精品解析：广东省惠州市联考2024-2025学年上学期教学质量阶段性诊断八年级数学试卷

2024-2025学年秋季学期教学质量阶段性诊断 八年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是(　) A 1，2，3 B. 2，2，4 C. 3，4，5 D. 3，4，8 2. 下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中具有稳定性的是（    ） A. 直角三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 平行四边形 4. 若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 在，，，中，是分式的有 (　 ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如果把分式中的和都扩大2倍．那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D. 缩小2倍 7. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 8. 点关于轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 9. 等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在中，，，，则________． 12. 当________时，． 13. 因式分解_________． 14. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 15. 如图，在第1个中，，在上取一点C，延长AA1到，使得；在上取一点，延长到，使得；…；按此作法进行下去，第个等腰三角形的底角的度数为_______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：． （1）画出关于y轴对称的；（的对应点分别为）； （2）直接写出各顶点的坐标． 18. 已知：如图，、相交于点O，，，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E． （1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数； （2）若AE＝5，△BCD周长17，求△ABC的周长． 21. 如图，已知，P其内部一点，． （1）若M、N分别为边上的点，且使的周长最小．请用直尺和圆规作出点M、N的位置（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）求（1）中其周长最小时的值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 拓广探索： 若x满足，求值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： （1）若x满足，求的值． （2）已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 23. 如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN． （1）当∠BAM＝　 　°时，AB＝2BM； （2）请添加一个条件：　 　，使得△ABC为等边三角形； ①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC； ②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年秋季学期教学质量阶段性诊断 八年级数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是(　) A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 3，4，5 D. 3，4，8 【答案】C 【解析】 【详解】A、1+2=3，不能构成三角形，故A错误； B、2+2=4，不能构成三角形，故B错误； C、3+4＞5，能构成三角形，故C正确； D、3+4＜8，不能构成三角形，故D错误． 故选C． 2. 下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据轴对称图形，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合．因此，只有选项A符合．故选A． 3. 下列图形中具有稳定性的是（    ） A. 直角三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：直角三角形具有稳定性，正方形、长方形、平行四边形不具有稳定性， 故选A． 【点睛】本题考查三角形的稳定性、四边形的不稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 4. 若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将三个内角分别设为2k、3k、4k，利用三角形内角和即可求出三个角的度数，然后即可判断三角形的形状． 【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4， 设三个内角分别为2k、3k、4k， 由题意得，2k+3k+4k＝180， 解得k＝20， ∴三个内角分别为40°、60°、80°， ∴这个三角形是锐角三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查的是判断三角形的形状，掌握三角形的内角和定理和三角形的分类是解决此题的关键． 5. 在，，，中，是分式的有 (　 ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】分析： 根据“分式”的定义进行分析判断即可. 详解： 由“分式的定义”可知：上述四个式子中属于分式的是：，共2个. 故选B. 点睛：熟记分式的定义：“形如，其中A、B都是整式，且B中含有字母的式子叫做分式”是解答本题的关键. 6. 如果把分式中的和都扩大2倍．那么分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D. 缩小2倍 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中x和y， 得， 可见分式的值不变． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．要注意：解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 7. 如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的性质直接可得． 【详解】如图，过点P作，垂足为点G，根据角平分线上点到角的两边距离相等可得，． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质；掌握好有关角平分线的基础知识是关键． 8. 点关于轴对称的点的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于轴对称点的坐标特征．根据关于轴对称点的坐标特征“关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：若点关于x轴对称的点是， 故选：C． 9. 等腰三角形的两边长分别为和，则周长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用，关键是要结合三角形任意两边之和大于第三边对等腰三角形的边长分情况进行讨论．题中没有指明哪个是底哪个是腰，则要分情况结合三角形三边关系进行分析． 【详解】根据题意，①当腰长为时，三边长为：，可以构成三角形，此时周长为：； ②当腰长为时，，可以构成三角形，此时周长为：． ∴周长为:或． 故选：D． 10. 如图，在和中，，，，．连接、交于点，连接．下列结论： ①；②；③平分；④平分 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由△AOC≌△BOD得出∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴平分，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在中，，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=4， ∴BC=AB=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，比较容易解答，要求熟记30°角所对的直角边是斜边的一半． 12. 当________时，． 【答案】≠4 【解析】 【分析】直接利用零指数幂的定义得出答案． 