3.1.1 函数及其表示方法-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第一册同步练测（人教B版2019）

高中数学·必修第一册(RJB) 第三章 函数 3.1函数的概念与性质 3.1.1 函数及其表示方法 第1课时 函数的概念 [学习任务 1,在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻两函数，建 立完整的函数概念， 2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用 3.了解构成函数的要素及同一个函数的概念，能求简单函数的定义域和值域 自主学习探新知 课前预习双基落实 知识点一 函数的有关概念 (4)在函数y=f(x)中，对于不同的x,y也 不同 () 给定两个非空 A与B,以及对应关系「， 函数的 如果对于集合A中的 ,在集合B 知识点二同一个函数 定义 中都有 的实数y与x对应，则称 般地，函数有三个要素：定义域、对应关 为定义在集合A上的一个函数 系与值域.如果两个函数表达式表示的函数 函数的 ,x∈A 相同， 也相同，则称这两个 记法 函数表达式表示的就是同一个函数。 定义域 z称为自变量，y称为因变量，自变量 (即数集A)称为函数的定义城 [特别提醒]两个函数的定义域和对应关系 函数值 如果白变量取值，则由对应关系∫确定的值y称 相同就决定了这两个函数的值域也相同. 为函数在a处的函数值，记作y=f(a)或y= 赵微思考 所有函数值组成的集合{y∈By=f(x),x∈A [思考](1)在函数的概念中，如果函数y= 值域 称为函数的值域 「(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的 微判断 值域确定吗？ 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）。 (1)函数的定义域和值域一定是无限集合 () (2)如果函数y=f(x)的定义域、值域确定， (2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x 可以对应着值域中不同的y 那么对应关系确定吗？ () (3)在函数的定义中，集合B是函数的值域 () 54 第三章函数 互动探究解疑难 要点归纳重难突破 探究一函数关系的判断 川规律方法川 判断两个函数为同一个函数应注意的三点 [例1门(1)（多选）(2022·中山高一期中)已 (1)定义域，对应关系两者中只要有一个不相司就不是 知集合M={-1,1,2,4},N={1,2,4,16}, 同一个函数，即使定义城与值域都相同，色不一定是同 请根据函数定义，判断下列四个对应法则能 一个通数， (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母 构成从M到N的函数的是 表示自变量、因变量是没有限制的， A.y=2.x B.y=rl (3)在化简解析式时，必须是等价变形 C.y=x十2 D.y=t2 跟踪训练 (2)(多选)(2022·南京高一期中)下列各图 中，可能是函数图象的是 2.试判断函数y=/x一1·x十1与函数y= √(x+1)(x一1)是否为同一个函数，并说明 理由 川规律方法川 (1)判断对应关系是否为面数的两个条停 ①A,B必领是非空实数集. ②A中任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对 应， 探究三求函数的定义域 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对 多”的不是函数关系 [例3]求下列函数的定义域： (2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法 ①任取一条垂直于x轴的直线 (1Dy=x+1) x+1 -/1-x; ②在定义城内平行移动直线， ③若1与图形有且只有一个交点，则是面数：若在定义 (2)y= v5-x 域内有两个或两个以上的交点，则不是函数， x-3 跟踪训练 1.