精品解析：山西省太原市小店区山西大学附属中学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024~2025学年第一学期初三年级12月巩固 数学试题 时间：90分钟 命题人：贾瑞军审核人：邢利君 一、选择题（本大题共10个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求解即可，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 2. 如图，已知，若，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴ ， 故选：C． 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴 C. 函数图象位于第一、三象限 D. 函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故函数图象不经过点，原说法错误，不符合题意； B、函数图象是轴对称图形，对称轴为直线和，原说法错误，不符合题意； C、，函数图象位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意； D、函数图象是中心对称图形，对称中心是原点，原说法正确，符合题意； 故选D． 4. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 5. 如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形的性质，相似三角形的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为， ∴，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选B． 6. 为了解本地区人均淡水消耗量，需从一名男生和两名女生中随机抽调两人，组成调查小组，则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，列表可得出所有等可能的结果数以及恰好抽到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 男 女 女 男 （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，女） 共有6种等可能的结果，其中恰好抽到一名男生和一名女生的结果有4种， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 故选：C． 7. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 又∵是双曲线上的两点，且， ∴， ∵是双曲线上的点， ∴， ∴， ∴，，的大小关系为， 故选：． 8. 如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的宽为4，则小长方形的宽为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵每一个小长方形与原长方形相似，小长方形的宽为x ∴ 解得，x=或x=- (舍去)， 故选：A 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键． 9. 如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（　　）米． A. 750 B. 375 C. 375 D. 750 【答案】A 【解析】 【分析】作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长．在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B=30°求出AB的长． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°，AC=30×25=750（米），∴AD=AC•sin45°=375（米）． 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴AB=2AD=750（米）． 故选A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中． 10. 随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种抗菌新药，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间为（ ） A. 4小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正比例函数解析式，反比例函数解析式，令，确定两个函数自变量的值，其差就是持续的时间． 【详解】设正比例函数解析式为，反比例函数解析式为， 把分别代入解析式，得， 解得， 故函数的解析式为， 当时，， 解得， 故持续时间为（小时）， 故选C． 【点睛】本题考查了正比例函数解析式，反比例函数解析式的确定，应用，熟练掌握解析式的确定和应用是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题） 11. 如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3 ，滑梯的水平宽是6m，则高BC为_______m． 【答案】2 【解析】 【分析】根据滑坡的坡度及水平宽，即可求出坡面的铅直高度． 【详解】∵滑坡AB的坡度是1：3，滑坡的水平宽度是6m， ∴AC=6m， ∴BC= ×6=2m． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的坡度问题，牢记坡度的定义是解题的关键． 12. AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将AOB缩小，则点B的对应点的坐标是___． 【答案】（1，2）或（-1，-2）##（-1，-2）或（1，2） 【解析】 【分析】根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵△AOB顶点B的坐标为（3，6），以原点O为位似中心，相似比为，将△AOB缩小， ∴点B的对应点B′的坐标为（3×，6×）或，即（1，2）或（-1，-2）， 故答案为：（1，2）或（-1，-2）． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 13. 如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点下方的琴弦长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于两点，若的面积是，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， ∵轴， ∴， ∴， 又∵的面积是， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数k的几何意义常考的几种类型是解题的关键． 15. 如图，在正方形中，F是边上一点，连接，过点B作于点E，连接并延长，交边于点G．