【详解】解：∵（x-4）0=1， ∴x-4≠0， 解得：x≠4． 故答案为：≠4． 【点睛】本题主要考查了零指数幂的性质，正确把握相关定义是解题关键． 13. 因式分解_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键． 先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可； 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形． 【答案】七 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可． 【详解】设这个多边形是边形，根据题意得， ， 解得． 故答案为七． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键． 15. 如图，在第1个中，，在上取一点C，延长AA1到，使得；在上取一点，延长到，使得；…；按此作法进行下去，第个等腰三角形的底角的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出，的度数，找出规律是解答此题的关键．先根据等腰三角形的性质求出的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数；找出规律即可得出第个等腰三角形的底角的度数． 【详解】解：∵在中， ∴第个等腰三角形的底角：， ∵是的外角， ∴第个等腰三角形的底角：； ∵，是的外角， ∴第个等腰三角形的底角：， 同理可得，第个等腰三角形的底角：， ∴第个等腰三角形的底角的度数为：． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了积乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法．根据积的乘方，幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则，展开括号，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：． （1）画出关于y轴对称的；（的对应点分别为）； （2）直接写出各顶点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，解题关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型． （1）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； （2）根据各点在坐标系中的位置写出其坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示； 【小问2详解】 由图可知，． 18. 已知：如图，、相交于点O，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和平行线的性质，根据题意得，即可证明，即有结论成立． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先利用乘法公式计算整式的乘法，再计算整式的加减法，然后将a、b的值代入即可得． 【详解】原式， ， 将代入得：原式． 【点睛】本题考查了乘法公式、整式的加减法，熟练掌握整式的运算法则和公式是解题关键． 20. 如图，AB＝AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E． （1）若∠A＝40°，求∠BCD的度数； （2）若AE＝5，△BCD的周长17，求△ABC的周长． 【答案】（1）∠DCB＝30°；（2）27． 【解析】 【分析】（1）由在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案； （2）根据DE垂直平分AC得到DA＝DC，EC＝EA＝5，根据△DCB的周长为16，通过等量代换即可求得△ABC的周长． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠ABC＝∠ACB70°， ∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC， ∴在△DAC中，∠DCA＝∠A＝40°， ∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°； （2）∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC，EC＝EA＝5， ∴AC＝2AE＝10， ∴△ABC的周长为：AC+BC+AB= AC+BC+BD+DA＝AC +BC+BD+DC＝10+17＝27． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题难度不大，熟练掌握相关性质是解题关键． 21. 如图，已知，P为其内部一点，． （1）若M、N分别为边上的点，且使的周长最小．请用直尺和圆规作出点M、N的位置（保留作图痕迹，不要求写作法）． （2）求（1）中其周长最小时的值． 【答案】（1）见解析 （2）其周长的最小值为3． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的判定与性质． （1）分别作点关于的对称点，点关于的对称点，连接，交于点M、N，此时的周长最小； （2）连接和，证明是等边三角形，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点M、N即为所作； ； 【小问2详解】 解：连接和， 由作图知点和点关于对称，点和点关于对称， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴其周长的最小值． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： （1）若x满足，求的值． （2）已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 【小问1详解】 解：设，， 则，， ∴； 【小问2详解】 ∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 23. 如图1，在△ABC中，∠B＝60°，点M从点B出发沿射线BC方向，在射线BC上运动．在点M运动的过程中，连结AM，并以AM为边在射线BC上方，作等边△AMN，连结CN． （1）当∠BAM＝　 　°时，AB＝2BM； （2）请添加一个条件：　 　，使得△ABC为等边三角形； ①如图1，当△ABC为等边三角形时，求证：CN+CM＝AC； ②如图2，当点M运动到线段BC之外（即点M在线段BC的延长线上时），其它条件不变（△ABC仍为等边三角形），请写出此时线段CN、CM、AC满足的数量关系，并证明． 【答案】（1）30；（2）AB＝AC；①证明见解析；②CN-CM=AC，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质解答即可； （2）利用含一个60°角的等腰三角形是等边三角形的判定解答；①利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△BAM≌△CAN，从而利用全等三角形的性质求解；②利用等边三角形的性质和全等三角形的判定证明△BAM≌△CAN，从而利用全等三角形的性质求解． 【详解】解：（1）当∠BAM＝30°时， ∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴AB＝2BM； 故答案为30； （2）∵在△ABC中，∠B=60° ∴当AB=AC时，可得可得△ABC为等边三角形； 故答案为AB＝AC； ①如图1中， ∵△ABC与△AMN是等边三角形， ∴AB＝AC=BC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC， 即∠BAM＝∠CAN， 在△BAM与△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴BM＝CN； ∴AC=BC=BM+CM=CM+CN 即CN+CM＝AC； ②CN-CM=AC， 理由：如图2中， ∵△ABC与△AMN是等边三角形， ∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°， ∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC， 即∠BAM＝∠CAN， 在△BAM与△CAN中， ， ∴△BAM≌△CAN（SAS）， ∴BM＝CN ∴AC=BC=BM-CM=CN-CM 即CN-CM=AC 【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，熟练掌握基本知识点是解题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$