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8}，集合 B={x0≤x≤4}，则下列对应关系中，可看 作是从A到B的函数关系的是 () A.f:x→y=8r 1 B.f:x→y=4 1 C.f:x→y=2x D.f:xy=x 川规律方法川 求函数的定义域应关注四点 探究二同一个函数的判定 (1)要明痛使各函数表达式有意义的条件是什么，函数 有意义的准则一胶有：①分式的分母不为0：②②偶次根 [例2]（多选）下列各组函数表示同一个函数 式的被开方数兼负：③y=x”要求x≠0. 的是 (2)不对解桥式化简变形，以免定义域变化 (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和，差、积、 A.f(x)=x,g(x)=(E)2 商的形式构成时，定义城是使得各式子都有意义的公 B.f(x)=x2+1,g(t)=t+1 共部分的集台， (4)定义城是一个集合，要用集合或区间表示，若用区 C.f(x)=1(x≠0)，g(.x)= 何表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U” 连接 D.f(x)=x,g(x)=xl 55 事高中数学·必修第一册(RJB) 跟踪训练 跟踪训练 3.求下列函数的定义域： 4.求下列函数的值域： (1Dy=2x-3x-2 (1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}； (2)y=x2-2.x+3,x∈[0,3)： (2)y=x-I·√1-x. (3)y=2a十1 x-39 (4)y=2.x-、x-1. 探究四求函数值、函数的值域 例4] 已知fx)=1十zxeR,且x≠-D, g(x)=x2+2(x∈R). (1)求f(2),g(2)的值： (2)求f(g(2))的值： (3)求f(x),g(x)的值域. 教材 复合函数、抽象函数的定义域 拓展 1.概念 (1)复合函数的概念：如果函数y=f(1)的定 义域为A,函数t=g(x)的定义域为D,值域 为C,则当C二A时，称函数y=f(g(x))为 ∫与g在D上的复合函数，其中1叫作中间 变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫作 川规律方法 1.函数求值的方法 外层函数 (1)已知f(x)的表达式时，只带用“替换表达式中 (2)抽象函数的概念：抽象函数是指没有给 的x,即得f(a)的俄。 (2)求f(g()的值应遵箭由里往外的原则. 出具体解析式的函数 2.求函数值域常用的四种方法 2.结论 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值城可通 过观察得到. 求复合函数或抽象函数的定义域应明确以 (2)配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函 下三点： 数处理的面数时，可利用配方法求其值城， (3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即把 (1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围 有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便干求 所组成的集合。 值城， (2)求函数f(g(x))的定义域，应是求x的 (4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域 易确定的面数，从而求得原函数的值城.对于(x) 取值范围，而不是求(x)的取值范围. =ax十b十r+d(其中a,b,c,d为常数，且a≠0， (3)f(t),f(g(x),f(h(x))三个函数中的 ≠0)型的函数常用换元法。 t,(x),h(x)在对应关系f下的范围相同. 56 第三章函数 [典例](1)若函数f(x)的定义域为（一1,2）， [答案] 则函数f(2x+1)的定义域为 -1< (2){x|-1 (2)若函数∫(2x+1)的定义域为（一1,2）， r5} (3){x0<x<6】 则函数f(x)的定义域为 川素养提升川 拍象面数的定义域的求法有两种类型：①已知 (3)若函数f(2x+1)的定义域为（一1,2）， f(x)的定义域为D,则f(g(x)的定义域是使g(x)∈D 则函数f(x一1)的定义域为 有意义的x的集合：②已知(g(x)的定义城为D,则 [解析](1)由一1<2x十1<2，得一1<x g(x)在D上的值城即为f(x)的定义城， 牛刀小试 1.已知函数f(2x一3)的定义域是{x|一1≤ ∴f(2x+1)的定义域为 x-1<<2 x≤4}，则函数f(1一2x)的定义域为() (2),-1<x<2,.-1<2x+1<5, A.{x-2≤x≤1} B.{x|1≤x≤2} .f(x)的定义域为{x一1<x<5}. C.{x-2≤x≤3} D.{x|-1≤x≤3} (3)由f(2x+1)的定义战为{x|一1<x< 2.(2022·福州高一联考)函数f(x)的定义域 2},得f(x)的定义战为{x-1<x<5},由 -1<x-1<5,得0<x<6, 为{x0<r<31,则函数y=fxD的定义 x一1 ∴.f(x一1)的定义域为{x|0<x<6}. 域是 随堂巩固促应用 验证反馈迁移运用 1.若f(x)=x+1,则f(3)等于 B.y=√F-1与y=x-1 A.2 B.4 C.y=x°(x≠0)与y=1(x≠0) C.22 D.10 D.y=2.x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z 4.(2022·嘉兴高一月考)下列图形中，表示y 2.函数y=√1一x十√：的定义域为 ( 是x的函数的是 A.〈xx≤1) B.{xx≥0} C.{xx≥1或x≤0} D.{x0≤x≤1} 3.下列各组函数中，表示同一函数的是( 不半平 A.y=二9与y=x十3 提示请完成《素能提升训练》训练十九 x一3 第2课时 函数的表示方法 [学习任务] 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数。 3,通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 57 》高中数学·必修第一册(RJB) 自主学习探新知 深前顶习双基藻实 知识点一 函数的表示方法 知识点二分段函数与常数函数 解析达就是用代数式（或解析式）米表示函数的达 1.分段函数：如果一个函数，在其定义域内，对 数的 于自变量的不同取值区间，有不同的 列表法 就是州列表的形式给山函数的对应关系，从 面表数的方法 方式，则称其为分段函数 图像法就是用函数的湖像来表示函数的方法 2.常数函数：值域只有 元素的函数， 多微判断 这类函数通常称为常数函数，也就是说，常 判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）. 数函数中所有自变量对应的函数值都相等 (1)任何一个函数都可以用列表法表示. 这微练习 1 (2)任何一个函数都可以用图象法表示. 已知函数f(x) x+x<1且x≠-1， () w/x-1,x>l, (3)函数的图象一定是其定义域上的一条连 则f(2)= 续不断的曲线. A.0 b. C.1 D.2 互动探究解疑难 要点归纳重雄突破 探究一函数的表示方法 川规律方法川 面数的三种表示法的选择和应用的注意点 [例1]已知完成某项任务的时间t与参加完 解析法，图象法和列表法分别从三个不同的角度 成此项任务的人数x之间适合关系式t=a.x 刘画了自变量与函数值的对应关系。果用解析法的前 提是变量问的对应关系明确，采用图象法的前提是函 +女当x=2时，1=100：当x=14时4 数的变化规律清嘶，采用列表法的前提是定义域内自 变量的个数较夕. 28,且参加此项任务的人数不能超过20人. 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明面数的定义域 (1)写出函数1的解析式： (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应 (2)用列表法表示此函数： 关系 (3)图象法必策清楚酒数图象是“点”还是“线” (3)画出函数1的图象. 跟踪训练 1.(1)(2022·芜湖高一期中)某学生离家去学 校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路 程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表 示出发后的时间，则较符合该学生走法的是 ,☑A 58 第三章函数 (2)已知函数f(x)=一x一1，x∈{1,2，： (2)已知f(x+4)=x十8五，求f(x2). 3,4},试分别用图象法和列表法表示函 数y=f(x). 探究三 分段函数 x+1,x≤-2， 探究二函数解析式的求法 [例3] 已知函数f(x)= x2十2.x,-2<x2, [例2幻求下列函数的解析式： 2x-1,x≥2. (1)已知函数f(√元+1)=x+2√x,求f(x): 1)求f-5).-),f((-)）的值： (2)已知函数f(x)是二次函数，且f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2x+2,求f(x). (2)若f(a)=3,求实数a的值. 川规律方法川一 川规律方法川 1.求分段函数的函数值的方法 求函数解析式的四种常用方法 先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区问，然 1)配凑法：若已知f(g(x》)=F(x),可将F(x)改写减 后代入该段的解析式求值.当出现f(f(a)的形式 关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x),便得f(x)的 时，应从内到外依次求值，直到求出值为止， 表达式： 2,求某条件下自变量的值的方法 (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次 先假设所求的值在分段函数定义区可的各段上，然 函数)，可用待定系数法： 后相应求出自交量的值，切记代入检脸， (3)换元法：已知复合商数f(g(x)的解析式，可用换 元法，此时要注意新元的取值范围： 跟踪训练 (解方程组法：已知关于)与f()或f(-一)的 4-x2,x>0, 表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组咸 3.已知函数f(x)=2,x=0, 方程组，通过解方程组求出∫(x), 1-2x,x<0. 口跟踪训练 (1)求f(f(一2))的值： 2.(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)=0,f(x (2)求f(a+1)(a∈R)的值： +1)=f(x)+x+1,求f(x). (3)当-4≤x<3时，求f(x)的值域. 59 》高中数学·必修第一册(RJB) 随堂巩固促应用 验证反情迁移运用 1.已知函数f(x)由下表给出，则f(11)=( 3.(2022·济南高一月考)已知f(x)= 0<x<5 5≤r<10 10≤x<15151≤20 x-5,x≥6， 则f(3)等于 () y 2 5 f(x+2),x6, A.2 B.3 A.2 B.3 C.4 D.5 C.4 D.5 2.已知f(x-1)=x2十4.x-5,则f(x)的表达 4.(2022·聊城高一期中)函数∫(x)= 式是 x十2，x≤-1， A.f(x)=r+6x 若f(x)=3,则x的值是 x2,-1<x<2, B.f(x)=x2+8.x+7 C.f(x)=x2+2.x-3 D.f(x)=x2十6.x-10 提示请完成《素能提升训练》训练二十 3.1.2 函数的单调性 第1课时 单调性的定义与证明、函数的最值 [学习任务] 1.借助函数图象，会用不等式符号表达函数的单周性 2.理解函数单调性的作用和实际意义，了解函数最值的定义， 3.在理解函数单调性定义的基鶸上，会用单调性的定义证明简单函数的单调性，能利用单 调性求简单函数的量值、值域， 自主学习探新知 保前顶习双基落实 知识点一增函数与减函数的定义 必微思考 [思考](1)所有的函数在定义域上都具有 增函数 减函数 单调性吗？ 般地，设函数y=f(x)的定义域为D,且I二D: 条件 如果对任意x,x∈1，当x,<x:时 都有(x)<(x) 都有f(x,)>f(x) y=f(x)在I上是增函数 y=f(x)在I上是减函数 结论 (也称在I上单调递增) (也称在I上单调递减) (2)在增函数和减函数定义中，能否把“任意 x1,x2∈I”改为“存在x1,x2∈I”? 图示 fix;) 60当且仅当2a十2h=4+2h+1,即4=1,6=32，-2时，等 (2)解不等式x-ar-6a<0可化为(r+2a)(x 2 3a)<0,不等式对应方程的两根为-2a,3a,且3a< 号成立， 一2a(其中a0):所以原不等式的解集为(3a,一2a). 即有3a十4b的最小值为62一1， 考点四均值不等式的应用 [答案]62-1 [跟踪训练] [例8[解折]“a+6+日+石-5e十+ 4.解析正实数x,y满足(.x+4)(y十1)=9，即xy十x十 a ab 4y=5, =5. a>0,6>0≤(） .xy+x+4y=5xy+2√·4y=xy+4vxy ab (ab) ∴.xy+4√cy≤5（当且仅当x=4y时，取等号）， ab≥a+b+4 .a+6+atb at6:.a+b 4 a十6s6. .一5≤√xy1,聊0√xy≤1，则xy的最大值等 即(a+b)-5(a+b)+4≤0.∴.(a+b-4)(a+b-1) 于1. 0,即1a十b≤4， 答案1 当a=6=号时，虚边等号成立，当a=6=2时，右边等号 第三章函数 成主，故选A. 3.1 函数的概念与性质 [答案]A 3.1.1 函数及其表示方法 章末优化提升 第1课时函数的概念 [考点聚焦] 【自主学习探新知】 考点一一元二次方程的解集、根与系数的关系 知识点一实数集每一个实数x唯一确定了 「跟踪训练] 1.解(1)图为1∈M,所以a×1-5×1+2<0,解得 y=f(x)取值的范围 a<3,所以实数a的取值范国为（一oo,3) [微判断] 2因为M={}<<2,所以宁2为方程ar- (1)×(2)×(3)×(4)X 知识点二 定义域对应关系 5x+2=0的两机，由韦达定理可得号×2=吕，解得 [微思考] (1)[提示]确定. a=2,所以不等式-a.x2+(2a+3)x-6<0即为-2x +7x-6<0,即2x°-7x+6>0,所以(x-2)(2x-3)>0,解 (2)儿提示]不确定，例如函数的定义域为A={一1,0， 1},值域为B={0,1},则对应关系f(x)=x或f(x)= 得号或>2，所以方程的解集为{女K号或>2： x均可 考点二不等式的性质及应用 【互动探究解疑难】 [跟踪训练] 探究一函数关系的判断 2.C固为c<a,且ac<0,所以c<0,a>0.A成立，因为 [例1](1)BDA.集合M中一1在集合N中没有对应 cb,所以ac<ab,即ab>ac:B成立，因为ba,b一a 元素，故A不选，B.由函数的定义，集合M中的每一个 0,所以c(h-a)>0:C不一定成立，当b=0时，cb<ab 元素在集合N中都有唯一元素与之对应，故B可选，C 不成立，D成立，因为c<a,所以a一c>0,所以a(a一c) 集合M中1,4在集合N中没有对应元素，故C不选. <0. 考点三求不等式的解集 D.由函数的定义，集合M中的每一个元素在集合N中 「跟踪训练 都有唯一元素与之对应，故D可选 3.(1)A当t<-3时，-(x+3)+(x-3)>3,-6>3, (2)ACDB选项，当x>0时，有两个y值与之对应，不 无尿.当-3<r<3时+3+r-3>3,所以>号，故 是函数，B错误，其余选项都是函数的图象 [跟踪训练] 2<x≤3.当>3时，t+3-(-3)>3,6>3,所以 1,ABC根据函数的定义，选项A,B,C中的西数都满足 题意，对于D,在集合A中的部分元素在集合B中没有 >3蜂上可知原不等式的解集为女>受} 元素与它对应，故不正确 21 探究二同一个函数的判定 [跟踪训练] [例2]BCA中，由于f(x)=x的定义城为R,g(x)= :4.解(1)（观察法）图为x∈{1.2,3,4,5}，分别代入求 (红)的定义城为xx≥0}，它们的定义域不相同，所 值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6. 以它们不是同一个函数.B中，函敛的定义域、值域和对 (2)(配方法)y=x-2x+3=(x-1)+2.由x∈[0,3)， 应关系都相同，所以它们是同一个函数.C中，由于g(x) 再站合函数的图象（如图1），可得函数的值城为[2,6). =工=1的定义城为{xx≠0}，故它们的定义城相同， y y=22-4+2 所以它们是同一个函数，D中，两个函数的定义城相同， y=x2-2x+3 但对应关系不同，所以它们不是同一个函数. 2 [跟踪训练] 0123 2 2.解不是同一个函数.对于函数y=√x一丁·x+I, 图1 图2 南/-1公0， 解得x≥1，故定义城为{xx≥1}，对于函 x+1≥0， (3)(分离常数法)y=2红+-2x-3)+1=2+ x-3 x-3 x-31 数y=√(x+1)(x-1D,由(x+1)(x-1)>≥0解得x≥1 显然7 3≠0，所以y≠2.故函数的值城为(-60,2)U 或r≤-1，故定义城为{xx≥1或x≤-1}，显然两个 (2,十∞) 函数定义战不同，故不是同一个函数 (4)(换元法)设t=√x一，则t≥0且x=t+1,所以y 探究三求函数的定义域 [例3][解](1)要使函数有意义，自变量x的取值必 =2(2+1)-1 2(-)）广+号，由≥0，弄结合画数 须满足 十10解得<1且x≠-1，即画数的定又 1-x≥0， 的图泉（中图2，可得西敏的位线为[背，十） 拔为{xx≤1且x≠一1}， [牛刀小试] (2)要使西数有意义·自变量x的取值必须满足 1.C由-1≤x≤4，得-5≤2x-3≤5，所以f(x)的定义 15-x≥0. 城为{x-5≤x≤5.由-5≤1-2.x≤5，得-2≤x≤3， 解得x≤5且工≠士3，即函数的定义战为 |x一3≠0， .函数f(1一2x)的定义战为{x一2≤r≤3}. (xr5且x≠士3}. 10<x+1<3. 2.解析由题意可得 解得一1<x<2且 跟踪训练 x-1≠0， x≠1.故所求函数的定义域为(x|一1<x<2且x≠1， 一x≥0. r0 3.解(1) 2x-3x-2≠0x≠2且x≠-2 1 答案{x-1<x<2且x≠1》 【随堂巩固促应用】 画载的定义接为女<0且x≠一}月 1.A因为f(x)=√x+T,所以f(3)=√3+T=2. ∫x-1≥0 11-x≥0， (2) →x=1..函数的定义域为1. 2.D由题意可知 解得0≤x≤1. 11-x≥0 x≥0， 探究四求函数值，函数的值域 3.C选项A中两函数的定义域不同：选项B,D中两函数 1 11 的对应关系不同， [例们[解】1)fx)=1十云心f2)=1十23 4,D根据函数的定义，对于非空效集A中每一个确定的 g(x)=x+2,g(2)=2+2=6. x值，非空数集B中都有唯一确定的y值与之对应，只 2g2)=6)=6- 有图形D符合函数的定义 第2课时函数的表示方法 (③/D-有的定义战为r≠-l, 【自主学习探新知】 ,.值域是（一0,0）U(0,十o). [微判断] g(x)=x+2的定义城为R,最小值为2， (1)×(2)×(3)X ∴.值城是[2，十∞). :知识点二1.对应2.一个 22 [微练习] 探究二函数解析式的求法 Cf(2)=√2-I=1.故选C. [例2][解](1)方法一（换元法）： 【互动探究解疑难】 设1=x十1，则x=(1一1)(1≥1). .f(1)=(1-1)+2(1-1)=-21+1+21-2=2-1, 探究一函数的表示方法 .f(x)=x-1(x≥1). [例1][解](1)由题设条件知，当x=2时，t=100,当 方法二（配凑法）： 2a+2 =100, x+2=()+2江+1-1=(z+1)3-1, x=14时，t=28,列出方程组 解 b .f(E+1)=(WE+1)2-1(E+1≥1). 14a+=28. .f(x)=x-1(x≥1). 将/01， (2)设f(x)=a.x2十bx十c(a≠0).，'f(0)=1,.c=1. 6=196. 又f(x十1)-f(x)=2x+2,.a(x+1)+b(x+1)+1 所以1+5又周为≤20，以为正袋载小 -(a.x2+hx+1)=2x+2. 整理，得2ux十(u十b)=2x十2 所以函数的定义域是{x0<x≤20，x∈N. 由恒等式的性质知，上式中对应项的系数相等。 (2)x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16, 2a=2解得-1 .f(x)=x2十x+1 17.18,19,20,共取20个值，列表如下： a十b=2, b=1, [跟踪训练] 8 9 10 2.(1)解设f(x)=ax2十bx十c(a≠0)，由f(0)=0.知 197 100 5344.238.7 35 32.530.829.6 c=0.f(x)=ax+hx, 11 12 13 4 15 16 17 18 19 20 又由f(x+1)=f(x)+x+1, 28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8 得a(x+1)+b(x+1)=a.x+b.x+x+1, 即a.x+(2a+b)x+a+b=a.x+(b+1)x+1, 注：表中的部分数据是近似值. 2d+b=b+1 (3)函数【的图象是由20个，点组成的一个点列，如图 a+b=1, 解释a=b=司 所示 /)=r+号rreR. (2)解方法一（配凑法）：，「（√x十4）=（√x)十8/ 4 20 =(Vx十1)°-16 100 80 60 .f（x)=x-16(x≥4). .f(x2)=x-16(x≥2或x≤-2). 0102030 方法二（换元法）：令√x十4=1(t≥4)， [跟踪训练] 则x=(t-4)(t≥4). 1.(1)D 由题意可知，一开始速度校快，后来速度变慢， ∴.f(1)=(1-4)2+8(1-4)=12-16(1≥4)，即f(x)= 所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，而纵轴表 x2-16(x≥4). 示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0， .f(x)=x-16(x≥2或x≤-2) (2)解用图象法表示函数y=f(x),如图所示. 探究三分段函数 [例3][解](1)由-5∈(-∞，-2]，-5∈(-2.2. 0 1 1234x 2∈(-，-2，知-5)=(-5)+1=-4 3 f(-3)=(-3)+2×(-5)=3-23. -5 “f(-)-(-2)+1=-2且-2×-号<2 用列表法表示函数y=∫(x),如表所示. ∴((-)=(-2)=（-8)+2×(-)》 2 -3 5 =号-3=- 23 (2)当a≤-2时，a十1=3，即a=2>一2，不合题意，：【互动探究解疑难】 金去 探究一函数单调性的判定与证明 当一2<a<2时，a+2a=3,即a+2a-3=0. [例1][证明]对于任意的，x∈（一∞，0），且x 所以(a-1)(a十3)=0，得a=1或a=-3. <X: ,1∈(-2,2)，-3任（一2,2），4-1符合题意. 有fx)-fx)=1-1 当a≥2时，2a一1=3.即a=2,符合题意. 综上可得，当f(a)=3时，u=1或a=2. x-工_（x,x)x,十西) TiT2 TiT [跟踪训练] x<x<0..-1>0,m1十r<0,ix>0. 3.解(1)f(-2)=1-2×(-2)=5, ∴.f(x,)-f(x)<0,即f(x)<f(x,). .f(f(-2)=f(5)=4-5=-21. 函教fx)=在(-，0)上是增画数. (2)当a∈R时，a+1≥1>0， ∴.f(a2+1)=4-(a°+1)=-a-2a2+3(a∈R). 对于任意的x1,x,∈(0，十0○)，且x1<x,有 (3)①当-4≤x<0时，f(x)=1-2x.1<f(.x)≤9： f(n)-fr)=)() riti ②当x=0时，f(x)=2: 0<x<x2-x1>0,x十x1>0,xixi>0. ③当0<x<3时，f(.x)=4-x,.-5<f(x)<4. f(x)-f(x,)>0,即f(x)>f(x). 故当-4≤x<3时，函数f(x)的值城是（一5,9]. 【随堂巩固促应用】 “函数fr)=在(0，十0)上是减画数 1.C由表可知f(11)=4. 「跟踪训练] 2.A方法一：设=x-1,则x=1十1， L,证明Vx1x∈(-1，十∞)，且x,<x, fx-1)=x+4x-5, 则fx)-f0x)=4+2_4十2飞- ,+1x,+1(x,+1)(x+1) .f()=(t+1)°+4(t+1)-5=t+6t, 因为-1<1<x,所以x一>0，出+1>0x十1>0， ∴f(x)的表达式是f（x)=x+6.x. x2一x 方法二：：f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)”+6(x-1), 所以x,+1D+D>0,即)一fx,)>0 f(x)=x+6x, ,.f(x)的表达武是f(x)=x2十6x.故选A >,游以y-号在(-1十)上是成 函数」 3.Af(3)=f(3+2)=f(5),f(5)=f(5+2)=f(7). 探究二求函数的单调区间 ,f(7)=7-5=2,故f(3)=2. [例2](1)C根据函数单调性定义及函数图象知f(x) 4.解析当x≤-1时r+2=3,得x=1,舍去：当一1<x 在[-3,1门上单调递增， 2时，x=3得x=√3或x=一√3（含去）. -x+2x+1,x≥0， (2)[解]y= 答案√3 -x-2x+1,x0, 3.1.2函数的单调性 1-(x-1)2十2，x≥0， 即y= 第1课时 单调性的定义与证明、函数的最值 -(x+1)+2,x<0. 【自主学习探新知】 函数图象如园所示，单调增区间 为（一∞，一1门，[0,1门，单调减区 [微思考] 间为[-1,0]，[1，十o∞). (1)[提示]不是. [跟踪训练] (2)汇提示]不能. -x-3,x1, 知识点二单调性 2.解f(x) (x-2)+3,x>1 [微练习] 的图象如图所示，由图可知， B由图象，可知函数y=f(x)的单调递减区间有2个. -x-3,x≤1， 知识点三≤≥最值最值点 函数f(x)= (x-2)+3,x>1 [微判断] 的单调递减区间为（一∞，1门和 (1)×(2)W(3)× (1,2],单调递增区间为[2，+∞)， 24