若，，则线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，延长交于P，由正方形的性质得到，，，求出，进而求出；利用等面积法求出，进而求出，；证明，求出，则，再证明，得到，代值计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于P， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： 整理得：， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 17. 已知：在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵，D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形． 【解析】 【分析】本题考查斜边上的中线，菱形的判定，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到，进而得到，证明四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形为菱形，即可得证． 【详解】略 18. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求I与R之间的函数关系式； （2）如果电流不超过，求电阻应控制的范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得，代入关系式中即可求解． 【小问1详解】 解：电流I与电阻R是反比例函数关系，设关系式为：， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴电流I与电阻R间的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：∵电流不超过， ∴， ∴， ∴． 19. 列方程解应用题： 山西是面食之乡，面食种类繁多，其中以刀削面最为有名，可谓“面食之王”，它有内虚外筋、柔软光滑、易于消化等特点，与北京的炸酱面、河南烩面、武汉的热干面、四川的担担面被誉为我国著名的五大面食．在某县城内一家特色刀削面馆考察得知，一份刀削面的成本价为7元，若每份卖12元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为280元．每份刀削面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天800元的净利润？ 【答案】16元或19元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每份刀削面的价格是元，则销售量为份，设再根据净利润总收入总成本其它各种费用列出方程求解即可．理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：每份刀削面的价格是元， 由题意可得，， 整理得：， 解得：或， 答：每份刀削面的价格是16元或19元时，该面馆才能实现每天800元的净利润． 20. 图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆与水平桌面垂直，臂杆可绕点旋转调节，灯体可绕点旋转调节． 若，，在同一平面上，，，，臂杆与座杆的夹角即，臂杆与灯体的夹角即，灯体上点到水平桌面的高度为． （1）求的度数． （2）求的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1） （2）厘米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）如图所示，过点C作，延长交于H，由平角的定义得到，再根据三角形内角和定理推导求解即可； （2）解得到，解中得到，再证明四边形是矩形，得到，则，即的长为． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作，延长交于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在中， ， 在中， ， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的长为． 21. 通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验．小明借鉴这些经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： … 0 1 3 4 5 6 8 … … 1 2 3 6 8 8 6 3 1 … （1）函数的自变量x的取值范围______； （2）绘制函数图象． ①列表：表中是x与y的几组对应值，其中m的值为______； ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （3）获得性质，解决问题： ①请写出函数的一条性质：______； ②写出不等式的解集______； ③过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则的值为______． 【答案】（1） （2）①； ②根据表中的数值描点，如图： ③用平滑的曲线顺次连接各点，如图： （3）①函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线；②和；③． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，函数自变量取值范围及反比例函数的性质等知识，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． （1）根据函数的分母不为即可求解； （2）①将代入中求解即可； ②根据描点法描点即可； ③用平滑的曲线顺次连接各点即可； （3）①观察函数图象可知函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②结合函数图象即可得出不等式的解集； ③根据题意求出点的坐标，再求出的长即可求解． 【小问1详解】 解：函数的自变量x的取值范围是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①将代入中得：， 故答案为：； ②略 ③略 【小问3详解】 解：①由（2）中图象可知，函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线； ②当时，，当时，， 由图象可知不等式的解集为：和， 故答案为：和； ③如图： ∵点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧）， ∴点M，N的纵坐标为， ∵当时， ， ∴点在的右侧， ∵当时，， ∴， ∴点，点， ∴，， ∴， 故答案为：． 22. 综合与实践 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，中，为边上的中线．将沿射线的方向平移，得到，其中点A，B，D的对应点分别为E，F，G，如图2，当线段经过点D时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】 （1）请回答老师提出的问题 【深入探究】 （2）老师将图2中的绕点F按顺时针方向旋转得到，其中点E，G的对应点分别为P，Q，线段分别与边交于点M，N．如图3，当时，让同学们提出新的问题． ①“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明； ②“善思小组”提出问题：若中，，请直接写出此时的面积． 