起剪开， 得到的三段分别为：2x、3x、5x， 故选：D. 【点睛】此题考查线段的和差计算，设未知数分别表示各段的长度使分析更加简单，注意折叠后AB段的长度应是原AB段的2倍，由此计算即可. 【题型12 线段中的动点问题】 【例12】（23-24七年级·浙江宁波·期末）数轴上，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是0.动点、从、同时出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设运动时间为t秒，根据题意可知AP=3t，BQ=t，AB=2，然后分类讨论:①当动点P、Q在点O左侧运动时，②当动点P、Q运动到点O右侧时，利用各线段之间的和、差关系即可解答. 【详解】解:设运动时间为t秒，由题意可知: AP=3t， BQ=t， AB=|-6-(-2)|=4，BO=|-2-0|=2， ①当动点P、Q在点O左侧运动时， PQ=AB-AP+BQ=4-3t+t=2(2-t)， ∵OQ= BO- BQ=2-t， ∴PQ= 2OQ ； ②当动点P、Q运动到点O右侧时， PQ=AP-AB-BQ=3t-4-t=2(t-2)， ∵OQ=BQ- BO=t-2， ∴PQ= 2OQ， 综上所述，在运动过程中，线段PQ的长度始终是线段OQ的长的2倍， 即PQ= 2OQ一定成立. 故选: A. 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题及数轴上两点间的距离，解题时注意分类讨论的运用. 【变式12-1】（23-24七年级·河南驻马店·期末）线段 ，点A从点M开始向点N以每秒1个单位长度的速度运动，点B从点N开始以每秒2个单位长度的速度向点M运动，当时，t的值为（    ） A．秒 B．秒 C．12秒 D．秒或12秒 【答案】D 【分析】分A，B相遇前和相遇后两种情况，列代数式表示出的长度，根据等量关系列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得，， 当时，分两种情况： 当A，B相遇前，， 因此， 解得； 当A，B相遇后，， 因此， 解得； 故当时，t的值为秒或12秒． 故选D． 【点睛】本题考查线段的和差关系，一元一次方程的应用，解题的关键是注意分类讨论． 【变式12-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图，已知线段AB=a，线段CD=b，线段CD在线段AB上运动（点C、D始终在线段AB上），在CD的运动中，则图中所有线段的长度和是（   ） A．2a+2b B．3a+b C．3a+2b D．随着CD位置的改变而发生变化 【答案】B 【分析】先找出图中的所有线段，然后求和可，即求AC+AD+AB+CD+CB+DB的值． 【详解】解：如图，AB=a，CD=b， AC+AD+AB+CD+CB+DB = =AB+AB+AB+CD =3a+b， 故选B． 【点睛】本题主要考查了找线段，两点间的距离及线段的和差，解的关键是找出图中所有的线段． 【变式12-3】（23-24七年级·云南昆明·期末）如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（   ） A．秒或秒 B．秒或秒或或秒 C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒 【答案】B 【分析】根据点P的位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用路程÷速度=时间即可得出结论． 【详解】解：∵数轴上的点和点分别表示0和10 ∴OA=10 ∵是线段的中点， ∴OB=AB= ①当点P由点O向点A运动，且未到点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程OP=OB－PB=3 ∴点P运动的时间为3÷2=s； ②当点P由点O向点A运动，且已过点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程OP=OB+PB=7 ∴点P运动的时间为7÷2=s； ③当点P由点A向点O运动，且未到点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB－PB=13 ∴点P运动的时间为13÷2=s； ④当点P由点A向点O运动，且已过点B时，如下图所示， 此时点P运动的路程为OA＋AP=OA＋AB＋PB=17 ∴点P运动的时间为17÷2=s； 综上所述：当时，则运动时间的值为秒或秒或或秒 故选B． 【点睛】此题考查的是数轴与动点问题和线段的和与差，掌握各线段的关系和分类讨论的数学思想是解决此题的关键． 【题型13 角的计算】 【例13】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 【变式13-1】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，点，，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，邻补角的性质，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键．根据，可得，从而得到，再由平分，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A 【变式13-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角平分线的定义求出即可解决问题． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查角的和差定义，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式13-3】（23-24七年级·江苏南通·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与余角有关的计算．解题的关键是熟练掌握余角的定义．两个角的和等于，称为这两个角互为余角． 根据余角性质可得，得到，结合，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【题型14 角中的旋转问题】 【例14】（23-24七年级·广西钦州·期末）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查角的动态问题和一元一次方程的应用，分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值． 【详解】解：分两种情况： ①如图平分时，， 即， 解得； ②如图平分时，， 即， 解得． 综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5． 故选：D． 【变式14-1】（23-24七年级·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，理清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键．由是的平分线得，进而求得，结合得，再分两种情况：当在下方时，，当在上方时，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， 而， ∴， 如图，当在下方时， 此时，； 如图，当在上方时， 此时，； 即：或， 故选：C． 【变式14-2】（23-24七年级·山东聊城·期中）图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间一定为20秒 C．当值为36秒时，射线恰好平分 D．旋转过程中，使射线是由射线，，中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线，这样的值有两个 【答案】C 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误；根据平分t的值有2个，结合C选项的求解过程即可判断D． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 当平分时，或， 解得或， 再由时射线恰好平分，故D说法错误，不符合题意 故选C． 【变式14-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，t的值为（    ） A．或28 B．或28 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用．分两种情况：①当时，，，可得，②当时，，，有，解方程可得答案． 【详解】解：①当时，， ∵射线为的角平分线，射线为的四等分线， ∴，， ∴， 解得（舍去）或； ②当时，， ∵射线为的角平分线，射线为的四等分线， ∴，， ， 解得（舍去）或； 综上所述，t的值为或28； 故选：B． 【题型15 新定义问题】 【例15】（23-24七年级·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式15-1】（23-24七年级·湖北恩施·阶段练习）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（　　） A．4 B．11 C．4或11 D．1或11 【答案】A 【分析】对x的取值分为两种情况，当x≥3和x＜3分类求解，得出符合题意得答案即可. 【详解】当x≥3，则x*3＝2x﹣3＝5，x＝4； 当x＜3，则x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，这与x＜3矛盾，所以此种情况舍去． ∴若x*3＝5，则有理数x的值为4， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题目中运算规则是解题的关键． 【变式15-2】（23-24七年级·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 【详解】解∶原式 故选：D． 【变式15-3】（23-24七年级·安徽滁州·期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，9不大于2024，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，……，若输入，那么经过（    ）次“传输”后可以输出结果，结束程序．    A．11 B．12 C．21 D．23 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算，一元一次方程的实际应用．根据，得到当输入的数字为时，输出结果，设设从1开始，经过次传输，得到，再列出方程进行求解即可．解题的关键是得到输入的数字为时，输出结果． 【详解】解：∵， ∴当，即：时，即可输出结果， 设从1开始，经过次传输，得到， ∴， 解得：． 故选B． 【题型16 规律探究】 【例16】（23-24七年级·陕西西安·期中）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（为大于的整数），如,，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据变换的计算法则可得：(1，-1)=(0，2)，(1，-1)= (2，-2)，(1，-1)= (0，4)，(1，-1)= (4，-4)，(1，-1)= (0，8)，(1，-1)= (8，-8)，根据规律我们可以得出=. 点睛：本题主要考查的就是新的运算的应用以及规律的发现和推测问题，解决这个问题理解新定义的计算法则和找出答案的规律是解题的关键.在解决这种问题的时候我们一般都是根据所给出的新定义求出前面几个的答案，然后根据答案找出一般性的规律，最后根据一般性的规律得出答案. 【变式16-1】（23-24七年级·陕西渭南·期末）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第个图案中有黑色棋子（   ） A．301颗 B．304颗 C．307颗 D．310颗 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得出规律“第n个图形中黑色棋子的个数为”，找到正确的规律是解题的关键． 【详解】解：第一个图形中有颗黑色棋子； 第二个图形中有颗黑色棋子； 第三个图形中有颗黑色棋子； ， 则第n个图形中黑色棋子的个数为， 第100个图形中黑色棋子的个数为个， 故选：B． 【变式16-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）在代表按规律不断求和.设.则有，解得x=2.故.类似地的结果是（  ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】仿照题目中的例题进行解答即可． 【详解】解：设， 则 解得 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解题目中的例题解答方法是解题的关键,类似于求循环小数． 【变式16-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（  ） A． B．4039 C．8124 D．16304 【答案】B 【分析】由每个30分钟进去的人数可构成一列数，利用观察法求出这一列数的规律，由于从早晨6时30分到上午Il时30分共有10个30分钟，故求这一列数的前11个数的和，即可得上午11时30分公园内的人数． 【详解】解：根据题意知： 早晨6时30分有2人进公园，则， 第一个30min内有4人进去并出来1人，则， 第二个30min内进去8人并出来2人，则， 第三个30min内进去16人并出来3人，则， 第四个30min内进去32人并出来4人，则， …… ∴第十个30min（即上午11时30分）内进去的人和出来的人数可表示为， ∴到上午11时30分公园内的人数为： 设， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化规律，有理数的混合运算，运用了归纳推理、转化的解题方法．解题时要善于将实际问题转化为数学问题，运用数学知识解决问题．解题的关键是归纳出题干所给式子的规律． 【题型17 多结论问题】 【例17】（2024·重庆·一模）有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤ 【答案】A 【分析】根据题目中的描述，按规律写出前几项验证相关选项，最后得到，第项为，进一步验证即可得到结论． 【详解】解：第一项是a2， 第二项是a2+2a+1， 用第二项减去第一项，所得之差记为b1，则， 将b1加2记为b2，则， 将第二项与b2相加作为第三项，则第三项是， 当a＝2时，第三项是，②正确； 将b2加2记为b3，则，①正确； 第三项与b3相加作为第四项，则第四项是， 将b3加2记为b4，则， 第四项与b4相加作为第五项，则第五项是， 第4项与第5项之和为25，则 ，解得a＝0或，③错误； … 综上所述：，第项为， 第2022项为，④错误； 当时， ， 故选：A． 【点睛】本题考查整式规律，根据题目要求，通过前面几项找到一般项的规律是解决问题的关键． 【变式17-1】（23-24七年级·浙江金华·期中）如图，在数轴上，点表示，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达，第三次将点向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，给出以下结论：①表示5；②；③若点到原点的距离为15，则； ④当为奇数时，；以上结论正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】先根据数轴的定义分别求出点表示的数，再归纳类推出一般规律，然后逐个判断即可得． 【详解】由题意，点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 归纳类推得：当n为奇数时，；当n为偶数时，，其中n为正整数， 则表示的数为5，结论①正确； ，， ，则结论②错误； 当n为奇数时，， 当n为偶数时，，解得， 即若点到原点的距离为15，则或，结论③错误； 当为奇数时，， ， ， ， ， ， 即当为奇数时，，结论④正确； 综上，结论正确的是①④， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值、有理数的乘方、一元一次方程的应用，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【变式17-2】（23-24七年级·重庆·期中）已知三个数，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，且，，中最小值为，则或2或； ③若，则存在某一次操作的结果为，，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的变化类和单项式乘多项式，解题关键是理解已知条件中的新定义，列出正确的算式和方程． ①根据已知条件，列出算式，进行计算，然后比较即可； ②根据已知条件，列出方程，解方程，进行解答即可； ③根据第一次和第二次操作的结果，找出规律，然后解答即可． 【详解】解：①，，，故最大数为8正确，故①符合题意； ②由题意知， 一次操作得到的结果为，，， ∵， ∴当最小时，，， 解得，，； 当最小时，，， 解得，，； 综上所述，或；故②不符合题意； ③， ∴； ∴ ∴； 同理可求：； ， 发现，而某一次操作的结果为，，，满足和为，故③符合题意． 故选：C． 【变式17-3】（23-24七年级·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】结合图形根据题意正确进行角的和差计算即可判断． 【详解】①如图可得，所以平分，①正确； ②当时，设， ∵平分， ∴， ∴ ，， ∴， 当时，设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③时，时，时故③正确； ④当时，当时，故④错误； 综上所述，正确的结论为①②③； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了角的和差，角的平分线，旋转的性质，关键根据题意正确进行角的和差计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.5 期末复习之选择压轴题十七大题型总结 【北师大版2024】 【题型1 丰富的图形世界】 1 【题型2 数轴与绝对值的化简】 2 【题型3 有理数的运算】 3 【题型4 幻方与程序框图】 4 【题型5 有理数运算的应用】 5 【题型6 列代数式】 6 【题型7 代数式求值】 7 【题型8 整式加减与周长问题】 7 【题型9 一元一次方程的解】 9 【题型10 一元一次方程的应用】 9 【题型11 线段的和差】 10 【题型12 线段中的动点问题】 11 【题型13 角的计算】 12 【题型14 角中的旋转问题】 13 【题型15 新定义问题】 14 【题型16 规律探究】 15 【题型17 多结论问题】 16 【题型1 丰富的图形世界】 【例1】（24-25七年级·山东济南·期中）一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体从三个不同方向看到的形状如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则所代表的数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-1】（24-25七年级·山东淄博·期中）如图，是一个正方体的表面展开图，已知该正方体的每个面都有一个有理数．若相对面上的两个数的和都为，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24·浙江金华·七年级校考期中）下列属于如图所示正方体的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级·上海宝山·期末）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上，如图①．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2 数轴与绝对值的化简】 【例2】（23-24七年级·四川达州·期中）若，则的值可能是（    ） A．1和3 B．和3 C．1和 D．和 【变式2-1】（23-24七年级·广东广州·期末）如图，数轴上4个点表示的数分别为a、b、c、d．若|a﹣d|＝10，|a﹣b|＝6，|b﹣d|＝2|b﹣c|，则|c﹣d|＝（　　）    A．1 B．1.5 C．2.5 D．2 【变式2-2】（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，已知数轴上点、、所对应的数、、都不为0，且是的中点，如果，则原点的大致位置在（    ）    A．的左边 B．与之间 C．与之间 D．的右边 【变式2-3】（23-24七年级·重庆江北·阶段练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【题型3 有理数的运算】 【例3】（23-24七年级·广东东莞·期中）已知和是一对互为相反数，的值是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级·上海宝山·期末）如果，，那么与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级·山西·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-3】（23-24七年级·广东深圳·期中）对于正数，规定，例如，则 的结果是（　　） A． B．4 C． D．4 【题型4 幻方与程序框图】 【例4】（23-24七年级·浙江温州·期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字这12 个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等．部分数字已填入圆圈中，则的值为（        ） A． B． C．3 D．4 【变式4-1】（23-24七年级·河南濮阳·期末）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，，则第2018次输出的结果为　　 A．0 B．3 C．5 D．6 【变式4-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·期中）把这个数填入的方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都等于，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”(图1)，“洛书”是世界上最早的“幻方”，图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中的值为(　　)． A．1 B．3 C．6 D．9 【变式4-3】（23-24七年级·湖南长沙·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）    A． B．5 C．6 D． 【题型5 有理数运算的应用】 【例5】（23-24七年级·浙江绍兴·期末）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【变式5-1】（2024七年级·全国·专题练习）共享单车已经成为许多城市中的重要交通工具，在北京上班的李雷，周一到周五要骑共享单车在单位宿舍与办公室之间进行两个往返，每个单程用时10分钟；周末和节假日回家（连续假日时，只需往返一次），从宿舍到家单程骑行要50分钟．有，，，四家共享单车公司，其收费规则如下表所示，其中，使用半小时为一次；使用不足半小时，按一次计费．如果不考虑押金和服务等因素，仅从用车付费的角度，且只使用一个公司的单车，则李雷在2021年2月26日（周五）到7月13日（周二）期间，用（    ）公司的共享单车最划算（注：清明、端午各有三天假期，五一有五天假期）． 公司 计费 付费优惠 1元/次 没有 1.5元/次 周末和节假日骑行免费 1.5元/次 每月可以抽到一张奖券，用此券免费不计次连续骑行一周 1.5元/次 每骑行付费一次，下次骑行免费 A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24七年级·福建厦门·期末）周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 【变式5-3】（2024七年级·全国·竞赛）如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形空容器，底面的面积之比为，甲容器高度处有一根管子与乙容器相连通（连通管的影响忽略不计），乙容器高度处有一根管子与丙容器相连通，且两根连通管相同．现在向甲容器匀速注水，记注水时间为分钟，若时，甲容器里的水开始流向乙容器．当乙容器里的水比丙容器里的水高时，的值为（    ）      A．5.5 B．5.5或7.5 C．5.5或7 D．7或7.5 【题型6 列代数式】 【例6】（23-24七年级·湖北孝感·期末）某轮船在静水中的速度为u千米/时，A港、B港之间的航行距离为S千米，水流速度为v千米/时．如果该轮船从A港驶往B港，接着返回A港，航行所用时间为小时，假设该轮船在静水中航行2S千米所用时间为小时，那么与的大小关系为（　　） A．＜ B．＞ C．＝ D．与u，v的值有关 【变式6-1】（2024·安徽合肥·一模）某某市2019年的扶贫资金为a万元，比2018年增长了，计划2020年的增幅调整为上一年的2倍，则这3年的扶贫资金总额将达到（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【变式6-2】（23-24七年级·山东德州·期中）甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【变式6-3】（23-24七年级·山东青岛·单元测试）萱萱的妈妈下岗了，在国家政策的扶持下开了一家商店，全家每个人都要出一份力，妈妈告诉萱萱说，她第一次进货时以每件元的价格购进了件牛奶；每件元的价格购进了件洗发水，萱萱建议将这两种商品都以元的价格出售，则按萱萱的建议商品卖出后，商店（ ） A．赚钱 B．赔钱 C．不嫌不赔 D．无法确定赚与赔 【题型7 代数式求值】 【例7】（2024·湖北武汉·二模）已知一列数的和，且，则的值是(    ) A．2 B． C．3 D． 【变式7-1】（23-24七年级·河北保定·期末）已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【变式7-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知m，n为常数，代数式2x4y＋mx|5－n|y＋xy化简之后为单项式，则mn的值共有(　  　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）若满足方程，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型8 整式加减与周长问题】 【例8】（23-24七年级·浙江宁波·期中）如图，在长方形中放入一个大正方形和两个大小相同的小正方形及，其中在边上，与在同一条直线上且，延长交于点K，三个阴影部分的面积分别记为，，，已知长方形的面积，则下列式子可计算出的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）将四张正方形纸片①，②，③，④按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边长即可，则要知道的那个正方形编号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式8-2】（23-24七年级·浙江宁波·期末）如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24七年级·江苏无锡·期末）将图①中周长为36的长方形纸片剪成1号，2号，3号，4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为53的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．53 C．46 D．55 【题型9 一元一次方程的解】 【例9】（23-24七年级·重庆·期末）已知关于的方程有非负整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）已知关于x的一元一次方程的解是，关于y的一元一次方程的解是（其中b和c是含有y的代数式），则下列结论符合条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图，点为线段上两点，，且，设，则方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24七年级·全国·课后作业）阅读：关于x方程ax=b在不同的条件下解的情况如下：（1）当a≠0时，有唯一解x=；（2）当a=0，b=0时有无数解；（3）当a=0，b≠0时无解．请你根据以上知识作答：已知关于x的方程 •a= ﹣ （x﹣6）无解，则a的值是（ ） A．1 B．﹣1 C．±1 D．a≠1 【题型10 一元一次方程的应用】 【例10】（23-24七年级·全国·单元测试）实验室里，水平桌面上有半径相同的甲、乙、丙三个圆柱形容器(容器足够高)，用两个相同的管子在容器的高度处连通(即管子底端离容器底)．现三个容器中，只有甲中有水，水位高，如图所示，若每分钟同时向乙和丙注入相同量的水，开始注水1分钟，乙的水位上升，则开始注入(    )分钟的水量后，乙的水位高度比甲的水位高度高． A．3 B．6 C．3或6 D．3或9.3 【变式10-1】（23-24七年级·浙江宁波·期末）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点．．．若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后2分钟内，两人相遇的次数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式10-2】（23-24七年级·湖北武汉·期中）下表是某校七~九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 a b 表格中a、b的值正确的是（   ） A．a=2，b=3 B．a=3，b=2 C．a=3，b=4 D．a=2，b=2 【变式10-3】（23-24七年级·河北沧州·期中）甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数20正对着乙温度计的度数-10，那么此时甲温度计的度数-5正对着乙温度计的度数是（    ） A．5 B．15 C．25 D．30 【题型11 线段的和差】 【例11】（23-24七年级·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（    ）    A．5 B． C．或 D． 【变式11-1】（23-24七年级·四川绵阳·期末）已知线段，点在线段上，，反向延长线段至，使，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，点为线段的中点，，则线段的长是（    ） A．2 B．4 C．2或14 D．4或14 【变式11-3】（23-24七年级·重庆江津·期末）如图1，线段表示一条拉直的细线，、两点在线段上，且，.若先固定点，将折向，使得重叠在上；如图2，再从图2的点及与点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比是（    ） A． B． C． D． 【题型12 线段中的动点问题】 【例12】（23-24七年级·浙江宁波·期末）数轴上，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是0.动点、从、同时出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24七年级·河南驻马店·期末）线段 ，点A从点M开始向点N以每秒1个单位长度的速度运动，点B从点N开始以每秒2个单位长度的速度向点M运动，当时，t的值为（    ） A．秒 B．秒 C．12秒 D．秒或12秒 【变式12-2】（23-24七年级·浙江金华·期末）如图，已知线段AB=a，线段CD=b，线段CD在线段AB上运动（点C、D始终在线段AB上），在CD的运动中，则图中所有线段的长度和是（   ） A．2a+2b B．3a+b C．3a+2b D．随着CD位置的改变而发生变化 【变式12-3】（23-24七年级·云南昆明·期末）如图，数轴上的点和点分别表示0和10，点是线段上一动点.点沿以每秒2个单位的速度往返运动1次，是线段的中点，设点运动时间为秒（不超过10秒）.若点在运动过程中，当时，则运动时间的值为（   ） A．秒或秒 B．秒或秒或或秒 C．3秒或7秒 D．3秒或或7秒或秒 【题型13 角的计算】 【例13】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式13-1】（23-24七年级·吉林长春·期末）如图，点，，在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（23-24七年级·河南驻马店·期末）如图，已知，以点为顶点作直角，以点为端点作一条射线．通过折叠的方法，使与重合，点落在点处，所在的直线为折痕，若，则（    ）．    A． B． C． D． 【变式13-3】（23-24七年级·江苏南通·期末）如图，，则，，之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【题型14 角中的旋转问题】 【例14】（23-24七年级·广西钦州·期末）如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ） A． B． C．或 D．或 【变式14-1】（23-24七年级·河北保定·期中）如图，是的平分线，是内部一条射线，过点O作射线，在平面内沿箭头方向转动，使得，若，则的度数为（    ） A． B． C．或 D．无法计算 【变式14-2】（23-24七年级·山东聊城·期中）图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间一定为20秒 C．当值为36秒时，射线恰好平分 D．旋转过程中，使射线是由射线，，中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线，这样的值有两个 【变式14-3】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期末）如图，已知O为直线上一点，以O为端点作射线，，将射线绕点O逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为t秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，t的值为（    ） A．或28 B．或28 C．或 D． 【题型15 新定义问题】 【例15】（23-24七年级·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【变式15-1】（23-24七年级·湖北恩施·阶段练习）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b满足a*b＝．如5*3＝2×5﹣3＝7，*1＝﹣2×1＝﹣，若x*3＝5，则有理数x的值为（　　） A．4 B．11 C．4或11 D．1或11 【变式15-2】（23-24七年级·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【变式15-3】（23-24七年级·安徽滁州·期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算．比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，9不大于2024，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，……，若输入，那么经过（    ）次“传输”后可以输出结果，结束程序．    A．11 B．12 C．21 D．23 【题型16 规律探究】 【例16】（23-24七年级·陕西西安·期中）对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（为大于的整数），如,，，则（  ） A． B． C． D． 【变式16-1】（23-24七年级·陕西渭南·期末）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第个图案中有黑色棋子（   ） A．301颗 B．304颗 C．307颗 D．310颗 【变式16-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）在代表按规律不断求和.设.则有，解得x=2.故.类似地的结果是（  ） A． B． C． D．2 【变式16-3】（23-24七年级·广东东莞·期中）某公园将免费开放一天，早晨6时30分有2人进公园，第一个30min内有4人进去并出来1人，第二个30min内进去8人并出来2人，第三个30min内进去16人并出来3人，第四个30min内进去32人并出来4人，······按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是（  ） A． B．4039 C．8124 D．16304 【题型17 多结论问题】 【例17】（2024·重庆·一模）有n个依次排列的整式：第一项是a2，第二项是a2+2a+1，用第二项减去第一项，所得之差记为b1，将b1加2记为b2，将第二项与b2相加作为第三项，将b2加2记为b3，将第三项与b3相加作为第四项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①b3＝2a+5； ②当a＝2时，第3项为16； ③若第4项与第5项之和为25，则a＝7； ④第2022项为（a+2022）2； ⑤当n＝k时，b1+b2+…+bk＝2ak+k2； 以上结论正确的是（　　） A．①②⑤ B．①③⑤ C．①②④ D．②④⑤ 【变式17-1】（23-24七年级·浙江金华·期中）如图，在数轴上，点表示，将点沿数轴做如下移动，第一次点向右平移2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达，第三次将点向右移动6个单位长度，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，给出以下结论：①表示5；②；③若点到原点的距离为15，则； ④当为奇数时，；以上结论正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．②③ D．①④ 【变式17-2】（23-24七年级·重庆·期中）已知三个数，任取其中两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择可得到三个结果，，，称为一次操作，按照上述方法对，，再进行一次操作，可得到三个结果，，，以此类推，下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是8； ②若，，，且，，中最小值为，则或2或； ③若，则存在某一次操作的结果为，，；其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式17-3】（23-24七年级·重庆开州·期末）一副三角板ABC、DBE，如图1放置，（、），将三角板绕点B逆时针旋转一定角度，如图2所示，且，有下列四个结论：      ①在图1的情况下，在内作，则平分； ②在旋转过程中，若平分，平分，的角度恒为定值； ③在旋转过程中，两块三角板的边所在直线夹角成的次数为3次； ④的角度恒为． 其中正确的结论个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$