【答案】 （1）四边形是矩形， 理由如下：平移得到， ， ， 为边上的中线， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）①， 证明：在图2中，平移得到， ， 由（1）可得，， ， ， 在图3中，旋转得到， ， ， ， ， ， 由图2可知，四边形是矩形， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）四边形是矩形，由平移的性质得到，从而得到，根据为边上的中线，推出，进而证明是等腰三角形，推出，，证明四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）①由平移的性质得到，从而得到，由（1）可得，进而得到，在图3中，由旋转的性质得到，根据平行线的性质推出，易证，再根据四边形是矩形，推出，即可证明； ②过点作，垂足为H，过点作，垂足为K，利用勾股定理求出，由①可求，由平移和旋转的性质得到，根据，易证，得到，由①知，从而得到，利用三角形面积公式，求出，利用勾股定理求出，，从而得到，再根据，推出，利用余弦的定义得到，求出，进而求出即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②过点作，垂足为H，过点作，垂足为K， 中，， ， ， 由平移和旋转的性质得到， ， ， ， 由①知， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平移的性质，旋转的性质，矩形的判定，直角三角形的特征，相似三角形判定与性质，解直角三角形等腰三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，熟练运用平移与旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第一学期初三年级12月巩固 数学试题 时间：90分钟 命题人：贾瑞军审核人：邢利君 一、选择题（本大题共10个小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，若，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4.5 3. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴 C. 函数图象位于第一、三象限 D. 函数图象是中心对称图形，对称中心是原点 4. 观察下列每组三角形，不一定相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知与是以点O为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了解本地区人均淡水消耗量，需从一名男生和两名女生中随机抽调两人，组成调查小组，则恰好抽到一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的宽为4，则小长方形的宽为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为（　　）米． A. 750 B. 375 C. 375 D. 750 10. 随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种抗菌新药，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当时，y与x成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间为（ ） A. 4小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 二、填空题（本大题共5个小题） 11. 如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡AB的坡度是1：3 ，滑梯的水平宽是6m，则高BC为_______m． 12. AOB三个顶点的坐标分别为A(5，0)，O(0，0)，B(3，6)，以原点O为位似中心，相似比为，将AOB缩小，则点B的对应点的坐标是___． 13. 如图，二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点处，则点下方的琴弦长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于两点，若的面积是，则的值为________． 15. 如图，在正方形中，F是边上一点，连接，过点B作于点E，连接并延长，交边于点G．若，，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共7个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知：在中，，D是的中点，过点A作，且，连接．求证：四边形是菱形． 18. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求I与R之间的函数关系式； （2）如果电流不超过，求电阻应控制的范围． 19. 列方程解应用题： 山西是面食之乡，面食种类繁多，其中以刀削面最为有名，可谓“面食之王”，它有内虚外筋、柔软光滑、易于消化等特点，与北京的炸酱面、河南烩面、武汉的热干面、四川的担担面被誉为我国著名的五大面食．在某县城内一家特色刀削面馆考察得知，一份刀削面的成本价为7元，若每份卖12元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为280元．每份刀削面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天800元的净利润？ 20. 图1是放置在写字台上的一盏折叠式台灯，其主视图如图2，座杆与水平桌面垂直，臂杆可绕点旋转调节，灯体可绕点旋转调节． 若，，在同一平面上，，，，臂杆与座杆的夹角即，臂杆与灯体的夹角即，灯体上点到水平桌面的高度为． （1）求的度数． （2）求的长．（结果精确到．参考数据：，，） 21. 通过对一次函数和反比例函数的学习，我们积累了一些研究函数的经验．小明借鉴这些经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： … 0 1 3 4 5 6 8 … … 1 2 3 6 8 8 6 3 1 … （1）函数的自变量x的取值范围______； （2）绘制函数图象． ①列表：表中是x与y的几组对应值，其中m的值为______； ②描点：根据表中的数值描点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整． （3）获得性质，解决问题： ①请写出函数的一条性质：______； ②写出不等式的解集______； ③过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则的值为______． 22. 综合与实践 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，中，为边上的中线．将沿射线的方向平移，得到，其中点A，B，D的对应点分别为E，F，G，如图2，当线段经过点D时，连接，请判断四边形的形状，并说明理由． 【数学思考】 （1）请回答老师提出的问题 【深入探究】 （2）老师将图2中的绕点F按顺时针方向旋转得到，其中点E，G的对应点分别为P，Q，线段分别与边交于点M，N．如图3，当时，让同学们提出新的问题． ①“勤学小组”提出问题：试猜想线段和的数量关系，并证明； ②“善思小组”提出问题：若中，，请直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $